数学建模课后习题答案
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方程及方程组的求解
路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧, 分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯,
它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚, 当两只路灯开启时
（1）两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？
（2）如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化, 如何路面上最暗点的亮度最大？
（3）如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化, 结果又如何？
解:
根据题意, 建立如图模型
P1=2kw P2=3kw
S=20m
照度计算公式:
2sinrpkI
（k为照度系数, 可取为1；
P为路灯的功率）
（1）设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点, 则两盏路灯在Q点的照度分别为
21111sinRpkI 22222sinRpkI
22121xhR
111sinRh
22222)(xshR
222sinRh
Q点的照度:
X
S
P1 P2
R1
α1 α2 Q y
x O R2
h1 h2 3232322222322111))20(36(18)25(10))((()(()(xxxshhPxhhPxI
要求最暗点和最亮点, 即为求函数I(x)的最大值和最小值, 所以应先求出函数的极值点
5252522222522111'))20(36()20(54)25(30))(()(3)(3)(xxxxxshxshPxhxhPxI利用MATLAB求得0)('xI时x的值
代码:
s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))');
s1=vpa(s,8);
s1
运行结果:
s1 =
19.97669581
9.338299136
8.538304309-11.61579012*i
.2848997038e-1
8.538304309+11.61579012*i
因为x>=0,
选取出有效的x值后, 利用MATLAB求出对应的I(x)的值, 如下表:
x 0 0.028489970 9.3382991 19.976695
20
I(x) 0.08197716 0.08198104 0.01824393 0.08447655 0.08447468
综上, x=9.33m时, 为最暗点；x=19.97m时, 为最亮点。
路灯2的高度可以变化时, Q点的照度为关于x和h2的二元函数:
32222323222223221112))20((3)25(10))(()(),(xhhxxshhPxhhPhxI
与（1）同理, 求出函数I(x,h2）的极值即为最暗点和最亮点 0))((3))((5222222322222xshhPxshPhI
利用matlab求得x:
solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0')
ans =
20+2^(1/2)*h
20-2^(1/2)*h
即x1=20+2^(1/2)*h （舍去） x2=20-2^(1/2)*h
0))20(()20(9)25()220(30-))(()(3)(35222252522222522111xhxhxhxshxshPxhxhPxI
利用matlab求解h2
solve('-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0')
ans =
7.4223928896768612557104509932965
14.120774098526835657369742179215
因为h在3~9之间, 所以h2=7.42239m
再利用matlab求解x和亮度I
算法: h=7.42239;
x=20-2^(1/2)*h
I=10/((25+x^2)^(3/2))+(3*h)/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))
结果: x =
9.5032
I =
0.0186
综上, x=9.5032 , h2=7.42239时, 最暗点的亮度最大, 为0.0186w。
两盏路灯的高度均可以变化时, I为关于x,h1,h2的三元函数, 用同样的方法求解
32222232211121))(()(),,(xshhPxhhPhhxI
0)(3)(5221211322111xhhPxhPhI
0))20((9))20((3))((3))((52222232225222222322222xhhxhxshhPxshPhI
0))20(()20(9)(6))(()(3)(35222252211522222522111xhxhxhxhxshxshPxhxhPxI
xh211
)20(212xh
252211252222)(2])20([)20(3xhxhxhxh
2522225222)21(22])20()20(21[()20(23xxxxxx =3332)20(1xx
利用matlab求解x, h1, h2的值:
算法: solve('1/((20-x)^3)=2/(3*(x^3))');
s1=vpa(s,6);
a=(1/sqrt(2))*s1;
a1=double(a);
b=(1/sqrt(2))*(20-s1);
b1=double(b);
a1,b1,s1
结果:
a1 =
6.5940
5.1883 +12.0274i
5.1883 -12.0274i
b1 =
7.5482
8.9538 -12.0274i
8.9538 +12.0274i
s1 =
9.32530
7.33738+17.0093*i
7.33738-17.0093*i
综上, h1 =6.5940, h2=7.5482 , x=9.32530时, 最暗点的亮度最大
数据插值
山区地貌: 在某山区测得一些地点的高程如下表3.8。平面区域为
（1200<=x<=4000,1200<=y<=3600)
试作出该山区的地貌图和等高线图, 并对几种插值方法进行比较。
表3.8 某山区高程表
1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000
1200 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700
1600 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850
2000 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950
2400 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010
2800 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070
3200 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550
3600 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980
利用matlab编程代码如下:
x=1200:400:4000;
y=1200:400:3600;
[xi,yi]=meshgrid(1200:4000,1200:3600);
z=[1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700;
1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850;
1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950;
1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010;
1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070;
1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550;
1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980];
线性插值法
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'linear');
mesh(xi,yi,zi)
title('线性插值法')
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
C=contourf(xi,yi,zi);
clabel(C);
title('等高线图') x
y
