天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学文试题
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天津一中2012-2013学年高三年级二月考
数学试卷（文）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.如果复数212aii的实部和虚部互为相反数，那么实数a等于
A．2 B．2 C．23 D．23
【答案】D
【KS5U解析】2(2)(12)22(4)22412(12)(12)555aiaiiaaiaaiiii，因为实部和虚部为相反数，则有224=055aa，解得23a，选D.
2. 设,mn是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．给出下列四个命题：
①若m⊥，//n，则mn； ②若,，则//；
③若//,//mn，则//mn； ④若//,//,m，则m．
其中正确命题的序号是
A． ①和② B． ②和③ C．③和④ D．①和④
【答案】D
【KS5U解析】根据线面垂直的性质可知①正确。②中两个平面，不一定平行，所以错误。③平行于同一个平面的直线可能会相交或异面，所以错误。④正确。
3. 在正三棱锥PABC中，,DE分别是,ABAC的中点，有下列三个论断：
①PBAC；②AC//平面PDE；③AB平面PDE，其中正确论断的个数为 （ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】C
【KS5U解析】过P做POABC于O，则POAC，又正三角形中BEAC，所以ACPBE，ACPB所以①正确，②错误。因为AB与AC相交，所以③不正确，所以正确的论断有1个，选C. 4. 数列{na}中，12,111nnaaa且，则{na}的通项为 （ ）
A．21n B．n2 C．n2＋１ D．12n
【答案】A
【KS5U解析】由121nnaa得11222(1)nnnaaa，所以数列{1}na是以2q为公比，首项为112a的等比数列，所以11222nnna，所以21nna，选A.
5.在ABC中,若cos4cos3AbBa,则ABC是
A．等腰或直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．钝角三角
【答案】C
【KS5U解析】由cos4cos3AbBa和正弦定理可得cossincossinABBA，即sincossinAABB，所以sin2sin2AB，所以22AB或22AB，即AB或2AB，即2C。又43ba，所以ab，即AB，所以ABC是直角三角形，选C.
6.为得到函数cos(2)3yx的图像，只需将函数sin2yx的图像
A．向左平移5π12个长度单位 B．向右平移5π12个长度单位
C．向左平移5π6个长度单位 D．向右平移5π6个长度单位
【答案】A
【KS5U解析】因为sin2cos(2)c22yxxx，55cos(2)cos(2)cos[2()]362122yxxx，所以只需将函数sin2yx的图像向左平移5π12个长度单位，即可得到cos(2)3yx的图象，选A.
7.数列na的首项为3，nb 为等差数列且1(*)nnnbaanN .若则32b，1012b，则8a
A．0 B．3 C．8 D．11
【答案】B
【KS5U解析】 8.定义在(0,)上的可导函数()fx满足：()()xfxfx且(1)0f,则()0fxx的解集为 （ ）
A．(0,1) B．(0,1)(1,) C．(1,) D．
【答案】C
【KS5U解析】因为2()'()()[]'fxxfxfxxx，所以当0x时，2()'()()[]'0fxxfxfxxx，即函数在(0,)上单调递减，又(1)0f，所以(1)01f，所以不等式()0fxx解为1x，即不等式的解集为(1,)，选C.
二、填空题（每小题5分，共30分）
9. 若某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是______．
【答案】2
【KS5U解析】由三视图可知该几何体是底面为直接梯形的四棱锥。四棱锥的高是2，底面梯形的面积为(12)232，所以四棱锥的体积为13223。
10.设na为公比1q的等比数列，若2004a和2005a是方程24830xx的两根，则20062007aa______．
【答案】18
【KS5U解析】由题意知200420052aa，2004200534aa，所以2004200513,22aa，所以200520043aqa，所以222006200720042005()2318aaaaq。
11. 设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa______．
【答案】45
【KS5U解析】在等差数列中，36396,,SSSSS也成等差数列，即39663()2()SSSSS，所以9663232363945SSSS. 12.O是平面上一点，CBA,,是平面上不共线三点，动点P满足()OPOAABAC，12时， 则()PAPBPC的值为______．
【答案】0
【KS5U解析】当12时，1()2OPOAABAC，即1()2OPOAABAC，所以1()2APABAC，即P是BC的中点。所以0PBPC，所以()0PAPBPC
13. 求函数2()sin3sincosfxxxx在区间,42上的最大值______．
【答案】32
【KS5U解析】21cos23()sin3sincossin222xfxxxxx
3111sin2cos2sin(2)22262xxx。
因为42x，所以5222366xx，，所以当262x时，函数取得最大值为13122。
14. 如图，二面角l的大小是60°，线段AB.Bl，
AB与l所成的角为30°.则AB与平面所成的角的正弦值是 .
【答案】34
【KS5U解析】过A做,AOACBC连结,OBOC，则ACO为二面角的平面角，即60ACO，AB与平面所成的角为ABO，因为=30ABC，设1AC，则322ABAO，，所以332sin24AOABOAB。
三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分） 15．在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知32cos()cos22ABC，39c，且9ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．
ks5u
16．在直三棱柱111ABCABC中，1111ABAC，DE，分别是棱1BCCC，上的点（点D 不同于点C），且ADDEF，为11BC的中点．求证：（1）平面ADE平面11BCCB；
（2）直线1//AF平面ADE．
17．设数列}{na的前n项和为Sn=2n2，}{nb为等比数列，且.)(,112211baabba
（Ⅰ）求数列}{na和}{nb的通项公式；（Ⅱ）设nnnbac，求数列}{nc前n项和Tn.
18. 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
2,2.CACBCDBDABAD
（Ⅰ）求证：AO平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（III）求点E到平面ACD的距离．
19．已知数列{}na的前n项和nS和通项na满足1(1)2nnSa.
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；(Ⅱ) 求证：12nS；（Ⅲ）设函数13()logfxx，CADBOE12()()()nnbfafafa，求1231111...nnTbbbb.
20．已知函数xaxxfln)(2在]2,1(是增函数,xaxxg)(在(0,1)为减函数.
（I）求)(xf、)(xg的表达式；（II）求证:当0x时,方程2)()(xgxf有唯一解；
（Ⅲ）当1b时,若212)(xbxxf在x∈]1,0(内恒成立,求b的取值范围.
参考答案：
一、选择题：
DDCACABC
二、填空题（每小题5分，共30分）
9． 2 10． 18
11． 45 12． 0
13． 32 14． 34
三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）
15．解：（Ⅰ）由已知得232cos2cos12CC， …………………………… 3分
所以24cos4cos10CC，解得1cos2C，所以60C． ………… 6分
（Ⅱ）由余弦定理得2222coscababC，即2239abab ①，
又9ab，所以22281abab②，由①②得14ab， …10分
所以△ABC的面积11373sin142222SabC． ………………13分
16．解：∵111ABCABC是直三棱柱，∴1CC平面ABC, 又∵AD平面ABC，∴1CCAD,
又∵1ADDECCDE，，平面111BCCBCCDEE，，∴AD平面11BCCB, 又∵AD平面ADE，∴平面ADE（2）∵1111ABAC，F为11BC的中点，∴111AFBC,
又∵1CC平面111ABC，且1AF平面111ABC，∴11CCAF,
又∵111 CCBC，平面11BCCB，1111CCBCC，∴1AF平面111ABC,ks5u
由（1）知，AD平面11BCCB，∴1AF∥AD,
又∵AD平面1, ADEAF平面ADE，∴直线1//AF平面ADE.
