正方形经典例题与答案
- 格式:doc
- 大小:265.00 KB
- 文档页数:6
典型例题一
例01.如图,在正方形ABCD 的对角线AC 上取点E ,使CE CD =,过E 点作AC EF ⊥交AD 于F.
求证:DF EF AE ==.
证明 连结CF .
在正方形ABCD 中,︒=∠=∠90DAB D ,AC 平分DAB ∠.
∵︒=∠=∠45CAB DAC , 又∵ AC EF ⊥,
∴︒=∠=∠45AFE DAC . ∴ EF AE =
在CEF Rt ∆与CDF Rt ∆中, CF CF CD CE ==,
∴)(HL CDF Rt CEF Rt ∆≅∆ ∴DF EF = ∴DF EF AE ==.
说明:本题考查正方形的性质,易错点是忽视AEF ∆是等腰直角三角形.
解题关键是证AEF ∆是等腰直角三角形和连CF 证CEF CDF ∆≅∆.
典型例题二
例02.如图,已知:在ABC ∆中,︒=∠90ACB ,CD 是ACB ∠的平分线,AC DE //交BC 于E ,BC DF //交AC 于F .
求证:四边形CEDF 是正方形.
分析:要判定一个四边形是正方形有这样几种方法:①按照定义证明,②先证明它是菱形,再证它有一个角等于︒90. ③先证明它是矩形,再证它有一组邻边相等,那么本题中,因有一个角︒=∠90ACB ,且有两对平行线段,我们不妨采用第三种证明方法. 那么由角平分线的性质定理容易证出DF DE =.
证明:∵BC DF AC DE //,//(已知) ∴ 四边形CEDF 是平行四边形.
∵ ︒=∠90ACB (已知),
∴ 四边形CEDF 是矩形(有一个角是︒90的平行四边形是矩形).
∵ ︒=∠90,//,//ACB BC DF AC DE (已知), ∴ ︒=∠=∠90DFC DEC
又∵ CD 是ACB ∠的平分线(已知),
∴ DF DE =(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
∴ 四边形CEDF 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
说明 正方形是特殊的平行四边形,也是邻边相等的特殊矩形,也是有一个角是直角的特殊菱形.所以在判断一个图形是否为正方形时,由它的特殊性出发,通过先证它是平行四边形、矩形和菱形来完成.
典型例题三
例03.已知:如图,在正方形ABCD 中,E 为AD 上一点,BF 平分CBE ∠交CD 于F .
求证:AE CF BE +=.
证法1 延长DC 至N ,使AE CN =,连结BN ,则CBN ABE ∆≅∆.
∴ BN BE CBN ABE =∠=∠,.
∵四边形ABCD 为正方形, ∴ AB CD // ∴ ABF NFB ∠=∠.
∵ CBF NBC NBF EBF ABE ABF ∠+∠=∠∠+∠=∠,,FBC EBF ∠=∠,
∴NFB NBF ∠=∠ ∴ CF CN NF BN +==
∴ CF AE BE +=
证法2 如图,延长DA 到G ,使CF AG =,连结BG ,则BCF BAG ∆≅∆.
∴ CF AG CFB G CBF ABG =∠=∠∠=∠,,.
∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴BC AD // ∴CFB ABF ∠=∠
∵CBF EBF ∠=∠, ∴EBF ABG ∠=∠
∴ABE EBF ABE ABG ∠+∠=∠+∠, 即ABF EBG ∠=∠
∴EBG G ∠=∠
∴ CF AE AG EA EG EB +=+==
说明 构造全等三角形是关键
典型例题四
例04.如图,已知:E 是正方形ABCD 的边AD 的中点,F 是DC 上的一点,且CD DF 4
1=
. 求证:BE EF ⊥.
分析:因为AB CD DF 4141==,AB AE DE 2
1==,所以若设a DF =,则EF 、BE 都可以用含有a 的代数式表示. 由此,我们想到,为了证明BE EF ⊥,即为了证明︒=∠90BEF ,不妨使用勾股定理的逆定理. 为此,连结BF ,则只需证明222EF BE BF +=就可以了.
证明:连结BF , ∵ 四边形ABCD 是正方形,
∴ DA CD BC AB ===, ︒=∠=∠=∠=∠90D C ABC A
因为AD DE AE CD DF 2
1,41===, ∴若设a DF =,则a AB a DE AE 4,2===,
在RtABE 中,根据勾股定理, 2
2222220)2()4(a a a AE AB BE =+=+=
在EDF Rt ∆中,根据勾股定理, 2222225)2(a a a DF ED EF =+=+=
在BCF Rt ∆中,根据勾股定理 22222225)4()4(a a a a CF BC BF =-+=+=
∴ 有222225a EF BE BF =+= ∴ BFE ∆是直角三角形,且︒=∠90BEF ,
即EF BE ⊥.
说明 由正方形的特殊性,它不仅有平行四边形的性质,正方形的性质,还有菱形的性质,在给出一个四边形是正方形时,要能够灵活运用这些性质.
典型例题五
例05.已知:如图,正方形ABCD 中,延长AD 至E ,使AD DE =,再延长DE 至F ,使BD DF =. 连结BF 交CE ,CD 于P ,Q .
求证:PQ PD =.
证明:在正方形ABCD 中,BC AD //,︒=∠=∠45BDC DBC ,CD BC =.
∵DF BD =,
∴︒=∠=∠=∠5.2212F
∵AD DE =,
∴BC DE //
∴四边形BDEC 是平行四边形.
∴BD CE //
∴︒=∠=∠=∠5.22124,︒=∠=∠453BDC .
∴ CD BC CP ==.
∴︒=∠-︒=∠5.67)3180(2
1CDP ∴︒=∠+∠=∠5.6734PQD ,
∴PQD CDP ∠=∠ ∴ PQ PD =
说明:本题综合考查正方形的性质,等腰三角形的判定和性质,易错点是习惯地用角的代换企图证明PQD CDP ∠=∠,这样做显然无法证出.
解题关键是求出︒=∠=∠5.67PQD CDP .
典型例题六
例06.如图,已知:在正方形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、BC 上的点,若有EF CF AE =+. 求:EDF ∠的度数.
分析:在给出的条件中,EF CF AE =+这一条件比较分散. 我们不妨把AE 和CF 平