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2014-2015学年第二学期期中考试高二数学试题（理科）本试卷分选择题、填空题、解答题，满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、复数()32i i +等于 （ ）.23.23.23.23A iB iC iD i ---+-+2、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒 3、 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=( ) A. 34i -B.34i +C.43i -D.43i +4.若复数z 满足z(1+i)=2i,则|z|= ( ) A.1 B.2C.5、 设复数z 1,z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z 1=2+i,则z 1z 2=( )A.-5B.5C.-4+iD.-4-i6、 用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A.方程20x ax b ++=没有实根. B .方程20x ax b ++=至多有一个实根. C .方程20x ax b ++=至多有两个实根.D .方程20x ax b ++=恰好有两个实根.7、直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A.B. C.2 D.48、已知ax x x f -=3)(在[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( ) A. ),3(+∞ B. ),3[+∞ C. )3,(-∞ D. ]3,(-∞二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9、复数i m m z )1(12-+-=为纯虚数，实数=m ___________．10、已知函数)('x f y =的图象如图(1)所示(其中)('x f y =是函数)(x f y =的导函数)，则函数)(x f y =的增区间为_______．11、曲线x x y cos =在2π=x 处的切线的斜率是_______． 12、曲线y=e -5x +2在点(0,3)处的切线方程为_______．13、若曲线y=xlnx 在点P 处的切线垂直于直线x+2y+1=0,则点P 的坐标是_______． 14、设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r＝2S a ＋b ＋c；类比这个结论可知，四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，四面体ABCD 的体积为V ，内切球半径为R ，则R ＝___________．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答必须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本小题满分12分）求下列函数的定积分（1）(2x+e x )dx ；（2）设⎰∈∈=],1(,1]1,0[,)(2e x xx x x f (e 为自然对数的底数)，求⎰e 0f(x)d x 的值．16、（本小题满分12分）如图所示四棱锥ABCD P -，ABCD PA 平面⊥，为正方形，底面ABCD 的中点为PD E ，（1）证明： PB ∥平面AEC ． （2）证明：PAC BD 平面⊥。
2014-2015学年第二学期高三期中测试卷科目：理科数学时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={}4,5,7,9，B={}3,4,7,8,9，全集B A U =，则集合()U C A B 中的元素共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D 6个．2．若复数z 满足i z i 34)43(+=-，则z 的虚部为 （ ）A ．4-B ．54-C ． 4D ．543．已知55sin =α，则αα44cos sin -的值为 （ ） A ．53-B ．51- C ． 51 D ．534．5本不同的书全部分给 4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 （ ） A ．480种 B ．240种 C ．120种 D ．96种5．一只蚂蚁从正方体 1111D C B A ABCD -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点1C 处，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是 （ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（4）D ．（3）（4） 6．若c b a ,,是ABC ∆的三个内角的对边，且B b A a C c sin 3sin 3sin +=,则圆M ：1222=+y x 被直线l ：0=+-c by ax所截得的弦长为 （ ） A ．64 B ．62 C ．6 D ． 57．执行如图所示的程序框图，输出的S 值是 （ ） A .23-B .23C .0D .3 8．在数列}{n a 中，21=a ，)11ln(1++=+na a n n ，则=n a （ ） A ．n ln 2+ B ．n n ln )1(2-+ C ．n n ln 2+ D ．n n ln 1++9．函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数是 （ ）A ． 3B ．2C ．1D ．010．若实数y x ,满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则23x y z +=的最小值是 （ ）A ．0B ．1 CD ． 911．设21,F F 为椭圆)0(1:22221＞＞b a by a x C =+与双曲线2C 的公共点左右焦点，它们在第一象限内交于点M ,△21F MF 是以线段1MF 为底边的等腰三角形,且21=MF .若椭圆1C 的离心率83=e ，则双曲线2C 的离心率是 （ ） A .45 B .23 C . D .412．已知圆O 的半径为1,PB PA ,为该圆的两条切线, B A ,为切点,则⋅的最小值为 （ ） A ．223+- B ．23+- C . 224+- D . 24+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．n xx )212(-的二项展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 （用数字做答）.14．若函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 的图像恒过定点A ,P 是直线0543=++y x 上的为任意一点，则PA 最小值为 . 15．若数列{}n a 满足d a a nn =-+111为常数）d N n ,(*∈，则称数列{}n a 为调和数列，已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x 1为调和数列，且2002021=+++x x x ，则=+165x x . 16．已知直线a x =)20(π<<a 与函数x x f sin )(=和函数x x g cos )(=的图像分别交于M ,N 两点，若51=MN ，则线段MN 中点的纵坐标为 . 三、解答题：（本题6道小题共70分.解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤）17．（本小题满分12分）如图地平面上一旗杆设定为OP ，为测得它的高度h ，在地平面上取一基线a AB AB =,，在A 处测得P 点的仰角030，在B 处测得P 点的仰角045，又测得θ=∠AOB ，求旗杆的高度h ．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD -中，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD， AB PD = ,,E F G 分别是,,PC PD BC 的中点．（1）求证：平面//PAB 平面EFG ；（2）在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，并给出证明；19．某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶) .(1) 指出这组数据的众数和中位数；(2) 若幸福度不低于9.5分，则称该人 的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机 选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3) 以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区任选3人， 记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20．（本小题满分12分）已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点)3,2(A ，且点)0,2(F 为其右焦点 （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在求出的l 方程；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数 ()b xax x f ++=，)0(≠x 其中R b a ∈,. （1）若曲线()x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数的解析式； （2）讨论函数()x f 的单调性；（3）若对于任意的]2,21[∈a ，不等式()10≤x f 在]1,41[上恒成立，求b 的取值范围．ABDEF PGCB选考题：（本小题满分10分 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22． 选修4－1:几何证明选讲如图， AB 为圆O 的直径， CD 为垂直于AB 的一条弦，垂直为E ，弦BM 与CD 交于点F . (1）证明: M F E A ,,,四点共圆； (2)若44==BF MF ，求线段BC 的长.23．选修4－4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 已知直线l 上两点N M ,的极坐标分别为)0,2(、)2,332(π， 圆C 的参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 23cos 22y x （θ为参数），（1）设为P 线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （2）判断直线l 与圆C 的位置关系．24．选修4—5:不等式选讲已知121<-x ，122<-x ． （1）求证：6221<+<x x ．（2）若1)(2+-=x x x f ，求证：21215)()(x x x f x f -<-．高三期中数学试题参考答案一：选择题：1 ．C 2． D 3 ．A 4 ．B 5．C 6．C 7．B 8．A 9．B 10．C 11．B 12．A 二、填空题： 13. 20- 14.1 15. 20 16．107三、解答题：17．解：（Ⅰ）在PAO Rt ∆和PBO Rt ∆中030=∠PAO ,045=∠PBOh AO 3=,h BO = ………………… …5分在BAO ∆中，θ=∠BOA ，由余弦定理得θcos 32)3(222h h h h a ⋅-+= ……………………… 7分解得θcos 32422-=a hθcos 324-=a h … ………………………12分18.解： （1）因为 ,,E F G 分别是,,PC PD BC 的中点．所以AB DC EF ////，⊂AB 平面PAB ，所以 //EF 平面PAB 同理 //FG 平面PAB ，F EF FG =⊂EF FG ,平面EFG所以 平面//PAB 平面EFG ； ……………………………6分（2）取线段PB 的中点为Q ，则PC ⊥平面ADQ 成立。
合阳中学校2014-2015学年度10月月考试题理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设P=｛x ︱x <4｝,Q=｛x ︱2x <4｝，则（ ）（A ）Q P ⊆ （B ）P Q ⊆（C ）Q C P R ⊆ （D ）P C Q R ⊆2.已知x )1,(1-∈e ，令x ln xln e c ,)21(b ,x ln a ===则a,b,c 的大小关系为A ．a <c <bB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a3.已知实数x,y 满足)10(<<<a a a y x ，则下列关系式恒成立的是（ ）A. y x sin sin >B.1ln()1ln(22+>+y x ) C.111122+>+y x D. 33y x > 4.函数f(x)＝m m x +++)2(22在(－1,1)上零点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．不能确定 5.下列四个命题中，真命题的个数有（ ）①若R c b a ∈,,，则“22bc ac >”是“b a >”成立的充分必要条件；②命题 “R x ∈∃使得012>++x x 的否定是 “R x ∈∀均有012≤++x x ”； ③命题“若2≥x ，则2≥x 或2-≤x ”的否命题是“若x <2，则2-2<<x ”； ④函数23ln -+x x 在区间(1,2)上有且仅有一个零点. A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.已知则下列函数的图象错误．．的是 （ ）7.定义在R上的函数)(x f 满足=+=-∈+=--=-)20(log 512)()0,1()2()2(),()(2f x f x x f x f x f x f x 则时，且（ ）A ．1B ．54C ．-1D ．54-8.如果函数px nx y ++=21的图象关于点A （1，2）对称，那么（ ） A.=p －2，=n 4 B.=p 2，=n －4 C.=p －2，=n －4 D.=p 2，=n 4 9．下列四个图中，函数1x 1x ln 10y ++=的图象可能是10. 若0,2x π<<1sin x <”是“1sin x x>” A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
合阳中学校2014-2015学年度10月月考试题数学试题（卷）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2•a 3=2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为，则S 5=（ ）12123五个实数成等比数列，则b （a ﹣a ）=（ ） ．ABC ∆o 60A =，a =b =B 等于 （ ） A. o 45 B. o 135 C.o 45或o 135 D. 以上答案都不对5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a ，则cosB=（ ） ．．．．个灯塔M 原来在轮船的北偏东10°方向上．经过40分钟，轮船与灯塔的距离是浬，则灯塔和轮船原来的距离为（ ）进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮食10000元，在两次统计中，购粮的平均价格较低的是（ ）A.甲B.乙C.一样低D.不确定8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=（ ）n a 9101920(0),a a a a a a b +=≠+=99100a a+=A ．109b aB ．9()b aC ．98b aD ．10()b a10．在有穷数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，若把称为数列{a n }的“优化和”，现有一个共2009项的数列{a n }：a 1，a 2，a 3，…，a 2009，若其“优化和”为2010，则有2010项的数列1，a 1，a 2，a 3，…，a 的“优化和”为（ ）第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边．若 a=ccosB ，且b=csinA ，那么△ABC 的形状是12．已知{}n a 的前项之和21n n S =+，则此数列的通项公式为_________．13．若不等式022>++bx ax 的解集是⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,21，则b a +的值为________。
2014—2015学年高二年级下期期中试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在机读卡上。
） 1、i 是虚数单位，计算23i i i ++=（ ）A.i -B.i C ．－1 D.12、若32A 12n n C =，则n =（ ）A.8B.7C.6D.4 3、6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有( ) A ．30种 B ．144种 C ．5种D ．4种4、化简()()()()43244464441x x x x -+-+-+-+得( )A.4xB.()44x -C.()41x + D.5x5、从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（ ） A.120 B.60 C.240 D.1806、设()f x '是函数f(x)的导函数，将y ＝f(x)和)(x f y '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )7、在以下命题中，不正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若22OP OA OB OC →→→→=--，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一组基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.()00,0x R f x ∃∈=使A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个8、已知函数()32f x x ax bx c =+++,那么下列结论中错误的是（ ） A. B.函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =9、已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB →→⋅取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.131243⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B. 448333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，C.133224⎛⎫⎪⎝⎭，， D.447333⎛⎫⎪⎝⎭，， 10、若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（ ）211124x x <-+ B. 21ln(1)8x x x +-… C. 21x e x x ++… D. 21cos 12x x -…第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡上。
2014—2015学年度下学期期中考试高二数学理试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分) 1. 有一段“三段论”推理是这样的： 对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点， 因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中 （ ） A ．大前提错误 B ． 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确2. 设函数()ln(23)f x x =-，则'1()3f = （ ）A ．13B ．12C ．2-D ． 3- 3．复数ii z -+=1)2(2（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若关于x 的方程330x x m -+=在[0, 2]上有根，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．[20]-，B ．[02]，C ．[22]-，D ．(2)(2)-∞-+∞，，5. 若当n →+∞时，1123(0)p p p pP n p n +++++>无限趋近于一个常数A ，则A 可用定积分表示为 （ ）A ．101dx x ⎰B ．10p x dx ⎰C ．101()p dx x ⎰D ．10()p xdx n⎰6. 已知函数1ln ()x f x x +=，在区间2(,)3a a +（0a >）上存在极值，则实数a 的取值范围是 （ ）A .( 0,1)B .(23，1) C .( 12，1) D .( 13, 1) 7. 已知z ∈C ，且|z |=1，则|z -2-2i |（i 为虚数单位）的最小值是 （ ）A ．BC .D .8. 平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值2a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 （ ）Ａ．3a Ｂ．4a Ｃ．3a Ｄ．4a 9. 函数y =x +cosx 的大致图象是(图中虚线是直线y =x ) （ ）10．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒. 当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 （ ） A ．12 B . 10 C . 8 D . 611．曲线y =x 2-ln x 上任意一点P 到直线y =x -2的距离的最小值是 （ ）A ． １B .C . ２ D.12．定义在R 上的函数f (x )满足f (4)=1, f '(x )为f (x )的导函数，已知y =f '(x )的图象如右图所示，若两正数a ,b 满足f (2a +b )<1,则22b a ++ 的取值范围是 （ ） A . (- ∞, -3) B . (- ∞, 12)∪(3,+∞) C .(12，3) D . ( 13,12) 第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = ． 14．仔细观察下面4个数字所表示的图形：请问：数字100所代表的图形中小方格的个数为 ． 15. 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则f (x )= ．16．函数g (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax (a <0) 在区间（-∞，3a）内单调递减，则a 的取值范围是 ．三、解答题(本大题共4小题，共36分)17．(本小题满分8分) 已知抛物线C ：y =-x 2+4x-3 .（1）求抛物线C在点A（0，－3）和点B(3，0)处的切线的交点坐标；（2）求抛物线C与它在点A和点B处的切线所围成的图形的面积.18. (本小题满分8分) 已知函数ln ()x f xx.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）已知a、b∈R,a>b>e, (其中e是自然对数的底数), 求证:b a>a b.19．（本小题8分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．20．（本小题满分12分）已知f (x )=ax 2(a ∈R), g (x )=2ln x . （1）讨论函数F (x )=f (x )-g (x )的单调性；（2）是否存在实数a ，使得f (x )≥g (x )+2 (x>0)恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出a 的取值范围;（3）若方程f (x )=g (x )在区间]e 上有两个不相等的实数根，求a 的取值范围.2014-2015-2学期期中考试参考答案高二数学（理）一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．-2i ． 14．20201． 15. 34x -． 16．(－∞，－1]． 三、解答题(本大题共4小题，共36分) 17．(本小题满分8分)解：(1)24y x '=-+，1(0)4,(3)2k y y y '''====-， 所以过点A （0，－3）和点B (3，0)的切线方程分别是43y 26y x x =-=-+和，两条切线的交点是（3,32），………………4分 (2)围成的区域如图所示：区域被直线32x =分成了两部分，分别计算再相加，得： 3333222233022[(43)(43)][(26)(43)]S x dx x x dx x dx x x dx =---+-+-+--+-⎰⎰⎰⎰33232233232200332211(23)(23)(6)(23)33x x x x x x x x x x =---+-+-+--+-94=即所求区域的面积是94. ………………8分 18. (本小题满分8分) 解：（1）ln ()x f x x =, ∴21ln ()xf x x-'= ∴当x e >时,()0f x '<,∴函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减. 当0<x <e 时,()0f x '>,∴函数()f x 在(0,e )上是单调递增.∴f (x )的增区间是(0,e ),减区间是(,)e +∞. ………………4分 (2)证明:∵0,0a b b a >> ∴要证: abb a > 只要证:ln ln a b b a > 只要证ln ln b ab a>.(∵a b e >>) 由（1）得函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减. ∴当a b e >>时,有()()f b f a >即ln ln b ab a>. ∴ abb a >………………8分 19．（本小题8分） 解：（1）依题设可得111212a ==⨯，211623a ==⨯， 3111234a ==⨯，4112045a ==⨯； ………………………3分（2）猜想：1(1)n a n n =+．………………………4分证明：①当1n =时，猜想显然成立．………………………5分 ②假设*()n k k =∈N 时，猜想成立，即1(1)k a k k =+．…………………6分那么，当1n k =+时，111(1)k k S k a ++=-+， 即111(1)k k k S a k a +++=-+． 又11k k kS ka k =-=+， 所以111(1)1k k ka k a k +++=-++， 从而111(1)(2)(1)[(1)1]k a k k k k +==+++++．即1n k =+时，猜想也成立． ………………………7分 故由①和②，可知猜想成立． ………………………8分20.（本小题满分12分）解：（1）2()2ln ,(0,)F x ax x =-+∞其定义域为222(1)()2(0)ax F x ax x x x-'∴=-=>（i ）当a >0时，由ax 2-1>0得 x>,由ax 2-1<0得 0x<<.故当a >0时，F (x )的递增区间为)+∞，递减区间为.（ii ）当0,()0(0)a F x x '≤<>时恒成立故当0,()(0,)a F x ≤+∞时在上单调递减. ………………………4分 （2）即使()20F x x ≥>在时恒成立.（i ）当a≤0时，由（1）知当,().x F x →+∞→-∞则∴()20F x x ≥>在时不可能恒成立.， （ii ）当a>0时，由（1）可知min 1()11ln F x F a ==-=-11ln2a∴-≥只须即可 , ln 1a a e ∴≥∴≥ 故存在这样的a 的值，使得()()2()f x g x x R +≥+∈恒成立 a 的取值范围是[e ,+∞] ………………………8分（3）等价于方程22ln ()xa x x ϕ==在区间]e 上有两个不等解， ∵242ln 2(12ln )()x x x x x x ϕ-'==()x ϕ在区间上为增函数，在)e 上为减函数，∴max 1()x eϕϕ==，222ln 2ln 2()(2)42e e ϕϕϕ=<===，min ln 2()2x ϕϕ== a 的取值范围是ln 21[,)2e………………………12分。
2014/2015学年度第二学期期中考高二年级数学试题（理科）一．填空题（5分×14）1．由1、2、3、4、5组成没有重复数字正整数，共有▲▲▲个三位数；2．数列1，4，7，10，…，的第8项等于▲▲▲；3．复数2,z i i =-+是虚数单位，则z 在复平面内对应的点在第▲▲▲象限；4．从甲、乙、丙三人中任选2名代表，甲被选中的概率为▲▲▲；5．在空间，若长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则长方体的对角线长为将此结论类比到平面内，可得：矩形的长、宽分别为a 、b ，则矩形的对角线长为▲▲▲；6．已知()2a i i b i -=+，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则a ＋b ＝▲▲▲；7．已知222211132135313574,,,,=+=++=+++=…，将此等式推广到一般情形，可得 ▲▲▲2n =；8．计算：234i i i i +++=▲▲▲；9．掷一枚骰子，观察掷出的点数，则事件“掷出奇数点或3的倍数”的概率为▲▲▲；10．用数学归纳法证明不等式“24111312111≥++++++++n n n n n 24111312111≥++++++++n n n n n 24111312111≥++++++++n n n n n ”时，由n ＝k 到n＝k ＋1时，不等式左边应添加的项是▲▲▲；11．二项式252(x展开式中的常数项是▲▲▲；12．有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率为▲▲▲；13．在2008年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有▲▲▲种；14．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图所示），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有▲▲▲种.二．解答题（共6小题）15．（14分）已知复数z 满足125()z i i +=.(1)求复数z ，并判断z 是否为方程2450x x -+=的一个根；(2)求复数5z z+的模.16．（14分）已知复数z＝362+--m mm＋imm)152(2--.(1) m取何实数值时，z是实数？(2) m取何实数值时，z是纯虚数？17．（14分）已知关于x的一元二次方程2220x ax b++=，满足a≥0且b≥0. （1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若1a=，b是从区间［0，3］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.18．（16分）已知数列{}n a 满足条件111n n a a +=-. (1)若112a =，求234,,a a a 的值. (2)已知对任意的n N +∈，都有1n a ≠，求证：3n n a a +=对任意的正整数n 都成立；(3)在(1)的条件下，求2015a .19．（16分）4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有2个盒不放球，共有几种放法？20．（16分）已知2*,n nN ≥∈，试用数学归纳法证明：1221)1211()711)(511)(311(+>-++++n n .高二数学试题（理科）参考答案1. 602. 223. 二4.236.37. ()13521...n ++++-8.09. 2310. 121+k ＋221+k －11+k (121+k －221+k 也正确) 11.10 12.25 13. 2 880 14. 120 15. (1)5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-， 方程2450x x -+=的根为2i ±，所以复数z 是该方程的一个根； (2)552422z i i z i+=-+=-+，∴5z z +. 16.(1)22150m m --=，解得3m =-或5,而3m =-时，实部没有意义，所以3m =-舍去，可得m=5； (2)226032150m m m m m ⎧--=⎪+⎨⎪--≠⎩，解得2m =-或3.17.设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实根”.当a ≥0且b ≥0时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a ≥b.（1）基本事件共有6个：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1）， 其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值.事件A 中包含5个基本事件，事件A 发生的概率为P （A ）=56； （2）因为103,[,]a b =∈，所以当01b ≤≤时，满足a ≥b ，∴P （A ）=13.18.(1)2341212,,a a a ==-=； (2)∵111n na a +=-， ∴211111111111n n n n n n n a a a a a a a ++--====------， ∴()32111111n n n n n n n na a a a a a a a ++-====-------. 即3n n a a +=对任意的正整数n 都成立；(3)由前面的结论，可得201531a a ==-.19.（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由分步计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22=144种.（2）确定2个空盒有C 24种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有222224A C C ·A 22种方法. 故共有C 24( C 34C 11A 22+222224A C C ·A 22）=84种.20.证明：⑴ 当n ＝2时，左边＝1＋31＝34，右边＝25 ∵ (34)2＝916＝4964⨯＞(25)2＝45＝4945⨯ ∴ 不等式成立．⑵ 假设当n ＝k 时，不等式成立．即(1＋31)(1＋51)(1＋71) (1)121-k )＞2112+k 当n ＝k ＋1时，(1＋31)(1＋51)(1＋71)…(1＋121-k )(1＋121+k )＞ 2112+k ·(1＋121+k )＝21(12+k ＋121+k ) 要证21(12+k ＋121+k )＞211)1(2++k需证12+k ＋121+k ＞32+k 即证121+k ＞0 ， ∵ k ∈N *，∴ 121+k ＞0成立 ∴ 当n ＝k ＋1时，不等式成立．由⑴、⑵知，对任意n ∈N *，不等式成立．。
2014-2015学年下学期期中考试高二数学（理）试卷一：选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．学校要选派4名爱好摄影的同学中的3名参加校外摄影小组的3期培训（每期只派1名），由于时间上的冲突，甲、乙两位同学都不能参加第1期培训，则不同的选派方式有 （ ） A ．6 B ．8种 C ．10种 D ．12种2．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于 （ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．(1－2x)8展开式中二项式系数最大的项数为 （ ）A ．第4项B ．第5项C ．第7项D ．第8项 4．用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为 （ ）Ａ．21k +Ｂ．2(21)k +Ｃ．211k k ++ Ｄ．231k k ++ 5．一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数 ( ) A ．12 B ． 13 C ．14 D ．156 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是…… ( ) A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3-∞7．若函数y =f (x )的导函数在区间［a ,b ］是增函数，则函数()y f x =在区间［a ,b ］上的图象可能是 （ ） 8. 将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于 （ ） A9160 B 21 C 185 D 216919．已知)(x f y =是定义在R 上的函数，且1)1(=f ，)('x f >1,则x x f >)(的解集是( ) A (0 , 1) B )1,0()0,1( - C ),1(+∞ D ),1()1,(+∞--∞yyyA B C D10. 设函数nx x x x x f nn n )1(321)(32-+⋅⋅⋅+-+-=，其中n 为正整数，则集合{}4(())0,M x f f x x R ==∈1丨中元素个数是 ( )A ． 0个B ．1个C ．2个D ．4个二：填空题（本大题共7小题，每小题3分，满分21分）11. 若3838-=n C C , 则n 的值为 ．12. 设函数xxx f ln )(=，则)1('f ＝_______________ 13. 一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，设停止时,取球次数为随机变量,则==)12(X P _______________.（用式子表示）14. 当[]2,1-∈x 时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是 15．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4.a b b c c d d +++例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为______________.16. 若函数x x f x f sin cos )4(')(+=π,则=)4(πf ______________.17. 形如45263这样的数成为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由2，3，4，5，6（其中6可以当9用）可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为 ．三：填空题（本大题共4小题，满分39分）18．（本题9分）已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x .（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =的单调区间.19．（本题10分）如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC平面⊥PA ABCD，3,2,6PA AD AB BC ====,（1）求证:;PAC BD 平面⊥ （2）求二面角A BD P --的大小.20．（本题10分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的一个顶点为(0，3)，1F ,2F 分别是椭圆的左、右焦点，离心率e ＝12,过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点.(1)求椭圆C 的方程；(2) 若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值21．（本题满分10分）已知函数x x ax x f ln 2)(2+-=.(1)若)(x f 无极值点，但其导函数)('x f 有零点，求实数a 的值； (2)若)(x f 有两个极值点，求实数a 的取值范围并证明)21(af <23-.19．(本小题10分)瓯海中学2010学年第二学期期中（模块）考试高二数学（理）参考答案一:选择题（10小题，每小题4分，共40分）二．填空题（7小题，每小题3分，共21分）11、6或8 12、 1 13、 210911)85()83(C 14、 m ＞2 15、6，4，1，7 16、 1 17、 32三：解答题18. 解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++=' 由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f ………………………4分（2）.012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令 解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函数， 在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数.……………9分19．（本题10分）（Ⅰ）如图，建立坐标系，则(000)A ，，，0)B ，，0)C ，，(020)D ，，，(003)P ，，， (003)AP ∴=，，，0)AC =，，(0)BD =-，， 0BD AP ∴=，0BD AC =．BD AP ∴⊥，BD AC ⊥，又PA AC A =，BD ∴⊥面PAC ．…………………………………………5分（Ⅱ）设平面ABD 的法向量为(001)=，，m ， 设平面PBD 的法向量为(1)x y =，，n ， 则0BP =n ，0BD =n ，3020y ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪⎩，，解得232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3122⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，，n ． c o s∴<m ，12>==m n n m n ． ∴二面角P BD A --的大小为60．……………………………………………………10分20．解：（1）椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1 …………………………4分(2)斜率不存在，略若直线斜率存在，则设直线l 方程为y=k(x-1) 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)， |MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)[(8k 23＋4k 2)2－4(4k 2－123＋4k 2)]＝12(k 2＋1)3＋4k 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx消去y ，并整理得x 2＝123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43(1＋k 2)3＋4k 2， ∴|AB |2|MN |＝48(1＋k 2)3＋4k 212(k 2＋1)3＋4k2＝4为定值. …………10分 21解;(1) )('x f =xx ax 1222+-,)('x f 有零点而无极值点,表明该零点左右导数同号,2100122,02=∴=∆=+-≠∴a x ax a ，的………………………………3分 (2) 若)(x f 有两个极值点，则)('x f=0有两个正根, 0≠∴a21000101222<<∴⎩⎨⎧>∆>∴+-=a a x ax y ，），经过点（ ………………………6分)21(a f =a a 4321ln -,令,21t a =则),1(+∞∈t ,设t t t g 23ln )(-= C2014-2015年度第二学期期中考试高二数学(理)试卷11 / 11 )('t g =tt t232231-=-,),1(+∞∈t 时)('t g <0, 所以t t t g 23ln )(-=在(1,∞+)上单调递减, 所以)(t g <)1(g =23-, 所以)21(a f <23-. ……………………………………………………10分。
合阳县2014-2015学年度高二第一学期期末质量检测数学试题（理科）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间为120分钟。
2、答案写在答题卷指定的位置上，写到边框外不能得分。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若不等式28210++<ax ax 的解集是{71}-<<-x x ，那么a 的值是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.命题2,320x R x x ∀∈-+≥“”的否定是（ ） A ．2000,320x R x x ∃∈-+< B ．2000,320x R x x ∃∈-+≥ C ．2000,320x R x x ∉∃-+< D ．2000,320x R x x ∀∈-+<3.已知向量)5,3,2(-=a 与向量),,4(y x b -=平行,则,x y 的值分别是 （ ） A ．–6和10 B ．6和-10 C ．–6和-10 D ．6和104.设抛物线的顶点在原点,准线方程为2x =-,则抛物线的标准方程是 ( ) A ．28x y =-B ．28x y =C ．24x y =-D ．24x y =5.若数列}{n a 的通项公式是(1)(32)nn a n =-⋅-，则1210a a a ++⋅⋅⋅+= ( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 6.在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝( ) A ．4 B ．2D. 27.对于常数m 、n ,“0>mn ”是“方程122=+ny mx 的曲线是椭圆”的（ ）条件 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件.8.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数y x z-=3的取值范围为（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,23 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,23 C ．[]6,1- D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,6 9.已知m ,n 为两个不相等的非零实数，则方程0=+-n y mx 与mn my nx =+22所表示 的曲线可能是（ ）A B C D 10. 已知a n =,把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状,a 1a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A(m,n)表示第m 行的第n 个数,则A(10,12)=( ) A.B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.在等比数列{}n a 中，11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则通项公式n a = . 12.向量a ＝（0，2，1），向量b ＝（－1，1，－2），则向量a 与向量b 的夹角为13.已知x ＞2，则y ＝21-+x x 的最小值是________．14.已知==∠=∆BC BAC AC ABC 则，的面积为,60,223.15.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________.三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16、（本小题12分）在等差数列{}n a 中,246,20a S ==. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设**122(),()(12)n n n n b n N T b b b n N n a =∈=+++∈-,求n T .17、（本小题12分）设命题p ：对任意实数x ，不等式x 2-2x ＞m 恒成立；命题q ：方程表示焦点在x 轴上的双曲线，（Ⅰ）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若命题“p 或q”为真命题，且“p 且q”为假命题，求实数m 的取值范围。
2014——2015学年下期期中试卷高二理科数学（时间：120分钟，满分：150分）一 、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.关于x 的方程2250x x -+=的一个根是12i -，则另一根的虚部为( ) A. 2i B. 2i - C. 2 D. 2- 2.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A. 3y x =B. ()ln y x =-C. x y xe -=D. 2y x x=+ 3.已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111122341n -+-++=-11(24n n +++1)2n ++时，若已假设(2n k k =≥为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A.1n k =+时等式成立B. 2n k =+时等式成立C.22n k =+时等式成立D. ()22n k =+时等式成立 4．下列推理是归纳推理的是( )A.A,B 为定点,动点P 满足|PA |+|PB |=2a >|AB |,则P 点的轨迹为椭圆B.由a 1=1,a n =3n -1,求出S 1,S 2,S 3,猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C.由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2,猜想出椭圆22221x y a b +=的面积S =πabD.以上均不正确5．已知函数()()y f x x R =∈上任一点00(,())x f x 处的切线斜率200(2)(1)k x x =-+，则该函数()f x 的单调递减区间为( )A.[1,)-+∞ B .(,2]-∞ C.(,1),(1,2)-∞- D.[2,)+∞6.在用反证法证明命题“已知,2a b c ∈、、（0），求证(2)(2)(2)a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，反证假设时正确的是( )A. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都小于1B. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都大于1C. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都不大于1D.以上都不对7.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛决出第1名到第5名的名次（无并列）.甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”.从这个人的回答中分析，5人的名次情况共有( ) A.54种 B.48种 C.36种 D.72种 8．设dx x x m ⎰-+=112)sin (3，则多项式6)1(xm x +的常数项( )A.45-B.45C.1615- D.16159．下面四个图象中，有一个是函数()()()3221113f x x ax a x a R =++-+∈的导函数()y f x '=的图象，则()1f -等于( )A ．13B ．－13C ．53D ．－13或5310.已知()ln xf x x=，且3b a >>，则下列各结论中正确的是( ) A.()2a b f a f ab f +⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B. )()2a b f ab f f b +⎛⎫<< ⎪⎝⎭C. ()2a b f ab f f a +⎛⎫<< ⎪⎝⎭D. ()2a b f b f f ab +⎛⎫<< ⎪⎝⎭11.函数()()()2242,20,02x x f x x x x ⎧--≤<⎪=-≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A ．1π+ B. 5π- C. 3π- D. 1π-12.函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈，都有()()2f x f x '>成立，若()ln 42f =，则不等式()2xf x e >的解是( )A. ln 4x >B. 0ln 4x <<C. 1x >D. 01x <<二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知()1cos f x x x =，则()2f f ππ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭．14.已知i 为虚数单位，则232015i i i i++++= ．15．已知函数()324()3f x x ax a a R =+-∈，若存在0x ，使()f x 在0x x =处取得极值，且()00f x =，则a 的值为 ．16．计算12323nn n n nC C C nC +++⋅⋅⋅+，可以采用以下方法： 构造等式：0122n n n n n n C C x C x C x +++⋅⋅⋅+()1nx =+，两边对x 求导， 得()112321231n n n n n n n C C x C x nC x n x --+++⋅⋅⋅+=+，在上式中令1x =，得1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋅⋅⋅+=⋅．类比上述计算方法，计算12223223n n n n n C C C n C +++⋅⋅⋅+= ．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）设,,,0.z a bi a b R b =+∈≠, 且1z zω=+是实数，且12ω-<<. (1)求z 的值及z 的实部的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数；18.（本小题满分12分）从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的雅典奥运冠军中选出6名作“夺冠之路”的励志报告．（1）若每个大项中至少选派一人，则名额分配有几种情况？（2）若将6名冠军分配到5个院校中的4个院校作报告，每个院校至少一名冠军，则有多少种不同的分配方法？19.（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274. （1）求()f x 的解析式；（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值.20.（本小题满分12分）已知函数()22ln f x x a x =+．（1）若函数()f x 的图象在()()2,2f 处的切线斜率为2，求函数()f x 的图象在()()1,1f 的切线方程；（2）若函数)(2)(x f xx g +=在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知()()()()20121111nnn x a a x a x a x +=+-+-++-，（其中*n N ∈）. （1）求0a 及12n n s a a a =+++；（2）试比较n s 与()2222n n n -⋅+的大小，并用数学归纳法给出证明过程.22.（本小题满分12分） 已知函数()()ln 1af x x a R x =+∈+ （1）当92a =时，如果函数()()g x f x k =-仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较()f x 与1的大小；（3）求证：()()*1111ln 135721n n N n +>++++∈+.高二 理科数学一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13. 3π-14.1- 15.3± 16. ()221-+n n n三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.【解析】（1）,,,0.z a bi a b R b =+∈≠22221()a b a bi a b i a bi a b a b ω⎛⎫∴=++=++- ⎪+++⎝⎭ω是实数，0b ≠，221a b ∴+=即||1z =,2,12a ωω=-<<z ∴的实部的取值范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭；………………………………5分（2）()()()()()2222111112111111a bi a bi z a bi a b bi bu i z a bi a bi a bi a a b --+-------=====-++++++-+++ 1,1,02a b ⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭u ∴为纯虚数. ……………………………………………………10分 18.【解析】（1）名额分配只与人数有关，与不同的人无关．每大项中选派一人，则还剩余两个名额，当剩余两人出自同一大项时，名额分配情况有144C =种，当剩余两人出自不同大项时，名额分配情况有246C =种． ∴有124410C C +=种． ……………………………………………………………………6分 (2)从5个院校中选4个，再从6个冠军中，先组合，再进行排列，有2243464564227800C C C C A A ⎛⎫⋅+⋅= ⎪⎝⎭种分配方法． ……………………………………………12分19.【解析】 (1)由(0)0f =得0c =， ………………………………………2分2()32f x x ax b '=++.由(0)0f '=得0b =， ………………………………………4分∴322()()f x x ax x x a =+=+，则易知图中所围成的区域(阴影)面积为27[()]4af x dx --=⎰从而得3a =-，∴32()3f x x x =-. ………………………8分 （2）由（1）知2()363(2)f x x x x x '=-=-.,(),()x f x f x '的取值变化情况如下：又(3)0f =,①当03m <≤时, max ()(0)0f x f ==；②当3m >时, 32max ()()3.f x f m m m ==- …………………………………………11分综上可知：当03m <≤时, max ()(0)0f x f ==；当3m >时, 32max ()()3.f x f m m m ==- …………………………………12分20.【解析】（1）()22222a x a f x x x x +'=+=，由已知()22f '=，解得2a =-.……2分 ()24ln f x x x ∴=-,()42f x x x'=-()11f ∴=,()12f '=-……………………………4分∴函数()f x 的图象在()()1,1f 的切线方程为()121y x -=--即230x y +-=. ……6分（2）由g(x)＝2x ＋x 2＋2aln x ，得g ′(x)＝－22x ＋2x ＋2a x， ……………………7分 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g ′(x)≤0在[1,2]上恒成立，即－22x ＋2x ＋2a x ≤0在[1,2]上恒成立．即a ≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．…………8分 令h(x)＝1x －x 2，在[1,2]上h ′(x)＝－21x －2x ＝－(21x＋2x)＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min ＝h(2)＝－72，所以a ≤－72．……………11分故实数a 的取值范围为{a|a ≤－72}. …………………………………………………12分21.【解析】（1）取1x =，则02n a =； ………………………………………………2分 取2x =，013n n a a a +++=，1232n n n n s a a a ∴=+++=- ……………………4分（2）要比较n s 与()2222n n n -⋅+的大小，即比较3n 与()2122n n n -⋅+的大小. 当1n =时， ()23122n n n n >-⋅+； 当2,3n =时， ()23122n n n n <-⋅+；当4,5n =时， ()23122n n n n >-⋅+； …………………………………………………6分猜想：当4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+，下面用数学归纳法证明：…………………7分 由上述过程可知，4n =时结论成立；假设当()4n k k =≥时结论成立，即()23122k k k k >-⋅+两边同乘以3得：()()()212123312622132442k k k k k k k k k k k ++⎡⎤>-⋅+=⋅+++-+--⎣⎦4k ≥时，()320k k ->，22442444420k k --≥⨯-⨯->，()2324420k k k k ∴-+-->()2113221k k k k ++∴>⋅++，即1n k =+时结论也成立.∴当4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+成立. …………………………………………11分综上所述，当1n =或4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+；当2,3n =时， ()23122n n n n <-⋅+.………………………………………12分22.【解析】（1）当92a =时，()()9ln 21f x x x =++，定义域是()0,+∞.()()()()()22212192121x x f x x x x x --'=-=++ 令()0f x '=，得12x =或2x =.……………………………………………………………2分 当102x <<或2x >时，()0f x '>，当122x <<时，()0f x '<，∴函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. …………………4分∴()f x 的极大值是132ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，极小值是()32ln 22f =+.当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，∴当()()g x f x k =-仅有一个零点时，实数k 的取值范围是()3,ln 23ln 2,2⎛⎫-∞+-+∞⎪⎝⎭.……………………………………………………………5分（2）当2a =时，()2ln 1f x x x =++，定义域是()0,+∞. 令()()21ln 11h x f x x x =-=+-+，则()()()222121011x h x x x x x +'=-=>++ ()h x ∴在()0,+∞上是增函数. …………………………………………………………7分 当1x >时，()()10h x h >=，即()1f x >；当01x <<时，()()10h x h <=，即()1f x <； 当1x =时，()()10h x h ==，即()1f x =；………………………………………………9分 （3）根据（2）的结论，当1x >时，2ln 11x x +>+，即1ln 1x x x ->+. 令*1k x k N k +=∈，，则有2ln 11x x +>+，即1111ln1211k k k k k k k+-+>=+++ ()231111ln 1ln ln ln123521n n n n +∴+=+++>++++， 即()()*1111ln 135721n n N n +>++++∈+.…………………………………………12分。
