2018版高中数学 第三章 统计案例 3.1 独立性检验学案 苏教版选修2-3

学习目标 1.了解2×2列联表的意义.2.了解统计量χ2的意义.3.通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法．

知识点一 2×2列联表

思考 山东省教育厅大力推行素质教育，增加了高中生的课外活动时间，某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表：

体育 文娱 合计

男生 210 230 440

女生 60 290 350

合计 270 520 790

如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”？

梳理 (1)2×2列联表的定义

对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B；Ⅱ也有两类取值，即类1和类2.我们得到如下列联表所示的抽样数据：

Ⅱ

类1 类2 合计

Ⅰ 类A a b

类B c d

合计 a＋b＋c＋d

(2)χ2统计量的求法

公式χ2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d.

知识点二 独立性检验

独立性检验的概念

用χ2统计量研究两变量是否有关的方法称为独立性检验．

知识点三 独立性检验的步骤

1．独立性检验的步骤

要判断“Ⅰ与Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：

(1)提出假设H0：__________________；

(2)根据2×2列联表及χ2公式，计算________的值；

(3)查对临界值，作出判断．

其中临界值如表所示：

P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005

0.001

x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

表示在H0成立的情况下，事件“_____________________________________”发生的概率．

2．推断依据

(1)若χ2＞10.828，则有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”．

(2)若χ2＞6.635，那么有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”．

1 3.1 独立性检验

1．2×2列联表的定义

对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B；Ⅱ也有两类取值，即类1和类2.这些取值可用下面的2×2列联表表示.

2

.χ2统计量的求法

公式χ2＝n（ad－bc）2（a＋c）（b＋d）（a＋b）（c＋d）．

3．独立性检验的概念

用统计量χ2研究两变量是否有关的方法称为独立性检验．

4．独立性检验的步骤

要判断“Ⅰ与Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：

(1)提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；

(2)根据2×2列联表及χ2公式，计算χ2的值；

(3)查对临界值，作出判断．

其中临界值如表所示：

P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005

0.001

χ0 0.455

0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

表示在H0成立的情况下，事件“χ2≥x0”发生的概率．

5．变量独立性判断的依据

(1)如果χ2>10.828时，那么有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；

(2)如果χ2>6.635时，那么有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；

(3)如果χ2>2.706时，那么有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；

(4)如果χ2≤2.706时，那么就认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能 2 作出结论“H0成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系．

1．在2×2列联表中，通常要求a，b，c，d的值均不小于5.

2．表中|ad－bc|越小，Ⅰ与Ⅱ关系越弱；|ad－bc|越大，Ⅰ与Ⅱ关系越强．同时要记准表中a，b，c，d四个数据是交叉相乘然后再作差取绝对值，一定不要乘错．

3．表中类A与类B，以及类1与类2的关系：对于对象Ⅰ来说，类A与类B是对立的，也就是说类A发生，类B一定不发生，类A不发生，则类B一定发生；同样对于对象Ⅱ来说，类1与类2的关系也是如此．

§1.2.1独立性检验的基本思想

学习目标

1.通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的必要性;

2.会根据22列联表求统计量2K.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P12~ P14，找出疑惑之处）

复习1：回归分析的方法、步骤，刻画模型拟合效果的方法（相关指数、残差分析）、步骤.

二、新课导学

※ 学习探究

新知1：

1.分类变量：

.

2. 22列联表：

.

试试：你能列举出几个分类变量吗？

探究任务：吸烟与患肺癌的关系

1.由列联表可粗略的看出：

(1)不吸烟者有

患肺癌;

(2)不吸烟者有

患肺癌.

因此，直观上课的结论：

.

2.用三维柱柱图和二维条形图直观反映:

(1)根据列联表的数据,作出三维柱形图:

由上图可以直观地看出, 吸烟与患肺癌 .

(2)根据列联表的数据,作出二维条形图:

由上图可以直观地看出, 吸烟与患肺癌 .

根据列联表的数据,作出等高条形图:

由上图可以直观地看出, 吸烟与患肺癌 .

反思：（独立性检验的必要性）通过数据和图形,我们得到的直观印象是患肺癌有关.那是否有一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？

新知2：统计量2K

吸烟与患肺癌列联表

假设

0H：吸烟与患肺癌没关系，

则在吸烟者和不吸烟者中患肺癌不患肺癌者的相应比例

.即

因此，

越小，说明吸烟与患肺癌之间关系

；反之，

.

2K=

※ 典型例题

例1 吸烟与患肺癌列联表

第九章 统计、统计案例、计数原理、

概率、随机变量及其分布列

考点31 统计、统计案例

两年高考真题演练

1.(2015·陕西)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )

A．167 B．137 C．123 D．93

2．(2015·新课标全国Ⅰ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是( )

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

3．(2015·福建)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9

支出y(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程y^ ＝b^ x＋a^ ，其中b^ ＝0.76，a^ ＝y－b^ x．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )

A．11.4万元 B．11.8万元

C．12.0万元 D．12.2万元

4．(2015·安徽)若样本数据x1，x2，„，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，„，2x10－1的标准差为( )

A．8 B．15 C．16 D．32

5．(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．

6．(2014·安徽)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法．收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．