(完美版)第10章习题解答数值分析
- 格式：docx
- 大小：45.86 KB
- 文档页数：10
0
第十章习题解答
1、用Euler方法及改进的Euler方法求解初值问题
y 二 x - y x [0,1]
I y(0) = 2
取h = 0.1，并将计算结果与精确值相比较。
解：f(x, y) = X- y,由Euler公式及改进的 Euler方法，代入 h = 0.1，有
果如下
n =0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xn =0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Yn =2 1.8000 1.6300 1.4870 1.3683 1.2715 1.1944 1.1350 1.0915 1.0623 1.0461
Yn =2 1.8150 1.6571 1.5237 1.4124 1.3212 1.2482 1.1916 1.1499 1.1217 1.1056
y 2 1.8145 1.6562 1.5225 1.4110 1.3 佃6 1.2464 1.1898 1.1480 1.1197 1.1036
yn为Euler方法的结果，yn为改进的Euler方法的结果，y为精确解。
2、用梯形公式求解初值问题
t2
3、试用Euler公式计算积分f et dt在点x=0.5, 1, 1.5, 2的近似值。
x2 x 2
解: f (x,y)二 2xe 由 Euler 公式得 y“ yn 2* 0.5x“e n，计算可得Euler方法 改进的Euler方法 yn 1 二 0.9 yn 0.1X 依次计算结
yn1 = 0.905 yn 0.095xn 0.005
y =「y
y(0p 1 x- 0
证明其近似解为 yn=(G)n。
证明：采用梯形公式得近似解为 yn1(1 yn(1 一 ~),yn 1 2 - h
齐yn，因此
2 - h
可得yn yn—1 2 h
证毕。 珂”)2% 二 2 h n咒)ny。 2+ h n = 0 1 2 3 4
X； = 0 0.5 1 1.5 2
yn = 0 0.6420 2.0011 6.7450 34.0441
4、定初值问题
r • y 工 siny X - X。
y(xo) = y。
试用Taylor展开法导出一个三阶的显式公式。
I
解：由Taylor公式，并代入 y = sin y可得
y(Xn h^ y Xn ) y x(n h) y 2；n)h2 y :; h 3 0 h (4 )
yn1 yn sinynh 皿 h2 口项助治
5、已知初值问题
y 二 x2 x - y y(0H
0 试分别用改进的 Euler方法和四阶
2
解：f (x,y) = X x - y,由改进的Euler方法和四阶R-K方法，代入h = 0・5，
广—
yn卄 yn + hf (Xn,yn)
改进的Euler方法 h -
[yn 卄 yn +y(f(Xn,yn)+ f ( Xn* , y 诂))
四阶 R- K算法 yn 1 二 yn h(k「2k? 2ks kq)
6
ki = f (Xn,yn)
1 1
k2 = f (Xn 中；h,yn +：hkj
〈 2 2 1 1
k3 = f (Xn +：h,yn +：hk2)
2 2
*4 = f (Xn + h,yn + hk3) y 1 yn si Wnh s； n h2
故三阶的显式公式为 竿严+0h4)
x [0,1]
R-K方法求解此问题，取步长为 h二0.5. 计算可得 n =0 1 2
Xn =0 0・5 1
yn =0 0.1875 0.7109
yn =0 0.1439 0.6329
其中yn为改进的Euler方法的结果, yn 为四阶R-K 方法的结果。
6、试证明对任意的参数 a，以下Runge-Kutta公式是一个二阶公式，并导出其数值稳定条 件。
h
yn 1 二 yn h(k2 k 3
k = f (xn,yn)
k2 = f (Xn +ah,yn + hki)
K = f (Xn + (1 - a)h, yn + (1 - a)hki)
证明：将k2, k3做二元Taylor展开
k2 二 f (Xn,yn) ahfx'(Xn,yn) hk1fy'(Xn,yn) O(h、
' ' 2 k^ f (Xn,yn) (1 -a)hfx(Xn,yn) (1 - a)hk1fy(Xn,yn) O(h )
代入得
h ' ' 2
yn 1 二 yn ?(2f(Xn,yn) hfx(Xn,%)人匕彳丫仕“』“)O(h ))
再将y( xn j在点xn展开
y(XnG= y(Xn)+ y(Xn)h + ^2X^h2 + O(h 3，式中 y'(Xn )= f Xn yn )
代入后有
y (Xn)二 fx fyf
I I fx+ ffy 2 3
y(Xn 1)= y(Xn) fh - h O(h )
故En^ = y(焉出)一 y.勺=O 3h)即对任意的参数a，公式是二阶公式。
下面讨论公式的数值稳定条件 ：
取模型方程 「二爼y，将f (x, y)二纭y代入ki得到 二 yn hf (Xn,yn) "2 fx'(Xn,yn) ' 3 ffy (Xn,yn) O(h )) ki = f (Xn』n) = ^yn
“ k2 = f (Xn +ah,% + hki)= A(y^ hk ) = x(1 十 hh)y“
k3 = f (Xn + (1 - a)h,yn + (1 - a)hki)=丸(1 + 丸(1 一 a)h)y
h
再代入yn .1二yn • -(k2 k3)得到
a 2
yn1Tn[1 h (1-2)伸)]
7、试证明以下Runge-Kutta公式是一个三阶公式，并导出其数值稳定条件。
1 yn 1 二 yn (2k1 3k2 4k3) 9
k1 二 hf (Xn,yn)
1 1
k2 二 hf(Xn -h,yn
2 2
3 3
k3 二 hf (Xn —h,yn —k?) 4 4
证明：将k2*3 做三元Taylor展开
2 2
k^ h( f h fx'如 fy' fXX” 呼 fXy''牛 fyy”) 0(h'))
2 2 2 4 2 4
2 2 3 ' 3 '1 9 h " 9hk? ” 9k? ” 3
k^h(f ^hfX [k2fy [(需 fXX * fXy 晴 fyy ) 0(h'))
代入得
丄h 9h 1 9f 1 3 2" " 2 " 3
yn 1 = yn (9f 9 + 2 fx 2 fy -(h fxx 2hffxy k 【2 fyy) 0(h ))
h2 1 h2 1 h2 n n 1 1 2 " 4
二 yn hf 2 fx +
2 ffy +
6 (f + 2 ff + f f
XX xy X y f f fyy) 0(h )
再将y( Xn J在点X n展开
y(Xn 1) = y(Xn) y(Xn)h ^^X^h2 ^^X^h3 0(h4)于是 ?n a 2
(#2 h( ) I
a
绝对稳定区为|1h (1a h( 2) 对(1)yn 1 = yn h(-6yn •。“)，若第n步和第n+1步分别有误差，则上
y = _6y + ex -y(0) = a x [0,10]
y 十 10Xy
y(0) = 0 1 x2 x [0,10] 式中 y(Xn)二 f (Xn,yn), y'(Xn)二 f； f； f
'" '' '' ' ' 2 ''
y (Xn) = fxx +2fxy f + fxfy f + f fyy 代入后有
f X + ff y 2 h '' '' ' ' 2 '' 4
y(Xn 1)= y(xn) fh —2!—h 莎(fxx 2fxyf fxfyf f fyy) O(h )
4 故Enni = y(焉申)—y,申=O h)即公式是三阶公式。
下面讨论公式的数值稳定条件 ：
取模型方程■ = y,将f(x, y)八y代入ki得到
再代入yn厂yn T(2k1 3k2 4ka)得到
yn 1 = yn[1 h 如)2 讣)3] 2 6
p . 1 2 1 3
是亠1 叩 h -(h )2 -(h )3| n 2 6
1 2 1 3
绝对稳定区为|1 h -(h ) -(h )3卜：1 2 6
用Euler方法求解下列问题，从数值稳定性条件考虑，对步长应做什么限制?
解：由 Euler 公式 yn 1 二 y“ hf(Xn"n)匕=hf (Xn,yn)二 hyn
1 1
2h,yn -k1)
3 3 ;h,yn -k2) 4 4 k^ hf ( Xn
k3 = hf (x 1 九h
二 h(yn ‘kJ = h(1 —)yn
3 3 3 2 -h(yn k2)= h(1 h ( h) )yn 4 4 8 第n+1步分别有误差，则上式变为 yn计=（1 - 50h）yn，两式相减得到
式变为 yn 1 = (4 - 6h)yn，两式相减得到 yn 1 - yn 1 = (4 - 6h)( yn - yn)
1
故当|1- 61<| 即0 £ h< —时，（1 ）用Euler方法求解是数值稳定的。 3
10 xn yn
对（2）yn d = yn h（1 哼），若第n步和第n+1步分别有误差，则上
1十Xn
式变为 yn冷=yn…10%； yn，两式相减得到
1 + Xn
10 x 2
故当|1 与h|：：： 1,即0 ：：： h 时，（2）用Euler方法求解是数值稳定的。
1 十 Xn 5
9、用二阶的Adams预估校正公式求解初值问题
y t _ y
ly(0)= 0
取步长h — 0・2求出x — 1. 0寸的近似值, 表头用改进的 Euler方法（保留小数点
后三位）。
解：计算结果如下：
n = 0 1 2 3 4 5
Xn =0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0
yn =0 0. 180 0. 329 0. 451 0. 551 0. 632
10、对初值问题
y 二-10y
y（x°） = y°
用以下二阶R-K方法求解，并导出其绝对稳定域。
1 yn 1 二 yn 尹1 k 2
』k1 = hf （Xn,yn）
匕=hf （Xn +h,yn + kJ
解：f （x, y）——10y，代入二阶R-K方法可得yn r = yn - 50hyn，若第n步和yn 1 - yn 1 = (1 - 10Xn
