10数值分析答案.doc
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要使其为极f⑷©
4! 研10《数值分析》答案
填空(每空2分)
(1)5 0.005 0.0000102; (2)4 0; (3) 2/一丄 4
(4)6 7 15 + 5^5 ； (5) 3 + 2血；(6) aw (-希,希)；(7)|C/|Y1;
(8)0Y〃Y0.02
一.推导计算
1. 解(待定参数法):根据节点条件及多项式性质，设所求函数为
H(x) = /(0) + /［0,l］(x-0) + /［0,l,2］(x-0)(x-l) + A(x-0)(x-l)(x-2)
代入导数条件，求出A=1
.-.H(X) = X3+1 设余项为 R(x) = f(x) - H(x) = K(x)x(x -1)2 (x- 2) 当
xe［l,2］且不同于0,1,2时,构造关于变量t的函数
g(0 = /(0-H(t)-K(aa-1)2(— 2)- 此函数是充分光滑的，且有零 点:0,l,2,x(l是2重零点)-在4个零点的3个区间上反复运用Rolle定理， 可知至少有一倚赖于0, 1, 2, x的点使
g ⑷ © 二严 ©- 4! g) = 0 = g)=
马°双—1)2(—2),兵(0,2)
［本题H(x)的推出也可以用［1］重节点的差商表方法；［2］直接设为
3次多项式一般式，代入条件建立方程组求出。
2. 解：由过原点条件，可知拟合函数形如：
尹(兀)=ax+bx2
故需按最小二乘法定义来推导。
3 2
设最小二乘拟合误差为32 = £»(和-卯 i=0必需符合
da
3£
db
[\fxco(x)dx = 0
: 积分展开并令xo + %! = V, XQX{ = U解相应方程组
£ yfxco(x)xdx = 0
zH _ 5 _10 u — —, v —— 是应有由韦达定理, 知亦是方程/号+春=0的根。 于是可求出 x0 =0.821162
X,
=0.289949 再由此积分公式对/(X)= 1, f(x) = X精确成 立得
§ = Jo 長dx =
4)+ 4
=£ yfxVxdx = AQXQ
+ A^xx 解之得 IJZo'Z ［本题也可利用 Gauss代数精度要求展开, 直接解一个4元非线性方程组。
联立 2工(axt + bx. - y,.)%,. = 0 i=0
3 2丫 (ax： + bx. - y^xr = 0 i=0
可得法方程 30 100 a = 17-2 -解之得 a=0.94968,b=-0.112903 100 354J|_Z?」55
y(x) = 0.94968%-0.112903x2
3 2
8-=— y.] = 0.005226或 0.0046
z=0
3. 解：设＜w(x) = (x-x0)(%-%［)为区间［0, 1］上带权依的正交多项式， 于
证明
1. 证 TA是一对称阵
我们令其顺序主子式
△3 — det A = 1 + 2a3 — 3a2 >- 00 —a —a
J = —a 0 —a 令 det(2/ - J) = (2 - tz)2
(2 + 2a) = 0
解之得冷YQYI 此条件下，A对称正定，G-S法收敛。
对Jacbi法，求出其迭代阵为 —a —a 0
于是可知，当p(7) = |2a|Yl,即-*YaY*时，雅可比法才收敛。
2. (a)即 /(x) = a— 丄，其牛顿迭代格式为x*+\= x*(2-axj ，仗=0,l,2....,a M 0)
(b)显然，迭代函数为(p(x) = x(2-ax)
T 0(—)=— •*.—即是0(兀)的不动点。 a a a
容易求岀：0(丄)=0, 0〃(丄)=-2aH0 所以该迭代公式是二阶收敛的 a a
■证
此方法的局部截断误差
T”+2 = y(xn+2h) + (b-l)y(xn+h)-by(xn)--[(b + 3)y/ (xn+2h) + (3b + l)y, (xn)]
将其各项函数在x”处泰勒展开并合并同类项得
1 Q 7
0+2 了9 + 1)力9 〃(兀J-G-石砂心⑷(兀)+ 0(巧一于是，当用—1时 3 o 24
人+2=-*9 + 1)力・〃(兀”)+ 0(胪)，方法是2阶的； 当b = -1时
3 7
^=e-—^4V<4,(X„)+O(/75),方法是3 阶的。
o 24
