数学：新人教A版选修1-1 3.1变化率与导数(同步练习)

2021-2022年高二数学 1、3-1-1变化率问题与导数的概念同步练习新人教A版选修1-1一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( )A．Δx＜0 B．Δx＞0C．Δx＝0 D．Δx≠0[答案] D[解析] 自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.2．函数在某一点的导数是( )A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析] 由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．3．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x②y＝x2③y＝x3④y＝1x中，平均变化率最大的是( )A．④ B．③C．② D．①[答案] B[解析] ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.4．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( ) A ．4＋4t 0 B ．0 C ．8t 0＋4D ．4t 0＋4t 2[答案] C[解析] Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝4Δt 2＋4Δt ＋8t 0Δt ， ΔsΔt＝4Δt ＋4＋8t 0， lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(4Δt ＋4＋8t 0)＝4＋8t 0. 5．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是( )A ．2B.52 C ．1D ．0[答案] D[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－ΔxΔx ＋1，Δy Δx ＝1－1Δx ＋1，lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫1－1Δx＋1＝1－1＝0，∴函数y＝x＋1x在x＝1处的导数为0.6．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝( )A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)[答案] D[解析] Δy看作相对于f(x0)的“增量”，可用f(x0＋Δx)－f(x0)代替．7．一个物体的运动方程是s＝3＋t2，则物体在t＝2时的瞬时速度为( ) A．3 B．4C．5 D．7[答案] B[解析] limΔt→03＋(2＋Δt)2－3－22Δt＝limΔt→0Δt2＋4ΔtΔt＝limΔt→0(Δt＋4)＝4.8．f(x)在x＝x0处可导，则limΔx→0f(x＋Δx)－f(x0)Δx( )A．与x0，Δx有关B．仅与x0有关，而与Δx无关C．仅与Δx有关，而与x0无关D．与x0，Δx均无关[答案] B[解析] 式子limΔx→0f(x＋Δx)－f(x0)Δx表示的意义是求f′(x0)，即求f(x)在x处的导数，它仅与x0有关，与Δx无关．9．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b[答案] C[解析] ∵f′(x0)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0aΔx＋b(Δx)2Δx＝limΔx→0(a＋bΔx)＝a.∴f′(x0)＝a.10．f(x)在x＝a处可导，则limh→0f(a＋3h)－f(a－h)2h等于( )A．f′(a) B.12f′(a)C．4f′(a) D．2f′(a)[答案] D[解析] limh→0f(a＋3h)－f(a－h)2h＝limh→0f(a＋3h)－f(a)＋f(a)－f(a－h)2h＝32limh→0f(a＋3h)－f(a)3h＋12limh→0f(a)－f(a－h)h＝32f′(a)＋12f′(a)＝2f′(a)．二、填空题11．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则limΔx→0f(x＋2Δx)－f(x0)Δx＝________.[答案] 8[解析] limΔx→0f(x＋2Δx)－f(x0)Δx＝2limΔx→0f(x＋2Δx)－f(x0)2Δx＝2f′(x0)＝8.12．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．[答案] 相等[解析] v0＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s(t＋Δt)－s(t0)Δt＝limΔt→0v(t＋Δt)－vt0Δt＝limΔt→0v·ΔtΔt＝v.13．设x0∈(a，b)，y＝f(x)在x0处可导是y＝f(x)在(a，b)内可导的________条件．[答案] 必要不充分[解析] y＝f(x)在x0∈(a，b)处可导不一定在(a，b)的所有点处可导，反之，y＝f(x)在(a，b)内可导，必然在(a，b)中的x0处可导．14．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S＝t2(S的单位：m，t的单位：s)，则小球在t＝5时的瞬时速度为______．[答案] 10m/s[解析] v＝S′|t＝5＝limΔx→0S(5＋Δx)－S(5)Δx＝limΔx→0(10＋Δx)＝10(m/s)．三、解答题15．一物体作自由落体运动，已知s＝s(t)＝12gt2.(1)计算t从3秒到3.1秒、3.01秒，两段内的平均速度；(2)求t＝3秒时的瞬时速度．[解析] (1)取一小段时间[3,3＋Δt]，此时物体的位置改变量Δs＝12g(3＋Δt)2－12g·32＝12g(6＋Δt)Δt，相应的平均速度v＝ΔsΔt＝g2(6＋Δt)当Δt ＝0.1时，即t 从3秒到3.1秒v ＝3.05g ；当Δt ＝0.01时，即t 从3秒到3.01秒v ＝3.005g .Δt 越小，v 就越接近时刻t 的速度．(2)v ＝lim Δt →0Δs Δt＝lim Δt →0 g 2(6＋Δt )＝3g ＝29.4m/s. 16．若f ′(x )＝A ，求lim h →0 f (x ＋h )－f (x －2h )h. [解析] 原式＝lim h →0f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －2h )h＝lim h →0f (x ＋h )－f (x )h ＋lim h →02·f (x －2h )－f (x )－2h＝A ＋2A ＝3A .17．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．[解析] 解法一：(导数定义法)Δy ＝1＋Δx －1， Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 所以lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，即y ′|x ＝1＝12.解法二：(导函数的函数值法) Δy ＝x ＋Δx －x ，Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x. 所以y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx ＋x ＝12x， 故y ′|x ＝1＝12.18．路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率． [解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m.由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BE CD， 即yy ＋x＝1.68，所以y ＝14x .(2)∵84m/min＝1.4m/s ，而x ＝1.4t . ∴y ＝14x ＝14×1.4t ＝720t ，t ∈[0，＋∞)．Δy ＝720(10＋Δt )－720×10＝720Δt ，∴y′|t＝10＝limΔt→0ΔyΔt＝720.即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为720.37491 9273 鉳 529538 7362 獢?24011 5DCB 巋23564 5C0C 尌34896 8850 衐urS~31601 7B71 筱 (。

高中数学选修精品教学资料第三章 3.1 3.1.1 3.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·山东枣庄高二月考)在物体运动变化过程中,自变量的改变量Δx 的取值为导学号 03624637( D )A ．Δx >0B ．Δx <0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠0[解析] Δx 可正也可负,但是不可以为0,故选D ．2．对于函数y ＝1x,当Δx ＝1时,Δy 的值是导学号 03624638( D )A ．1B ．－1C ．0D ．不能确定[解析] 函数值的改变量是指函数在某一点附近的改变量,因而要求Δy 必须指明在哪一点处．3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为导学号 03624639( A )A ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0ΔxB ．f ′(x 0)＝lim Δx →0[f (x 0＋Δx )－f (x 0)]C ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)D ．f ′(x 0)＝f x 0＋Δx －f x 0Δx[解析] B 中lim Δx →0[f (x 0＋Δx )－f (x 0)]表示函数值的变化量的极限；C 中f (x 0＋Δx )－f (x 0)表示函数值的变化量；D 中f x 0＋Δx －f x 0Δx表示函数的平均变化率．4．(2016·山西临汾高二质检)一质点运动的方程为s ＝5－3t 2,若该质点在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为－3Δt －6,则该质点在t ＝1时的瞬时速度是导学号 03624640( D )A ．－3B ．3C ．6D ．－6[解析] 当Δt 趋近于0时,－3Δt －6趋近于－6,即t ＝1时该质点的瞬时速度是－6. 5．已知f (x )＝x 2－3x ,则f ′(0)＝导学号 03624641( C ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3D ．0[解析] f ′(0)＝lim Δx →0＋Δx2－＋Δx －02＋3×0Δx＝lim Δx →0 Δx 2－3Δx Δx ＝lim Δx →0(Δx －3)＝－3.故选C ．6．设函数f (x )在点x 0附近有定义,且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ,b 为常数),则导学号 03624642( C )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b[解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0a Δx ＋b Δx 2Δx ＝lim Δx →0(a ＋b Δx )＝a .∴f ′(x 0)＝a . 二、填空题7．已知函数y ＝x 3－2,当x ＝2时,Δy Δx ＝__(Δx )2＋6Δx ＋12__.导学号 03624643[解析] ∵Δy ＝(2＋Δx )3－2－6＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx ,∴Δy Δx ＝(Δx )2＋6Δx ＋12.8．在自由落体运动中,物体位移s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系式s ＝12gt 2(g ＝9.8 m/s 2),试估计t ＝3s 时物体下落的瞬时速度是__29.4_m/s__.导学号 03624644[解析] 从3s 到(3＋Δt )s 这段时间内位移的增量： Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝4.9(3＋Δt )2－4.9×32＝29.4Δt ＋4.9(Δt )2,从而,Δs Δt ＝29.4＋4.9Δt .当Δt 趋于0时,ΔsΔt 趋于29.4 m/s.三、解答题9．一作直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2,求此物体在t ＝2时的瞬时速度.导学号 03624645[解析] 由于Δs ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22) ＝3Δt －4Δt －Δt 2＝－Δt －Δt 2, ∴Δs Δt ＝－Δt －Δt 2Δt ＝－1－Δt . ∴v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 (－1－Δt )＝－1.∴物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.B 级 素养提升一、选择题1．质点运动规律为s ＝2t 2＋5,则在时间(3,3＋Δt )中,相应的平均速度等于导学号 03624646( C )A ．6＋ΔtB ．12＋Δt ＋9ΔtC ．12＋2ΔtD ．12[解析] Δs Δt ＝＋Δt2＋5]－2＋Δt＝12＋2Δt .2．(2016·山东聊城高二月考)做直线运动的物体,其位移s 和时间t 的关系是：s ＝3t －t 2,则它的初速度是导学号 03624647( B )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t[解析] 初速度即为t ＝0时的瞬时速度, Δs Δt＝s ＋Δt －sΔt＝3Δt －Δt 2Δt＝3－Δt 2.当Δt 趋近于0时,ΔsΔt趋近于3,故它的初速度为3.3．(2016·浙江台州检测)若f (x )在x ＝x 0处存在导数,则lim h →0f x 0＋h －f x 0h导学号 03624648( B )A ．与x 0,h 都有关B ．仅与x 0有关,而与h 无关C ．仅与h 有关,而与x 0无关D ．与x 0,h 都无关[解析] 由导数的定义可知,函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关,故选B ．4．(2016·安徽淮北高二检测)设f (x )＝ax 3＋2,若f ′(－1)＝3,则a ＝导学号 03624649( C )A ．－1B ．12C ．1D ．13[解析] ∵f ′(－1)＝lim Δx →0f －1＋Δx －f －Δx＝lim Δx →0a Δx －3＋aΔx ＝3a ,∴3a ＝3,解得a ＝1.故选C ．5．若lim h →0f x 0＋h －f x 0h ＝1,则lim h →0f x 0－h －f x 02h ＝导学号 03624650( D )A ．1B ．－1C ．12 D ．－12[解析] lim h →0f x 0－h －f x 02h ＝12lim h →0 f x 0－h －f x 0h＝12lim h →0－fx 0－h －f x 0－h ＝－12lim h →0 f x 0－h －f x 0－h＝－12.故选D ．二、填空题6．已知物体的运动方程是S ＝－4t 2＋16t (S 的单位为m ；t 的单位为s),则该物体在t ＝2s 时的瞬时速度为__0_m/s__.导学号 03624651[解析] ΔS ＝－4(2＋Δt )2＋16(2＋Δt )＋4×22－16×2＝－4Δt 2, ∴ΔS Δt ＝－4Δt 2Δt ＝－4Δt , ∴v ＝lim Δt →0 ΔSΔt ＝lim Δt →0(－4Δt )＝0.∴物体在t ＝2s 时的瞬时速度为0 m/s.7．球的半径从1增加到2时,球的体积平均膨胀率为 28π3.导学号 03624652 [解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3,∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3.三、解答题8．求函数f (x )＝3x －2x在x ＝1处的导数.导学号 03624653[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )－21＋Δx －1＝2＋3Δx －21＋Δx ＝3Δx ＋2Δx1＋Δx ,Δy Δx ＝3Δx ＋2Δx 1＋Δx Δx ＝3＋21＋Δx, ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(3＋21＋Δx )＝5,∴f ′(1)＝5.C 级 能力提高1．(北京高考)已知f (x )＝13x 3＋2x ＋1,则f ′(－1)的值是__3__.导学号 03624654[解析] f ′(－1)＝limΔx→0f －1＋Δx －f －Δx＝lim Δx→0⎣⎢⎡⎦⎥⎤13－1＋Δx 3＋－1＋Δx ＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤13－3－2＋1Δx＝3.2．一物体的运动方程如下：(单位：m,时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t29＋t －2t.求：(1)物体在t ∈[3,5]时的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度.导学号 03624655[解析] (1)∵物体在t ∈[3,5]时的时间变化量为Δt ＝5－3＝2, 物体在t ∈[3,5]时的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48, ∴物体在t ∈[3,5]时的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt＝f ＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －18,∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为 lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 (3Δt －18)＝－18, 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f ＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －12,∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0 (3Δt －12)＝－12,即物体在t ＝1时的瞬时速率为－12 m/s.。

第三章导数及其应用§3.1 变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课时目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率 定义实例平均 变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为________________，简记作：ΔyΔx .①平均速度； ②曲线割线的斜率.瞬时 变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即_______________＝0lim x →ΔyΔx①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率.2．导数的概念：一般地，函数y =f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是0limx →ΔyΔx＝____________，我们称它为函数y =f (x )在x ＝x 0处的 ，记为 或即f ′(x 0) ＝0lim x →ΔyΔx一、选择题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．以上都不对2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x3．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是 ( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．设f(x)在x ＝x 0处可导，则0lim x →f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 等于 ( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－26．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________． 8．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的导数．能力提升12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为________．13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ；0 Δy Δx .→0 ΔyΔx.第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念答案知识梳理 1．f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2．lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 导数 f ′(x 0) y ′|x ＝x 0lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 作业设计 1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.]4．A [lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝－lim Δx →0f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝－f ′(x 0)．]5．B [∵Δy Δx ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx ＝－Δx －3，∴lim Δx →0Δy Δx ＝－3.] 6．A [∵Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0.] 7．0.41 8．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.9．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是li m Δt →0 ΔvΔt ＝li m Δt →0(Δt ＋4)＝4. 10．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为：f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.11．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx1＋Δx＝－Δx 1＋Δx ·(1＋1＋Δx )，∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )＝－11＋0·(1＋1＋0)＝－12，∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.12．2解析 由导数的定义， 得 f ′(0) ＝lim Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2.13．解 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以0 Δv Δt ＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， 所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。

人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）函数在处的导数的几何意义是（）A . 在点处的斜率B . 在点处的切线与轴所夹的锐角的正切值C . 曲线在点处切线的斜率D . 点与点连线的斜率2. （2分） (2017高二上·四川期中) 已知函数的图象上一点及邻近点，则（）A . 2B .C .D .3. （2分）若对任意的x有f'(x)=4x3且f(1)=-1，则此函数的解析式是（）A . f(x)=x4B . f(x)=x4+2C . f(x)=x4-2D . f(x)=x4-14. （2分） (2015高二下·集宁期中) 设函数y=f（x）可导，则等于（）A . f'（1）B . 3f'（1）C .D . 以上都不对5. （2分）(2013·浙江理) 已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈（a，b）则的值为（）A . f’(x0)B . 2 f’(x0)C . -2 f’(x0)D . 06. （2分）若，则（）A .B .C .D .7. （2分）已知函数的导函数的图象如图所示，则关于函数，下列说法正确的是（）A . 在x=1处取得最大值B . 在区间上是增函数C . 在区间上函数值均小于0D . 在x=4处取得极大值8. （2分）已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且则的值为（）A . f'(x0)B . 2f'(x0)C . -2f'(x0)D . 09. （2分）若，则（）A . -3B . -12C . -9D . -610. （2分） (2018高二下·中山月考) 函数在区间上的平均变化率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二上·定州期末) 如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻薄片露出水面部分的图形面积为，则导函数的图象大致为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·哈尔滨月考) 已知一个物体的运动方程为，其中位移的单位是，时间的单位是，则物体的初速度为（）A .B .C .D .13. （2分）一个物体的运动方程为,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A . 3米/秒B . 6米/秒C . 5米/秒D . 4米/秒14. （2分）已知曲线在点处的切线经过点，则的值为（）A .B . 1C . eD . 1015. （2分） (2018高二下·龙岩期中) 设是可导函数，当时，则 =（）A . 2B .C . -2D .二、填空题 (共10题；共10分)16. （1分） (2020高二上·兰州期末) 已知函数的图象在点M（1 ,f（1））处的切线方程是+2,则的值等于________17. （1分）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别是，，其中a、b是实常数，若,，且a，b，c成等差数列，则c的值是________18. （1分）(2018·益阳模拟) 分别在曲线与直线上各取一点与，则的最小值为________．19. （1分） (2017高二上·浦东期中) 如果，则实数a的取值范围是________．20. （1分）设n∈N* ，圆的面积为Sn ，则=________ ．21. （1分） (2018高二上·榆林期末) 设是可导函数，且，则 ________．22. （1分）若函数f（x）=ex﹣ax在（1，+∞）上单调增，则实数a的最大值为________23. （1分）若函数f（x）=x2-x+1在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围是________．24. （1分）函数在2到之间的平均变化率为________．25. （1分）(2012·重庆理) =________．参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共10题；共10分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、。

3.1 变化率与导数1、已知函数32()32f x ax x =++，若'(1)4f -=, 则实数的值等于( )A.103B.133C.163D.1932、已知函数2()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点(1,(1))x f x +∆+∆，则xy∆∆等于( ) A ．4B ．42x +∆C ．242()x +∆D ．4x3、函数()221f x x =-在区间()1,1x +∆上的平均变化率y x∆∆等于（ ）A ．4B ．42x +∆C ．242()x +∆ D ．4x4、如果函数()f x ax b =+在区间[]1,2上的平均变化率为3,则a = ( ) A ．-3 B ．2 C ．3 D ．-2 5、如果函数f(x)=ax+b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a= ( ) A ．-3 B ．2 C ．3 D ．-26、设()00f x '=,则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线( ) A.不存在B.与x 轴平行或重合C.与x 轴垂直D.与x 轴斜交7、已知曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程为210x y ++=,则( ) A. ()00f x '= B. ()00f x '< C. ()00f x '>D. ()0f x '不确定8、若()0'3f x =-,则()()0003limh f x h f x h h→+--=( )A.3-B.12-C.9-D.6-9、设函数2()f x x x =+,则(1)(1)limf x f x+∆-=∆( )A ．-6B ．-3C ．3D ．6 10、222lim68x x x x →--+的值为( )A.0B.1C. 12- D.1311、若曲线e xy -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=,则点P 的坐标是__________。

第一章第一节第课时变化率与导数【课标学习目标】．理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此变化率．．理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)，理解函数在点处的瞬时变化率，理解导数的概念和定义．会求函数在某点处的瞬时变化率(导数)．．理解导数的几何意义，并会求给出曲线在某点处的切线方程．【情景引入】你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢．从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？提示：应用变化率可以判断曲线的“陡峭”程度．【知识探究】．已知函数＝()，那么变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数＝()从到的平均变化率．习惯上用Δ表示－，即Δ＝，可把Δ看作是相对于的一个“增量”，可用＋Δ代替；类似地，Δ＝.于是，平均变化率可以表示为．．一般地，如果物体的运动规律是＝()，那么物体在时刻的瞬时速度就是物体在到＋Δ这段时间内，当Δ→时平均速度的极限，即＝＝.．一般地，函数＝()在＝处的瞬时变化率是＝.我们称它为函数＝()在＝处的导数，记作或，即′()＝＝.．导数的几何意义是，即＝.．当＝时，′()是一个确定的数．这样，当变化时，′()便是的一个函数，我们称它为()的(简称)．＝()的导函数有时也记作′，即′()＝′＝.[答案]－()－()′()′＝．曲线＝()过点(，())的切线的斜率＝′()．导函数导数【例题讲解】题型一求瞬时速度【例】以初速度(>)竖直上抛的物体，秒时的高度为()＝－，求物体在时刻处的瞬时速度．【分析】先求出Δ，再用定义求当Δ→时的极限值．【解析】∵Δ＝(＋Δ)－(＋Δ)－＝(－)Δ－(Δ)，∴＝－－Δ，当Δ→时，→－.故物体在时刻的瞬时速度为－.【评析】瞬时速度即是平均速度在Δ→时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出平均速度。

3．1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念填一填1.平均变化率(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.其中自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (3)ΔyΔx的几何意义是函数y ＝f (x )图象上的两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))所在直线的斜率． 2．瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，设Δx ＝x 1－x 0，Δy＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率．(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢． 3．导数的概念函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率是函数y ＝f (x )在x 0点的导数．用符号f ′(x 0)表示，记作：f ′(x 0)＝lim x 1→x 0 f (x 1)－f (x 0)x 1－x ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.判一判对于函数y ＝f (x )1212Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则1．Δx 可正，可负，可为零．(×)解析：Δx 可正，可负，不为零，故错误．2．函数y ＝f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx .(√)3．函数y ＝f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝f (x 2－Δx )－f (x 2)－Δx.(√)4．当Δx 趋于0时，ΔyΔx就趋于函数在x 1处的瞬时变化率．(√)想一想1.提示：不一定．可正，可负，可为零．2．某条公路限速70 km/h 是指的平均速度不超过70 km/h 吗？ 提示：不是，是指瞬时速度．3．求平均变化率的三步骤是什么？提示：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0.4．利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤是什么？ 提示：第一步，求函数的增加量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；第二步，求平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；第三步，求f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx . 思考感悟：练一练1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx ＞0 B ．Δx ＜0 C ．Δx ≠0 D ．Δx ＝0 答案：C2．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率解析：由定义得f ′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故选C.答案：C3．函数f (x )＝x 从1到4的平均变化率为________．解析：4－14－1＝13.答案：134．已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，y 0)处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为________．解析：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1Δx ＝4x 0＝－8，得x 0＝－2，f (－2)＝2×(－2)2＋1＝9，所以点M 坐标为(－2,9)．答案：(－2,9)知识点一平均变化率1.若函数y ＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ,1＋Δy )，则ΔyΔx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－1－1Δx ＝4＋2Δx .答案：C2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．2Δt ＋4 B ．－2Δt ＋4 C ．2Δt －4 D ．－2Δt －4解析：Δs Δt ＝4－2(1＋Δt )2－4＋2×12Δt ＝－4Δt －2(Δt )2Δt＝－2Δt －4.答案：D3．已知函数f (x )＝－x 2＋x 在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t ＝________. 解析：∵Δy ＝f (1)－f (t )＝(－12＋1)－(－t 2＋t ) ＝t 2－t ， ∴Δy Δx ＝t 2－t 1－t ＝－t .又∵Δy Δx ＝2，∴t ＝－2. 答案：－24.y ＝f (x )＝3A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝3(2＋Δx )＋1－(3×2＋1)＝3Δx ， 则Δy Δx ＝3Δx Δx＝3， ∴当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于3.故选B.答案：B5．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81解析：∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32＝18Δt ＋3(Δt )2.∴ΔsΔt＝18＋3Δt .∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (18＋3Δt )＝18，故选B. 答案：B6．如果某物体的运动方程是s ＝2(1－t )2(单位：m)，则在t ＝1.2 s 时的瞬时速度是( ) A ．4 m/s B ．－4 m/s C ．4.8 m/s D ．0.8 m/s解析：因为Δs Δt ＝2(1－1.2－Δt )2－2(1－1.2)2Δt ＝2Δt ＋0.8，所以Δt 趋于0时，ΔsΔt＝0.8 m/s.故选D.答案：D7.函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ( ) A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关解析：由导数的概念可知，lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h＝f ′(x 0)，仅与x 0有关，与h 无关，故选B.答案：B8．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2解析：∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝lim Δx →0 f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 f (Δx )Δx ＝－1.∴故选B. 答案：B基础达标一、选择题1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．4解析：Δy Δx ＝m 2－1－(12－1)m －1＝m 2－1m －1＝3，得m ＝2，故选B.答案：B2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44解析：∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41. 答案：B3．已知质点运动的速度v (单位：m/s)是时间t (单位：s)的函数，且v ＝v (t )，则v ′(1)表示( )A ．t ＝1 s 时的速度B ．t ＝1 s 时的加速度C ．t ＝1 s 时的位移D ．t ＝1 s 时的平均速度解析：v (t )的导数v ′(t )表示t 时刻的加速度．故选B. 答案：B 4．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，假设f ′(x )＞0恒成立，且f ′(10)＝10，f ′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( )A ．公司已经亏损B ．公司的盈利在增加，增加的幅度变大C ．公司在亏损且亏损幅度变小D ．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小解析：导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．故选D.答案：D5．函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．12 B ．6 C ．3 D ．2解析：f ′(1)＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－3×12Δx＝lim Δx →0 3＋6Δx ＋3(Δx )2－3Δx ＝6. 答案：B6．设函数在x ＝1处存在导数，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3) 解析：lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13f ′(1)．故选C. 答案：C7．物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s (t )＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )A ．t ＝1B ．t ＝2C ．t ＝3D ．t ＝4解析：设此物体在t 0时刻的瞬时速度为0， Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.答案：B 二、填空题8．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．解析：∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.答案：28π39．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________. 解析：∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx ＝3－Δx . 答案：3－Δx10．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v －1，v －2，v －3，则三者的大小关系为________．解析：v －1＝k OA ，v －2＝k AB ，v －3＝k BC ，由图象知，k OA <k AB <k BC ，所以v －1<v －2<v －3.答案：v －1<v －2<v －311．函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为________．解析：f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→01＋Δx－1Δx＝limΔx→0(1＋Δx－1)(1＋Δx＋1)Δx(1＋Δx＋1)＝limΔx→0ΔxΔx(1＋Δx＋1)＝limΔx→011＋Δx＋1＝12.答案：1212．若f′(x0)＝2，则limk→0f(x0－k)－f(x0)2k＝________.解析：根据导数的定义，知limk→0f(x0－k)－f(x0)－k＝2，所以limk→0f(x0－k)－f(x0)2k＝－12limk→0 f(x0－k)－f(x0)－k＝－1.答案：－1三、解答题13．已知函数f(x)＝1x，求f′(2)的值．解析：limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx＝limΔx→0－Δx2(2＋Δx)Δx＝limΔx→0－12(2＋Δx)＝－14.答案：－1414．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解析：位移公式为s＝12at2，∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at2＝at0Δt＋12a(Δt)2，∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0⎝⎛⎭⎫at0＋12aΔt＝at0，已知a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，∴at0＝800 m/s.能力提升15.若函数f(x)＝－x2＋1，求Δx的取值范围．解析：∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为ΔyΔx＝f(2＋Δx)－f(2)Δx＝－(2＋Δx)2＋(2＋Δx)－(－4＋2)Δx＝－3－Δx，∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞)．16．建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝x10＋x10＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．解析：∵当x 从100变为100＋Δx 时，函数值y 关于x 的平均变化率为 f (100＋Δx )－f (100)Δx＝100＋Δx ＋100＋Δx ＋3－(100＋100＋3)10Δx，＝110＋110(100＋Δx ＋10)， ∴f ′(100)＝lim Δx →0 f (100＋Δx )－f (100)Δx＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤110＋110(100＋Δx ＋10)＝0.105，f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1 050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1 050元．。

3.1.1　变化率问题　3.1.2　导数的概念课时过关·能力提升一、基础巩固1.已知某物体的自由落体运动方程为s (t )=12gt 2,若lim Δt →0s (1+Δt )-s (1)Δt =g =9.8(m/s),则下面说法正确的是( )A.9.8 m/s 是0~1 s 这段时间内的平均速度B.9.8 m/s 是从1 s 到(1+Δt )s 这段时间内的速度C.9.8 m/s 是物体在t=1 s 这一时刻的速度D.9.8 m/s 是物体从1 s 到(1+Δt )s 这段时间内的平均速度2.已知某物体的运动方程是s=3+t 2,则在t=2时的瞬时速度是( )B.4 C.7 D.5=3+(2+Δt )2-(3+22)Δt =(Δt )2+4Δt Δt =Δt +4,lim Δt →0Δs Δt =lim Δt →0(Δt +4)=4.故t=2时的瞬时速度为4.3.若将边长为8的正方形的边长增加Δa ,则面积的增量ΔS 为( )A.16(Δa )2B.64C.(Δa )2+8D.16Δa+(Δa )2S=(8+Δa )2-82=16Δa+(Δa )2.4.若函数y=ax+b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a 等于( )B.2 C.3 D.-2,可知Δy Δx =(2a +b )-(a +b )2-1=a =3.5.设函数f (x )在点x 0附近有定义,且有f (x 0+Δx )-f (x 0)=a Δx+b (Δx )2(a ,b 为常数),则( )A.f'(x )=aB.f'(x )=b =a D.f'(x 0)=b(x 0)·Δx )=a.=limΔx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =lim Δx →0(a +b 6.已知函数y=f (x )的图象如图所示,则函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为 .7.若f'(x )=3,则lim Δx →0f (x +2Δx )-f (x )Δx =___________________.=lim x →0f (x +2Δx )-f (x )Δx =lim Δx →02·f (x +2Δx )-f (x )2Δx 2lim Δx →0f (x +2Δx )-f (x )2Δx =2f '(x )=6.8.已知曲线y =1x ‒1上两点A (2,-12),B 2.+Δx ,‒12+Δy ,当Δx =1时,割线AB 的斜率为____________.Δy =(12+Δx -1)‒(12-1)=2-(2+Δx )2(2+Δx )=-Δx 2(2+Δx ),∴Δx =‒12(2+Δx ),即所求斜率k =Δy Δx =‒12(2+Δx ).当Δx=1时,k=‒16.‒169.已知一个质点由定点A 开始运动,在时间t 的位移函数为y=f (t )=t 3+3.(1)当t 1=4,Δt=0.01时,求Δy 和ΔyΔt ;(2)求t 1=4时的导数.y=f (t 1+Δt )-f (t 1)=·Δt+3t 1·(Δt )2+(Δt )3,3t 21故当t 1=4,Δt=0.01时,Δy=0.481 2011.,ΔyΔt =48.120 (2·Δt+(Δt )2]=)lim Δt →0Δy Δt =lim Δt →0[3t 21+3t 13t 21=48,故函数y=t 3+3在t 1=4处的导数是48,即y '|t 1=4=48.二、能力提升1.如果一个物体的运动方程为s (t )=1-t+t 2,其中s 的单位是m,t 的单位是s,那么物体在t=3 s 时的瞬时速度是( )B.6 m/sC.5 m/sD.8 m/s(3)=lim Δt →0s (3+Δt )-s (3)Δt =lim Δt →0[1-(3+Δt )+(3+Δt )2]-(1-3+32)Δt =lim Δt →0(5+Δt )=2.若f'(x 0)=2,则lim k →0f (x 0-k )-f (x 0)2k 等于( )A.-1B.-2C.1D .12f'(x 0)=2,∴=lim f (x 0-k )-f (x 0)2k ‒12lim k →0f (x 0-k )-f (x 0)-k =‒12×2=‒1.3.若函数y=x 2在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率为k 1,在x 0-Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2,则k 1与k 2的大小关系为( )A.k >k 2B.k 1<k 2C.k 1=k 2D.不确定k 1=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =(x 0+Δx )2-x 20Δx =2x 0+Δx , k 2=f (x 0)-f (x 0-Δx )Δx =x 20-(x 0-Δx )2Δx=2x 0‒Δx ,∴k 1‒k 2=2Δx .∵Δx 可正可负,∴k 1与k 2的大小关系不确定.4.已知函数y=f (x )=-4x 2+16x 在x=x 0处的导数为0,则x 0为( )B.2C.3D.4(x 0)=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →0-4(x 0+Δx )2+16(x 0+Δx )+4x 20-16x 0ΔxΔx →0(‒8x 0‒4Δx +16)=‒8x 0+16.由-8x +16=0,得x 0=2.5.若将半径为R 的球加热,半径从R=1到R=m 时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为28π3,则m 的值为_____________.,m=2.得43πm 3-43πm -1=28π3,解得6.若函数f (x )=-x 2+x 在[2,2+Δx ](Δx>0)上的平均变化率不大于-1,则Δx 的取值范围是 .函数f (x )在[2,2+Δx ]上的平均变化率为Δy Δx =f (2+Δx )-f (2)Δx =-(2+Δx )2+(2+Δx )-(-4+2)Δx =-4Δx +Δx -(Δx )2Δx =‒3‒Δx ,∴由-3-Δx ≤-1,得Δx ≥-2.又Δx>0,∴Δx 的取值范围是(0,+∞).+∞)7.某物体做直线运动,其位移s 与时间t 的关系是s (t )=3t-t 2.(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;(3)求此物体在t=0到t=2时的平均速度.∵s (Δt )-s (0)Δt =3Δt -(Δt )2Δt=3‒Δt ,∴v 0=3.lim Δt →0(3‒Δt )=3,即初速度(2)∵s (2+Δt )-s (2)Δt=3(2+Δt )-(2+Δt )2-(3×2-22)Δt =‒Δt ‒1,∴lim Δt →0(‒Δt ‒1)=‒1,即物体在t=2时的瞬时速度为-1.(3)v =s (2)-s (0)2=6-4-02=1.★8.(1)求函数y =x +4在x =1处的导数;(2)求函数y =1x 2+2在x =2处的导数.∵Δy =1+Δx +4‒1+4=5+Δx ‒5=Δx 5+Δx +5,∴Δx =15+Δx +5,∴y'|x=1=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →015+Δx +5=125=510.(2)∵Δy =1(2+Δx )2+2‒14‒2=1(Δx )2+4Δx +4‒14=-(Δx )2-4Δx 4[(Δx )2+4Δx +4],∴Δy Δx =-Δx -44[(Δx )2+4Δx +4],∴y'|x=2=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →0-Δx -44[(Δx )2+4Δx +4]=-416=‒14.。

人教新课标A版选修1-1数学3.1变化率与导数同步检测B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）已知函数f(x)=ax+4,若，则实数a的值为（）A . 2B . -2C . 3D . -32. （2分） (2020高二下·吉林期中) 一个物体的位移s(米)和与时间 (秒)的关系为，则该物体在4秒末的瞬时速度是（）A . 12米/秒B . 8米/秒C . 6米/秒D . 8米/秒3. （2分）函数在处取得极值，则等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二下·宜春期中) 设在处可导，则等于（）A .B .C .D .5. （2分）已知物体的运动方程为(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t=2时的速度为（）A .B .C .D .6. （2分）已知曲线的一条切线斜率是3，则切点的横坐标为（）A . -2B . -1C . 1D . 27. （2分） (2020高二下·三水月考) 点P是曲线上任意一点，曲线在点P处的切线与平行，则P的横坐标为（）A . 1B .C .D .8. （2分） (2020高二上·黄陵期末) 若，则等于（）A . 0B . 1C . 3D .9. （2分）函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为（）A . f′(x0)＝B . f′(x0)＝C . f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)D . f′(x0)＝10. （2分） (2018高二下·中山月考) 函数在区间上的平均变化率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二上·定州期末) 如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻薄片露出水面部分的图形面积为，则导函数的图象大致为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·厦门期末) 一物体做直线运动，其位移 (单位: )与时间 (单位: )的关系是，则该物体在时的瞬时速度是（）A .B .C .D .13. （2分）已知某质点的运动方程为，其中s的单位是m，t的单位是s，则该质点在末的瞬时速度为（）A .B .C .D .14. （2分） (2019高二下·宜春期中) 函数的图象在点处的切线方程是，则（）A . 1B . 2C . 3D . 415. （2分）已知点P在曲线上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则取值范围（）A .B .C .D .二、填空题 (共10题；共10分)16. （1分）若曲线f（x）=ax2+lnx存在平行于x轴的切线，则实数a的取值范围是________17. （1分）已知直线与曲线切于点，则b的值为________.18. （1分） (2021高三上·公主岭期末) 曲线在处的切线倾斜角为，则________.19. （1分） (2020高二下·七台河期末) 若点P是函数上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为________.20. （1分）已知函数f(x)=2x ， g(x)=x2+ax（其中a R）.对于不相等的实数x1, x2 ，设m=，n=.现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数x1, x2 ，都有m>0；（2）对于任意的a及任意不相等的实数x1, x2 ，，都有n>0；（3）对于任意的a ，存在不相等的实数x1, x2 ，使得m=n；（4）对于任意的a ，存在不相等的实数x1, x2 ，使得m=-n.其中的真命题有________ （写出所有真命题的序号）.21. （1分）函数y= 在x=x0≠0附近的平均变化率为________．22. （1分） (2016高二上·黄陵期中) （文）某质点的位移函数是s（t）=2t3 ，则当t=2s时，它的瞬时速度是________ m/s．23. （1分） (2020高三上·清新月考) 法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下条件：⑴在闭区间上是连续不断的；⑵在区间上都有导数．则在区间上至少存在一个数，使得，其中称为拉格朗日中值．则在区间上的拉格朗日中值 ________．24. （1分） (2016高三上·新津期中) 对定义域内的任意实数x都有（其中△x表示自变量的改变量），则a的取值范围是________．25. （1分） (2019高三上·哈尔滨月考) 曲线在点处的切线方程为________．参考答案一、选择题 (共15题；共30分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：二、填空题 (共10题；共10分)答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：答案：24-1、考点：解析：答案：25-1、考点：解析：。