北师大版九年级下册 2.5二次函数与一元二次方程 同步练习

可修改

1 2.5二次函数与一元二次方程

考点一：二次函数与一元二次方程的关系

【例题】

1.次方程ax2+bx+c=0的跟就是二次函数y=ax2+bx+c的图像与直线

交点的坐标。

2.一元二次方程ax2+bx+c=h的跟就是二次函数y=ax2+bx+c的图像与直线

交点的坐标。

【练习】

3.抛物线y=-3(x-2)(x+5)与x轴的交点为。

4.如果a>0,b>0,c>0,b2-4ac>0，那么抛物线y=ax2+bx+c经过第象限.

5.已知二次函数y=x2+mx+m−2，说明：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点。

考点二：二次函数的图像与一元二次方程的跟的关系

【例题】

6.下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点（ ）

A. y=14(x−23)2+155B. y=14(x+23)2+155

C. y=−14(x−23)2−155D. y=−14(x+23)2+155

7.函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )

A. k<3B. k<3且k≠0C. k⩽3且k≠0D. k⩽3

8.抛物线y=x2-2x+3与两坐标轴交点的个数为。

9.抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个交点，则m=.

10．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=−15x2+1Ox.

(1)经过多长时间，炮弹达到它的最高点?最高点的高度是多少?

(2)经过多长时间，炮弹落在地上爆炸?

【练习】

11．在抛物线y=ax2+bx+c（a0）中，若a与c异号，则抛物线与x轴交点情况 可修改

2 为（）。

A.没有交点 B.有一个交点C.有两个交点D.无法确定

12．抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的一个交点为(-5,0), 则它与x轴的另一个交的坐标为

13．(2005⋅连云港)抛物线y=a(x+1)2+2的一部分如图所示，该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是（ ）

A. (12,0)B. (1,0)C. (2,0)D. (3,0)

14．已知抛物线y=kx2−7x−7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是。

15．若关于x的函数y=kx2+2x−1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为______.

16．已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点。

(1)求C1的顶点坐标；

(2)将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A(−3,0)，求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；

(3)若P(n,y1)，Q(2,y2)是C1上的两点，且y1>y2，求实数n的取值范围。

考点三：利用二次函数图象解决问题

【例题】 可修改

3 17．函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是

A. 有两个不相等的实数根B. 有两个异号实数根

C. 有两个相等实数根D. 无实数根

18．已知二次函数 y ＝ x 2 ＋ 2 x ＋ m 的图象 C 1 与 x 轴有且只有一个公共点．（ 1 ）求 C 1 的顶点坐标；（ 2 ）将 C 1 向下平移若干个单位后，得抛物线 C 2 ，如果 C 2 与 x 轴的一个交点为 A （－ 3 ， 0 ），求 C 2 函数关系式，并求 C 2与 x 轴的另一个交点的坐标．

【练习】

19．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c−m=0没有实数根，有下列结论：

①b2−4ac>0；②abc<0；③m>2.

其中，正确结论的个数是（ ）

A. 0B. 1C. 2D. 3

20．设二次函数y=x2+bx+c，当x⩽1时，总有y⩾0，当1⩽x⩽3时，总有y⩽0，那么c的取值范围是（ ）

A. c=3B. c⩾3C. 1⩽c⩽3D. c⩽3

21．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。”请根据你对这句话的理解,解决下面问题： 可修改

4 若m、n(m

A. m

故选：A.

考点四：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似跟

【例题】

22．根据下表的对应值

x 3.23 3.24 3.25 3.26

ax2+bx+c −0.06 −0.02 0.03 0.09

判断方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是( )

A. 3＜x＜3.23

B. 3.23＜x＜3.24

C. 3.24＜x＜3.25

D. 3.25＜x＜3.26

23．利用二次函数的图象求一元二次方程−2x2+4x+1=0的近似根。

【练习】

24．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(−1,−3.2)及部分图象(如图)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=( )

A. −1.3B. −2.3C. −0.3D. −3.3

考点五：利用二次函数的图象求不等式的解集 可修改

5 【例题】

25．如图是二次函数y=−x2+2x+4的图象，使y⩽1成立的x的取值范围是（ ）

A. −1⩽x⩽3B. x⩽−1C. x⩾1D. x⩽−1或x⩾3

26．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

(1)方程ax2+bx+c=0的两个根是；

(2)不等式ax2+bx+c>0的解集是；

(3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是；

(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。

27．如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为B(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是___.

可修改

6

【练习】

28．二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图象如图所示,则ax2+bx+c⩽mx+n时，x的取值范围是______.

29．二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表：

X −1 0 1 3

y −1 3 5 3

下列结论：

(1)ac<0；

(2)当x>1时，y的值随x值的增大而减小。

(3)3是方程ax2+(b−1)x+c=0的一个根；

(4)当−10.

其中正确的个数为()

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个

30．阅读材料，解答问题。

利用图象法解一元二次不等式：x2−2x−3>0.

解：设y=x2−2x−3，则y是x的二次函数.∵a=1>0，∴抛物线开口向上。

又∵当y=0时,x2−2x−3=0,解得x1=−1,x2=3.

∴由此得抛物线y=x2−2x−3的大致图象如图所示。

观察函数图象可知：当x<−1或x>3时，y>0. 可修改

7 ∴x2−2x−3>0的解集是：x<−1或x>3.

(1)观察图象,直接写出一元二次不等式：x2−2x−3<0的解集是______；

(2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式：x2−1>0.(大致图象画在答题卡上)

考点六：二次函数与方程和不等式的综合

【例题】

31．已知关于x的方程x2−(2k−3)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2.

(1)求k的取值范围；

(2)试说明x1<0，x2<0；

(3)若抛物线y=x2−(2k−3)x+k2+1与x轴交于A. B两点，点A. 点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA⋅OB−3，求k的值。

【练习】

32．如图,一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA,A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,按如图所示的直角坐标系,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=−x2+2x+74(x>0).柱子OA的高度为多少米?若不计其他因数，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外?

可修改

8 33．某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=−2x+100.(利润=售价−制造成本)

(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；

(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润?当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?

(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?