椭圆定值定点、范围问题总结

椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解； （3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。

一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a -c （近日点）。

推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 12222>>=+b a by a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -，2201)(||y c x PF ++=，由 1220220=+b y a x 得)1(22020ax b y -=，将其代入 20201)(||y c x PF ++=并化简得a x acPF +=01||。

所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a acPF +=+⋅=max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。

c a a a acPF -=+-⋅=)(||min 1。

当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。

1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 1222=+y x 上两个 不同的点A 、B 关于直线21+=mx y 对称。

（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）。

解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为b x my +-=1。

联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+bx m y y x 11222，消y 去，得012)121(222=-+-+b x m b x m 。

因为直线b x my +-=1与椭圆 1222=+y x 有两个不同的交点， 所以042222>++-=∆m b 。

椭圆中的定点定值问题椭圆是一个非常重要的几何概念，在数学和物理学中广泛应用。

它具有许多有趣的性质和特征。

其中之一就是定点定值问题。

在这篇文章中，我将探讨椭圆中的定点定值问题，并介绍一些相关的理论和应用。

首先，我们需要了解什么是椭圆。

一个椭圆可以定义为到两个固定点的距离之和等于定值的所有点的集合。

这两个固定点被称为焦点，而定值则被称为焦距。

椭圆还具有一个重要的性质，即焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数。

在椭圆中的定点定值问题中，我们考虑的是在椭圆上选择一个特定的点，并确定其到椭圆上的其他点的距离之和。

这个距离之和被称为点的性质或特征。

一个经典的例子是在椭圆上选择一个点P，然后求它到椭圆上的两个焦点的距离之和。

这个距离和被称为离心率。

离心率是椭圆的一个重要参数，它描述了椭圆的扁平程度。

当椭圆近似于圆形时，离心率接近于零；当椭圆非常扁平时，离心率接近于一。

除了离心率，我们还可以通过其他的定点定值问题来描述椭圆的性质。

例如，我们可以选择一个点P，并求它到椭圆上的任意一点的距离之和。

这个距离和等于椭圆的周长。

通过计算周长，我们可以比较不同椭圆之间的大小和形状。

在实际应用中，椭圆的定点定值问题具有广泛的应用。

例如，在椭圆曲线密码学中，椭圆上的点被用作密码算法的基础。

通过选择不同的定点定值问题，我们可以生成不同的加密和解密算法，从而实现安全的通信和信息传输。

此外，在计算机图形学和机器视觉中，椭圆的定点定值问题也扮演着重要的角色。

通过选择合适的定点定值问题，我们可以用椭圆来描述和识别不同的图像和对象。

这在图像处理和模式识别中具有重要的应用。

总结起来，椭圆中的定点定值问题是数学和物理学中一个有趣而重要的研究领域。

通过选择不同的点和定值，我们可以揭示椭圆的许多性质和特征。

这些性质和特征在许多领域中都有广泛的应用，包括密码学、计算机图形学和机器视觉等。

因此，研究定点定值问题对于我们深入理解椭圆的本质和应用具有重要意义。

椭圆曲线中的定点定值问题的四种方法
椭圆曲线密码学是现代密码学领域中的一个重要分支，其核心是解决椭圆曲线上的定点定值问题。

本文将介绍椭圆曲线中的定点定值问题及其四种常用解决方法。

定点定值问题是指给定一个椭圆曲线上的点P和整数k，求kP 的值。

下面将介绍四种方法来解决这个问题：
1. 变形重复平方算法（Double-and-Add Algorithm）：这是最简单和直观的方法，通过将k表示为二进制形式，并根据位的值来迭代地进行计算。

当某一位为1时，将点P加到结果上；当某一位为0时，将点P进行加法运算。

该算法的时间复杂度为O(log(k))。

2. NAF （Non-Adjacent Form）方法：在变形重复平方算法的基础上，在k表示为二进制时可以选择使用加1或减1的方式，使得连续1的位数尽可能少。

这样可以减少加法运算的次数，进而提高效率。

3. 有穷域上的运算法则：将椭圆曲线上的点坐标和系数限定在一个有限域中，通过定义该有限域上的加法和乘法运算法则来求解定点定值问题。

这种方法在实际应用中经常使用，可以利用有限域运算的高效性。

4. 同态映射方法：根据椭圆曲线的同态性质，将定点定值问题转化为其他更容易求解的问题，并利用同态映射的特性进行计算。

这种方法具有较高的复杂性和灵活性，适用于特定的情况。

通过掌握这四种方法，我们可以更好地理解和应用椭圆曲线密码学中的定点定值问题。

根据实际情况选择合适的方法可以提高计算效率和保证系统的安全性。

椭圆定点定值问题
椭圆的定点定值问题是指给定一个椭圆和一个定点，在这个椭圆上找到一个点，使得这个点到给定定点距离等于给定值。

具体来说，设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} = 1$ ，给定定点为 $(h,k)$ ，给定值为 $d$ ，
求点 $(x,y)$ 满足 $\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = d$ 。

为了解决这个问题，可以将椭圆方程代入距离方程，得到
$ \sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = d$ ，展开并平方，得到 $ (x-h)^2 + (y-k)^2 = d^2$ 。

将椭圆标准方程 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 代入
上式，可得 $ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = d^2$ 。

进一步整理，并消去分母，得到 $ b^2(x-h)^2 + a^2(y-k)^2 =
a^2b^2d^2$ 。

这个方程实际上是一个椭圆，其长轴和短轴分别为 $2a$ 和
$2b$ ，定点为 $(h,k)$ ，到定点距离之和为 $2d$ 。

因此，解
决椭圆的定点定值问题就转化为了找到满足这个新椭圆方程的点。

具体求解这个椭圆方程可能需要使用数值方法或者图形方法，先确定椭圆的长轴和短轴长度，然后在椭圆上画出定点，并找到到定点距离之和为给定值的点。

椭圆中的定点和定值问题作者：张晓帆来源：《新课程·下旬》2019年第09期在椭圆问题中，部分几何量和参数无关，不会随着参数大小的改变而改变，而定点和定值这两个几何量和参数无关，这就构成了椭圆中的定点和定值问题。

解决此类问题的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，然后根据等式恒成立、等式变形、数式变换等寻找不受参数影响的量。

解决椭圆定点定值问题不仅能培养学生科学探究和逻辑思维的能力以及科学的学习态度和坚持不懈的学科精神，也培养了学生勇于创新、求真求实的思想品质。

本文给出椭圆中定点和定值问题的解题策略，希望对广大师生有所帮助。

类型一：定点问题策略：合理选择参变量证明直线恒过定点问题评注：本题要求证明直线恒过定点问题，为了利用好两直线斜率之和为-1的条件，需设出B、C两点的坐标，从而表示出两条直线的斜率。

而在设参数问题的选取上，常用的方案有两种，设直线或者设点，本题中，两者兼具，只有合理选择参数，才能减少运算量，进而求出定点的坐标。

在本题第2小题的解题过程中，也有不少学生采用联立消去x的方法进行求解，这种方法则涵盖了斜率不存在的情况，同样值得肯定。

而在课堂上，我也投影展示了这两种不同的方法，并对这两种方法进行了及时的肯定。

学生在进行方法选择的同时也锻炼了自身的科学探究和逻辑思维的能力。

反思与感悟要解决椭圆中的定点问题，若题设条件中给出定点坐标，则应合理选择参变量进行验证;若题设并未给出定点坐标，则首先需要确定定点的坐标，常用的方法是利用从特殊到一般的数学思想方法，先通过符合题设条件的一些特殊情况确定定点的坐标，找到这个定点，明确解决问题的方向与目标，然后再进一步探究和推导，得出一般情况下的结论。

类型二：定值问题策略：用点坐标作為参变量代入化简计算定值例1（普陀区2018.12高三模拟）评注：本题探究两条直线斜率的关系，选择用椭圆上任意一点的坐标作为参变量，利用直线斜率的坐标公式，表示出两条直线的斜率，从而表示出其乘积。

椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1。

设直线与方程；（提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）2。

设交点坐标;（提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求")3.联立方程组；4.消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单)5。

根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在)OA OB ⊥121K K •=-0OA OB •=12120x x y y +=②“点在圆内、圆上、圆外问题"“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y +>等;③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（120K K +=或12K K =）；④“共线问题”（如：AQ QB λ=数的角度：坐标表示法；形的角度:距离转化法）；(如:A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；⑤“点、线对称问题"坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择）；6。

化简与计算；7。

细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0。

二、基本解题思想:1、“常规求值”问题：需要找等式,“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在"问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零,求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值）、三角代换法(转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施.这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型:在几何问题中,有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。

椭圆题型概括一、知识总结1.椭圆的定义：把平面内与两个定点F1 , F2的距离之和等于常数（大于F1 F2）的点的轨迹叫做椭圆 .这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为 2c) .2.椭圆的标准方程：x 2 y 21（ a ＞b＞0）y 2 x 21 （ a ＞b＞0）a 2b 2 a 2 b2y yM F 2cc cO c xF 1 O F 2 x MF 1焦点在座标轴上的椭圆标准方程有两种情况，可设方程为 mx2 ny2 1(m 0, n 0) 不用考虑焦点地点，求出方程。

3.范围 . 椭圆位于直线 x＝± a 和 y＝± b 围成的矩形里． |x|≤a，|y|≤ b．4.椭圆的对称性椭圆是对于 y 轴、 x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．5.极点椭圆有四个极点： A1(－a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, －b)、B2(0, b)．线段 A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。

长轴的长等于 2a. 短轴的长等于 2b.|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝ |B 2F 1|＝ |B 2F 2|＝a ．在 Rt △OB 2F 2 中， |OF 2|2＝ |B 2F 2|2－|OB 2|2，即 c 2＝a 2－b 2．yB 2A 1ba A 2cF 2xF 1 OB 16.离心率 ec(0 e 1)a7. 椭圆x 2y 2 1 (a ＞ ＞ 0) 的左右焦点分别为 1， F 2 ，点 P 为椭圆上随意一点a 2b 2 bFF 1PF 2，则椭圆的焦点角形的面积为SFPF2b 2 tan .128. 椭圆x 2y 2 1 （ ＞ ＞ ）的焦半径公式a 2b 2 a b 0| MF 1 | a ex 0 , | MF 2 | a ex 0 ( F 1( c,0) , F 2 (c,0) M ( x 0 , y 0 ) ).9. AB 是椭圆x 2y 2 1的不平行于对称轴的弦 ， Ma 2b 2(x 0 , y 0 ) 为 AB 的中点，则kOMkABb 2 ，即K ABb 2 x 0 。

椭圆中有关的取值范围问题【目标导航】求解最值，可直接求导. 但是解析几何中的最值，直接求导，暴力求解最值的较少，更多的是化简函数表达式，根据结构采用基本不等式(无法取等的时候就求导来解决)来求解最终的最值(或者值域)，必然要有定义域，所以寻找函数的定义域是非常重要的，而解析几何中直线和曲线联立(曲直联立)以后的关于x(或者y)的一元二次方程有解，判别式就是很重要的一个点，也就是定义域的一个重要来源，有些题目甚至是唯一来源．与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。

线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。

与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标，通过数量积转化为函数问题，然后运用基本不等式或者求导研究最值。

与面积有关的最值问题通常建立起面积的目标函数，可以通过公式B acC ab sh s sin 21sin 2121===求解。

然后通过基本不等式或者求导研究函数的最值问题。

【例题导读】例1、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线P A 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .①当直线P A 的斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程； ②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值．例3、如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，右准线方程为x ＝4，过点P(0，4)作关于y 轴对称的两条直线l 1，l 2，且l 1与椭圆交于不同两点A ，B ，l 2与椭圆交于不同两点D ，C.(1) 求椭圆M 的方程；(2) 证明：直线AC 与直线BD 交于点Q(0，1)；(3) 求线段AC 长的取值范围．例4、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．。

椭圆中的“定”五、一般结论30. 已知点()()0,0000≠y x y x A 是椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 上一定点，过点A 的两直线21,l l 与椭圆C 的另一个交点分别为Q P 、，直线21,l l 的斜率分别为21,k k .（1）若2221a b k k =⋅，直线PQ 的斜率为定值00x y -.反之亦然. （2）若021=+k k ，直线PQ 的斜率为定值0202x a y b .反之亦然. 31.椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的动弦BC 的两端点与椭圆上定点()00,y x A 连线的斜率存在，若斜率之积为定值()122≠m m a b ，则直线BC 必定过定点()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+11,1100m m y m m x M . 32.椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的动弦BC 的两端点与椭圆上定点()00,y x A 连线的斜率存在，若斜率之和为定值()02≠n n a b ，则直线BC 必定过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000,y x an b y bn a x N . 33.（1）一条经过点()0,m M 的直线l 与椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 交于B A ,两点，作A 关于长轴的对称点A ',则直线A B'过定点2,0a T m ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）一条经过点()()0,M m b m b -<<的直线l 与椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 交于,P R 两点，设点20,b Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则PQM RQM ∠=∠.34.（1）过椭圆C 的左（右）准线上任意一点N 作椭圆的切线，切点为B A ,，则直线AB 必过椭圆的左（右）焦点，反之，当圆锥曲线的焦点弦AB 绕焦点F 运动时，过弦的端点,A B 的两切线交点的轨迹为F 对应的准线.（2）过椭圆C 的左（右）准线上任意一点N 作椭圆的切线，切点为A ，则以NA 为直径的圆过椭圆的左（右）焦点，即090NFA ∠=.35.过点()00,P x y 作直线交12222=+by a x C ：()0>>b a 于,A B 两点，点,P Q 在椭圆的异侧且点Q 在直线AB 上，若A P Q B A Q P B =，则点Q 在定直线00221x x y y a b+=上.36.已知()00,P x y 是椭圆 2222:1x y E a b+=外一点，过点P 作椭圆的切线，切点为,A B ，再过P 作椭圆的割线交椭圆于,M N ，交AB 于点Q ，令111,,s t u PM PN PQ===，则,,s t u 的关系是2s t u +=.37.自()00,P x y 点作椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的两条切线，切点分别为12,P P ，则切点弦12PP 的方程为00221x x y y a b+=：.38.过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()000,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=.39. （1）过圆2222x y a b +=+上任意一点作椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 的两条切线，则这两条切线相互垂直.反之，作椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的两条相互垂直的切线，则切线交点一定在圆2222x y a b +=+上.（2）过圆2222x y a b +=+上任意一点P 作椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的两条切线,PA PB ,,A B 为切点，中心O 至切点弦的距离为1d ，P 点至切点弦的距离为2d ，则221222a b d d a b =+.40.在椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆。