北师大版高中数学必修1模块综合测试卷(一)

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模块综合评估(一)

时限：120分钟 满分：150分

一、选择题(每小题5分，共50分)

1．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则( )

A．M⊆N B．N⊆M

C．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝{1,4}

解析：根据集合M，N的元素可知，二者没有包含关系，故A，B都不正确；M∩N＝{1,2,3}∩{2,3,4}＝{2,3}，故C正确；M∪N＝{1,2,3,4}，故D不正确．

答案：C

2．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的个数为( )

①1∈A；②{－1}∈A；③∅⊆A；④{1，－1}⊆A.

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：集合A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，则1∈A，∅⊆A，{1，－1}⊆A，即①③④正确

答案：C

3．(2012·山东卷)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为( )

A．{1,2,4} B．{2,3,4}

C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}

解析：易得∁UA＝{0,4}，从而(∁UA)∪B＝{0,2,4}．

答案：C

4．下列等式中，正确的是( )

A.4a4＝a B.6－22＝3－2

C．a0＝1 D.102－15＝(2－1)12 word格式-可编辑-感谢下载支持

解析：4a4＝|a|，故A不正确；∵6－22>0，3－2<0，

∴6－22≠3－2，B不正确；若a＝0，则a0没有意义，C不正确；∵2>1，∴102－15＝(2－1)510＝(2－1)12，

∴D正确，选D.

答案：D

5．设f(x)＝ 2ex－1，x<2log32x－1，x≥2，则f[f(2)]＝( )

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：∵f(2)＝log3(22－1)＝1，

∴f[f(2)]＝f(1)＝2e1－1＝2.

答案：C

6．已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图像可能是( )

解析：f(x)＝ax与g(x)＝logax有相同的单调性，排除A，D；又当a>1时，f(3)·g(3)>0，排除B，当0

答案：C

7．下列函数在(0，＋∞)上是增函数并且是定义域上的偶函数的是( )

A．y＝x 23 B．y＝12x

C．y＝lnx D．y＝x2＋2x＋3 word格式-可编辑-感谢下载支持

解析：y＝12x与y＝lnx不具有奇偶性，排除B、C；又y＝x2＋2x＋3对称轴为x＝－1，不是偶函数，排除D；y＝x 23 在(0，＋∞)上是增函数且在定义域R上是偶函数，选A.

答案：A

8．函数y＝x2－3在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是( )

A．1.55 B．1.65

C．1.75 D．1.85

解析：经计算知函数零点的近似值可取为1.75.

答案：C

9．(2012·天津改编)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )

A．y＝|lgx|，x∈(0，＋∞)

B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0

C．y＝ex－e－x2，x∈R

D．y＝x3＋1，x∈R

解析：显然y＝|lgx|，x∈(0，＋∞)的定义域关于原点不对称，因此不具有奇偶性；依据y＝log2|x|，x∈R且x≠0的图像可得它既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数；y＝ex－e－x2，x∈R是奇函数；y＝x3＋1，x∈R不具有奇偶性．

答案：B

10．已知函数f(x)是偶函数，在[0，＋∞)上是减函数，若f(lgx)>f(1)，则x的取值范围是( )

A.110，1 B.0，110∪(1，＋∞)

C.110，10 D．(0,1)∪(10，＋∞) word格式-可编辑-感谢下载支持

解析：因为f(x)是偶函数，在[0，＋∞)上是减函数，所以函数f(x)在(－∞，0]上是增函数，故f(lgx)>f(1)可以转化为－1

答案：C

二、填空题(每小题5分，共25分)

11．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．

解析：依据交集的概念可得3为集合A，B的公共元素，所以3∈B.因为a2＋4≥4，所以a＋2＝3，解得a＝1.

答案：1

12．函数y＝log12 5x－3的定义域为________．

解析：由log12 (5x－3)≥0，得：0<5x－3≤1，

∴35

答案：35，45

13．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(a－2)

解析：由题意知 －1≤a－2≤1－1≤1－a≤1，a－2＜1－a

解得1≤a<32.故a的取值范围是1≤a<32.

答案：1，32

14．若函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．

解析：设g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因为g(x)＝x是奇函数，f(x)＝g(x)h(x)word格式-可编辑-感谢下载支持

是偶函数，所以h(x)＝ex＋ae－x也为奇函数，又函数h(x)的定义域为R，所以h(0)＝e0＋ae0＝0，所以a＝－1.

答案：－1

15．下列四个结论中正确的有________(填序号)．

①函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的定义域是(1，＋∞)；

②若幂函数y＝f(x)的图像经过点(2,4)，则该函数为偶函数；

③函数y＝5|x|的值域是(0，＋∞)；

④函数f(x)＝x＋2x在(－1,0)内有且只有一个零点．

解析：对于①，由题意得 x＋1>0x－1>0，解得x>1，故①正确；∵f(x)＝xα的图像过点(2,4)，

∴2α＝4，∴α＝2，∴f(x)＝x2，

为偶函数，故②正确；∵|x|≥0，

∴y＝5|x|≥1，∴函数y＝5|x|的值域是[1，＋∞)，故③不正确；

∵f(－1)＝－1＋2－1＝－12<0，f(0)＝0＋20＝1>0，

∴f(x)＝x＋2x在(－1,0)内至少有一个零点，又f(x)＝x＋2x为增函数，

∴f(x)＝x＋2x在(－1,0)内有且只有一个零点，故④正确．

答案：①②④

三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共75分)

16．(12分)已知集合A＝{x|a－1

解：∵A∩B＝∅，且B不为空集，因此依据A是否为空集分两种情况讨论：

(1)当A＝∅时，由2a＋1≤a－1，得a≤－2；

(2)当A≠∅时，由2a＋1>a－1，得a>－2.

∵A∩B＝∅，则有2a＋1≤0或a－1≥1，即a≤－12或a≥2， word格式-可编辑-感谢下载支持

∴－2

综上可知a≤－12或a≥2.

17．(12分)(1)计算：

(2)设4a＝5b＝m，且1a＋2b＝1，求m的值．

解：

18．(12分)设函数f(x)＝2x－4，g(x)＝－x＋4，

(1)求f(1)，g(1)，f(1)g(1)的值；

(2)求函数y＝f(x)g(x)的解析式，并求此函数的零点；

(3)写出函数y＝f(x)g(x)的单调区间．

解：(1)f(1)＝2－4＝－2，g(1)＝－1＋4＝3，

f(1)g(1)＝－2×3＝－6.

(2)∵f(x)＝2x－4，g(x)＝－x＋4，

∴y＝f(x)g(x)＝(2x－4)(－x＋4)．

令(2x－4)(－x＋4)＝0，解得x＝2或x＝4，即此函数的零点是2,4. word格式-可编辑-感谢下载支持

(3)y＝f(x)g(x)＝(2x－4)(－x＋4)

＝－2x2＋12x－16＝－2(x－3)2＋2，

此函数是二次函数，图像开口向下，对称轴是直线x＝3，则函数y＝f(x)g(x)的单调递增区间是(－∞，3]，单调递减区间是(3，＋∞)．

19．(12分)已知集合A＝{x|2≤x≤π}，定义在集合A上的函数y＝logax的最大值比最小值大1，求a的值．

解：(1)当a>1时，由题意得logaπ－loga2＝1

∴a＝π2，又π2>1，∴a＝π2符合题意．

(2)当0

a＝2π，

∵0<2π<1，∴a＝2π符合题意．

综上所述，a的值为π2或2π.

20．(13分)已知函数f(x)＝a－12x＋1.

(1)求证：不论a为何实数，f(x)在R上总为增函数；

(2)确定a的值，使f(x)为奇函数；

(3)当f(x)为奇函数时，求f(x)的值域．

解：(1)∵f(x)的定义域为R，设x1

则f(x1)－f(x2)

＝a－12x1＋1－a＋12x2＋1＝2x1－2x21＋2x11＋2x2

∵x10，

∴f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)

(2)∵f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，即a－12－x＋1＝－a＋12x＋1

解得：a＝12.

(3)由(2)知f(x)＝12－12x＋1，

∵2x＋1>1，∴0<12x＋1<1，

∴－1<－12x＋1<0，∴－12

故函数f(x)的值域为－12，12.

21．(14分)函数f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)>0.

(1)证明：f(x)是奇函数；

(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；

(3)若f(2x)>f(x＋3)，试求x的取值范围．

解：(1)证明：∵x∈R，

∴函数f(x)的定义域关于原点对称，

令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，

令x＝－y，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，

∴f(x)＝－f(－x)，

∴函数f(x)为奇函数．

(2)证明：设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x1

f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，

∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，

∴函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数．

(3)∵函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，且f(2x)>f(x＋3)，