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第四讲 椭圆教学目标：理解椭圆的概念；掌握椭圆的标准方程；理解椭圆的性质教学重点：椭圆概念的理解；椭圆标准方程的求解；椭圆离心率等性质的掌握 教学难点：标准方程的求解；椭圆性质的应用 教学过程：一、知识要点： 1、椭圆的概念：“一动两定〞到两个定点的距离和等于定长的动点轨迹〔定长大于定点距离〕2、椭圆的标准方程：焦点在x 轴22a x ＋22by ＝1〔a ＞b ＞0〕在y 轴22y a ＋22x b ＝1〔a ＞b ＞0〕二、基础自测1、F 1F 、2是椭圆162x +92y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，那么△MNF 2的周长为___________。
2、如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值X 围是___________。
3、椭圆中心在原点，一个焦点为F 〔-0〕，且长轴长是短轴长的2倍，那么该椭圆的标准方程为____________4、点P 在椭圆252x +92y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，那么点P 的横坐标是___________。
5、椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，那么|2PF |等于___________。
6、椭圆标准方程为162x +2yk=1，那么其离心率=__________,渐近线为___________三、例题精讲题型一、概念，基本量例1、〔2009〕椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，假设1||4PF =，那么2||PF =；12F PF ∠的大小为.[解析]此题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运算的考查. ∵229,3a b ==，∴22927c a b =-=-=， ∴1227F F =，又1124,26PF PF PF a =+==，∴22PF =，又由余弦定理，得()2221224271cos 2242F PF +-∠==-⨯⨯，∴12120F PF ︒∠=，故应填2,120︒.例2、设F 1，F 2是椭圆22194x y +=大的两个焦点，P 为椭圆上一点，P ，F 1，F 2是一个直角三角形的顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求12||||PF PF 的值题型二、求椭圆方程例3、(1)椭圆中心在原点，长轴是短轴的3倍，并且过点P 〔3，0〕，求椭圆的方程 〔2〕椭圆的中心在原点，且经过点12(6,1);(3,2)P P --,求椭圆方程，例4、〔2009某某卷理〕巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，那么椭圆G 的方程为．解析：23=e ，122=a ，6=a ，3=b ，那么所求椭圆方程为193622=+y x . 变式：假设椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的距离的最小值为3题型三：性质及其应用例5．F 1，F 2F 1，当 〔1〕PO ∥AB 〔O例6、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且120PF PF = 试求该椭圆的离心率e 的取值X 围。
高二数学公开课教案：椭圆性质的运用曾木顺三维目标1、知识与能力(1)通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径． 2、过程与方法理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的简单几何性质解决实际问题； 3、情感、态度与价值观目标通过知识的运用及问题的解决，培养学生学习数学的兴趣。
4.教学重、难点：（1）教学重点：椭圆的方程及其几何性质的运用 （2）教学难点：灵活运用椭圆的几何性质5.本节所用的数学思想方法：数形结合的思想方法，化归思想方法。
教学过程：（一）复习引入：椭圆的简单几何性质如下标准方程)0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a b x a y 图形范围 -a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b, -a ≤y ≤a对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称顶点坐标（±a ,0）(0,±b )(±b ,0),(0,±a )（二）进行新课例1：已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为23，点A ，B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端点，点O 到直线AB 的距离为556。
（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点E （3，0），设点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，满足EP ⊥EQ ，求⋅的取值范围。
【分析】本题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及计算能力。
2.2.2 椭圆形至及其应用 1．一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为( ) A.x 24＋y 29＝1 B.x 29＋y 24＝1 C.x 24＋y 2
13＝1 D.x 213＋y 24
＝1 2．椭圆x 225＋y 2
9
＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( ) A ．8,2 B ．5,4 C ．9,1 D ．5,1
3．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32
，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 2
4
＝1 C.x 216＋y 212
＝1 D.x 216＋y 2
3＝1
4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.12
B.32
C.34
D.64
5．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为
32
，且G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．
6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63.过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32
，求椭圆的标准方程．
8.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标
等于短半轴长的23
，求椭圆的离心率．
9．设P (x ，y )是椭圆x 225＋y 2
16
＝1上的点且P 的纵坐标y ≠0，点A (－5,0)、B (5,0)，试判断k P A ·k PB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a <2
B ．a <－2或a > 2
C ．－2<a <2
D ．－1<a <1
2．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4
＝1的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定
3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A ．3 2
B ．26
C ．27
D ．4 2
4．过椭圆x 225＋y 2
9
＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( ) A ．5 B ．6 C.9017
D ．7 5．过椭圆x 25＋y 2
4
＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．
6．若倾斜角为π4的直线交椭圆x 2
4
＋y 2＝1于A ，B 两点，则线段AB 的中点的轨迹方程是________________．
7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32
，短轴一个端点到右焦点的距离为2. (1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P 是该椭圆上的一个动点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，求PF 1→·PF 2→的最大值与最小值．
8．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.
(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．
9．(10分)如图，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，x 轴
被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的长半轴长．
(1)求C 1，C 2的方程．(2)设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E .证明：MD ⊥ME .。
