信号与线性系统-8

信号与线性系统-8

(总分：100.00，做题时间：90分钟)

一、计算题(总题数：22，分数：100.00)

绘出下列离散信号的图形。（分数：8.00）

(1).（分数：2.00）

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正确答案：()

解析：解 是一个公比为 的等比序列，且该序列起始于k=0。

其图形如图(a)所示。

(2).2δ(k)-ε(k)（分数：2.00）

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正确答案：()

解析：解 此序列也是起始于k=0的，其图形如图(b)所示。

(3).（分数：2.00）

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正确答案：()

解析：解 此序列可看做是对连续时间信号(1+sin(2πt))ε(t)以每周期取16个样本点而得到的，故其图形如图(c)所示。

(4).k(2) -k ε(k)（分数：2.00）

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正确答案：()

解析：解 此序列起始于k=1，其图形如图(d)所示。

绘出下列离散信号的图形。（分数：8.00）

(1).k[ε(k+4)-ε(k-4)]（分数：2.00）

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正确答案：()

解析：解 因

故此信号的图形如图(a)所示。

(2).1-ε(k-4)（分数：2.00）

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正确答案：() 解析：解 因

故此信号的图形如图(b)所示。

(3).2 k [ε(-k)-ε(3-k)]（分数：2.00）

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正确答案：()

解析：解 因

故此信号的图形如图(c)所示。

(4).(k

2 +k+1)[δ(k+1)-2δ(k)]（分数：2.00）

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正确答案：()

解析：解 因

故此信号的图形如图(d)所示。

1.写出图所示序列的函数表达式。

（分数：2.00）

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正确答案：()

解析：解 (a)由图(a)可知该序列在0≤k≤4时值为2，故可利用单位阶跃序列表示为

f(k)=2[ε(k)-ε(k-5)]

(b)由图(b)可知该序列是一个以 为首项，以 为公差的等差右边序列，故其函数表达式为

(c)由图(c)可知该序列在-3≤k≤-1时值为1，在1≤k≤3时值为-1，故利用单位阶跃序列可表示为

f(k)=[ε(-k-1)-ε(-k-4)]-[ε(k-1)-ε(k-4)]

(d)由图(d)可知该序列在区间[-3，-1]上值满足表达式8+2k，在区间[1，3]上满足表达式8-2k，且k=0时值为6，故其函数表达式为

f(k)=(8+2k)[ε(-k-1)-ε(-k-4)]

+6δ(k)+(8-2k)[ε(k-1)-ε(k-4)]

或f(k)=(8+2k)[ε(-k-1)-ε(-k-4)]

-2δ(k)+(8-2k)[ε(k)-ε(k-4)]

或f(k)=(8+2k)[ε(-k)-ε(-k-4)]-10δ(k)

+(8-2k)[ε(k)-ε(k-4)]

用归纳法写出下列右边序列的闭式。（分数：8.00）

(1).{1，-1，1，-1，…}（分数：2.00）

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正确答案：()

解析：解 由于该序列中1与-1交替出现，满足(-1) k ，故该序列的闭式为

y(k)=(-1) k ε(k) (2).（分数：2.00）

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正确答案：()

解析：解 由于该序列满足 ，故该序列的闭式为

(3).{-2，-1，2，7，14，23，…}（分数：2.00）

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正确答案：()

解析：解 由于该序列满足k 2 -2，故该序列的闭式为

y(k)=(k 2 -2)ε(k)

(4).{3 2 +8，5 2 +11，7 2 +14，9 2 +17，…}（分数：2.00）

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正确答案：()

解析：解 由于该序列满足(3+2k) 2 +3(3+k)-1，故该序列的闭式为

y(k)=(4k 2 +15k+17)ε(k)

2.判断下列信号是否是周期性信号，如果是则其周期为多少?

(1)sin(k)

(2)e j0.4πk

(3)sin(0.2πk)+cos(0.3πk)

(4)cos(0.512πk)

(5)sgn[(-0.23) k ]

(6)sin(πk)ε(k)

（分数：2.00）

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正确答案：()

解析：解 根据周期信号的定义，对于离散信号f(k)，若存在某个正整数N，使f(k+N)=f(k)，则f(k)是以N为周期的。

(1)要使sin(k+N)=sink，不难知

N=2πn(n为整数)

但2πn不是整数，所以sink不是周期信号。

(2)e j0.4πk =cos(0.4πk)+jsin(0.4πk)

要使cos[0.4π(k+N)]=cos(0.4πk)

需0.4πN=2πn(n为整数)

即 N=5n

可见存在正整数，使cos[0.4π(k+N)]=cos(0.4πk)

所以cos(0.4πk)是周期的，且最小周期N=5。

同理可知sin(0.4πk)也是以5为周期的序列，从而e j0.4πk 是周期的，且周期为5。

(3)对于sin(0.2πk)，由sin[0.2π(k+N 1 )]=sin(0.2πk)可求得N 1 =10n。当n=1时，N 1 =10，即sin(0.2πk)是周期为10的序列。

对于cos(0.3πk)，由cos[0.3π(k+N 2 )]=cos(0.3πk)可求得 。当n=3时，N 2 =20，即cos(0.3πk)是周期为20的序列。

所以对于sin(0.2πk)+cos(0.3πk)，其周期为N 1 和N 2 的最小公倍数，亦即20。

(4)由cos[0.512π(k+N)]=cos(0.512πk)可得

取n=32可得N=125，即cos(0.512πk)是周期为125的周期序列。

(5)因为

所以sgn[(-0.23) k ]是周期性信号，周期为2。

(6)因为ε(k)是非周期性信号，所以sin(πk)ε(k)是非周期性信号。

3.一个有限长连续时间信号，时间长度为2min，频谱包含有直流至100Hz分量的连续时间信号。为便于计算机处理，对其抽样以构成离散信号，求最小的理想取样点数。

（分数：2.00）

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正确答案：()

解析：解

对于此连续信号，其最大频率f max =100Hz，由香农抽样定理知，最小抽样频率

f

smin =2f

max =200Hz

即最大抽样时间间隔

所以在长度为2min的时间里，可得到

理想取样点，此即为最小取样点数。

4.设一连续时间信号，其频谱包含有直流、1kHz、2kHz、3kHz四个频率分量，幅度分别为0.5、1、0.5、0.25；相位谱为0，试以10kHz的抽样频率对该信号抽样，画出抽样后所得离散序列在0～25kHz频率范围内的频谱。

（分数：2.00）

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正确答案：()

解析：解 理解抽样信号与原信号的频谱之间有如下关系：

或

即，抽样后的频谱为原序列频谱以抽样频率为周期进行周期延拓得到的。故在0～25kHz范围内共有三个周期。其频谱如图所示。

5.对信号 ，以抽样时间间隔分别为 及 进行理想抽样，试绘出抽样后所得序列的频谱并作比较。

（分数：2.00）

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正确答案：()

解析：解 原信号f(t)的频谱F(jω)为

由于

根据对称性，且令τ=2πB s ，可得