09 第九章 直线相关与回归分析20130204

（7）应排除样本的间杂性对相关性的误导。
（8）分层资料不宜盲目合并进行相关分析。若将分层资料合并进行分析， 可能会出现各层内均不相关而合并后出现相关的假象，也可能本来各层内两变 量均有相关而合并后掩盖了其真实的相关性。因此，进行相关分析时，如果不 能确定各层研究对象具有同质基础，不宜盲目合并。
27
两变量间的相关分析——等级相关分析
rs
1
6d 2 n(n2 1)
28
两变量间的相关分析——等级相关分析
等级相关分析的基本概念

rs'
(n3 n) / 6 (TX TY ) d 2 (n3 n) / 6 2TX (n3 n) / 6 2TY

u rs n 1
29
两变量间的相关分析——等级相关分析 数值变量资料的等级相关分析
——相关的方向
7
两变量间的相关分析——直线相关分析 两个相关关系的图示（散点图）
y x
8
两变量间的相关分析——直线相关分析 直线相关分析的资料要求
9
两变量间的相关分析——直线相关分析 相关系数（直线相关关系的测度）
用以说明具有直线关系的两个变量间相关关系的密切程度和相关方向的指标 ， 称 为 相 关 系 数 （ correlation coefficient ） ， 又 称 为 积 差 相 关 系 数 （ coefficient of product-moment correlation），Pearson相关系数 。
31
本例：
rs1
10
6 42 (10 2 1)

0.746
两变量间的相关分析——等级相关分析 数值变量资料的等级相关分析

Page 6
2.相关的概念
➢当两个数值变量之间出现如下情况：当一个 变量增大，另一个也随之增大(或减少)，我 们称这种现象为共变，也就是有相关关系。
➢若两个变量同时增加或减少，变化趋势是同 向的，则两变量之间的关系为正相关 (positive correlation)；若一个变量增加时，另 一个变量减少，变化趋势是反向的，则称为 负相关(negative correlation)。
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➢H0：ρ＝0，两变量间无直线相关的关系；
➢H1：ρ≠0，两变量间有直线相关的关系；
➢a =0.05
t 0.9456 7.1196 1 0.94562
82
➢ν=8-2=6
➢以自由度为6查附表2的t界值表，得P<0.01， 按α=0.05的水准拒绝H0，接受H1，认为2岁 时的身高和成年身高之间存在正相关。
)
XY X Y / X 2 X 2 / n
n
lXY lXX
a Y bX
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最小二乘法求解(了解)
Q (Y Yˆ )2 (Y a bX )2 最小
根据微积分学中的求极值的方法，令 Q对a、
b的一阶偏导数等于0，即：
Q
a
n
2
i 1
Yi
a
bX i
0
Q b
n
2
i 1
Yi
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直线相关的概念
➢直线相关（linear correlation），又称简单相 关，用以描述两个呈正态分布的变量之间的 线性共变关系，常简称为相关。
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➢用以说明具有直线关系的两个变量间相关关 系的密切程度和相关方向的指标，称为相关 系数（correlation coefficient），又称为积差 相关系数（coefficient of product-moment correlation），Pearson相关系数 。

归直线的位置仅决定于 y 和b ；②当将坐标轴平移
到以(x ，y )为原点时，回归直线的走向仅决定于b，
所以一般又称b为回归斜率(regression slope）。
(二)直线回归方程的计算 [例9.1] 一些夏季害虫盛发期的早迟和春季温度高
低有关。江苏武进连续9年测定3月下旬至4月中旬旬
yˆ a bx
(9·1)
回归截距(regression intercept）：a是x=0时的
值，即回归直线在y 轴上的截距。
回归系数(regression coefficient）：b是x 每 增加一个单位数时，平均地将要增加(b＞0时)或 减少(b＜0时)的单位数。
Q

n
( y
squares due to deviation from regression)或剩 余平方和。
建立回归方程时用了a 和b 两个统计数，故Q 的自
由度 n 2
得
Q y yˆ2
sy x n 2 n 2
Q

(
y

yˆ )2

SS
y

(SP)2 SSx
=SSy-b(SP)
y x)2

(x x)(y (x x)2
y)

SP SS x
(9·3)
n
将(9·2)代入(9·1)可得：
yˆ (y bx) bx y b(x x)
(9·4)
y
①
②
③
x 直线回归方程的图象
①a>0,b<0 ②a>0,b>0 ③a<0,b>0
由(9·4)可看到：①当x以离均差(x - x )为单位时，回

∑ x ∑ y = 66.7857 xy −
n
b=
SPxy SS x
66.7857 = = 1.2500 53.2143
a = y − bx = 20.7714 − 1.2550 × 5.4286 = 13.9585
即回归方程为
ˆ y = 13 .9585 + 1 .2550 x
二、直线回归的显著性检验 − y ） = ∑ ( y （
2
即
ss y = ss回归 + ss离回归
计算式： 计算式：
Df总=n-1
SS y = ∑ y − y） （
2
的不同而引起的. 回归平方和简记作U，它是由x的不同而引起的 df回归=1
ˆ SS回归 = ∑( y − y ) =
ˆ y i 是α+βxi的估计值
回归方程的基本条件（性质）： 回归方程的基本条件（性质）： 性质1 性质1 性质2 性质2 性质3 性质3
ˆ 最小； Q = ∑( y − y)2 = 最小；
ˆ ∑( y − y) = 0
； 。
回 归 直 线 通 过 点 (x, y)
2
ˆ Q = ∑( yi − yi ) = ∑[ yi − (a + bxi )]
在相关模型中， 在相关模型中，其x和y变量是平行变化 变量是平行变化 关系，不能区别哪一个是自变量， 关系 不能区别哪一个是自变量，哪一个 不能区别哪一个是自变量 是依变量。 是依变量。 相关分析目的：确定两个变量在数量关 相关分析目的： 系上的密切程度和性质。 系上的密切程度和性质。不能用一个或多 个变量去预测、控制另一个变量的变化。 个变量去预测、控制另一个变量的变化。
∑y
2
= 3104.20