数学建模与数学实验课后习题答案
- 格式：docx
- 大小：120.62 KB
- 文档页数：16
P59
4•学校共1002名学生，237人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432 人住在C宿舍。学生要组织一个10人的委员会，使用Q值法分配各 宿舍的委员数。
解:设P表示人数，N表示要分配的总席位数。i表示各个宿舍（分别取 A,B,C）， pi表
示i宿舍现有住宿人数， ni表示i宿舍分配到的委员席位。
首先，我们先按比例分配委员席位。
23710
A 宿舍为:nA= =2.365 1002
333"0
B 宿舍为：nB = 3.323 1002
432X0
C 宿舍为：nC = 4.311 1002
现已分完9人，剩1人用Q值法分配。
经比较可得，最后一席位应分给 A宿舍。
所以，总的席位分配应为： A宿舍3个席位，B宿舍3个席位，C宿舍4个席位。QA 2372
2 3 = 9361.5
QB 3332
3 4 = 9240.7
QC 4322
4 5 =9331.2 商人们怎样安全过河
傻麴删舫紬削＜ I11山名畝
臥蹄峨颂
禮训鋤嫌邂 韻靖甘讹岸讎鞍輯毗匍趾曲展 縣確牡GH錚俩軸飙奸比臥鋪謎 smm彌 鯉械
即第紘麵觎岸締熾 x^M 曲颁M删牘 HX…
佛讪卜过樹蘇 卜允棘髒合 岡仇卅毘冋如;冋冋1卯;砰=口 於广歎煙船上觸人敦 % VOJU;
xMmm 朗“…
他1曲策D咿川| thPl,2卜允隸策集合 刼為和啊母紳轉 多步贱
就匚叫=1入“山使曲并按
腿翻律由汩3』和騒側），
模型求解 -穷举法〜编程上机 ■图解法 S={(x?jOI x=o, j-0,1,2,3;
X=3? J =0,1,2,3； X=»*=1,2}
J
规格化方法，易于推广考虑4名商人各带一随从的情况状态$=（xy¥）~ 16个格点
允许状态〜U）个。点 , 允许决策〜移动1或2格； k奇）左下移；&偶，右上移.
右，…，必I给出安全渡河方案
评注和思考 ［廿
rfn
片十i ,rfl
1 2 3x mm
賤縣臓 由上题可求：4个商人，4个随从安全过河的方案。
解：用最多乘两人的船，无法安全过河。所以需要改乘最多三人乘坐
的船。
如图所示，图中实线表示为从开始的岸边到河对岸， 虚线表示从河对
岸回来。商人只需要按照图中的步骤走，即可安全渡河。总共需要 9
液体在水平等直径的管内流动， 设两点的压强差△ P与下列变量
有关：管径d, p ,v,l,卩,管壁粗糙度△，试求△ P的表达式
解：物理量之间的关系写为为 p= d,「,v,l,~u。
各个物理量的量纲分别为
l -p I - L2MT
Ap = Pv呼(兀」2} - 1 -3 1 1 -1 2 01
A3 >7 = 0 1 0 0 11 11 0
0 0 -1 0 -1 -3 0_
其中 Ay 二 0解得
G1
•1 -2 1 0 0 0)T
=(0 -i
-1 0 1 0 0T
=(0 -1
-3 0 0 1 0$
=(0 0 0 0 0 0 1 T
所以
昭1 = :d'PWi 兀2 —
兀3 y2
y3
y4 yi
因为 f d,「,v,l, d ：p =0与 F ,，二 △是- -个无量纲量。
P」v」Ap 兀4 =△ P60
U-L"M , v^LT’ , ^-L -LJMTJ ,
4 = 0是等价的，所以△ P的表达式为: P77
1. 在一块边长为6m的正方形空地上建造一个容积为 50m3，深5m的长方体无盖水池，如
果池底和池壁的造价每平方米分别为 137元和100元，那么水池的最低总造价为多少元？
设:建立优化模型。v表示为水池容积，h表示为水池深度，C1表示水池池底每平方米造价,
C2表示水池池壁每平方米造价， Z表示总造价，x表示池底长度，y表示池底宽度。
解:建立模型：Z = VG・C2 2h (x y)，其中x _5，x岂6。
h 3
代入数值，可化简为:Z =1370 1000 x 10000，(- < 6) x 3
模型求解：使用matlab编程求解可得：
fun ctio n f=fun(x)
f=1370+1000*x+10000/x;
end
x=5/3:0.1:6;
fplot('fu n',[5/3,6])
[x,fval]=fmi nbn d('fu n',5/3,6)
A=vpa(fval,6)
其中a的结果为A = (sym) 7694.56
所以水池的最低总造价为 7694.56元 2. 对边长为2m的正方形铁板，在4个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽， 剪使水槽的容积最大？
设:建立优化模型。v表示体积，I表示正方体的边长, 解:建立模型：v =(l -2X)2 .X，其中 x 0， x ::： 1。
代入数值，可化简为：v = 4x‘ _8x2 • 4x。其中(0 ：：： x :: 1)。
模型求解：使用matlab编程求解可得
fun ctio n f=fun(x) f=-(4*xA3-8*xA2+4*x); end x=0:0.01:1;
fplot('fu n',[0:1])
[x,fval]=fmi nbn d('fu n',0:1) a=vpa(x,6)
b=vpa(fval,6)
所以水槽的容积最大 0.592593立方米。则该如何
X表示剪去的正方体的边长。
其中a与b的值分别为 a =0.333320，b =-0.592593 所以为获最大利润，该厂的日产量应定为 19件.
3. 生产某种电子原件，如果生产一件合格品， 可获利200元，如果生产一件次品则损失 100 元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率 p与日产量x的函数关系是 p= 3 x
4 x + 37
(x N )。
(1) 、将该产品的日盈利额 t (元)表示为日产量 x的函数
(2) 、为获最大利润，该厂的日产量应定为多少件？
设:建立优化模型。x表示日生产量。 Ci表示为生产一件合格品的获利金额。 C2表示为生
产一件次品损失的金额。 t表示为日盈利额。
解:建立模型：t =6x(1 — p) C2xp。代入数值，可化简为 t=200x-300・
3x2。
4x + 37
模型求解：使用matlab编程求解可得：
fun cti on f=fun(x)
f=-(200*x-900*xA2/(4*x+37));
end
x=0:100;
fplot('fu n',[0,100])
[x,fval]=fmi nbn d('fu n',0,100)
其中的结果为：x =18.5000,fval =-925.0000; 1某饲养场用n种原料配合成饲料喂鸡，为了让鸡生长得快，对 m种营养成分有一个最低
标准，即对i =1,2，…，m ,要求第i种营养成分在饲料中的含量不少于 b ,若每单位的第j
种原料中含第i种营养成分的量为ay ,第j种原料的单价为q ,问应如何配制饲料才能是 成本最低？
解：设原料中j的量为Xj ,Cj为第j种原料的单价，bj为第i种营养成分在饲料中的含量的最 低值,z为配制饲料的最低成本。
目标函数为：
n
Min z =二 Xj Cj
j弓
n
S.t. ' aij - b，i =1,2,3，…m
j 土
xj _0 , j =1,2,3,...n
2、拟分配甲，乙，丙，丁 4人去做4项工作，每人做且仅做一项。他们做各自工作的御用 天数见下表，应如何分配才能是总用工天数最少？
天数
i——n'工作
工人 1 2 3 4
甲 「 10 9 7 8
乙 5 8 7 7
丙 5 4 6 5
丁 2 3 4 5
解:设i=1,2,3,4分别对应甲乙丙丁， j =1,2,3,4分别对应工作1,2,3,4，其中x, =1表示第i名 工人做了第j分工作，舛-0表示第i名工人没做第j分工作，cij表示第i名工人做了第j 分工作的天数，z表示为总用工天数的最小值。
目标函数为：
4 4
Min z 八、Xj ■- Cij
j =1 i =1
4
S.t. _ Xij =1, j ~ 1,2,3,4
i ±
4
二 Xij = 1,i = 1,2,3,4
jT
Xj E (0,1 )
3、某校经预赛选出 A , B, C, D 4名学生。将派他们去参加该地区各学校之间的竞赛，此 次竞赛的4门功课考试将在同一时间进行， 因而每人只能参加一门比赛， 比赛结果将以团队
总分计名次(不计个人名次)。设下表是4名学生选拔时的成绩，应如何组队较好？
课程
学生 数学 物理 化学 外语
A 90 95 78 83
B 85 89 73 80
C 93 91 88 79
D 79 85 84 87
解:设i=1,2,3,4分别分别对应同学 A,B,C,D，j=1,2,3,4分别对应数学，物理，化学，外语，
其中Xj =1表示选了第i名同学的第j门课程，Xj =0表示不选择第i名同学的第j门课程，
Cij表示第i名同学做了第j门功课的成绩，z表示为成绩之和的最大值。
目标函数为：
4 4
Max z = '、 xij ■- cij
j 1 iW
4
S.t. xij =1, j =1,2,3,4
i 1
4
二 xij ~ 1, i - 1,2,3,4
j T
Xj € (0,1 )
8、要从宽度分别为 3 m和5 m的B1型和B2型两种标准卷纸中，沿着卷纸伸长的方向切
割出宽度分别为 1.5 m，2.1 m和2.7 m的A1型、A2型和A3型3种卷纸3000 m，10000 m
和6000 m。如何切割才能使耗费的标准卷纸的面积最少？
解:找出切割的各种方案；
万案 标准卷纸类型 1.5 2.1 2.7 余料
1
B1 2 0 0 0
2 0 1 0 0.9
3 0 0 1 0.3
4
B2 3 0 0 0.5
5 1 1 0 1.4
6 1 0 1 0.8
7 0 2 0 0.8
8 0 1 1 0.2
