2020 年整体思想求解数列问题

2020届高三数学复习 数列解题方法集锦数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。

而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。

近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。

一、数列的基础知识 1．数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系它包括两个方面的问题：一是已知S n 求a n ，二是已知a n 求S n ； 1.1 已知S n 求a n对于这类问题，可以用公式a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n .1.2 已知a n 求S n这类问题实际上就是数列求和的问题。

数列求和一般有三种方法：颠倒相加法、错位相减法和通项分解法。

2．递推数列：⎩⎨⎧==+)(11n n a f a aa ，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。

例1 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n+3,求数列{a n }的通项a n ，并判断数列{a n }是否为等差数列。

解：由已知：S n =n 2-2n+3，所以，S n-1=(n-1)2-2(n-1)+3=n 2-4n+6,两式相减，得：a n =2n-3(n ≥2),而当n=1时,a 1=S 1=2,所以a n =⎩⎨⎧≥-=)2(32)1(2n n n .又a 2-a 1≠a 3-a 2，故数列{a n }不是等差数列。

注意：一般地，数列{a n }是等差数列⇔S n =an 2+bn ⇔S n2)(1n a a n +.数列{a n }是等比数列⇔S n =aq n-a.例2 已知数列{a n }的前n 项的和S n =2)(1n a a n +,求证：数列{a n }是等差数列。

证明：因为S n =2)(1n a a n +，所以，2))(1(111++++=n n a a n S两式相减，得：2)())(1(1111n n n a a n a a n a +-++=++，所以n n n na a n a a -++=++111)1(2，即：11)1(a na a n n n -=-+，同理： 11)1()2(a a n a n n n --=--，即：11)2()1(a a n a n n n +-=--，两式相加，得：n n n a n a n a n )22()1()1(11-=-+--+，即：n n n a a a 211=+-+，所以数列{a n }是等差数列。

2020高考数学大题的最佳解题技巧及解题思路，赶快来看！！掌握数学解题思想是解答数学题时不可缺少的一步，建议同学们在做题型训练之前先了解数学解题思想，掌握解题技巧，并将做过的题目加以划分，集中复习。

六种解题技巧一、三角函数题注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。

二、数列题1、证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2、最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。

利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。

简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识)。

三、立体几何题1、证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;2、求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系;3、注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。

四、概率问题1、搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数;2、搞清是什么概率模型，套用哪个公式;3、记准均值、方差、标准差公式;4、求概率时，正难则反(根据p1+p2+...+pn=1);5、注意计数时利用列举、树图等基本方法;6、注意放回抽样，不放回抽样;7、注意“零散的”的知识点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透;8、注意条件概率公式;9、注意平均分组、不完全平均分组问题。

2020年高考全国Ⅰ卷数列试题分析及备考建议广东省云浮市新兴县惠能中学(527400)郑胜文数列是高中数学的重要知识模块之一,是历年高考必考内容,也是广大考生“抢分争分”之地.近三年在高考试卷有关数列的试题通常题量是一大或者两小,大题则稳在17题,与三角考查交替进行,分值约占12分左右;小题则有1题基础,另1题以压轴题形式出现.数列题是考查学生综合素养的重要载体,其蕴含了构造、转化和化归、函数与方程、数形结合等数学思想方法,体现了数学运算、逻辑推理、几何直观等数学学科核心素养.数列备考问题存在题量大、所包含知识面广、题型复杂、难易大小程度区分大且文理不同科考查要求不易把握等情形.近几年的高考都是把数列作为核心内容来考查,从总体上来看,难度虽然有所降低,但是创意不断,而且是常考常新.本文通过对高考全国Ⅰ卷数列题的分析,从文理科数列考题在知识要求、思想方法、能力及核心素养考查等角度进行探讨,旨在为2021届高三数学数列复习备考提供一个参考,也期望在新高考不分文理科情况下,对教师在进行复习备考时起到一个较为明晰的教学引领和导向作用.1试题分析1.1试题呈现题目1(2020年高考全国Ⅰ卷文科第9题)执行右面的程序框图,则输出的n=A.17B.19C.21D.23题目2(2020年高考全国Ⅰ卷文科第10题)设{a n }是等比数列,且a 1+a 2+a 3=1,a 2+a 3+a 4=2,则a 6+a 7+a 8=A.12B.24C.30D.32题目3(2020年高考全国Ⅰ卷文科第16题)数列{a n }满足a n +2+(−1)n a n =3n −1,前16项和为540,则a 1=.题目4(2020年高考全国Ⅰ卷理科第17题)设{a n }是公比不为1的等比数列,a 1为a 2,a 3的等差中项.(1)求{a n }的公比;(2)若a 1=1,求数列{na n }的前n 项和.1.2试题解析题目1解析首先对对n,S 分别赋值:n =1,S =0,由程序框图得下表:n =n +2S =S +nS 100成立吗?10+1=1√31+3=4√54+5=9√79+7=16√916+9=25√1125+11=36√1336+13=49√1549+15=64√1764+17=81√1981+19=100√21100+21=121×从上表得知,n =21是使得S ≤100不成立的最小正整数,故选C.另解本题可转化成等差数列来处理问题,由S =S +n 得S k +1=S k +a k +1,n =n +2得a k +1=a k +2,其中,a 1=1,则a k =2k −1,k ∈Z .问题就可以转化成:当S k >100时,求a k 的最小值.由S k =(a 1+a k )k2=k 2>100,且k ∈Z ,所以k =11,则a k =a 11=21,故选C.题目2解析由解方程及等比数列基本量来处理.设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,由题设得 a 1(1+q +q 2)=1,a 1q (1+q +q 2)=2,解得a 1=17,q =2,则a 6+a 7+a 8=32.另解本题可以用整体思想来处理,由题设得 a 1(1+q +q 2)=1,a 1q (1+q +q 2)=2,解得q =2,a 6+a 7+a 8=(a 1+a 2+a 3)q 5=1×32=32.避免繁琐运算.题目3解析由a n +2+(−1)n a n =3n −1,得知需要分奇偶数进行研究,且偶数时只研究部分.考虑n 分别为1,3,5,7,9,11,13,15时,有a 3−a 1=2,得a 3=2+a 1;a 5−a 3=8,则a 5=8+a 3=10+a 1,同理可得a 7=24+a 1,a 9=44+a 1,a 11=70+a 1,a 13=104+a 1,a 15=140+a 1,故有a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=392+a 1;再考虑n 分别为2,6,10,14时,由a 4+a 2=5,a 8+a 6=17,a 12+a 10=29,a 16+a 14=41,得a 2+a 4+a 6+a 8+a 10+a 12+a 14+a 16=92.再数列{a n }前16项和为540,有(392+8a 1)+92=540,解得a 1=7.追根索源1(2012年高考全国Ⅰ卷理科第16题)数列{a n }满足a n +2+(−1)n a n =2n −1,则{a n }的前60项和为.此外,2014年高考全国Ⅰ卷理科第17题也有同工异曲之处.题目4第(1)问解析设{a n }的公比为q ,由题设得2a 1=a 2+a 3,即2a 1=a 1q +a 1q 2.所以q 2+q −2=0,解得q =1(舍去),q =−2.故{a n }的公比为−2.题目4第(2)问解法一记S n 为{na n }的前n 项和.由(1)及题设可得,a n =(−2)n −1.所以S n =1+2×(−2)+···+n ×(−2)n −1−2S n =−2+2×(−2)2+···+(n −1)×(−2)n −1+n ×(−2)n 可得3S n =1+(−2)+(−2)2+···+(−2)n −1−n ×(−2)n =1−(−2)n3−n ·(−2)n所以S n =19−(3n +1)(−2)n 9.题目4第(2)问解法二记S n 为{na n }的前n 项和.由(1)及题设可得a n =(−2)n −1,令na n =n (−2)n −1=(An +B )(−2)n −[A (n −1)+B ](−2)n −1即n (−2)n −1=(−3An +A −3B )(−2)n −1.对比等式两边系数得:−3A =1,A −3B =0,即有A =−13,B =−19,所以有na n =(−13n −19)(−2)n −[(−13(n −1)−19)](−2)n −1,记c n =(−13n −19)·(−2)n ,则na n =c n −c n −1.S n =a 1+2a 2+3a 3+···+n ×a n=(c 1−c 0)+(c 2−c 1)+(c 3−c 2)+···+(c n −c n −1)=c n −c 0=(−13n −19)·(−2)n +19.题目4第(2)问解法三(导数)记S n 为{na n }的前n 项和.则S n =a 1+2a 2+3a 3+···+n ×a n=1×(−2)0+2×(−2)1+3×(−2)2+···+(n −1)×(−2)n −2+n ×(−2)n −1,记S n (x )=n ∑k =1kx k −1,所以S n =S n (−2),即S n (x )=n ∑k =1(x k )′=(n ∑k =1x k )′=[x −x n +11−x]′=1−(n +1−nx )x n (1−x )2,所以S n =S n (−2)=1−(3n +1)·(−2)n9.题目4第(2)问解法四(分组)记S n 为{na n }的前n 项和.由(1)知q =1,则有S n =n ∑i =1ia i =1q −1n∑i =1i (q −1)a i=1q −1n ∑i =1i (a i +1−a i )=1q −1(n ∑i =1ia i +1−n ∑i =1ia i )=1q −1(n +1∑i =2(i −1)a i −n ∑i =1ia i )=1q −1(n +1∑i =2ia i −n ∑i =1ia i −n +1∑i =2a i )=1q −1[(n +1)a n +1−a 1−n +1∑i =2a i ]=1q −1(na n +1−n ∑i =1a i )=1q −1[n ·(−2)n −a 1(1−q n )1−q ]=−13[n ·(−2)n−1−(−2)n −3]=19−(3n +1)(−2)n 9.解法四的另一种表示由(1)及题设,得a n =(−2)n ,令S i =a i +a i +1+···+a n ,(i =1,2,3,···,n ),则S i =13[1−(−2)n ]−13[1−(−2)i −1]=13[(−2)i −1−(−2)n ],故n ∑k =1ka k =n ∑i =1S i =13n∑i =1(−2)i −1−n3(−2)n=19[1−(−2)n ]−n 3(−2)n =19−3n +19(−2)n .1.3试题评析1.3.1数列知识考纲考查要求如下表考查要求知识点及能力要求内容了解1.数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式),数列的函数本质.理解 2.等差数列、等比数列的概念;掌握 3.等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式应用4.能在具体的问题情景中识别数列的等差(等比)关系,并能用相关知识解决相应的问题1.3.2数列解题能力与考纲考查要求考纲中明确规定高中数学学习要培养的数学能力是指:空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.数列知识模块涉及到的数学能力主要有:1⃝推理论证能力,2⃝运算求解能力,3⃝应用意识和创新意识.1.3.3数列解题思想方法与考纲考查要求考纲中提出高中数学学习要具备的七大基本数学思想方法是指:函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归和转化思想、特殊与一股思想、有限与无限思想、或然与必然思想.数列知识模块涉及到的数学思想方法主要有:1⃝函数与方程思想,2⃝分类与整合思想,3⃝化归和转化思想,4⃝特殊与一般思想,5⃝数形结合思想.1.3.4考题考查到的知识、能力、思想方法、核心素养如下表题目知识要求能力要求思想方法要求核心素养要求1等差数列运算求解转化、方程思想逻辑推理、数学运算公式能力2等比数列运算求解整合、方程思想数学运算公式能力3数列求和运算推理分类与整合思想逻辑推理、数学运算公式能力4(1)等比数列运算求解方程思想数学运算公式能力(2)差比数列运算求解化归与转化能力数学运算求和能力1.3.5试题综述今年文理科试卷在数列知识模块的考查中做到了统筹兼顾,展现了稳中有变,变中有新,新中有活的出题特点,坚持以能力立意,以知识为载体,落实核心素养,体现了选拔功能和区分度、对中学数学教学科学导向,从各个角度全面考查学生的数学素养.以下是我们收集整理的有关反馈.关于全国文科I卷的反馈注重基础概念、公式以及基本量的运算,善于从解题中利用整体的思想进行运算,提高运算效率,同时,也需要根据掌握的数列知识,进行分析,发现数列的规律,利用整体与局部思想,分析所需要的数据,从而进行问题的解决.关于全国理科I卷的反馈题型比较中规中矩,也是我们平时经常复习的题型,但是第二问入口较多,根据解法来看,可以从错位相减的基础方法,也可以从其他方法来解决,体现入口多的特点,符合筛选人才的作用.关于全国文理科II卷的反馈在对数列基础知识掌握的基础上,注重核心素养,侧重创新性的考查.设置了相应的生活情景作为数列的背景,考查学生观察、推理能力,并能利用数列来解决现实生活中的问题.关于全国文理科III卷的反馈题型比较中规中矩,也是我们平时经常复习的题型,主要考查基本概念、公式和基本的运算.关于新高考I、II卷反馈创新性体现较好,第一题是从两个等差数列发现公共项,并得到新等差数列的首项与公差,从而求解新数列的前n项和;第二题的第一问是等比数列的基本量运算,求通项公式;而山东卷的第二问是通过不等关系,找出新数列的特征,包含项数的计算,从而求出新数列的前n项和.在数列概念的理解上,从合并数列以及转化新数列,到公式、运算能力以及结合核心素养的考查,体现了“数列与函数”之间的本质联系.综合今年各地高考试题,发现有以下特征:在抓好基础概念、公式,基本量的运算和方程的解法同时,值入直观观察、逻辑推理、优化计算、挖掘本质和文化素养等方面的能力和素养的考查,使得数列知识模块更具有新时代的气息.今年,全国文理I卷较以往有所不同,文理科考查的三角与数列的题型和位置进行了调换.今年,理科在原来考查解三角形的位置考查了数列,且只有1道解答题,而文科在原来考查数列的位置考查了解三角形,并将考查数列的知识换成小题进行考查.2试题分析2.1典型错误详情参见参考文献[3],不再赘述.2.2考生答题情况错因分析2.2.1知识性错误概念不清,如题目4中的第(1)问,误将等差中项表示成等比中项,如a12=a2·a3,或者自己编造公式,如2a1=a3−a2,不知道数列的表示方法,出现“数列a n的公比为−2”的常识性错误,还有,利用第一问的结论来求第二问中数列{a n}的通项时,将a n=(−2)n−1写上成a n=−2n−1.2.2.2能力性错误高考命题不光是凸显知识立意、能力立意,而且已经走向素养立意了,在试题中体现学科核心素养也是体现一道试题价值的核心指标.理科考生的思维能力普遍比较好,但是懒于动笔计算,很多时候,以为想通就会了.题目4设置在理科,无论是第一问题解方程,还是第二问的底为负数的指数运算,都很好地考查考生运算能力.恰恰我们的考生,在答卷中呈现出因计算失误而失分的大有人在,主要表现为:一方面是没弄清楚等比数列的公比,一方面是在计算的过程中,将负号直接省略掉.3备考复习建议3.1考法研究,依纲靠本作为一线教师,要对高考方向有一个比较精准的判断和预测,除了研究高考试题,还要研究《课程标准》、《考试大纲》与《考试说明》.这三者是高考命题的指挥棒和重要依据,而2021年高考在没有《考试大纲》与《考试说明》的情况下,《课程标准》则更为重要,当然研究高考试题也要重要的标准之一,注意研究高考试题不局限某年某地,而是要放眼所有年份或省市的高考卷.通过研究高考试题,理清数列所考查到的知识要求,能力要求,把握所考题目难度,并根据考试大纲和课程标准进行分析,掌握在教学中,教师们需要把握的尺度,从所考查的题目来看,主要是考查数列的基本概念,等差等比数列的基本公式、性质,以及数列求和的常用方法,另外要注意隔项等差数列的考查.3.2教学建议3.2.1立足基础,关注概念公式的教学,注重知识生成,强化基础运算能力在数列知识模块的教学或备考活动中,根据近几年数列知识模块的考查形势,我们教师要让学生理解数列的函数本质,数列的形成,等差等比数列公式的推导以及常见求和公式的推导过程,帮助学生清楚其来龙去脉,通过不断的变式和训练题来提升学生对公式的变形和形成的熟悉度;强化对数列一系列公式的记忆,促使学生明晰概念.特别,全国卷对数列基本量几乎每年都要考察,如今年的全国文科I卷第10题,理科I卷的17题第一问,文理II卷的第6题,文科III卷第17题第一问等,都考查基本量的运算,要求学生牢牢掌握住等差、等比数列基本量的关系方可解决问题,平时训练常用的通性通法即可.3.2.2强化训练,掌握数列性质特征,提升学生辨识能力通过数列通项或求和公式对一个数列进行判断数列特征,才能为后面的解题提供思路和解题的后续,如全国II卷理科题第6题,通过观察,发现等比数列,并运用等比数列求和公式与指数方程解决问题.掌握数列性质特征,有较好的辨识能力,则能简化解题思路,并且提高解题效率.如全国I卷文科数列第10题,学生若能掌握等比数列整体的思想,则可以提高答题的正确率,参照题目2解析中的另解.在高考备考中,老师可以通过各种题形式对学生进行针对训练,在题组训练中体验数列性质的灵活运用,加深对数列性质的理解,强化指对数的运算,提升学生的运算能力.3.2.3挖掘本质,培养学生转化、创新思维能力增设生活、时代背景,学生需要在背景中提取数列的信息,才能进行数列运算.如全国I卷文科第8题把程序框图巧妙与数列结合在一起;全国II卷文科第3题以钢琴为背景,考查数列中的列举能力;全国II卷理科第4题以天坛为背景,考查等差数列问题;还有山东、海南卷以数列为背景,研究新数列的特征.我们在平时教学训练的基础上,有针对性地选择相应题目,以培养学生的阅读能力以及转化能力.纵观数列式题的命制,其考查内容离不开数列的本质,只是考查的形式和角度不一样.全国I卷文科填空题16,以数列拆分与整合为背景,将从数列中分开奇偶项,在所列举的式子中找处规律,并从中做出选择,从而解决求和问题,学生只有掌握了整体和局部、转化化归的素养以及数列的本质,才能在解题过程中领悟和转化,达到解题的目标,具体参照题目3解析.全国I卷理科17题第二问,以差比数列为背景,考生可以使用错位相减法、也可以使用分组求和,学生只有掌握了差比数列的本质,才能在解题过程中领悟和转化.具体参照题目4解析.无论以任何形式进行考查,我们老师在平时教学中,要帮助学生理解好数列,并在训练中培养学生的创新能力.综上,建议教师在高考复习备考中,做到强化基本概念、公式;训练学生的基本量运算和方程求解能力;突出性质的理解;培养学生辨识与转化能力;注重数列中的合二为一和一分为二的试题研究.参考文献[1]韩智明,刘岩.2019年高考全国Ⅰ卷数列试题分析及备考建议[J].中学数学研究(华南师范大学版(上半月),2019(9):29-32.[2]林艳冬.数列板块第二轮复习备考建议[J].中学数学研究(华南师范大学版(上半月),2019(4):30-34.[3]王先义,刘秀湘.2020年广东省高考数学试题和答卷分析[J],中学数学研究(华南师范大学版(上半月)),2020(9):2-9.。

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利用整体思想，巧解数列问题
作者：王海鸥
来源：《试题与研究·教学论坛》2014年第02期
数列是高中数学重要的内容之一，也是“学数学、用数学”的重要载体之一，它能有效培养与检测学生的创新能力和数学素养。

整体思想，就是从全局着眼，由整体入手，把一些表面上独立而实质上紧密联系的量作为整体考虑的思想方法。

应用整体思想解决数列问题，能很快抓住问题的本质，体现思维的敏锐性、独创性、深刻性，同时可以优化运算过程，节省解题时间，快速而准确地解决问题。

下面举例介绍利用整体思想，巧妙解决数列问题中的应用。

一、整体代入，化难为易
总之，整体思想是最常用、最基本的数学思想之一，它是研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化，使其简单化的一种方法。

它是数学解题的一种重要策略，是提高解题速度的一种重要途径。

数学解题中整体思想的运用，就是以开阔视野看待所考察的对象，要求立足全局，整体思考，统一处理数学问题，经常接受这种思维方法的训练，可以增强思维的广阔性、敏捷性和深刻性，能够更有效的提高学习效率，达到强化训练的目的。