北师大版九年级数学下册 第二章 二次函数 综合题 同步练习

北师大版九年级数学下册第二章 二次函数综合题 同步练习

一、选择题

1、如图，一条抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），其顶点 P 在线段 MN

上移动．若点 M、N 的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点 B 的横坐标的最大值为 3，

则点 A 的横坐标的最小值为（ ）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

2、已知抛物线 y=﹣x2+1 的顶点为 P，点 A 是第一象限内该二次函数图象上一点，过点 A

作 x 轴的平行线交二次函数图象于点 B，分别过点 B、A 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，

连结 PA、PD，PD 交 AB 于点 E，△PAD 与△PEA 相似吗？（ ）

A．始终不相似 B．始终相似 C．只有 AB=AD 时相似 D．无法确定

3、如图，A1、A2、A3 是抛物线 y=ax2（ a＞0）上的三点，A1B1、A2B2、A3B3 分别垂直于

x 轴，垂足为 B1、B2、B3，直线 A2B2 交线段 A1A3 于点 C．A1、A2、A3 三点的横坐标为连

续整数 n﹣1、n、n+1，则线段 CA2 的长为（ ）

A．a B．2a C．N D．n﹣1

4、如图，抛物线 y=ax2+2ax+c（a＞0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在 B

点左侧．若点 E 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，且以 A、C、E、P 为顶点的四边形是平行四

边形，则符合条件的点 P 有（ ）

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

5、如图，抛物线 y=﹣x2+2x+m+1 交 x 轴于点 A（a，0）和 B（b，0），交 y 轴于点 C，抛

物线的顶点为 D，下列四个命题：

①当 x＞0 时，y＞0；

②若 a=﹣1，则 b=4；

③抛物线上有两点 P（x1，y1）和 Q（x2，y2），若 x1＜1＜x2，且 x1+x2＞2，则 y1＞y2；

④点 C

关于抛物线对称轴的对称点为 E，点 G，F 分别在 x 轴和 y 轴上，当 m=2 时，四边

形 EDFG 周长的最小值为 62．

其中真命题的序号是（ ）

A．① B．② C．③ D．④

6、抛物线 y=ax2+3ax+b 的一部分图象如图，设该抛物线与 x

轴的交点为 A（﹣5，0）和 B，

与 y 轴的交点为 C，若△ACO∽△CBO，则∠CAB 的正切值为（ ）

A．33 B．32 C．105 D．147

7、如图，抛物线 y=x2﹣12x﹣32与直线 y=x﹣2 交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），动点 P 从 A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点 E，再到达

x 轴上的某点 F，最后运动到点 B．若使点

P

运动的总路径最短，则点 P 运动的总路径的长为（

）

A．292 B．293 C．52 D．53

8、如图，OABC 是边长为 1 的正方形，OC 与 x 轴正半轴的夹角为 15°，点 B 在抛物线 y=ax2

（a＜0）的图象上，则 a 的值为（ ）

A． B． C．﹣2 D．

9、如图，抛物线 m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与 x 轴于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与

y 轴交于点 C．将抛物线 m 绕点 B 旋转 180°，得到新的抛物线 n，它的顶点为 C1，与 x 轴

的另一个交点为 A1．若四边形 AC1A1C 为矩形，则 a，b 应满足的关系式为（ ）

A．ab=﹣2 B．ab=﹣3 C．ab=﹣4 D．ab=﹣5

10、定义：若抛物线的顶点与 x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就

称为：“美丽抛物线”．如图，直线 l：y=x+b 经过点 M（0，），一组抛物线的顶点 B1（1，

y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n 为正整数），依次是直线 l 上的点，这组

抛物线与 x 轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，

0）（n 为正整数）．若 x1=d（0＜d＜1），当 d 为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．

A．或 B．或 C．或

D． 二、填空题

11、如图，二次函数 y=x2﹣4x+3 的图象交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C，则△ABC 的面

积为（ ）

12、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+mc（a≠0）的图象经过正方形 ABOC 的

三个顶点，且 ac=﹣2，则 m 的值为 .

13、如图，一条抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点，其顶点 P 在折线 C﹣D﹣E 上移动，若点

C、D、E 的坐标分别为（﹣1，4）、（3，4）、（3，1），点 B 的横坐标的最小值为 1，则点 A

的横坐标的最大值为 .

14、如图，点 A，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线 y=a（x﹣m）2+n 的顶点在

线段 AB 上运动，与 x 轴交于 C、D 两点（C 在 D 的左侧），点 C 的横坐标最小值为﹣3，

则点 D 的横坐标最大值为 ．

15、如图，矩形 ABCD 的长 AB=6cm，宽 AD=3cm．O 是 AB 的中点，OP⊥AB，两半圆的

直径分别为 AO 与 OB．抛物线 y=ax2 经过 C、D 两点，则图中阴影部分的面积是 cm2．

16、如图．抛物线 y=﹣x2﹣2x+3 与 x 轴相交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C．设点 M 是第

二象限内抛物线上的一点，且 S△MAB=6，点 M 的坐标为 ，若点 P 在线段 BA 上以每秒

1 个单位长度的速度从点 B 向点 A 运动（不与 B，A 重合），同时，点 Q 在射线 AC 上以每

秒 2 个单位长度的速度从 A 向 C 运动．设运动的时间为 t 秒，当 t 为 时，△APQ 的面

积最大，最大面积是 ．

三、解答题

17、如图，已知抛物线 y=﹣12x2+bx+c 与坐标轴分别交于点 A（0，8）、B（8，0）和点 E，

动点 C 从原点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 D 从点 B 开始沿 BO 方向

以每秒 1 个单位长度移动，动点 C、D 同时出发，当动点 D 到达原点 O 时，点 C、D 停止

运动．

（1）直接写出抛物线的解析式： ；

（2）求△CED 的面积 S 与 D 点运动时间 t 的函数解析式；当 t 为何值时，△CED 的面积最

大？最大面积是多少？

（3）当△CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点 P（点 E 除外），使△PCD 的面积等

于△CED 的最大面积？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由．

18、如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与

x 轴相交于点 M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点 P 的

坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接 AC，在直线 AC 的下方的抛物线上，是否存在一点 N，使△NAC 的面积最大？

若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．

19、如图，已知抛物线 y=x2﹣ax+a2﹣4a﹣4 与 x 轴相交于点 A 和点 B，与 y 轴相交于点 D

（0，8），直线 DC 平行于 x 轴，交抛物线于另一点 C，动点 P 以每秒 2 个单位长度的速度

从 C 点出发，沿 C→D 运动，同时，点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 出发，沿 A→B

运动，连接 PQ、CB，设点 P 运动的时间为 t 秒、

（1）求 a 的值；

（2）当四边形 ODPQ 为矩形时，求这个矩形的面积；

（3）当四边形 PQBC 的面积等于 14 时，求 t 的值；

（4）当 t 为何值时，△PBQ 是等腰三角形？（直接写出答案）

20、如图，已知抛物线 y= 34 x2+bx+c 与坐标轴交于 A、B、C 三点，A 点的坐标为（﹣1，0），

过点 C 的直线334yxt与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过 P 作 PH 垂直

OB 于点 H，若 PB=5t，且 0＜t＜1，是否存在使 P，H，Q 为顶点的三角形与三角形 COQ 相似的 t 的值．

21、如图，直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6（a≠0）相交于 A（12，52）和 B（4，m），点 P

是线段 AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作 PC⊥x 轴于点 D，交抛物线于点 C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存

在，请说明理由；

（3）求△PAC 为直角三角形时点 P 的坐标．

22、已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，线段 AB 的两个端点 A（0，2），B（1，

0）分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，点 C 为线段 AB 的中点，现将线段 BA 绕点 B 按顺时针

方向旋转 90°得到线段 BD，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点 D．

（1）如图 1，若该抛物线经过原点 O，且 a=﹣13．

①求点 D 的坐标及该抛物线的解析式；

②连结 CD，问：在抛物线上是否存在点 P，使得∠POB 与∠BCD 互余？若存在，请

求出所有满足条件的点 P 的坐标，若不存在，请说明理由；

（2）如图 2，若该抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点 E（1，1），点 Q 在抛物线上，且满足

∠QOB 与∠BCD 互余．若符合条件的 Q 点的个数是 4 个，请直接写出 a 的取值范围．