大学物理(二)答案

1 大学物理（二）练习册 参考解答

第12章 真空中的静电场

一、选择题

1(A)，2(C)，3(C)，4(A)，5(C)，6(B)，7(C)，8(D)，9(D)，10(B)，

二、填空题

(1). 电场强度和电势，0/qFE，lEqWUaa00d/(U0=0).

(2). 042/qq， q1、q2、q3、q4 ；

(3). 0， / (20) ； (4). R / (20) ；

(5). 0 ； (6). 00114rrq ；

(7). －2³103 V； (8). barrqq11400

(9). 0，pE sin ； (10). jyxixy40122482 (SI) ；

三、计算题

1. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强．

解：在O点建立坐标系如图所示．

半无限长直线A∞在O点产生的场强：

 jiRE014

半无限长直线B∞在O点产生的场强：

jiRE024

四分之一圆弧段在O点产生的场强：

jiRE034

由场强叠加原理，O点合场强为：

jiREEEE03214

OBA∞∞yx3E2E1E O

B A

∞ ∞

2 2. 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E垂直于地面向下，大小约为100

N/C；在离地面1.5 km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C．

(1) 假设地面上各处E都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；

(2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度．(已知：真空介电常量0＝8.85³10-12 C2²N-1²m-2)

解：(1) 设电荷的平均体密度为，取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面，底面S平行地面)上下底面处的

场强分别为E1和E2，则通过高斯面的电场强度通量为：

E²Sd＝E2S-E1S＝(E2-E1) S

高斯面S包围的电荷∑qi＝hS

由高斯定理(E2－E1) S＝hS/ 0 ∴

 EEh1201＝4.43³10-13 C/m3

(2) 设地面面电荷密度为．由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取高斯面如图(2)

由高斯定理 E²Sd=i01q

-ES=S01

∴  =－ 0 E＝－8.9³10-10 C/m3

3. 带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为=0sin，式中0为一常数，为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．

解：在处取电荷元，其电荷为dq =dl = 0Rsind

它在O点产生的场强为RRqE00204dsin4dd

在x、y轴上的二个分量

dEx=－dEcos， dEy=－dEsin

对各分量分别求和

000dcossin4REx＝0

RREy0002008dsin4

∴ jRjEiEEyx008

E (2) y

R

x O

y R x d dEx

dEy O

dE dq

S

E2 S E1

(1) h

3 4. 一“无限长”圆柱面，其电荷面密度为：

= 0cos ，式中为半径R与x轴所夹的角，

试求圆柱轴线上一点的场强．

解：将柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为“无限长”均匀带电直线，其电荷线密度为

 = 0cos Rd，

它在O点产生的场强为：

dsco22d000RE

它沿x、y轴上的二个分量为：

dEx=－dEcos =dsco2200

dEy=－dEsin =dscosin200

积分：20200dsco2xE＝002

0)d(sinsin22000yE

∴ iiEEx002

5. 一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为

4πRqr (r≤R) (q为一正的常量)

= 0 (r>R)

试求：(1) 带电球体的总电荷；(2) 球内、外各点的电场强度；(3) 球内、外各点的电势．

解：(1) 在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为

dq = dV = qr 4r2dr/(R4) = 4qr3dr/R4

则球体所带的总电荷为 qrrRqVQrV034d/4d

(2) 在球内作一半径为r1的高斯球面，按高斯定理有

404102401211d414RqrrrRqrErr

得 402114RqrE (r1≤R)，1E方向沿半径向外．

在球体外作半径为r2的高斯球面，按高斯定理有 0222/4qEr

得 22024rqE (r2 >R)，2E方向沿半径向外．

(3) 球内电势 O

R z

y

x 

O

x R y

d dEx

dEy dE

4 RRrrErEUdd2111RRrrrqrRqrd4d4204021

40310123RqrRq3310412RrRq Rr1

球外电势

2020224d4d22rqrrqrEUrRr Rr2

6. 如图所示，一厚为b的“无限大”带电平板 ， 其电荷体密度分布为＝kx (0≤x≤b )，式中k为一正的常量．求：

(1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小；

(2) 平板内任一点P处的电场强度；

(3) 场强为零的点在何处？

解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为E．

作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S，如图所示．

按高斯定理0/dqSES，即

0200002dd12kSbxxkSxSSEbb

得到 E = kb2 / (40) (板外两侧)

(2) 过P点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S．设该处场强为E，如图所示．按高斯定理有

02002kSbxdxkSSEEx

得到 22220bxkE (0≤x≤b)

(3) E=0，必须是0222bx， 可得2/bx

7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为．如图所示，试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O点的电势为零)．

解：将题中的电荷分布看作为面密度为的大平面和面密度为－的圆盘叠加的

结果．选x轴垂直于平面，坐标原点Ｏ在圆盘中心，大平面在x处产生的场强为

ixxE012σ

x

b P1 P2 P

x O

x S

P S E E S S E

dx b

E

OR

5 圆盘在该处的场强为

ixRxxE2202112σ 

∴ ixRxEEE220212σ

该点电势为

22002202d2xRRxRxxUx

8．一真空二极管，其主要构件是一个半径R1＝5³10-4 m的圆柱形阴极A和一个套在阴极外的半径R2＝4.5³10-3 m的同轴圆筒形阳极B，如图所示．阳极电势比阴极高300 V，忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力．(基本电荷e＝1.6³10-19 C)

解：与阴极同轴作半径为r (R1＜r＜R2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为．按高斯定理有 2rE = / 0

得到 E=  / (20r) (R1＜r＜R2)

方向沿半径指向轴线．两极之间电势差

21d2d0RRBABArrrEUU120ln2RR

得到 120/ln2RRUUAB， 所以 rRRUUEAB1/ln12

在阴极表面处电子受电场力的大小为

11211/cRRRUUeReEFAB

＝4.37³10-14 N

方向沿半径指向阳极．

四 研讨题

1. 真空中点电荷q的静电场场强大小为