概率论期末复习试题一
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概率论与数理统计
一、选择题。
1 .设A,B,C为三个事件，且代B相互独立，则以下结论中不正确的 是()
A. 若P(C)=1，则AC与BC也独立.
B. 若P(C) =1，则AUC与B也独立.
C. 若P(C)=O，则AUC与B也独立.
D. 若C B，则A与C也独立.
2. 设A、B、C为三个事件，P(AB) 0且P(C|AB)=1，则有()
A. P(C)乞 P(A) P(B)—1. B. P(C) ^P(AUB).
C. P(C)_P(A) P(B)—1. D. P(C)_P(AUB).
3. 设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为
5. 设随机变量X ~ N(0,1), X的分布函数为「(X)，则P(|X |. 2)()
A. 2[1 - 门⑵] B. 2：」(2)-1
C. 2-：」(2) D. 1-2：」(2)
6. 设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是( )
A . X 与 Y 独立 B. D(X-Y)=DX DY
C. D(X-Y)=DX-DY D. D(XY)=DXDY
7. 设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为
(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2, 2) (2,3)
P
丄
a P
6 9 18 3 X 0 1
P 0.4 0.6 Y 0 1
P 0.4 0.6
则有()
A. P(X 二丫)=0. B.
C. P(X =Y)=0.52. D.
4. 事件表达式AUB的意思是( )
A. 事件A与事件B同时发生 B. 事件A发生但事件B不发生
C. 事件B发生但事件A不发生 D. 事件A与事件B至少有一件发生 P(X 二Y)= 0.5.
P(X =Y) =1. 若X,Y独立，则：的值为( )
的值为()
9. 已知随机变量X,Y相互独立，X~N(2,4),Y~N(2,1),贝S ( )
A. X+Y~P(4) B. X+Y ~U(2,4) C. X+Y~N(0,5) D. X+Y ~N(0,3)
10. 一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，
摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为()
A. 2.5 B. 3.5 C. 3.8 D.以上都不对
二、填空题。
1. 设 P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B|A)=0.8，贝卩 A, B 至少发生一个的概率
为 ___________ .
2. 已知 RA)=0.6, P( B| A)=0.3,则 P(AD B) = ___________ .
3. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是
0.4，则飞机被击中的概率为 ____________ .
4. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一
红、一白、一黑的概率为 ____________ .
5. 假设 X~B(5, 0.5)(二项分布),Y~N(2, 36),贝U E(X+Y)= ___________ .
x, 0乞x乞1,
6. 已知连续型随机变量X~f(x) = <2-x, 1cx兰2,则P{X兰1.5}= ___________
〔0, 其它. A .a =-仁1
9' 9
C.:丄」 D.
6 6
8. 随机变量X服从在区间(2,5) B. 1 : 2
a =— 戸=— 9’ 9
5 : 1
18 18
上的均匀分布，则X的数学期望旦X)
A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 若X,Y独立，则：的值为( )
7. —种动物的体重X是一随机变量，设E(为=33, , 10个
这种动物的平均体重记作Y,则D(Y) = ______________ .
8. 设事件A与B相互独立，事件B与C互不相容，事件A与C互不
相容，且P(A)二P(B) =0.5 , P(C)=0.2，则事件A、B、C中仅C发生或 仅C不发生的概率为 ________________.
『1
9. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)= ；(X 1)，°“x：：：2,，今
.0 ,其他.
对X进行8次独立观测，以丫表示观测值大于 1的观测次数，则
DY = _________ .
10. 从1, 2,…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后
取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于
三、解答题
1. 已知离散型随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 3
P 1 1 1 1 11
5 6 5 15 30
求Y =x2的分布列.
2. 有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个 白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个 球，求取到白球的概率。
3. 将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率
(1) 4 个球全在一个盒子里；
(2) 恰有一个盒子有2个球.
4. 设随机变量E的分布密度为
当g x<3
f(x) H x
Q 当 x<0 或 x>3
(1)求常数A (2)求P( E <1); (3)求E的数学期望.
5. 设二维随机变量(E , n )的联合分布是
n = 1 n =2 n = 4 n = 5
E = 0 0.05 0.12 0.15 0.07
E = 1 0.03 0.10 0.08 0.11
E = 2 0.07 0.01 0.11 0.10
(1) E与n是否相互独立？ (2) 求：的分布及EC )；
6. 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须 付费10元.若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止.若4次 都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元.若他每次击中目标 的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.
7. 有10盒种子，其中1盒发芽率为90%,其他9盒为20%.随机选
取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该 种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少?
8.设X ~ N(0,1)，求丫二X的概率密度。
9. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
Ce'x_\o兰 xE 址,0^y <
0,其他.
求(1)常数C ; (2)边缘概率密度函数fx(x) , J(y)
10. 假设有两种同种零件：第一箱内装 10件，其中2件为一等品;
第二箱内装5件，其中3件是一等品。现从两箱中任意挑取一箱，然 后从该箱中先后随机地取出2个零件(取出的零件均不放回)。求：(1) 先取出的零件是一等品的概率；(2)在先取出的零件是一等品的条件 下，第二次取出的零件仍是一等品的概率。 f(x,y) =[
概率论与数理统计答案
选择题。
1、选D.因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立, 所以选项A,B,C都是正确的，只能选D.
2、 选 C.
由 P(C|AB)=1 知 P(ABC) = P(AB)，故 P(C) _ P(AB)
P(C) _P(AB) = P(A) P(B) —P(AUB) _ P(A) P(B) —1
3、 选 C. P(X 二Y) =P(X =0, 丫 =0) P(X =1, 丫 =1)
= 0.4 0.4 0.6 0.6 =0.52
4、 选D. 根据A B的定义可知。
5、选 A.
X ~ N(0,1)所以 P(| X | 2) =1 —P(|X 任 2) =1 —P(—2 ：：： X 乞 2)
=1 一门⑵ Y(_2) =1 -[2^(2) 一1] =2[1一：.：」(2)]
6、 选B.由不相关的等价条件知
8选C.因为在(a, b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。
9、选C.因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而
E(X+Y)= E(X)+ E(Y)=2-2=0, D(X+Y)=D(X)+ D(Y)=4+1=5, 所以有
X+Y~N(0,5)
1 2 3
1 1 1 1
1
6 9 18
3
2 1 ot P 1 + CL +
P 3 3
1 1+a 丄+ B
2 9 18
,=P(X =2, Y=2) = P(X =2)P(Y = 2)
1 1 2 1 ( )( ) ( ) 3 9 3 9
2 G 1
9， 9 可见A与C不独立.
7、 选A. 若X,Y独立则有
二、填空题。
1. 填 0.9 由 0.8 = P(B|A)」(BA)』B)-P(AB)得 P(AB) = 0.2
1 -P(A) 0.5
P(AUB) =P(A) P(B) _ P(AB) =1.1 _0.2 =0.9
2. 填 0.18 由乘法公式 P(A"B)二RA)RBA)=0.6 汉0.3=0.18
3. 填0.784 因为三人都不中的概率为 0.63=0.216,则至少一人中
的概率就是1-0.216=0.784
1 1 1
4. 填0.25或1，由古典概型计算得所求概率为C5 C3 C2十0.25
4 C10 4
5. 填 4.5 因 E(X)=5 0.5=2.5, E(Y)=2, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.5
1 5
6. 填 0.875 因 P{X_1.5}「° f(x)dx=0.875。
7. 填0.4 因为总体X的方差为4,10个样本的样本均值的方差是
总体方差的1/10。
8. 填 0.45. 由 P(ABC ABC)二 P(ABC) P(ABC)
因为 A与C不相容，B与C不相容，所以A二cB二c,故盈一C二
同理 ABC =AB .
P(ABC ABC)二 P(C) P(AB)二 0.2 0.5 0.5 二 0.45 .
15 2 1 5
9. 填 才. Y~B(8,p)，其中p = P(X・1)=「尹忖詣
15
8
三、解答题
1.解：丫的分布列为
丫 0 1 4 9
P 1 7 1
5 30 5 30 10、选 C, 19
5 =3.8
DY
10.填 0.3024. c；°c9c8c7c6
5 10 =0.3024
