高中数学模块综合测试2北师大版选修1-1

第 1 页 模块综合测试(二)

(时间120分钟 总分值150分)

一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)

1．命题p：∀x∈R，x≥1，那么命题¬p为( )

A．∀x∈R，x≤1 B．∃x∈R，x<1

C．∀x∈R，x≤－1 D．∃x∈R，x<－1

解析：全称命题否认是特称命题．

答案：B

2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有一个一样焦点F，且该点到双曲线渐近线距离为1，那么该双曲线方程为( )

A. x2－y2＝2 B. x23－y2＝1

C. x2－y2＝3 D. x2－y23＝1

解析：此题主要考察双曲线与抛物线有关知识．由，a2＋b2＝4

①，焦点F(2,0)到双曲线一条渐近线bx－ay＝0距离为|2b|a2＋b2＝1

②，由①②解得a2＝3，b2＝1，应选B.

答案：B

3．命题p，q，如果命题“¬p〞与命题“p∨q〞均为真命题，那么以下结论正确是( )

A．p，q均为真命题 第 2 页 B．p，q均为假命题

C．p为真命题，q为假命题

D．p为假命题，q为真命题

解析：命题“¬p〞为真，所以命题p为假命题．又命题“p∨q〞也为真命题，所以命题q为真命题．

答案：D

4．[2021·福建高考]直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，那么“k＝1”是“△OAB面积为12〞( )

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分又不必要条件

解析：假设k＝1，那么直线l：y＝x＋1与圆相交于(0,1)，(－1，0)两点，所以△OAB面积S△OAB＝12×1×1＝12，所以“k＝1〞⇒“△OAB面积为12〞；假设△OAB面积为12，那么k＝±1，所以“△OAB面积为12〞D⇒/“k＝1〞，所以“k＝1〞是“△OAB面积为12〞充分而不必要条件，应选A.

答案：A

5．设f(x)＝xlnx，假设f′(x0)＝2，那么x0等于( ) 第 3 页 A. e2 B. e

C.

ln22

D. ln2

解析：f′(x)＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋1，

∴f′(x0)＝lnx0＋1＝2，∴lnx0＝1，∴x0＝e.

答案：B

6．假设直线y＝x＋1与椭圆x22＋y2＝1相交于A，B两个不同点，那么|AB→|等于( )

A.43 B.423

C.83 D.823

解析：联立方程组 y＝x＋1，x22＋y2＝1，得3x2＋4x＝0，

解得A(0,1)，B(－43，－13)，

所以|AB→|＝－43－02＋－13－12＝423.

答案：B

7．假设函数f(x)定义域为(0，＋∞)，且f(x)>0，f′(x)>0，那么以下关于函数y＝xf(x)说法正确是( )

A. 存在极大值 B. 存在极小值 第 4 页 C. 是减少 D. 是增加

解析：y′＝f(x)＋xf′(x)，∵x∈(0，＋∞)，且f(x)>0，f′(x)>0，

∴y′>0，即函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上是增加．

答案：D

8．以下四个结论中正确个数为( )

①命题“假设x2<1，那么－11或x<－1，那么x2>1”；

②p：∀x∈R，sinx≤1，q：假设a

③命题“∃x∈R，x2－x>0”否认是“∀x∈R，x2－x≤0”；

④“x>2〞是“x2>4”必要不充分条件．

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

解析：只有③中结论正确．

答案：B

9．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d大致图像，那么x21＋x22等于( )

A. 23 B. 43

C. 83 D. 4

解析：由图像可知，函数f(x)图像过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，∴f(x)＝x(x－1)(x－2)＝x3－3x2＋2x. 第 5 页 ∴f′(x)＝3x2－6x＋2.

∵x1，x2是极值点，∴x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0两根．∵x1＋x2＝2，x1x2＝23.

∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝83.

答案：C

10. 把函数f(x)＝x3－3x图像c1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像c2.假设对任意u>0，曲线c1与c2至多有一个交点，那么v最小值为( )

A. 2 B. 4

C. 6 D. 8

解析：f′(x)＝3x2－3.

令f′(x)>0，得x>1或x<－1.

x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)

f′(x) ＋ 0

－ 0 ＋

f(x) 2 －2

由此根据图像c1可得vmin＝4.

答案：B

11．F是抛物线y2＝4x焦点，过点F且斜率为3直线交抛物线于A、B两点，那么||FA|－|FB||值为( )

A. 83 B. 163 第 6 页 C. 833 D. 823

解析：此题主要考察直线与抛物线位置关系以及抛物线有关性质．直线AB方程为y＝3(x－1)，由 y2＝4x，y＝3x－1得3x2－10x＋3＝0，故x1＝3，x2＝13，所以||FA|－|FB||＝|x1－x2|＝83.应选A.

答案：A

12．[2021·浙江高考]如图，F1、F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a，b>0)左、右焦点，B是虚轴端点，直线F1B与双曲线C两条渐近线分别交于P、Q两点，线段PQ垂直平分线与x轴交于点M.假设|MF2|＝|F1F2|，那么双曲线C离心率是( )

A.

233 B. 62

C. 2

D. 3

解析：此题主要考察双曲线离心率求解．结合图形特征，通过PQ中点，利用线线垂直性质进展求解．不妨设c＝1，那么直线PQ：y＝bx＋b，双曲线C两条渐近线为y＝±bax，因此有交点P(－aa＋1，ba＋1)，Q(a1－a，b1－a)，设PQ中点为N，那么点N坐标为(a21－a2，第 7 页 b1－a2)，因为线段PQ垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|＝|F1F2|，所以点M坐标为(3,0)，因此有kMN＝b1－a2－0a21－a2－3＝－1b，所以3－4a2＝b2＝1－a2，所以a2＝23，所以e＝62.

答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)

13．命题“∃x∈R，x2＋2x＋2≤0”否认是__________．

解析：特称命题否认是全称命题，故原命题否认是∀x∈R，x2＋2x＋2>0.

答案：∀x∈R，x2＋2x＋2>0

14．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与方向向量为k＝(6,6)直线交于A，B两点，线段AB中点为(4,1)，那么该双曲线渐近线方程是________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x21a2－y21b2＝1且x22a2－y22b2＝1得：y2－y1x2－x1＝b2x2＋x1a2y2＋y1＝4b2a2，又k＝1，∴4b2a2＝1即：ba＝±12.即双曲线渐近线方程为：y＝±12x. 第 8 页 答案：y＝±12x

15．函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)，x∈[1,4]，f(x)最大值为3，最小值为－6，那么a＋b＝________.

解析：f′(x)＝4ax3－12ax2.

令f′(x)＝0，得x＝0(舍去)，或x＝3.

所以f(x)最小值为f(3)＝b－27a.

又f(1)＝b－3a，f(4)＝b，

∴f(4)为最大值，

∴ b＝3，b－27a＝－6，解得 a＝13，b＝3，∴a＋b＝103.

答案：103

16. [2021·湖北省襄阳五中月考]函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出以下命题：①假设a2－b≤0，那么f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数；②假设a2－b>0，那么f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数；③当x＝a时，f(x)有最小值b－a2；④当a2－b≤0时，f(x)有最小值b－a2.其中正确命题序号是________．

解析：此题考察含绝对值二次函数单调区间与最小值问题求解．由题意知f(x)＝|x2－2ax＋b|＝|(x－a)2＋b－a2|.假设a2－b≤0，那么f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2，可知f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a2－b≤0第 9 页 条件下，才有x＝a时，f(x)有最小值b－a2，所以③错误，④正确．

答案：①④

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)(1)设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P〞是“x∈(M∩P)〞什么条件？

(2)求使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立充要条件．

解：(1)x∈R，x∈(M∩P)⇔x∈(2,3)．

因为“x∈M或x∈P〞x∈(M∩P)．

但x∈(M∩P)⇒x∈M或x∈P.

故“x∈M或x∈P〞是“x∈(M∩P)〞必要不充分条件．

(2)当m≠0时，不等式4mx2－2mx－1<0恒成立⇔ 4m<0Δ＝4m2＋16m<0⇔－4

又当m＝0时，不等式4mx2－2mx－1<0对x∈R恒成立，

故使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立充要条件是－4

18．(12分)[2021·山西忻州联考]设函数f(x)＝xex－x(a2x＋1)＋2.

(1)假设a＝1，求f(x)单调区间；

(2)当x≥0时，f(x)≥x2－x＋2恒成立，求a取值范围．

解：(1)∵a＝1，∴f(x)＝xex－x(12x＋1)＋2＝xex－12x2－x＋2，

∴f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，∴当－1