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小学数学难题解法大全第四部分常用解题技巧（四之二）解概念题技巧（二）解概念题技巧1.数的大小概念【比较分数大小】用常规方法比较分数大小，有时候速度很慢。
采用下述办法，往往可大大提高解题的速度。
（1）交叉相乘。
把要比较大小的两个分数的分子分母交叉相乘，然后2×5＝10，3×3=9，3×8=24，5×5=25，之所以能这样比较，是由于它们通分时，公分母是分母的乘积。
这时，分数的大小就只取决于分子的大小了。
（2）用“1”比较。
当两个分数都接近1，又不容易确定它们的大小（4）化相同分子。
把分子不同的分数化成同分子分数比较大小。
有时序排列起来：（5）两分数相除。
用两个分数相除，看它们的商是大于1还是小于1，往往能快速地找出它们的大小关系。
由于这样做，省略了通分的过程，所以显然，将它们反过来相除，也是可以的：【巧比两数大小】若甲、乙两数间的关系未直接给出，比较它们的大小，有一定难度。
这时，可按下面的办法去做：（1）先看分子是1的情况。
例如下题：第一种方法是直观比较。
先画线段图（图4.4）：由对线段图的直观比较可知，乙数大于甲数。
数。
可知（2）再看分子不是1的情况。
例如下题：它同样也可以用四种方法比较大小。
比方用直观比较方法，可画线段图如下（图4.5）：由图可知，甲数大于乙数。
用统一分子的方法，也可比较它们的大小。
因为用图表示就是图4.6：这就是说，把甲数分为9份，乙数分为8份，它们的6份相等。
所以，它们每一份也相等。
而甲数有9份，乙数只有8份，故甲数大于乙数。
去，即可知道甲数大于乙数。
如果用转化关系式比较。
由题意可知根据一个因数等于积除以另一个因数，可得2.判断题的解答【用筛去（消倍）法判断】一个数能否被3整除，本来是不太难的问题。
但当一个数比较大时，用各数位上的数相加，速度很慢，而且容易出现口算错误。
若用“筛去（消倍）法”来判断，情况就大不一样了。
例如（1）判断76935能否被3整除。
小学一年级数学路程问题剖析路程问题是小学数学应用题中的基本问题，它包含了简单的相遇及追及问题、多人相遇追及问题、多次相遇追及问题、流水行船问题、环形跑道问题、钟面路程问题、火车过桥问题、猎狗追兔问题等，但万变不离其宗。
路程问题是物体匀速运动的应用题。
不论是同向运动还是相向运动，最后反映出来的基本关系式都可以归纳为路程=速度×时间。
要想解答路程问题，首先要弄清物体的具体运动情况，可以在纸上画出相应的运动轨迹，更方便观察思考。
以下是10种经典路程问题剖析及相关解法。
一、简单相遇及追及问题1、相遇问题：总路程=（甲速+乙述）×相遏时间相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）甲速或乙速=总路程÷相遇时间一乙速或甲速2、追及问题：距离差=速度差×追及时间追及时间=距离差÷速度差速度差=距离差÷追及时间速度差=快速一慢速3、相离问题：两地距离=速度和×相离时间相离时间=两地距离÷速度和速度和=两地距离÷相离时间示例：例1：南京到上海的水路长392千米；同时从两港各开出一艘轮船相对而行；从南京开出的船每小时行28千米；从上海开出的船每小时行21千米；经过几小时两船相遇？解：392÷（28+21）=8（小时）答：经过8小时两船相遇。
例2：甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行；甲每小时行15千米；乙每小时行13千米；两人在距中点3千米处相遇；求两地的距离。
解：“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。
从题中可知甲骑得快；乙骑得慢；甲过了中点3千米；乙距中点3千米；就是说甲比乙多走的路程是（3x2）千米；因此：相遇时间=（3×2）÷（15-13）=3（小时）两地距离=（15+13）×3=84（千米）答：两地距离是84千米。
例3：好马每天走120千米；劣马每天走75千米；劣马先走12天；好马几天能追上劣马？解：（1）劣马先走12天能走多少千米？75×12=900（千米）（2）好马几天追上劣马？900÷（120-75）=20（天）列成综合算式75×12÷（120-75）=900+45=20（天）答：好马20天能追上劣马。
小学数学中的难题解析和技巧分享一、分数的加减法1.通分与约分2.同分母分数加减法3.异分母分数加减法4.混合运算中的分数应用二、小数的加减法1.小数点的对齐2.同位数相加减3.借位与补位4.混合运算中的小数应用三、整数的乘除法1.一位数的乘法2.两位数的乘法3.多位数的乘法4.除法的定义及计算方法5.乘除法的运算顺序四、几何图形1.平面几何图形的性质2.三角形、四边形、五边形、六边形的分类及特点3.圆的性质及计算4.几何图形的面积和周长计算五、方程与方程组1.方程的定义及解法2.一元一次方程3.二元一次方程组4.方程的变形与化简六、比例与比例尺1.比例的定义及计算2.外项与内项3.比例尺的应用4.比例与分数、百分数的关系七、数据的收集与处理1.数据的收集方法2.数据的整理与分类3.平均数、中位数、众数的计算4.数据的可视化展示八、逻辑思维与数学应用1.数学问题的转化与解决2.逻辑推理与证明3.数学在日常生活中的应用4.数学故事与趣味问题九、数学思维方法与技巧1.画图辅助解题2.列式计算与逆向思维3.分解与组合4.归纳与总结十、解决问题的策略1.从简单到复杂2.反向思考与逆向运算3.化繁为简与抓住关键4.多种方法尝试与比较通过以上知识点的系统学习和练习，孩子们可以更好地掌握小学数学的基本知识和解题技巧，为今后的学习打下坚实的基础。
在学习过程中，要注意培养学生的逻辑思维能力、创新意识和解决问题的能力，使他们能够灵活运用所学知识，充分体验数学的魅力。
习题及方法：一、分数的加减法1.习题：计算下列分数的和：(3/4) + (1/6)。
答案：通分后得 (9/12) + (2/12) = 11/12。
解题思路：先通分，然后分子相加得新分子，分母保持不变。
2.习题：计算下列分数的差：(5/8) - (1/4)。
答案：通分后得 (5/8) - (2/8) = 3/8。
解题思路：先通分，然后分子相减得新分子，分母保持不变。
小学数学难题解法大全第五部分典型难题讲析（七之四）整除的有关问题（四）整除的有关问题1.整除及数字整除特征整除及数字整除特征【数字整除特征】【数字整除特征】例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）（上海市第五届小学数学竞赛试题）整除。
讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。
设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。
要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。
又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或的倍数不合。
（b-a-8）是11的倍数。
经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。
所以a-b=3。
又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。
从而很容易求出商为427284÷99=4316。
例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。
年全国小学数学奥林匹克初赛试题）（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。
而1993000÷2520=790余2200。
于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。
所以最后三位数字依次是3、2、0。
中的哪一个数字，这个七位数都不是这个七位数都不是11的倍的时候，不管千位上是例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，数。
数。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。
则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。
的倍数。
要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。
小学数学难题解法大全第五部分典型难题讲析（七之一）数的计算（一）数的计算1．四则计算【基本题】例1 计算7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：本题的两个除数和乘数依次是3.7，2.7，1.7，0.7。
从数字上分析，不能运用简便运算。
所以，只能从左至右依次计算。
结果是850.85。
（1990年江西省“八一杯”小学数学竞赛试题）成假分数之后，分子都含有22的约数，于是可采用分配律计算。
（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：两个分数的分母都是3，所以，可把小数化成分数计算。
【巧算题】（全国第三届“华杯赛”初赛试题）讲析：括号中的三个数如果直接通分，则比较繁琐。
经观察，可将三个分母分解质因数，求出公分母；在求公分母的过程中，不必急于求出具体的数，而可边算边约分，能使计算简便一些。
（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：当把两个带分数化成假分数时，分子都是65。
于是，第一个括号中可提出一个65，第二个括号中可提出一个5，能使计算变得比较简便。
例3 计算：（全国第四届“华杯赛”复赛试题）讲析：经观察发现，可将整数部分与分数部分分开计算。
这时，每个带分数的分数部分，都可以拆分成两个单位分数之差，然后互相抵消。
计算就很简便了例4 计算：（1990年《小学生数学报》小学数学竞赛试题）除以两数之积，就等于分别除以这两个数。
然后可将它们重新组合计算为法分配律计算。
于是可将10.375分开，然后重新组合。
（1990年小学数学奥林匹克初赛试题）用字母代替去计算。
（长沙市小学数学奥林匹克集训队选拔赛试题）26.3乘以2.5。
这样计算，可较为简便。
原式=2.5×24.7＋29×2.5＋26.3×2.5=2.5×（24.7+29＋26.3）=200。
例8 已知11×13×17×19=46189计算：3.8×8.5×11×39（广州市小学数学竞赛试题）讲析：根据已知条件来计算另一个算式的结果，应尽量将计算式化成与已知条件式相同或相似的式子。
五年级上册数学最难的解决问题一、小数乘法相关。
1. 一块长方形菜地的长是8.5米，宽是2.4米。
如果每平方米可以种5棵白菜，这块菜地一共可以种多少棵白菜？- 解析：首先根据长方形面积公式S =长×宽，求出菜地的面积，再用面积乘以每平方米种白菜的数量。
菜地面积为8.5×2.4 = 20.4平方米，一共可以种20.4×5 = 102棵白菜。
2. 学校买了8个篮球，每个篮球的价格是98.5元，又买了12个足球，每个足球的价格是78.8元。
学校买篮球和足球一共花了多少钱？- 解析：分别求出买篮球和足球的花费，再相加。
买篮球花费8×98.5 = 788元，买足球花费12×78.8 = 945.6元，总共花费788 + 945.6=1733.6元。
3. 一种大米每千克售价3.8元，买15千克这种大米应付多少钱？如果付100元，应找回多少钱？- 解析：根据“总价 =单价×数量”，买15千克大米应付3.8×15 = 57元。
付100元应找回100 - 57 = 43元。
二、小数除法相关。
4. 一辆汽车4.5小时行驶了292.5千米，照这样的速度，行驶520千米需要多少小时？- 解析：先根据速度 =路程÷时间求出汽车速度，速度为292.5÷4.5 = 65千米/小时。
再根据时间 =路程÷速度，行驶520千米需要的时间为520÷65 = 8小时。
5. 3台同样的抽水机，4小时可以浇地2.4公顷。
一台抽水机每小时可以浇地多少公顷？- 解析：先求出3台抽水机1小时浇地的公顷数，2.4÷4 = 0.6公顷，再求出1台抽水机1小时浇地的公顷数，0.6÷3 = 0.2公顷。
6. 有一批货物重39.6吨，用一辆载重4.5吨的汽车来运，需要多少次才能运完？- 解析：用货物总重量除以汽车载重，39.6÷4.5 = 8.8次，但是次数必须为整数，所以需要9次才能运完。
数学点灯问题(方格)解法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学点灯问题是一种经典的数学问题，它考察的是一个方格中的灯的开关问题。
在一个矩形方格中，每个方格都装有一盏灯，灯的开关分为两种状态：开和关。
现在问题是，如果按下某一个方格的开关，那么这个方格以及与其相邻的方格的灯状态会发生改变，变为与原来相反的状态。
现在的问题是，如果给定了一个初始状态的方块灯的状态，要求找出一种最短的按下方格开关的方式，让整个方块中的所有灯都变为关闭的状态。
这个问题看似简单，但却蕴含了许多数学的思考和技巧。
在解决这个问题时，我们可以采取递归的方式，即每次按下一个方格的开关后，再对与其相邻的方格进行递归处理，直到找到一种最优的解法。
为了更好地理解这个问题的解法，我们可以通过一个具体的例子来进行讲解。
假设给定一个3x3的矩形方格，初始时每个方格的灯的状态如下所示：1 0 10 1 01 0 1现在要求找到一种最短的按下方格的开关的方式，让整个方格中的所有灯都变为关闭的状态。
我们可以通过以下步骤解决这个问题：1. 我们可以尝试按下第一个方格的开关，即(1,1)处的灯，由于按下该方格的开关，与其相邻的方格的灯的状态将会改变，所以按下该开关后的状态如下：2. 然后，我们按下(2,2)处的开关，则状态变为：数学点灯问题是一个有趣的数学问题，通过巧妙的思路和方法，我们可以找到一种最短的按下方格开关的方式，使得整个方格中的所有灯都变为关闭的状态。
在解决这个问题时，可以采取递归的方式进行处理，通过不断变换方格的状态，找到最优的解法。
希望通过这篇文章的介绍，能够帮助读者更好地理解数学点灯问题的解法。
【2000字达成】。
第二篇示例：数学点灯问题，又称方格问题，在数学领域中是一个常见且有趣的问题。
这个问题通常会涉及到一个网格或方格，每个方格中有一个点灯，通过按下按钮可以改变某些方格中点灯的状态。
解决这类问题需要运用数学知识和逻辑推理能力，让我们一起来探讨一下数学点灯问题的解法。
小学数学难题解法大全第三部分常用解题方法(二~二)特殊解题方法编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（小学数学难题解法大全第三部分常用解题方法(二~二)特殊解题方法）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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小学数学难题解法大全第三部分常用解题方法（二之二）特殊解题方法（二）特殊解题方法【穷举法】解答某些数学题，可以把问题所涉及到的数量或结论的有限种情况,不重复不遗漏地全部列举出来,以达到解决问题的目的。
这种解题方法就是穷举法。
例1 从甲地到乙地有A、B、C三条路线，从乙地到丙地有D、E、F、G四条路线。
问从甲地经过乙地到达丙地共有多少条路线？（如图3．28)分析:从甲地到乙地有3条路线，从乙地到丙地有4条路线。
从甲地经过乙地到达丙地共有下列不同的路线。
解:3×4＝12答:共有12条路线。
例2 如果一整数，与1、2、3这三个数,通过加减乘除运算（可以添加括号）组成算式，能使结果等于24，那么这个整数就称为可用的。
在4、5、6、7、8、9、10、11、12这九个数中,可用的有_______个.（1992年小学数学奥林匹克初赛试题)分析：根据题意，用列式计算的方法，把各算式都列举出来。
4×（1＋2＋3）＝24 (5＋1＋2)×3＝246×(3＋2－l）＝24 7×3十豆十2—248×3×（2－1）＝24 9×3-1—2-2410×2＋l＋3＝24 11×2＋3－l＝2412×（3＋1－2）＝24通过计算可知，题中所给的9个数与1、2、3都能够组成结果是24的算式。
第一讲速算与巧算例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200）199999＋19999＋1999＋199＋19＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.例3 计算（1＋3＋5＋...＋1989）－（2＋4＋6＋ (1988)解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.1990×497＋995—1990×497＝995.例4 计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—＝2730—28＝2702.解法2：也可以选380为基准数，则有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）＝4940＋1＝4941.例6 计算54＋99×99＋45解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.54＋99×99＋45＝（54＋45）＋99×99＝99＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900.例7 计算 9999×2222＋3333×3334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×（6666＋3334）＝3333×10000＝33330000.习题一1.计算899998＋89998＋8998＋898＋882.计算799999＋79999＋7999＋799＋793.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋19935.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？6.求出从1～25的全体自然数之和.7.计算 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1018.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.计算（125×99＋125）×1610.计算 3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9第二讲速算与巧算例1 比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249 242×248 243×247244×246 245×245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝ 240×250＋3×7；244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.恒等变形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5则5×5＝25积最大.例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：1986×5＝9930.例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.解：五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…， x—1，x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是这2n＋1个自然数的平均值.巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.例5 将1～1001各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.①1986不是9的倍数，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.习题二1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是多少？2.有两个算式：①98765×98769，②98766 × 98768，请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？3.比较568×764和567×765哪个积大？4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？① 1992×1999＋1999② 1993×1998＋1998③ 1994×1997＋1997④ 1995×1996＋19965.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.第三讲等差数列及其应用许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13.③ 2，4，6，8，10，12，14…④ 3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1)数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22， (98)②1，2，1，2，3，4，5，6；③ 1，2，4，8，16，32，64；④ 9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；解：①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是，因为4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。
小学数学难题解法大全第一部分常用解题依据（六之四）法则、方法（四）法则、方法1．有关数的法则或方法【数的读写方法】（整数中多位数的读写方法，以及小数、分数、百分数的读、写方法，见小学数学课本，此处略。
）“成数”、“折数”即“十分数”，它们常用中国数字和文字“七成”、“二成五”、“八折”、“九五折”等表示，并根据其文字去读。
它们也常用分母为十的分数，或者用百分数去表示，这时便可按分数、百分数的方法去读。
“千分数”是表示一个数是另一个数的千分之几的分数，它常用“千分号”--“‟”来写千分数，如某地人口出生率为千分之七，写作“7‟”，读作“千分之七”。
【科学记数法】用带一位整数的小数，去乘以10的整数次幂来表示一个数的方法，叫做“科学记数法”。
利用小数点移动的规律，很容易把一个数用“科学记数法”表达为“a×10n（1≤a≤10，n是整数）”的形式。
例如：25700，把小数点向左移动四位，得1＜2.57＜10，但2.57比25700小了10000倍，所以25700=2.57×104。
0.00867，把小数点向右移动三位，得1＜8.67＜10，但8.67比0.00867大了1000倍，所以【近似数截取方法】截取近似数的方法，一般有四舍五入法、去尾法和进一法三种。
四舍五入法──省略一个数的一部分尾数，取它的近似数的时候，如果要舍去的尾数的最高位上的数是4，或者是比4小的数，就把尾数舍去；如果要舍去的尾数的最高位上的数是5，或者是比5大的数，把尾数舍去以后，要向它的前一位进一。
这种求近似数的方法叫做“四舍五入法”。
例如，把8，654，000四舍五入到万位，约等于865万；把7.6239四舍五入保留两位小数约等于7.62；把2，873，000，000四舍五入到亿位，约等于29亿；把32.99506四舍五入精确到百分位约等于33.00。
去尾法──要省略的尾数不论是多少，一律舍去不要，这种求近似数的方法叫做“去尾法”。
《小学数学难题解法大全（第二辑）31~60》目录31、假设法32、接近某数法33、借助加减恒等式34、空间想象35、考察统计分段36、扩缩法37、连比法38、联想39、两个分数的和差等于它们的积的条件40、列举法41、列表看看42、逻辑推理43、枚举法44、模式法45、逆推46、巧分组47、巧归类48、巧类推49、巧比较50、巧变换51、巧比较分数的大小52、巧变体53、巧求加权平均数54、巧拆数55、巧代入56、巧分形157、巧分形58、巧化归59、巧记分数化小数的结果60、巧判断031、假设法（返回目录）假设是学习数学的重要思维形式，是小学生应熟练掌握的基本解题方法之一。
假设、猜想和试验，在本质上是一致的，都可以称之为探索的方法。
可以解决几乎所有类型的小学数学问题。
详见1992年8月北京“中国少年儿童出版社”出版的王世明专著《假设法巧解各类数学题》。
这里略举几例：余下的两种的个数相等。
原来各有多少个？假定原来篮球个数不变（看作“1”），足球借出一个，则两种球的总数为（21-1）个，从题中的假设句“如果……那么……”，可以知道借出后用假设法比直接用比例分配解答更简捷。
假定篮球个数不变，足球借出1个后，两种球的总份数是3+2=5，原来例2二年级两个班共有学生90人，其中少年先锋队员71人，已知二（人），比实际多75-71=4（人）。
二班是90-48=42（人）例3数学智力竞赛得奖者甲对乙说：“如果你的得分给我20分，我的分数是你的2倍”。
乙对甲说：“如果你的得分给我50分，我的分数是你的4倍。
”他俩各得多少分？连用两次“假设”方能获解。
思路一：先求甲的得分假设：甲不给乙50分，仍要乙的分数是甲的4倍，则乙的分数应增加50×（1+4）（分）。
于是甲的得分为乙为（80+20）÷2+20=70（分）。
思路二：先求乙得分假设：乙不给甲20分，仍要甲的分数是乙的2倍，则甲的分数应增加20×（1+2）（分）。
甲得（70+50）÷4+50=80（分）。
例4一项工程，甲独做20天完成，乙独做30天完成。
甲乙合做4天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用14天。
乙请假几天？假设乙没有请假，先求出14天两队的工作量，再求出超过实际的工作量，最后求出问题。
例5甲、乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，根据题意，结合图形知a=a′b=b′假设甲班拿出b′“抵”乙班中的b，乙班拿出a′“抵”甲班中的a。
显然3b′=2a′问两堆煤原各有多少千克？甲堆重2268-1328=940（千克）乙堆重2268-940=1328（千克）思路三：假设从甲、乙两堆取出的煤都扩大4倍，则取出的比煤的总量乙堆重2268-940=1328（千克）例7小敖的教育学书是春秀的5倍，若各增加2本，则小敖的是春秀的3倍。
原来各有多少本？此题是“变倍问题——两个已知条件的变化是倍数的变化的应用题。
”思路一：假设春秀增加2本后，小敖的书仍是春秀的5倍，则应增加2×5=10（本）。
实际上小敖只增加2本，少增10-2=8（本）。
因现在小敖的是春秀的3倍，这8本显然是春秀现有书的5-3=2（倍）。
春秀现有8÷2=4（本）原有4-2=2（本）综合式（2×5-2）÷（5-3）-2=2（本）小敖原有2×5=10（本）。
思路三：各增加2本，小敖的是春秀的3倍。
即小敖现有的包含3个2本和3个春秀原有的。
假设都没增加，则小敖原有的是（3-1）个2本与3个春秀原有的和。
已知原来小敖的是春秀的5倍，所以2×（3-1）是春秀原有的（5-3）倍。
春秀原有2×（3-1）÷（5-3）=2（本）小敖原有2×5=10（本）思路四：方程解法设春秀原有G本，则小敖的为5G3（G+2）=5G+2。
若设春秀现有G本或小敖现有G本，则5（G-2）=3G-2032、接近某数法（返回目录）两个分数与1的差大的分数小；被减数不变，减数越大差数越小。
例2下面的正确排列是()。
只有(B)正确。
033、借助加减恒等式（返回目录）个数。
若从中找出和为1的9个分数，将上式两边同乘以2，得这九个分数是034、空间想象（返回目录）空间观念是指在空间知觉的基础上，形成关于物体的形状、大小、相互位置关系等的表象。
表象重新组合成为新的表象就是想象过程。
例189年第四届“从小爱数学”邀请赛试题4：请你在图3上画出三种和图2不一样的设计图，使它们折起来后都成为图1所示的长方形盒子（粗线和各棱交棱的中点）。
本题是考察空间想象能力和“发散思维”的能力。
答案应为例2如果一个三角形的底边长为l，高为h，和这个三角形同底等积的三角形有多少个？顶点在何处？智力一般的学生也能知道，有无数个。
顶点都在与l平行且距离为h 的一条直线上。
思维能力较强的经过仔细思考，还想象出这些三角形的顶点分别在两条与l平行于两侧、距离为h的直线上。
智力发展特别好的学生能冲出在同一平面内的思维束缚，由平面跃为空间。
这些无数个三角形的顶点，在以三角形的底l为轴，与l的距离为h的直线绕l旋转一周所得圆柱的侧面上。
例3一只集装箱，它的内尺寸是18×18×18。
现有一批货箱，它的外尺寸是1×4×9。
问这只集装箱能装多少只货箱？144＋16=160（只）例4首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题，笔试第一试第14题：如图，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型。
（沿虚线折，沿实线粘）。
这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？此题要求学生有较强的空间想象力，能够根据这个多面体的表面展开图想象出它的立体形状。
显然，这个多面体是由20个面围成的，可分成上、中、下三部分。
中部由6个正方形围成六棱柱；上部的7个面中，最上面的三角形可以看作是上底面，连接上底面与六棱柱侧面的是3个正方形和3个三角形；下部的情况与上部相同。
因此，这个多面体有6×2＋3×2=18个顶点，有6×5+3×2=36条棱。
面数、顶点数与棱数的总和是20＋18＋36=74。
035、考察统计分段（返回目录）例如，“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题：43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同。
每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片，画片只有两种，3分一张和5分一张，每人都尽量多买5分一张的画片。
问他们所买的3分画片的总数是多少张？竞赛题无疑是考察智能，迫使参赛者运用创造思维解题。
谁有独特见解，谁就占上风。
谁的思路敏捷，谁就占优势。
快节奏审题，应明确条件实质：(1)43位同学所带钱数以分为单位，依次是8、9、10…50。
构成自然数列8～50的一段；(2)画片只有5分一张和3分一张两种；(3)每人尽量多买5分一张的，但必须各自把身上的全部钱用完，是说既不许有剩余，也不准借贷。
一般将悟出如下解法：逐个考察有8分钱的学生，应买5分和3分的画片各1张；有9分钱的学生，应买3分的画片3张；有1角钱的学生，应买5分画片2张；……有4角9分钱的学生，应买5分画片8张和3分画片3张；有5角钱的学生，应买5分画片10张。
最后将所买3分画片张数加起来，共84张。
此法颇费时间，失之繁琐。
分类统计钱数以分为单位，利用余数规律。
把43人分成五大类：带钱数是10，15，20，…50的同学，均不必购买3分的画片；钱数是11，16，21，…46的8名同学，应各拿出6分钱购买3分的画片2张，共购16张；钱数是12，17，22…47的8名同学，应各拿出1角2分钱购买3分画片4张，共购32张；钱数是8、13、18、…48的9名，应各拿出3分钱购买3分的画片1张，共购9张；钱数是9、14、19、…49的9名，应各拿出9分钱购买3分的画片3张，共购27张。
16＋32＋9＋27＝84(张)此法，可说是速敏反应。
但在计算中，人数统计易出错。
分类分段这种解法简捷，思路明快。
用5去除任意自然数，余数只能是0、1、2、3、4中之一，且是用5依次去除连续的若干自然数时，所得余数周期性地再现。
解此题，可取某五个连续自然数，为方便起见不妨取11、12、13、14、15都除以5。
余数为1者，应拿出一个5与1凑成6，形成2个3；余数为2者，应拿出两个5与2凑成12，形成4个3；余数为3者，已有1个3，不必再凑；余数为4者，应拿出一个5与4凑成9，形成3个3；余数为0者，已是5的倍数，不必凑出3。
这样，出现了10个3。
11～50共(50－11＋1)÷5＝8(段)，出现80个3。
另外的8、9、10，应出现4个3，共84个3。
亦即共需购买3分一张的画片84张。
036、扩缩法（返回目录）例如，两数和是42，如果其中一个数扩大5倍，另一个数扩大4倍，则和是181。
求这两个数。
若把和，即这两个数都扩大4倍，则得数比181小，因为原来扩大5倍的那个数少扩大了1倍。
差就是那个数。
181－42×4＝1342－13＝29若把两数都扩大5倍，结果比181多了原来扩大4倍的那个数。
42×5－181＝29，42—29＝13。
若把181缩小4倍，则得数比42大。
因为其中的一个数先扩大5倍，又若把181缩小5倍，得数比42小。
因为先扩大4倍的那个数，又缩小5最佳想法：两数扩大的倍数不同，181不会是42的整倍数。
相除就把多扩大1倍的那个数以余数形式分离出来。
181÷42＝4余13。
另个数可这样求037、连比法（返回目录）把应用题中的数量关系巧妙地转化为连比，不仅可使有些问题顺利获解，而且还可以培养学生思维的灵活性，提高解题能力。
例1某厂有三个车间，第一车间工人数是第二车间工人数的5倍，第三车间的工人数等于第一、二两个车间工人数之和。
已知第一车间比第三车间少52人，问三个车间共有多少工人？依题意知，一车间人数与二车间人数的比是5∶1；三车间人数是5＋1＝6（份）。
因此，第一、二、三车间工人数的连比是5∶1∶6，故三个车间共有工人：例2A、B、C三人共做零件900个，A做总数的30％，B比C多做一般思路：A做900×30％＝270（个）由条件知，B、C做的个数比是（1＋3）∶3＝4∶3，A与B和C做的个数比是30％∶（1－30％）＝3∶7，而4＋3恰好等于7。
所以A、B、C三人所做零件个数的连比是3∶4∶3，总份数3＋4＋3＝10。
例3有一水槽，装有甲、乙注水管和丙放水管，槽空时，单开甲管5分钟可以注满，单开乙管10分钟可以注满，槽满时开丙管15分钟可以放完。
现在甲、乙、丙三管齐开，2分钟后闭上乙管，问还需几分钟可以注满水槽？连比法：〔30－（6＋3－2）×2〕÷（6－2）＝4（分钟）算理：根据连比可知，把总工作量平均分成30份，甲、乙两管开1分钟分别注进6份和3份，丙管开1分钟放出2份。
