2019年北京求实中学高一数学理模拟试题

北京求实中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，若，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．0 D．－1参考答案：B因为，所以,选B2. 某城市2018年12个月的PM2.5平均浓度指数如下图所示，根据图可以判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（）A. 第一季度B. 第二季度C. 第三季度D. 第四季度参考答案：B方差最小的数据最稳定,所以选B.3. 已知数列满足，则=（）A、 B、0 C、D、参考答案：A略4. 在△ABC中，，则A与B的大小关系为（）A．A＜B B．A=B C．A＞B D．不确定参考答案：C在△ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理可得：a＞b，可得A＞B．5. 给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3?Z；④－?N，其中正确的个数为() A．1 B．2C．3 D．4参考答案：B解析：是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确．故选B.6. 在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为A. B. C. D.参考答案：B7. 集合的子集有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个参考答案：C8. 在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变成c%(a,b>0,a≠b)，则x与y 的函数关系式是（）A．y=x B．y=x C．y=x D．y=x参考答案：B9. 方程根的个数为（）A．无穷多 B． C． D．参考答案：C解析：作出的图象，交点横坐标为，而10. 已知{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q＝( )A.1或－B.1C.－D.－2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列{a n}是等差数列，记数列{a n}的前n项和为S n，若，则________. 参考答案：3【分析】由等差数列的求和公式和性质可得，代入已知式子可得．【详解】由等差数列的求和公式和性质可得：＝，且，∴.故答案为：3．【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．12. 若幂函数的图象过点，则 .参考答案：13. 函数y=ln（1﹣2x）的定义域是．参考答案：{x|x＜}【考点】对数函数的定义域．【分析】根据对数函数的性质，要使函数有意义，则需真数大于零．【解答】解：根据题意：1﹣2x＞0∴x＜故答案为：{x|x＜}14. （5分）已知函数f（x）=asinx+btanx+3（a，b∈R），且f（1）=1，则f（﹣1）= ．参考答案：5考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：计算f（﹣x），运用诱导公式，得到f（﹣x）+f（x）=6．由f（1）=1，即可得到f（﹣1）．解答：函数f（x）=asinx+btanx+3，则f（﹣x）=asin（﹣x）+btan（﹣x）+3=﹣asinx﹣btanx+3，即有f（﹣x）+f（x）=6．则f（﹣1）=6﹣f（1）=6﹣1=5．故答案为：5．点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．15. 某产品广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 .参考答案：16. 某学校高一第一学期结束后，对学生的兴趣爱好进行了一次调查，发现68％的学生喜欢物理，72％的学生喜欢化学．则该学校同时喜欢物理、化学两门学科的学生的比例至少是．40%参考答案：40%17. 已知函数，若存在，，使成立，则实数的取值范围是．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

一．选择题（共4小题）1．（2020•怀柔区二模）已知函数f（x）＝x2+bx+c，其中0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f（x）满足条件为事件A，则事件A发生的概率为（）A．B．C．D．2．（2019•海淀区校级二模）如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（）A．5.3B．4.3C．4.7D．5.73．（2019•西城区校级模拟）一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）A．1﹣B．C．D．4．记函数f（x）＝的定义域为D，在区间[﹣5，5]上随机取一个实数x，则x∈D的概率是（）A．B．C．D．二．填空题（共3小题）5．（2019•丰台区二模）若在区间[﹣1，4]上随机选取一个数x，则事件x≥1发生的概率为．6．记函数f（x）＝定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．7．（2019•海淀区校级一模）在面积为S的三角形ABC的边AB上任意取一点P，则三角形PBC的面积大于的概率为．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2020•怀柔区二模）已知函数f（x）＝x2+bx+c，其中0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f（x）满足条件为事件A，则事件A发生的概率为（）A．B．C．D．【分析】我们可以以b，c为横纵坐标建立坐标系，并把0≤b≤4，0≤c≤4所表示的区域表示出来，并将代入函数f（x）＝x2+bx+x转化为一个关于b、c的不等式，画出其表示的图形，计算面积后，代入几何概型公式，即可求解．【解答】解：即．以b，c为横纵坐标建立坐标系如图：所以满足条件的概率为．故选：D．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P＝求解．2．（2019•海淀区校级二模）如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（）A．5.3B．4.3C．4.7D．5.7【分析】由已知求出黄豆落在阴影部分的概率，再由几何概型概率公式可得阴影部分的面积．【解答】解：由几何概型概率公式及对立事件概率公式可得，落在阴影部分的概率为，∵正方形的面积为10，∴由几何概型概率公式可得阴影部分的面积约为，故选：B．【点评】本题考查几何概型概率计算公式的应用，是基础的计算题．3．（2019•西城区校级模拟）一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）A．1﹣B．C．D．【分析】求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到正方形的顶点A、B、C 的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积S三角形＝×16＝4，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则S阴影＝2π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是：P＝1﹣＝1﹣π，故选：A．【点评】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关4．记函数f（x）＝的定义域为D，在区间[﹣5，5]上随机取一个实数x，则x∈D的概率是（）A．B．C．D．【分析】求出函数f（x）的定义域，再利用几何概型的概率公式计算即可．【解答】解：函数f（x）＝的定义域为D＝{x|12﹣x﹣x2≥0}＝{x|x2+x﹣12≤0}＝{x|﹣4≤x≤3}，则在区间[﹣5，5]上随机取一个实数x，x∈D的概率是P＝＝．故选：A．【点评】本题考查了求函数的定义域与几何概型的概率计算问题，是基础题．二．填空题（共3小题）5．（2019•丰台区二模）若在区间[﹣1，4]上随机选取一个数x，则事件x≥1发生的概率为．【分析】直接利用测度比为长度比求解．【解答】解：在区间[﹣1，4]上随机选取一个数x，x≥1的概率P＝．故答案为：．【点评】本题考查几何概型概率的求法，关键是注意测度比为长度比，是基础题．6．记函数f（x）＝定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D＝[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P＝＝，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．7．（2019•海淀区校级一模）在面积为S的三角形ABC的边AB上任意取一点P，则三角形PBC的面积大于的概率为．【分析】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率，可借助于画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可【解答】解：记事件A＝{△PBC的面积大于的概率}，基本事件空间是线段AB的长度，（如图）因为S△PBC＞，则有BC•PE BC•AD；化简记得到：，因为PE平行AD则由三角形的相似性；所以，事件A的几何度量为线段AP的长度，因为AP＝AB，所以P（A）＝．故△PBC的面积大于的概率的概率为；故答案为：．【点评】解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，并且熟练记忆有关的概率公式．。

2019年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设全集U R =，集合{|02}A x x =<<，{3B =-，1-，1，3}，则集合()(U A B =I ð)A ．{3-，1}-B ．{3-，1-，3}C ．{1，3}D ．{1-，1}2．（5分）若复数12iz i-=-，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为( )A ．4B ．5C ．7D ．94．（5分）下列直线中，与曲线()12,:24x t C t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是( )A ．20x y +=B ．240x y +-=C ．20x y -=D ．240x y --=5．（5分）设a ，b ，m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的．若点(,)P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为( )A ．527-B ．5252-C ．7，52-D ．7，7-7．（5分）团体购买公园门票，票价如表： 购票人数 1~5051~100100以上 门票价格13元/人 11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为( ) A ．20B ．30C ．35D ．408．（5分）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为( ) A 432B ．3C ．22D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在等比数列{}n a 中，21a =，58a =，则数列{}n a 的前n 项和n S = ．10．（5分）设1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为 ．11．（5分）函数()sin 2cos2f x x x =+的最小正周期T = ；如果对于任意的x R ∈都有()f x a …，那么实数a 的取值范围是 ．12．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为 ．13．（5分）能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=︒+︒g ，其中k Z ∈”为假命题的一组α，β的值是 ．14．（5分）如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c ．例如，图中上档的数字和9a =．若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有 种．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC ∆中，已知222a c b mac +-=，其中m R ∈． （Ⅰ）判断m 能否等于3，并说明理由； （Ⅱ）若1m =-，27b =4c =，求sin A ．16．（14分）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，//AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，2AB = （Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ； （Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由．17．（13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a 的所有可能取值； （Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”．设3a =，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s ．在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小．（结论不要求证明）18．（13分）设函数2()3x f x me x =-+，其中m R ∈． （Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2-，4]上有两个零点，求m 的取值范围．19．（14分）已知椭圆22:14x y W m m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为A ，B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点C ，D （不与点A ，B 重合）． （Ⅰ）当0n =，且直线CD x ⊥轴时，求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：A ，D ，M 三点共线．20．（13分）如图，设A 是由(2)n n n ⨯…个实数组成的n 行n 列的数表，其中(ij a i ，1j =，2，⋯，)n 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1ij a ∈，1}-．定义1122(st s t s t sn tn p a a a a a a s =++⋯+，1t =，2，⋯，)n 为第s 行与第t 行的积．若对于任意s ，()t s t ≠，都有0st p =，则称数表A 为完美数表．（Ⅰ）当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； （Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1i =，2，⋯，l 和1j =，2，⋯，k ，都有1ij a =，证明：kl n „．2019年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．【解答】解：根据题意，全集U R =，集合{|02}A x x =<<，则{|0U A x x =„ð或2}x … 又由{3B =-，1-，1，3}，则集合(){3U A B =-I ð，1-，3}； 故选：B ． 【解答】解：Q 1(1)(2)312(2)(2)55i i i z i i i i --+===---+， ∴在复平面内z 对应的点的坐标为31(,)55-，位于第四象限．故选：D ．【解答】解：当1k =时，12312S +==--，3k =，2S <成立， 1(3)11(3)2S +-==---，5k =，2S <成立，11121312S -==+，7k =，2S <成立， 1132113S +==-，9k =，2S <不成立， 输出，9k =， 故选：D ．【解答】解：曲线C 参数方程为：()12,24x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数，①2⨯-②得，240x y --=，故曲线C 为斜率为2的直线，选项中斜率为2的直线为C ，D ． 而D 与曲线C 重合，有无数个公共点，排除． 故选：C ．【解答】解：a Q ，b ，m 均为正数，∴由a m ab m b+>+得()()b a m a b m +>+， 即ab bm ab am +>+，即bm am >，m Q 是正数，b a ∴>，成立，即“b a >”是“a m ab m b+>+”的充要条件， 故选：C ．【解答】解：由题意可知直线平移直线043x y =+，当直线经过A 上取得最小值，平移到与222x y +=相切于B 时，取得最大值，(1,1)B --，最小值为：7-；由22243x y x y z⎧+=⎨+=⎩可得：22258180x zx z -+-=，△22644(8)250z z =--⨯=，解得52z =，52z =-（舍去）， 所以则43z x y =+的最大值和最小值分别为：52；7-． 故选：A ．【解答】解：990Q 不能被13整除，∴两个部门人数之和：51a b +…， （1）若51100a b +剟，则11 ()990a b +=得：90a b +=，① 由共需支付门票费为1290元可知，11131290a b +=② 解①②得：150b =，60a =-，不符合题意．（2）若100a b +…，则9 ()990a b +=，得110a b +=③ 由共需支付门票费为1290元可知，150a 剟，51100b 剟， 得11131290a b +=④， 解③④得：70a =人，40b =人故两个部门的人数之差为704030-=人， 故选：B ．【解答】解：曲线422x y +=围成的平面区域，关于x ，y 轴对称，设曲线上的点(,)P x y ，可得2222913||()422OP x y x =+=--„． 所以曲线422x y +=围成的平面区域的直径为：3． 故选：B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 【解答】解：21a =Q ，58a =352a a q ∴=， 即3528a q a ==，即2q =， 首项112a =， 则数列{}n a 的前n 项和11(12)122122n n n S --==--，故答案为：1122n --．【解答】解：双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分， 可得1223a c =g ，则3c a =，即3ce a==． 故答案为：3．【解答】解：()sin 2cos22)4f x x x x π=+=+，即函数的周期22T ππ==， 若对于任意的x R ∈都有()f x a „， 则()max a f x …，即当sin(2)14x π+=时，()f x 2即()2max f x =， 则2a …，故答案为：π，2a …．【解答】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分， 长方体的棱长为：2，1，2， 四棱锥的体积为：1412233⨯⨯⨯=．故答案为：43．【解答】解：若sin cos αβ=，则36090()k k Z αβ=︒+︒±∈g ，命题中36090k αβ=︒+︒-g ，()k Z ∈，要否定命题，只须从36090()k k Z αβ=︒+︒+∈g 中找一个反例即可，如110α=︒，20β=︒，（答案不唯一，再如120α=︒，30β=︒等，只要满足36090()k k Z αβ=︒+︒+∈g 且36090()k k Z αβ≠︒+︒-∈g 即可作为反例．故填：110α=︒，20β=︒．【解答】解：根据题意，a ，b ，c 的取值范围都是从7~14共8个数字，故公差d 范围是3-到3，①当公差0d =时，有188C =种， ②当公差1d =±时，b 不取7和14，有16212C ⨯=种， ③当公差2d =±时，b 不取7，8，13，14，有1428C ⨯=种， ④当公差3d =±时，b 只能取10或11，有1224C ⨯=种， 综上共有8128432+++=种， 故填：32三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．【解答】解：（Ⅰ）当3m =时，由题可知2223a c b ac +-=， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，（3分）得2223cos 22a cb B ac +-==． ⋯⋯⋯⋯（4分）这与cos [1B ∈-，1]矛盾，所以m 不可能等于3．⋯⋯⋯（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ），得1cos 22m B ==-，所以23B π=．⋯⋯（7分）因为b =4c =，222a c b ac +-=-， 所以216284a a +-=-，解得6a =-（舍)或2a =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分） 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）得sin sina B Ab ===．（13分） 【解答】解：（Ⅰ）由底面ABCD 为平行四边形，知//AB CD ， 又因为AB ⊂/平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， 所以//AB 平面CDE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 同理//AF 平面CDE ， 又因为AB AF A =I ，所以平面//ABF 平面CDE ．⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 又因为BF ⊂平面ABF ，所以//BF 平面CDE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （Ⅱ）连接BD ，因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ⋂平面ABCD AD =，DE AD ⊥， 所以DE ⊥平面ABCD ．则DE DB ⊥． 又因为DE AD ⊥，AD BE ⊥，DE BE E =I ， 所以AD ⊥平面BDE ，则AD BD ⊥．故DA ，DB ，DE 两两垂直，所以以DA ，DB ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）则(0D ，0，0)，(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1C -，1，0)，(0E ，0，2)，(1F ，0，1)， 所以(0,1,2)BE =-u u u r ，(1,0,1)EF =-u u u r ，(0n =r，1，0)为平面DEF 的一个法向量．设平面BEF 的一个法向量为(m x =r，y ，)z ，由0m BE =u u u r r g ，0m EF =u u ur r g ，得20,0,y z x z -+=⎧⎨-=⎩令1z =，得(1m =r，2，1)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）所以cos m <r，6||||m n n m n >==r rg r r r ．如图可得二面角B EF D --为锐角， 所以二面角B EF D --6⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） （Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分） 证明如下：设(0,,2)([0,1])BQ BE λλλλ==-∈u u u r u u u r， 所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-u u u r u u u r u u u r．设平面CDQ 的法向量为(u a =r，b ，)c ，又因为(1,1,0)DC =-u u u r ， 所以0u DQ =u u u r r g ，0u DC =u u ur r g ，即(1)20,0,b c a b λλ-+=⎧⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨-+=⎩（12分） 若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0m u =r rg ，即20a b c ++=，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分） 解得1[0,1]7λ=∈．所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =．⋯⋯（14分） 【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为12681011121217211010+++++++++=，乙组10名学生阅读量的平均值为124412131616(10)20981010a a+++++++++++=． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）由题意，得981010a+>，即2a <．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 故图中a 的取值为0或1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人． 由题意，随机变量X 的所有可能取值为：1，2，3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）且2123353(1)10C C P X C ===g ，1223353(2)5C C P X C ===g ，33351(3)10C P X C ===．⋯⋯（8分） 所以随机变量X 的分布列为：⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） （Ⅲ）222102s s s <<．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分）【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=， 即22()33x x me x me x ---+=-+对于任意实数x 都成立， 所以0m =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+． 由()0h x '=，解得1x =±．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增．⋯⋯⋯⋯⋯（5分） 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值h （1）2=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（Ⅱ）由2()30xf x me x =-+=，得23x x m e-=．所以“()f x 在区间[2-，4]上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()xx g x e -=，[2x ∈-，4]有且只有两个公共点”． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 对函数()g x 求导，得223()xx x g x e -++'=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）由()0g x '=，解得11x =-，23x =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增．⋯⋯⋯⋯⋯（11分） 又因为2(2)g e -=，(1)2g e -=-，36(3)(2)g g e =<-，413(4)(1)g g e=>-， 所以当4132e m e -<<或36m e=时，直线y m =与曲线23()xx g x e -=，[2x ∈-，4]有且只有两个公共点． 即当4132e m e -<<或36m e=时，函数()f x 在区间[2-，4]上有两个零点．⋯⋯（13分） 【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得244a m ==，解得1m =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）所以椭圆W 方程为2214x y +=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）当0n =，及直线CD x ⊥轴时，易得(0,1)C ，(0,1)D -．且(2,0)A -，(2,0)B ． 所以||4AB =，||2CD =，显然此时四边形ACBD 为菱形，所以四边形ACBD 的面积为14242⨯⨯=．⋯⋯（5分）（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W 的方程，得C ，(1,D ，易得CB的方程为2)y x =-．则(4,M，(6,AM =u u u u r，(3,AD =u u u r ，所以2AM AD =u u u u r u u u r，即A ，D ，M 三点共线．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，联立方程22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=．⋯⋯⋯（9分） 由题意，得△0>恒成立，故2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+．⋯⋯⋯⋯⋯（10分）直线CB 的方程为11(2)2yy x x =--．令4x =，得112(4,)2y M x -．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）又因为(2,0)A -，2(D x ，2)y ， 则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-，⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+． 上式中的分子22211221121212224483(2)(2)3(1)(2)(1)(2)25()82584141k k y x y x k x x k x x kx x k x x k k k kk k ---+=----+=-++=⨯-⨯+++，所以0AD AM k k -=．所以A ，D ，M 三点共线．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分） 【解答】（Ⅰ）解：由题意，可写出如下的完美数表：此时，12112112221(1)110p a a a a =+=⨯-+⨯=，∴此完美数表符合条件．（Ⅱ）证明：假设存在10行10列的完美数表A ． 根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即1+均变为1-，而1-均变为1)+，得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表． 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1，2行中的数为1，且第3行中的数为1-”的有y 列，前三行中“第1，3行中的数为1，且第2行中的数为1-”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2，3行中的数为1-”的有w 列（如上表所示），则10x y z w +++=①由120p =，得x y z w +=+； ② 由130p =，得x z y w +=+； ③ 由230p =，得x w y z +=+．④解方程组①，②，③，④，得52x y z w ====． 这与x ，y ，z ，w N ∈矛盾， 所以不存在10行10列的完美数表．（Ⅲ）证明：记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X ++⋯+=，第2列前l 行中的数的和122222l a a a X ++⋯+=，⋯⋯，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X ++⋯+=， Q 对于任意的1i =，2，⋯，l 和1j =，2，⋯，k ，都有1ij a =，∴12k X X X l ==⋯==．又Q 对于任意s ，()t s t ≠，都有0st p =，∴22212n X X X ln ++⋯+=． 又Q 22222221212n k X X X X X X l k ++⋯+++⋯+=…， 2ln l k ∴…，即kl n „．。

北京市一模统一考试高三数学（理科）本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，则AB = （ ）A.{|01}x x ≤≤B.{|0x x >或1}x <-C. {|12}x x <≤D.{|02}x x <≤2.复数21i i =+（ ） A.1i + B ．1i - C. 1i -+D ．1i --3.已知两条直线,a b 和平面α，若,a b b α⊥⊄，则“a α⊥”是“//b α”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为 （ ） AC.25.执行如图所示的程序框图,若输出的a 的值为15，则判断框应填写 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5（4题图）2013201420151季度 2季度 3季度 4季度 1季度 2季度 3季度 4季度 1季度2013年 2014年 2015年年份增长率/%6.已知等比数列{}n a 的公比1q ≠，则下面说法中不正确．．．的是 （ ） A.2{}n n a a ++是等比数列 B.对于k *∈N ，1k >，112k k k a a a -++≠C ．对于n *∈N ，都有20n n a a +>D ．若21a a >，则对于任意n *∈N ，都有1n n a a +> 7.如图是近三年某市生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据该市统计局初步核算，2015年一季度全市生产总值为1552.38亿元，与去年同一时期相比增长12.9%（如图，折线图中其它数据类同）．根据统计图得出正确判断是 （ ） A ．近三年该市生产总值为负增长 B. 近三年该市生产总值为正增长 C ．该市生产总值2013年到2014年 为负增长，2014年到2015年为正增长 D.以上A 、B 、C 的判断都不正确8.已知偶函数()f x ，奇函数()g x 的图像分别如图（1）、图（2）所示，方程(())0f g x =，(())0g f x =的实根的个数分别为,a b ，则a b += （ ）A ．3B ．7C ．10D ．14）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某校高一学雷锋志愿小组共有8人，其中一班、二班、三班、四班各2人，现在从中任选3人，要求每班至多选1人，不同的选取方法的种数为 .（图2）x10. 2022年冬奥会高山滑雪项目将在延庆小海坨山举行。