0208离散型随机变量的期望与方差.ppt

02
离散型随机变量的期望
期望的定义与性质
定义
离散型随机变量的期望定义为所 有可能取值的概率加权和，即 $E(X) = sum x_i times P(X=x_i)$。
性质
期望具有线性性质，即$E(aX+b) = aE(X)+b$，其中$a$和$b$为 常数。
期望的运算性质
01
交换律
$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
离散型随机变量具有可数性、确定性和随机性等性质，其取值范围称 为样本空间，记为Ω。
离散型随机变量的分类
03
伯努利试验
在n次独立重复的伯努利试验中，每次试 验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p 。例如，抛硬币、摸彩等。
二项分布
泊松分布
在n次独立重复的伯努利试验中，成功的 次数X服从参数为n和p的二项分布，记为 B(n,p)。例如，抛n次硬币，出现正面的 次数。
方差的定义与性质
方差的定义
方差是用来度量随机变量取值分散程 度的量，计算公式为$D(X) = E[(X E(X))^2]$，其中$E(X)$表示随机变 量$X$的期望值。
方差的基本性质
方差具有非负性，即对于任意随机变 量$X$，有$D(X) geq 0$；当随机变 量$X$取常数$c$时，方差$D(X) = 0$ 。
益。
投资决策
在保险公司的投资决策中，离散 型随机变量的期望和方差可以用 来评估不同投资组合的风险和回 报，帮助保险公司做出更明智的
投资决策。
在决策理论中的应用
风险偏好
离散型随机变量的期望和方差可以用来描述个人的风险偏好，通过比较不同决策方案的期望和方差， 个人可以做出更明智的决策。

方差的基本性 质
方差是正数或零，无负值；方差越大， 随机变量的取值越分散；两个随机变 量的方差相等，则它们是同方差。
方差的计算
方差的计算公式
方差=E[(X-E[X])^2]，其中E[X]表示随机变量X的期望。
方差的简化计算
对于离散型随机变量，方差可以简化为方差=1/n Σ(xi-μ)^2，其中xi表示随机 变量X的取值，μ表示随机变量X的期望，n表示随机变量X的取值个数。
离散型随机量的期望与方 件
目录
• 离散型随机变量的期望 • 离散型随机变量的方差 • 离散型随机变量的期望与方差的关系 • 离散型随机变量的期望与方差的计算
实例 • 离散型随机变量的期望与方差在概率
论中的应用
01
离散型随机量的期望
定义与性质
期望的性质 2. 期望是一个可计算的数值，与概率分布中的权值
01
02
03
04
方差是用来度量随机变量取值 分散程度的数学概念。
方差越大，说明随机变量的取 值越分散；方差越小，说明随
机变量的取值越集中。
方差与标准差是两个紧密相关 的概念，标准差是方差的平方
根。
方差在概率论中有很多重要的 应用，例如在金融、统计学、
机器学习等领域。
期望与方差在金融风险控制中的应用
期望的性质与用途
3. 期望的计算公式是一个加权平均值。 期望的用途
1. 期望是评估一个随机变量取值水平的指标。
期望的性质与用途
01
2. 期望可以用于预测随机变量的 未来取值。
02
3.期望可以用于计算其他统计量， 如方差、协方差等。
02
离散型随机量的方差
方差的定义与性质
方差的定 义

第 4 讲 离散型随机变量的期望与方差
1．离散型随机变量的均值和方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … Xn P p1 p2 … pi … pn 则称 E(X)＝_x_1_p_1_＋__x_2p_2_＋__…___＋__x_ip_i_＋__…__＋__x为np随n 机变量 X 的
(1)求甲选手回答一个问题的正确率； (2)求选手甲可进入决赛的概率；
第二十页，编辑于星期六：七点 三十分。
(3)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列， 并求ξ的数学期望．
误解分析：(1)第(2)问进入决赛的概率可分为答了 3 题，答 了 4 题，答了 5 题三种情况才进入决赛，在处理后两情况时容 易忽略对最后一次答题情况的思考，例如在处理答了 4 题进入 决赛的情况时，学生容易处理成 C3423313，实际上若答了 4 题 进入决赛，隐含着第四次肯定答对，前三次中答对两次，答错 一次．
因此有分布列：
ξ
3
4
5
P
1 3
10 8 27 27
故 E(ξ)＝3×13＋4×1207＋5×287＝12077.
第二十三页，编辑于星期六：七点 三十分。
【互动探究】 3．某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行 5 次统一 测试，学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学 继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加 5 次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间 间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． (1)求该学生考上大学的概率； (2)如果考上大学或参加完 5 次测试就结束，记该生参加测 试的次数为 ξ，求 ξ 的分布列及 ξ 的数学期望．
第七页，编辑于星期六：七点 三十分。

因为D(XA)<D(XB),所以A种钢筋质量较好.
反思在解决此类实际问题时,应先比较均值,均值较大的质量好.
若均值相等,再比较方差,方差较小的数据较稳定,质量较好.
题型三 离散型随机变量方差的综合应用
【例3】 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据
市场分析,X1和X2的分布列分别为
100
4
2
2
2 [x
100
4
=


100 1
+3(100-x) ]
2
2
2 (4x -600x+3×100 ).
100
600
当 x=2×4=75 时,f(x)=3 为最小值.
反思解均值与方差的综合问题时需要注意:
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差三个是紧密联系的,一
般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列;
(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立
事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计
算;
(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一
些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、超几何分布或二项分
布可直接利用对应公式求解.
题型四
易错辨析
易错点:对方差性质掌握不准确致错
错因分析忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械
地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,
∴a=0.3.
∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.