复变函数第一章讲义

1 / 7 引言

复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。

1545年意大利数学物理学家HCardan在所著《重要的艺术》一书中列出并解出将10分成两部分，使其积为40的问题,即求方程(10)40xx的根。他求出形式的根为55和55，积为25(15)40。

但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.因而复数在历史上长期不能为人们所接受。“虚数"这一名词就恰好反映了这一点。

直到十八世纪，JRDAlembert,LEuler等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义,建立了系统的复数理论,从而使人们缍接受并理解了复数。

复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕Cauchy、Weierstrass和Riemann三人的工作进行的。

到本世纪,复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它学科及数学的其它分支中,复数函数论都有着重要应用。

第一章 复数与复变函数

教学重点： 复变函数的极限和连续性

教学难点： 复平面上点集的n个概念

教学基本要求:1、了解复数定义及其几何意义，熟练掌握复数运算

２、知道无穷远点邻域

3、了解单连通区域与复连通区域

４、理解复变函数、极限与连续

§１复数

1、复数域

形如zxiy或zxyi的数,称为复数,其中x和y均是实数，分别称为z的实部和虚部，记作Rexz，Imyz；1i称为虚单位.

两个复数111zxiy，222zxiy，12zz1212,xxyy.

虚部为零的复数可看作实数。因此，全体实数是全体复数的一部分.

xiy和xiy称为互为共轭复数，记为xiyxiy或xiyxiy．

复数四则运算规定为：

121212()()zzxxiyy 1212121221()()zzxxyyixyxy

1121212122222222222(0)zxxyyyxxyizzxyxy 易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。

全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的。

2、复平面

一个复数zxiy实际上是由一对有序实数(,)xy唯一确定，因此，若平面上的点(,)xy与复数zxiy对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系。由于x轴上的点和y轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而通常称x轴为实轴，y轴为虚轴，这样表示复数z的平面称为复平面或z平面。

3、复数的模与幅角

由图1—１中可以知道,z与从原点到点z所引的向量oz也构成一一对应关系。从而，我们能够借助于z的极坐标r和来确定点z，oz的长度称为复数z的模，记为2 / 7 220rzxy 根据向量的运算及几何知识，得到两个重要的不等式：

1212zzzz 1212zzzz

oz与实轴正向间的夹角满足tanyx称为z的幅角（Arguent）,记作Argz，任一非复数z均有无穷多个幅角，以argz表示其中一个特定值，并称满足条件argz的一个值为Argz的主值或z的主幅角，则有arg2Argzzk

(0,1,2,)k

注：当0z时,0r，幅角无意义

从直角坐标与极坐标关系有(cossin)zri(三角形式） （１）

若引进著名的Euler公式:cossiniei,则(１)可化为izre （指数形式）

（２），由（2）及指数函数性质即可推得12()1212izzrre， 12()1122izrezr

因此1212zzzz，1122zzzz， 1212arg()argargzzzz ,

1122arg()argargzzzz

特别地，当12nzzzz时,有()(cossin)ninninnzrerernin,当1r时，有(cossin)cossinnninnin(DeMoivre公式）

例1．１ 求cos3及sin3用cos与sin表示的式子。

４、曲线的复数方程

例1.2 连接1z及2z两点的线段的参数方程为：121()zztzz (01)t

连接1z及2z两点的直线的参数方程为：121()zztzz ()t

例1。3 z平面上以原点心，k为半径的圆周的方程为zR,z平面上以0z为心，R为半径的圆周的方程为0zzR

例1．4 z平面上实轴的方程为 Im0z 虚轴的方程为 Re0z

§2复平面上的点集

１、几个基本概念

定义1。1 满足不等式0zz的所有点z组成的平面点集称为0z的-邻域,记为0()Nz.

定义1.2 设E为一平面点集,若点0z的任意邻域内均有E的无穷多个点，则称0z为E的聚点；若0使得0()NzE则称0z为E的内点.

定义1．3 若E上的每个聚点都属于E，则称E为闭集；若E的所有点均为内点，则称E为开集。

定义１．4 若0M，zE均有zM,则称E为有界集，否则称E为无界集。

２、区域与Jordan曲线

定义1.5 若非空点集D满足下列两个条件: （１）D为开集

（2)D中任意两点均可用全在D中的折线连接起来，则称D为区域.

定义1．6 若0z为区域D的聚点,且0z不是D的内点,则称0z为D的界点,D的所有界点组成D的边界,记为D，若00,..()0rrstNz，则称0z为D的外点。

定义１。７区域D加上它的边界C称为闭区域，记为DDC。

例1.5 z平面上以点0z为心，R为半径的圆周内部(即圆形区域）：0zzR

例1。6 z平面上以0z为心,R为半径的圆周及其内部(即圆形闭区域）：0zzR

例1.7 上半平面 Im0z

下半平面 Im0z

它们都是以实轴Im0z为边界,且均为无界区域。

左半平面 Re0z

右半平面 Re0z

它们以虚轴Re0z为边界，且均为无界区域。

例1.8 图1－7所示的带形区域表为12Imyzy

其边界为1yy与2yy，亦为无界区域

2yy

1yy

例１.9图1-8所示的圆环区域表为rzR 其边界为zr与zR,为有界区域.

定义1.８设()xt及()yt是两个关于实数t在闭区间[]，上的连续函数，则由方程()()()zztxtiyt()t所确定的点集C称为z平面上一条连续曲线,对任意满足1t及2t的1t与2t,若12tt时有12()()ztzt,则点1()zt称为C的重点；无重点的连续曲线称为简单曲线（Jordan）；()()zz的Jordan曲线称为简单闭曲线；若在t上时,()xt及()yt存在且不全为零,则称C为光滑（闭)曲线。

定义1．9由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线。

定理1-１（Jordan定理）

任一简单闭曲线C将z平面唯一地分为c,()Ic及()Ec三个点集(下图），它们是有如

下性质：（1）彼此不交；

（２)()Ic与()Ec一个为界区域(c的内部),另一个为无界区域(c的外部）;

（3)若简单折线p的一个端点属于()Ic,另一个端点属于()Ec，则p与c必有交点。

对简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察者沿c绕行一周时，c的内部（或外部

)始终在c的左方，即“逆时针"（或“顺时针”）方向，称为c的正方向（或负方向）。

定义1．１０若平面上的区域D内任意一条简单闭曲线的内部全含于D,则称D为单连通区域，不是单连通区域称为多连通区域。

例如 例1。5-1。8 所示的区域均为单连通区域；例1。9所示区域为多连通区域。

作业：12P 3. 5. 7. 8 §３ 复变函数

一、教学目标或要求:

掌握复变函数概念、反变换、极限与连续、比较与数学分析中同与不同

二、教学内容(包括基本内容、重点、难点）:

基本内容:复变函数概念、反变换、极限与连续、比较与数学分析中同与不同

重点：比较与数学分析中异同点

难点: 比较与数学分析中异同点

三、思考题、讨论题、作业与练习：

习题一１1－19

1.复变函数的概念

定义1．12 设E为一复数集，若对E内每一复数z,有唯一确定的复数w与之对应,则称在E上确定了一个单值函数)(zfw,如对内每一复数z，有几个或无穷多个w与之对应，则称在E上确定了一个多值函数(),()fzzE，E称为函数)(zfw的定义域。对于E,w值的全体所成集称为函数)(zfw的值域.

例2||,,zzwz等均为单值函数。,nzArgz等均为多值函数.

注 以后如不特别说明,所提函数均指单值函数.

复变函数一般有三种表示形式: ﻫ （1）(),()fzzE

(2）若令zxiy，则有(,)(,),((,))uxyivxyxyE

ﻫ （3） 若令(cossin)zri, 则有(,)(,)PriQr。

复变函数)(zfw的定义类似于数学分析中实函数)(xfy的定义，不同的是前者)(zfw是复平面到复平面的映射，所以复变函数不能用同一个平面或同一个三维空间中的几何图形来表示。要描述)(zfw的图形，可取两张复平面,分别称为z平面与w平面,而把复变函数理解为两个复平面上的点集间的对应，如图1．７所示. 具体地说，复变函数)(zfw给出了从z平面上的点集D到w平面上的点集F间的一个对应关系，与点zD对应的点)(zfw称为z点的象点,而z点就称为)(zfw的原象.

定义 １.１3 若对z平面上点集E的

任一点ｚ,有平面上点集F的点，使得)(zfw,则称)(zfw把变（映）入（简记为()fEF），或称)(zfw是到的入变换。

定义1．1４ 若()fEF，且对任一点,有的点，使得，则称把变（映)成，简记为，或称是到的满变换.

定义1.15 若是点集到的满变换，且对中的每一点, 在

中有一个或至少两个点与之相对应,则在上确定了一个单值或多值函数,

记为,称为的反函数;若是到的单值变换，则称

是到的双方单值变换或——变换。

例 函数2z把z平面上的下列曲线度为Ｗ平面上的何种曲线?

（1） 以原点为心,２为半径，在第一象限里的圆弧；

（2） 倾角3的直线；

（3） 双曲线224xy；

解：（1)设

(cossin),(cossin)zxiyriwuivRi