最新导数的概念及其几何意义同步练习题

5.1.2　导数的概念及其几何意义基础过关练题组一　导数的定义及其应用1.函数y=f(x)的自变量x 由x 0变化到x 0+Δx 时,函数值的改变量Δy 为( )A.f(x 0+Δx)B.f(x 0)+ΔxC.f(x 0)·ΔxD.f(x 0+Δx)-f(x 0)2.函数f(x)在x=x 0处的导数可表示为( )A.f'(x 0)=limΔx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)ΔxB.f'(x 0)=lim Δx→0[f(x 0+Δx)-f(x 0)]C.f'(x 0)=f(x 0+Δx)-f(x 0)D.f'(x 0)=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx3.已知函数f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a= .4.如图是函数y=f(x)的图象.(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为 ; (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 . 5.求函数y=x 2+1在x=0处的导数.题组二　导数的几何意义及其应用6.函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是( )A.在点(x0,f(x0))处与y=f(x)的图象只有一个交点的直线的斜率B.过点(x0,f(x0))的切线的斜率C.点(x0,f(x0))与点(0,0)的连线的斜率D.函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率7.某司机看见前方50m处有行人横穿马路,这时司机开始紧急刹车,在刹车的过程中,汽车的速度v是关于刹车时间t的函数,其图象可能是( )8.已知函数f(x)在R上有导函数,且f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是( )A.f'(a)<f'(b)<f'(c)B.f'(b)<f'(c)<f'(a)C.f'(a)<f'(c)<f'(b)D.f'(c)<f'(a)<f'(b)9.如图,函数y=f(x)的图象在P点处的切线方程是y=-x+8,若点P的横坐标是5,则f(5)+f'(5)=( )B.1C.2D.0A.12题组三　求曲线的切线方程10.若曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则( )A.a=-1,b=1B.a=1,b=-1C.a=-2,b=1D.a=2,b=-111.函数f(x)=x3+x-2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x-1,则P点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4)D.(2,8)或(-1,-4)12.若点A(2,1)在曲线y=f(x)上,且f'(2)=-2,则曲线y=f(x)在点A处的切线方程是 .13.(2020广东实验中学高二上期末)与直线2x-y+4=0平行且与抛物线y=x2相切的直线方程是 .14.试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.能力提升练题组一　导数的定义及其应用1.(2020浙江宁波中学高二下期中测试,)甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是( )A.甲厂B.乙厂C.两厂一样D.不确定2.(2020河南新乡高二上期末,)若f'(2)=3,则lim Δx→0f (2+2Δx )-f (2)Δx= . 3.()服用某种药物后,人体血液中药物的质量浓度f(x)(单位:μg/mL)与时间t(单位:min)的函数关系式是y=f(t),假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义.题组二　导数的几何意义及其应用4.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末,)函数f(x)的图象如图所示,则下列数值排序正确的是( )A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)5.()已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率6.(多选)()已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是( )A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0>f(x1)+f(x2)2<f(x1)+f(x2)2题组三　求曲线的切线方程7.(2020浙江金华一中高二下期中,)已知f(x)=x2+2x+3,P为曲线C:y=f(x)上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为,则点P的横坐标的取值范围为( )A.-∞,-B.[-1,0]C.[0,1]D.-1,+∞28.(2020浙江丽水高二下期末,)已知过点P(-1,1)的直线m交x轴于点A,若抛物线y=x2上有一点B,使得PA⊥PB,且AB是抛物线y=x2的切线,则直线m的方程为 .,过9.(2020福建厦门二中高二上期中,)已知曲线y=f(x)=x2,y=g(x)=1x两条曲线的交点作两条曲线的切线,求两切线与x轴围成的三角形的面积.(请用导数的定义求切线的斜率,否则只得结论分)答案全解全析基础过关练1.D 分别写出x=x 0和x=x 0+Δx 时对应的函数值f(x 0)和f(x 0+Δx),两函数值相减就得到了函数值的改变量,所以Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0).2.A 由导数的定义知A 正确.3.答案　2解析　由题意得,Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=aΔx,∴lim Δx→0ΔyΔx =a,∴f'(1)=a=2.4.答案　(1)12　(2)34解析　(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为f (1)-f (-1)1―(―1)=2―12=12.(2)由函数f(x)的图象知,,-1≤x ≤1,<x ≤3,所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)-f (0)2―0=3―322=34.5.解析　Δy=(0+Δx )2+1-0+1=(Δx )2+1―1(Δx )2+1+1=(Δx )2(Δx )2+1+1,∴ΔyΔx =Δx (Δx )2+1+1,∴y'x=0=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0Δx (Δx )2+1+1=0.6.D f'(x 0)的几何意义是函数y=f(x)的图象在点(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.7.A 在刹车过程中,汽车速度呈下降趋势,排除选项C,D;由于是紧急刹车,所以汽车开始时速度下降非常快,图象较陡,排除选项B,故选A.8.A 由题意可知,f'(a),f'(b),f'(c)分别是函数f(x)在x=a 、x=b 和x=c 处切线的斜率,则有f'(a)<0<f'(b)<f'(c),故选A.9.C ∵函数y=f(x)的图象在x=5处的切线方程是y=-x+8,∴f'(5)=-1,又f(5)=-5+8=3,∴f(5)+f'(5)=3-1=2.故选C.10.B 由题意得,f'(1)=lim Δx→0ΔyΔx=lim Δx→0(1+Δx )2+a(1+Δx )+b -1-a -bΔx =lim Δx→0(Δx )2+2Δx +aΔxΔx =2+a.∵曲线f(x)=x 2+ax+b 在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,∴2+a=3,解得a=1.又∵点(1,1)在曲线y=x 2+ax+b 上,∴1+a+b=1,解得b=-1,∴a=1,b=-1.故选B.11.C f'(x)=lim Δx→0ΔyΔx=lim Δx→0(x +Δx )3+(x +Δx )-2-x 3-x +2Δx=3x 2+1.设P(x 0,y 0),则f'(x 0)=3x 20+1=4,所以x 0=±1,当x 0=1时,f(x 0)=0,当x 0=-1时,f(x 0)=-4,因此P 点的坐标为(1,0)或(-1,-4).12.答案　2x+y-5=0解析　由题意知,切线的斜率k=-2.∴在点A(2,1)处的切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.13.答案　2x-y-1=0解析　设切点坐标为(x 0,y 0),y=f(x)=x 2,则由题意可得,切线斜率f'(x 0)=limΔx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=2x 0=2,所以x 0=1,则y 0=1,所以切点坐标为(1,1),故所求的直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.14.解析　Δy Δx =(x +Δx )3+1―x 3-1Δx =3x (Δx )2+3x 2Δx +(Δx )3Δx=3xΔx+3x 2+(Δx)2,则lim Δx→0ΔyΔx =3x 2,因此y'=3x 2.设过点M(1,1)的直线与曲线y=x 3+1相切于点P(x 0,x 30+1),根据导数的几何意义知曲线在点P 处的切线的斜率为k=3x 20①,过点M 和点P 的切线的斜率k=x 30+1―1x 0-1②,由①-②得3x 20=x 30x 0-1,解得x 0=0或x 0=32,所以k=0或k=274,因此过点M(1,1)且与曲线y=x 3+1相切的直线有两条,方程分别为y-1=274(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0和y=1.能力提升练1.B 在t 0处,虽然有W 甲(t 0)=W 乙(t 0),但W 甲(t 0-Δt)<W 乙(t 0-Δt),所以在相同时间Δt 内,甲厂比乙厂的平均治污率小,所以乙厂治污效果较好.2.答案　6解析　limΔx→0f (2+2Δx )-f (2)Δx=2lim Δx→0f (2+2Δx )-f (2)2Δx =2f'(2)=6.3.解析　f'(10)=1.5表示服药后10 min 时,血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL ·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL. f'(100)=-0.6表示服药后100 min 时,血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL ·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL.4.B 如图所示, f'(2)是函数f(x)的图象在x=2(即点A)处切线的斜率k 1, f'(3)是函数f(x)的图象在x=3(即点B)处切线的斜率k 2,f (3)-f (2)3―2=f(3)-f(2)=k AB 是割线AB 的斜率.由图象知0<k 2<k AB <k 1,即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).故选B.5.D ∵f(x)在a 到b 之间的平均变化率是f (b )-f (a )b -a,g(x)在a 到b 之间的平均变化率是g (b )-g (a )b -a ,f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴f (b )-f (a )b -a=g (b )-g (a )b -a,∴A 、B 错误;易知函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x 0处的导数,即函数f(x)在该点处的切线的斜率,同理函数g(x)在x=x 0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数,即函数g(x)在该点处的切线的斜率,由题中图象知C 错误,D 正确.故选D.6.AD 由题中图象可知,导函数f'(x)的图象在x 轴下方,即f'(x)<0,且其绝对值越来越小,因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负,并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得f(x)的大致图象如图所示.A 选项表示x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)异号,即f(x)图象的割线斜率f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2为负,故A 正确;B 选项表示x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)同号,即f(x) 图象的割线斜率f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2为正,故B 不正确表示x 1+x 22对应的函数值,即图中点B 的纵坐标,f (x 1)+f(x 2)2表示当x=x 1和x=x 2时所对应的函数值的平均值,即图中点A 的纵坐标,显然有<f (x 1)+f(x 2)2,故C 不正确,D 正确.故选AD.7.D 设点P 的横坐标为x 0,则点P 处的切线倾斜角α与x 0的关系为tan α=f'(x 0)=lim Δx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =2x 0+2.∵α,∴tan α∈[1,+∞),∴2x 0+2≥1,即x 0≥-12,∴点P 的横坐标的取值范围为-12,+∞.8.答案　x-y+2=0或x+3y-2=0解析　令y=f(x)=x 2,设B(t,t 2),则k AB =lim Δx→0f (t +Δx )-f (t )Δx =2t,则直线AB 的方程为y=2tx-t 2.当t=0时,符合题意,此时A(-2,0),∴直线m 的方程为x-y+2=0.当t ≠0时,0,PA=+1,―1,PB =(t+1,t 2-1),∵PA ⊥PB,∴PA ·PB =0,+1(t+1)-(t 2-1)=0,解得t=4或t=-1(B,P重合,舍去),此时A(2,0),∴直线m 的方程为x+3y-2=0.综上,直线m 的方程为x-y+2=0或x+3y-2=0.9.解析　由y =x 2,y =1x,得x =1,y =1,故两条曲线的交点坐标为(1,1).两条曲线切线的斜率分别为f'(1)=lim Δx→0f (Δx +1)―f (1)Δx =lim Δx→0(Δx +1)2-12Δx =lim Δx→0(Δx+2)=2,g'(1)=lim Δx→0g (Δx +1)―g (1)Δx =lim Δx→01Δx +1-11Δx=lim Δx→0-所以两条切线的方程分别为y-1=2(x-1),y-1=-(x-1),即y=2x-1与y=-x+2,两条切线与x,0,(2,0),所以两切线与x轴围成的三角形的面积为12×1×|2―12|=34.。

导数的概念及其几何意义习题一、选择题（共14小题；共70分）1. 若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈(a,b)，则limℎ→0f(x0−ℎ)−f(x0)ℎ的值为( )A. fʹ(x0)B. −fʹ(x0)C. −2fʹ(x0)D. 02. 已知函数f(x)，则limΔx→0f(2+Δx)−f(2)Δx的含义是( )A. 表示函数f(x)在区间[2,2+Δx]的平均变化率B. 表示函数f(x)在区间[Δx,2]的平均变化率C. 表示函数f(x)在点(2,f(2))处的瞬时变化率D. 表示函数f(x)在区间[2,2+Δx]内任意一点的瞬时变化率3. 质点M按规律s=2t2+3作直线运动，则质点M在t=2时瞬时速度是( )A. 2B. 6C. 4D. 84. 设f(x)=ax+4，若fʹ(1)=2，则a=( )A. 2B. −2C. 3D. 45. 在求平均变化率的式子中，自变量的增量Δx应满足条件( )A. Δx>0B. Δx<0C. Δx=0D. Δx≠06. 函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在x=1处的瞬时变化率为( )A. 4aB. 2a+bC. bD. 4a+b7. 已知函数y=f(x)的图象如图，则fʹ(x A)与fʹ(x B)的大小关系是( )A. fʹ(x B)<fʹ(x A)<0B. fʹ(x A)<fʹ(x B)<0C. fʹ(x A)=fʹ(x B)D. fʹ(x A)>fʹ(x B)>08. 某质点的位移函数是s(t)=2t3−12gt2(g=10m/s2)，则当t=2s时，它的加速度是( )A. 14m/s2B. 4m/s2C. 10m/s2D. −4m/s29. 如果质点A按照规律s=3t2运动，则在t0=3时的瞬时速度为( )A. 12B. 16C. 18D. 2710. 如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l:x=t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y=f(t)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )A. B.C. D.11. 设函数 f (x )=x 2+1，当自变量 x 由 1 变到 1.1 时，函数 f (x ) 的平均变化率为 ( )A. 2.1B. 1.1C. 2D. 112. 函数在某一点的导数是 ( )A. 在该点的函数的增量与自变量的增量的比B. 一个函数C. 一个常数，不是变数D. 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 13. 已知 f (x )=1x+1，则 limΔx→0f (2+Δx )−f (2)Δx 的值是 ( )A. −14B. 14C. −19D. 1914. 物体自由落体运动的方程为 s (t )=12gt 2，g =9.8 m/s 2，若 v =limΔt→0s (1+Δt )−s (1)Δt=9.8 m/s ，那么下列说法正确的是 ( ) A. 9.8 m/s 是在 1 s 这段时间内的速度B. 9.8 m/s 是从 1 s 到 (1+Δt )s 这段时间内的速度C. 9.8 m/s 是物体在 t =1 s 这一时刻的速度D. 9.8 m/s 是物体从 1 s 到 (1+Δt )s 这段时间内的平均速度二、填空题（共4小题；共20分） 15. 函数 y =ax +b 从 1 到 2 的平均变化率是 ．=．16. 在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及其附近一点(1+Δx,2+Δy)，则ΔyΔx（t是时间，s是位移），那么物体在时刻t=2时的速度17. 已知物体的运动方程为s=t2+3t为．18. 一个物体的位移s（米）与时间t（秒）的关系为s=4−2t+t2，则该物体在3秒末的瞬时速度是．三、解答题（共2小题；共26分）19. 求曲线f(x)=2x2−x在点(1,1)处的切线斜率.20. 求下列函数的导数：（1）y=−x2+6x；（2）y=x3−x；（3）y=3；x2（4）y=(x+2)2−3．第一部分1. B2. C3. D4. A5. D6. B 【解析】fʹ(1)=2a+b．7. B 【解析】fʹ(x A)和fʹ(x B)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故fʹ(x A)<fʹ(x B)<0 .8. A 【解析】由v(t)=sʹ(t)=6t2−gt，a(t)=vʹ(t)=12t−g，当t=2时，a(2)=vʹ(2)=12×2−10=14．9. C10. C【解析】从函数的图象观察可得，函数的导数开始比较小，然后变大，后又减小，反映到实际中，是图形面积相对于t的变化率ΔSΔt开始小，然后增大，后又变小．11. A12. C13. C14. C第二部分15. a16. Δx+2【解析】ΔyΔx =(1+Δx)2+1−2Δx=Δx+2．17. 134【解析】因为sʹ=2t−3t2，所以t=2时，v=4−34=134．18. 4米/秒第三部分19. 因为f(1+Δx)−f(1)Δx =3+Δx，所以k=limΔx→0(3+2Δx)=3 .20. （1）因为Δy=−(x+Δx)2+6(x+Δx)−(−x2+6x) =−(Δx)2−2xΔx+6Δx,所以yʹ=limΔx→0Δy Δx=limΔx→0−(Δx)2−2xΔx+6ΔxΔx=−2x+6.（2）因为Δy=(x+Δx)3−(x+Δx)−(x3−x) =3x2Δx+3x(Δx)−Δx,所以yʹ=limΔx→0Δy Δx=limΔx→03x2Δx+3x(Δx)2−ΔxΔx=3x2−1.（3）因为Δy=3(x+Δx)2−3x2=3[2Δx+(Δx)2]x(x+Δx)2,所以yʹ=limΔx→0Δy Δx=limΔx→0−3[2Δx+(Δx)2]Δx⋅x(x+Δx)2=−6x3.（4）因为y=x2+4x+4−3=x2+4x+1,所以Δy=(x+Δx)2+4(x+Δx)+1−(x2+4x+1) =(Δx)2+2xΔx+4Δx.因此yʹ=limΔx→0Δy Δx=limΔx→0(Δx)2+2xΔx+4ΔxΔx=2x+4.。

导数的概念及其几何意义同步练习题 （理科）、选择题1. y 2x 1在（1,2）内的平均变化率为（ B ) A . 3B.2C . .1 D. o2. 质点运动动规律 s t 2 3，则在时间(3,3t ）中，相应的平均速度为（A ）A . 6 tB• 6 t - C .3 t D . 9 tt3. 函数y =f (x )的自变量x 由x o 改变到x o +/x 时，函数值的改变量 /y 为(D )A.f (x o +/x )B.f (x o )+ /xC.f (x o )?/x D. f (x o +/x )- f (x o )4. 一质点运动的方程为 s = 5 — 3t 2,则在时间［1 , 1 + △ t ］内相应的平均速度为(D ) A. 3 △ t + 6 B. — 3 A t + 6 C. 3 △ t — 6 D. — 3 A t — 67. 曲线y=2x 2+1在点P （-1,3 ）处的切线方程是（A ） A. y =-4 x -1B.y =-4 x -7 C. y =4x -1 D. y =4x -78. 过点(-1,2 )且与曲线y =3x 2-4 x +2在点M( 1,1 )处的切线平行的直线方程是( A. y =2x -1B.y =2x +1 C. y =2x +4 D .y =2x -49. 下面四个命题：① 若f '（X 。

）不存在，则曲线y = f （x ）在点（X 。

，f （x 。

））处没有切线； ② 若曲线y = f （x ）在点（x o , f （x o ））处有切线，则f ' （x o ）必存在；③ 若f ' （x o ）不存在，则曲线y =f （x ）在点（x o , f （x o ））处的切线斜率不存在； ④ 曲线的切线和曲线有且只有一个公共点•其中，真命题个数是 （B ）A. oB. 1C. 2D. 310. 曲线y = 2x 2上有一点A （2,8），则点A 处的切线斜率为（C ） A.4 B. 16 C. 8 D. 211. 曲线y = x 3 — 3x 2 + 1在点（1 , — 1）处的切线方程为（B ） A. y = 3x — 4 B. y =— 3x + 2 C. y =— 4x + 3 D. y = 4x — 5一A S12. 一直线运动的物体，从时间 t 到t + A t 时，物体的位移为A S ,那么Ai x n o 云为（A ） 5.设函数f (x )=—，则lim x? af(x )- f(a)等于(C )A.-- aB.C.D.3（t 是时间,s 是位移），则物体在时刻t = 2时的速度为（D ）1917A. B. ~4C415D.13 7A .在t 时刻该物体的瞬时速度•当时间为A t 时物体的瞬时速度6.已知物体的运动方程为s =t 2+C.从时间t 到t + △ t 时物体的平均速度 D •以上说法均错误 2A . 1在点(2, e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(曲线y=2sinx 在点P (n, 0)处的切线方程为13. (2012 •宝鸡检测)已知函数f (x ) = x 3 — x 在x = 2处的导数为f '⑵=11,则(D )A . f ' (2)是函数f (x ) = x 3— x 在x = 2时对应的函数值 B. f '⑵ 是曲线f (x ) = x 3— x 在点x = 2处的割线斜率 C. f ' (2)是函数f (x ) = x 3— x 在x = 2时的平均变化率⑵ 是 曲线f (x ) =x 3 — x 在点 x =2处的切线的斜率214. (2012 •上饶检测)函数y = 3x 在x = 1处的导数为( A . 2B . 31215. 设 f (x ) = ax + 4,若 f ' (1) = 2,贝U a 等于(A )16.设曲线y = ax 2在点(1 , a )处的切线与直线 2x — y — 6 = 0平行，则 a 等于(A . 1 B.17.已知曲线 122x y =4的一条切线斜率为 1 —21 一2，则切点的横坐标为18 .曲线 A. e 2B.2e 2C.4e 2D.19 . 函数 f(x)x 2在点(2, f (2))处的切线方程为20 . y 4x 4 B . y 4x 44x曲线y e x 在点A 处的切线与直线0平行, 则点 A 的坐标为(A )1,e 1(B ) 0,1 (C )1,e(D ) 0,221 .A. y 2x 2B.C.2x 2 D. y 2x 222 . 设曲线y x n1 *(n N )在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为 x n ，则捲 X 2 L X n 的值为(B )【答案】B 【解析】试题分析：因为, n n 1x n 1(n ，所以，y' (n 1)x n，曲线yn 1 *x (n N )在点(1,1)处的切线斜率为n+1，切线方程为(n 1)x令 y=0 得，x= —，即 x n ―,n 1 n 1所以 x , x 2 L x n12 32 3 4、填空题23.若质点M 按规律s = 2t 2 — 2运动，则在一小段时间［2,2 +△ t ］内，相应的平均速度_ 8 + 2A t24.已知函数y = f (x )的图像在点M』1 , f (1))处的切线方程是y =产+ 2,则f (1) + f ' (1) = 3325.曲线y = f (x ) = 2x — x 在点(1 , 1)处的切线方程为 _____________ .答案：x + y — 2= 0 26.直线y 2x b 与曲线y x 3ln x 相切，则b 的值为 -3 . ______ 27.(如图所示)函数y f(x)在点P 处的切线方程是y x 8，则f(5) f (5) = 2因为函数 y f (x)在点P 处的切线方程是 y x 8，所以J Q A【答案】 ■【解析】解：因为在两曲线y sinx 和y cosx 的交点(一,)处，两切线的斜率之积等于24 22 12=2即 4x + y — 4 = 0.f 5 =-1,f 5 =-5+8=3，所以f(5) f (5)=2.28 .在两曲线 y sinx 和y cosx 的交点(一,—)处，两切线的斜率之积等于4 ' 2.229.函数y = x 2在x = 处的导数值等于其函数值.2解析：y = f (x ) = X 在x = X o 处的导数值为f '(X o )f ( X 0+A x )— f ( X 0) ymi2=A m ^0( A x + 2x °) = 2x 0.由 2x 0= x °，解得x °= 0或x ° = 2.答案：0或2 230. (2012 •南昌调研)若一物体的运动方程为 s = 3t + 2,求此物体在三、解答题t = 1时的瞬时速度是61 31.求等边双曲线y =-在点x12,2处的切线的斜率，并写出切线方程. A y解析：••• y '=A X =阿1 1 x +A xxA x点£ 2在曲线上,切线的斜率 k = y ' x = 1=—4.二切线方程为y — 2=— 432.已知抛物线f (x ) = ax 2 + bx — 7过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x — y — 3= 0，求a , b 的值.a +b — 7 = 1由已知可得2a + b = 4 ，解得a =—4, b =1233. (2012 •榆林调研)已知曲线y = 1x 3上一点P 2, 3。

《导数的概念及其几何意义》典型例题深研1 导数的几何意义1.可导函数在0x x =处切线的斜率为此处函数的导数值.2.根据导数值的变化可确定原函数图象的变化情况. 考向1 由切线确定导数值例1（★）如图,函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是29y x =-+,点P 的横坐标是4,则(4)(4)f f +'=_______________.解析 ∵函数()f x 的图象在点P 处的切线为29y x =-+, ∴2(4)k f '=-=切.又 ∵点P 在切线29y x =-+上,∴(4)1f =,∴(4)(4) 1.f f +'=-① 答案 1-考向2 由切线特点确定函数图象②例2（★）已知函数()y f x =的图象如图所示,则其导函数()y f x '=的图象可能是___________.（填序号）解析 由()y f x =的图象及导数的几何意义可知,当x ＜0时,()f x '＞0；当x ＝0时,()f x '＝0；当x ＞0时,()f x '＜0,故②符合. 答案 ② 方法技巧①1.由切线方程可确定函数()y f x =在0x 处的导数值,即()0f x k '=切. 2.切点为切线与曲线的公共点. 即时训练1.（1）（★★）已知函数()f x 在R 上可导,其部分图象如图所示,设(2)(1)21f f a -=-,则下列不等式正确的是（ ）A.(1)(2)f f a '<'<B.(1)(2)f a f '<<'C.(2)(1)f f a '<'<D.(1)(2)a f f <'<'解析 由题中图象可知,在区间(0,)+∞上,函数()f x 增长得越来越快,∴(1)f '(2)f <',∵(2)(1)21f f a -=-,∴通过作切线与割线可知(1)(2)f a f '<<',故选B.答案 B 方法技巧②导数的符号、曲线的升降、切线的斜率、切线的倾斜角之间的关系即时训练2.（★）()()()y f x y g x y h x ===，，的图象如图1所示：而图2是其对应导数的图象：则()y f x =的导数图象对应___________；()y g x =的导数图象对应___________；()y h x =的导数图象对应___________.解析 由导数的几何意义,知()f x 图象上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变,故()y f x =的导数图象对应B ；()y g x =图象上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无穷,故()y g x =的导数图象对应C ；()y h x =图象上任一点处的切线斜率都大于零,且先小后大,故()y h x =的导数图象对应A. 答案 B ；C ；A深研2 求曲线的切线方程由于可导函数()f x 在0x x =处切线的斜率为0()f x ',从而可用点斜式确定切线方程.考向1 求过曲线上一点的切线方程 例3（★★）求曲线213y x x=+-在2x =处的切线方程. 解析 设()y f x =,则21()3f x x x=+-.2222(2)(2)11(2)32322114()224().2(2)14.2(2)y f x f x x x x x xx x x yx x x ∆=+∆-⎛⎫=+∆+--+- ⎪+∆⎝⎭=∆+∆+-+∆∆=∆+∆+∆∆∴=+∆-∆+∆-∵当x ∆无限趋近于0时,y x ∆∆无限趋近于115444-=, ∴曲线()y f x =在2x =处的切线斜率为154. 又2x =时,32y =,∴切点坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴曲线在2x =处的切线方程为315(2)24y x -=-, 即154240x y --=.考向2 求过曲线外一点的切线方程例4（★★）求曲线2y x =过点（3,5）的切线方程.思路分析 先判断点（3,5）是否在曲线上,不在曲线上则需设切点坐标为（0x ,20x ）,再利用（3,5）与（0x ,20x ）连线的斜率等于0()f x '建立方程求0x ,从而确定切线斜率.解析 因为点（3,5）不在曲线上,所以设切点坐标为（0x ,20x ）, 又()()()220000lim lim 22x x x x x f x x x x x∆→∆→+∆-'==+∆=∆,故切线斜率为02x ,则切线方程为()20002y x x x x -=-, 因为点（3,5）在切线上,所以()2000523x x x -=-,解得01x =或05x =,则切点坐标为(1,1)或(5,25),故切线方程为12(1)y x -=-或2510(5)y x -=-, 即210x y --=或10250x y --=. 主编点评求过某点的曲线的切线方程④时,需先设切点（0x ,0y ）,再对()y f x =求导得出切线斜率()0f x ',从而得到含参的切线方程0y y -=()()00f x x x '-,最后代入已知点,从而求出切点坐标以及切线方程.即使已知点在曲线上,也不能按在某点处的切线方程求解,否则易漏解.⑤ 方法技巧③求曲线()y f x =在点()00,P x y 处的切线方程,其切线只有一条,点()00,P x y 在曲线()y f x =上,且是切点.切线方程为()()000y y f x x x -='-.如图1,在点()00,P x y 处的切线为1l ,如图2,在点()00,P x y 处的切线为(22l l 与曲线()y f x =有两个公共点不影响结果).即时训练3.（★★）已知3()21f x x x =-+,求曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程.解析 因为330()2()121()lim x x x x x x x f x x ∆→∆+-∆++-+-'=∆3220()3()32lim x x x x x x xx∆→∆+⋅∆+⋅∆-∆=∆ 220lim ()332x x x x x ∆→⎡⎤=∆+⋅∆+-⎣⎦ 232x =-,所以(1)321f '=-=, 所以切线的方程为1y x =-, 即10x y --=. 知识补充④求曲线()y f x =过点()00,P x y 的切线方程的步骤 第一步：设出切点坐标()()11,P x f x '；第二步：写出过()()11,P x f x '的切线方程()()()111y f x f x x x -='⋅-； 第三步：将点P 的坐标()00,x y 代入切线方程,求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程()()11y f x f x -='()1x x ⋅-,由此即可得过点()00,P x y 的切线方程. 误区警示⑤此处点()00,P x y 可以在曲线()y f x =上,也可以不在曲线()y f x =上.如图1,过点()00,P x y (不在曲线()y f x =上)的切线12l l ，,如图2,过点(0P x ,0y )(在曲线()y f x =上)的切线34l l ，.即时训练4.（★★）求过点（-1,-2）且与曲线32y x x =-相切的直线方程.解析 33002()()2limlim x x y x x x x x x y x x∆→∆→∆+∆-+∆-+'==∆∆2220lim 233()23x x x x x x ∆→⎡⎤=--∆-∆=-⎣⎦. 设切点坐标为()3000,2x x x -,则切线方程为()320000223()y x x x x x -+=--.∵切线过点(1,2)--,∴()()32000022231x x x x --+=---,即320230x x +=,解得00x =或032x =-, ∴切点坐标为(0,0)或33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭,当切点坐标为(0,0)时,切线斜率2k =,切线方程为20x y -=；当切点坐标为33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭时,切线斜率23192324k ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭,切线方程为192(1)4y x +=-+,即194270x y ++=. 综上可知,过点(1,2)--且与曲线32y x x =-相切的直线方程为20x y -=或19x +4270y +=.考点3 导数几何意义的综合应用求解导数几何意义的综合应用问题的关键是对函数进行求导,利用题目所提供的直线的位置关系、斜率的范围等条件求解相关问题,此处常与函数、方程、不等式等知识相结合. 考向1 求切点坐标⑥例5（★★）在曲线2y x =上取一点,使得在该点处的切线； （1）平行于直线45y x =-； （2）垂直于直线2650x y -+=； （3）倾斜角为135︒.分别求出满足上述条件的点的坐标.思路分析 先求函数的导函数()f x ',再设切点()00,P x y ,由导数的几何意义知切点()00,P x y 处的切线的斜率为()0f x ',最后根据题意列方程,解关于0x 的方程即可求出0x ,又点()00,P x y 在曲线2y x =上,易得0y .解析 设()y f x =,则2200()()()()lim lim x x f x x f x x x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆lim(2)2x x x x ∆→=+∆=.设()00,P x y 是满足条件的点.（1）因为点P 处的切线与直线45y x =-平行,所以024x =,解得0x 2=,所以04y =,即(2,4)P .（2）因为点P 处的切线与直线2650x y -+=垂直,且直线265x y -+0=的斜率为13, 所以01213x ⋅=-,解得032x =-,所以094y =,即39,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （3）因为点P 处的切线的倾斜角为135︒,所以切线的斜率为tan1351︒=-,即021x =-,解得012x =-,所以014y =,即11,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.⑦知识补充⑥根据切线斜率求切点坐标的步骤 （1）设切点坐标为()00,x y ； （2）求导函数()f x '； （3）求切线的斜率()0f x '；（4）由斜率间的关系列出关于0x 的方程,解方程求0x ；（5）由点()00,x y 在曲线()f x 上,将()00,x y 代入解析式求0y ,即得切点坐标. 知识补充⑦求解本题注意方程思想的应用.切点坐标()00,x y 有两个变量,因此需建立两个方程求解. 即时训练5.（★）已知曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3,求点P 的坐标.解析 设点P 的坐标为()300,x x ,∵()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆22300033()()lim x x x x x x x ∆→∆+∆+∆=∆ 22000lim 33()x x x x x ∆→⎡⎤=+∆+∆⎣⎦ 203x =,2033x =,解得01x =±,∴点P 的坐标是(1,1)或(1,1)--. 考向2 切线围成的三角形的面积问题例6（★★）已知直线1l 为曲线22y x x =+-在点(1,0)处的切线,2l 为该曲线的另一条切线,且12l l ⊥. （1）求直线2l 的方程；（2）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积.解析（1）因为()2200()()22lim lim x x x x x x x x y y x x∆→∆→+∆++∆--+-∆'==∆∆21x =+,所以12113x y ='=⨯+=,所以直线1l 的方程为3(1)y x =-,即330x y --=. 设直线2l 与曲线22y x x =+-切于点()2,2B b b b +-,则2l 的方程为2(21)2y b x b =+--.因为12l l ⊥,所以1213b +=-,所以23b =-,所以直线2l 的方程为12239y x =--,即39220x y ++=.（2）由（1）知,联立330,39220,x y x y --=⎧⎨++=⎩解得1,65.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以直线1l 和2l 的交点坐标为15,62⎛⎫- ⎪⎝⎭.又易知1l 、2l 与x 轴的交点的坐标分别为22(1,0),03⎛⎫- ⎪⎝⎭、,所以所求三角形的面积125512523212S =⨯⨯-=.主编点评本题求解时应抓住两切线斜率的关系及切线斜率与导数的关系,构建方程组求解. 方法技巧求切线围成的三角形的面积时,关键是准确求得切线方程,然后分析围成的三角形的特点,进而求其面积.6.（★★）求曲线1(0)y x x x =->上一点()00,P x y 处的切线分别与x 轴、y 轴交于点,A B O 、是坐标原点,若△OAB 的面积为13,则0x =_____________.解析 ∵1(0)y x x x=->， ∴011lim x x x x x x x y x∆→⎡⎤⎛⎫+∆--- ⎪⎢⎥+∆⎝⎭⎣⎦'=∆011()lim x x x x x x x x∆→⎡⎤⎛⎫+∆-+- ⎪⎢⎥+∆⎝⎭⎣⎦=∆ 0()lim x x x x x x x∆→∆∆++∆=∆ 01lim 1()x x x x ∆→⎡⎤=+⎢⎥+∆⎣⎦ 211x=+, ∴切线的斜率为2011x +,则切线的方程为()00200111y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭, 令0x =得02y x =-,令0y =得02021x x x =+,∴△OAB 的面积020********x S x x =⨯⨯=+,解得0x =(负根舍去).答案考向3 根据切线求参数值例7（★★）设函数32()91(0)f x x ax x a =+--<,若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行,求a 的值.思路分析 先利用定义求导,结合二次函数求最值,最后结合切线斜率求a . 解析 ∵32()()()()9()1y f x x f x x x a x x x x ∆=+∆-=+∆++∆-+∆--()()3222391329(3)()()xax x x ax x x a x x +--=+-∆++∆+∆, ∴22329(3)()y x ax x a x x x∆=+-++∆+∆∆, ∴22220()lim 329399333x y a a a f x x ax x x ∆→∆⎛⎫'==+-=+---- ⎪∆⎝⎭. 由题意知()f x '的最小值是12-,∴29123a --=-,即29a =,∵0a <,∴3a =-.⑨ 主编点评本题得到()f x '的表达式是关于x 的二次函数,从而可利用二次函数求最值. 方法技巧⑨当题中涉及切线方程、切线的斜率(或倾斜角)、切点坐标等问题时,可利用导数的定义与几何意义迅速获解.遇到“切线的斜率最小、最大”问题时,通常只需求出导函数,再求其最值即可解决.即时训练⑦（★★）已知函数3()1f x x ax =++的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(1,1)-,求a 的值.解析 函数3()1f x x ax =++的导函数为3320()()11()lim 3x x x a x x x ax f x x a x∆→⎡⎤+∆++∆+---⎣⎦'==+∆, ∴(1)3f a '=+,而(1)2f a =+,∴切线方程为2(3)(1)y a a x --=+-,∵切线方程过点(1,1)-,∴12(3)(11)a a --=+--,解得5a =-.。

数学导数的概念和几何意义试题1.函数，则此函数图象在点处的切线的倾斜角为 .【答案】【解析】.【考点】导数的几何意义2.若存在实常数和,使得函数和对其定义域内的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“分界直线”.已知函数和函数，那么函数和函数的分界直线方程为_________.【答案】【解析】由题意知，分界直线分别与两曲线相切，即所求直线为两曲线的公切线，设切点为，由，，则有，解得，，切线斜率为，故所求的分界直线方程为，即．【命题意图】本题考查导数的几何意义、函数的图象和性质、直线方程等基础知识，意在考查学生运用数形结合思想的能力和逻辑思维和推理的能力.3.设函数在上是可导的偶函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率为．【答案】0．【解析】，由导数的定义易得偶函数的导数函数是奇函数，，又，是周期为4的周期函数，曲线在点处的切线的斜率为．【考点】本题考查导数的几何意义、函数的奇偶性、周期性等知识，意在考查分析问题、解决问题已及运算求解能力．4.已知函数．（Ⅰ），使得函数在的切线斜率，求实数的取值范围；（Ⅱ）求的最小值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ），由题意知，不等式在上有解，2分不等式等价变形为，，记，则． 4分设，则，则有，易知单调递增，故，所以，故，又因为即实数的取值范围的是． 6分（Ⅱ）令，即，∵，∴方程的两个根为（舍去），， 8分因为，则，且当时，；时，，故函数可能在或处取得最小值，∵，，故当，即时，函数最小值为；当，函数最小值为. 11分综上所述：当时，函数最小值为；当时，函数最小值为． 12分【命题意图】本题主要考查导数的几何意义和利用导数求函数的最值，意在考查运用数形结合思想的能力和运算求解能力．5.（本小题满分13分）已知函数（），其中自然对数的底数。

（1）若函数图象在处的切线方程为，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）设函数，当时，存在使得成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由已知，， 1分切线的斜率为，即， 2分解得； 3分（2）由（1），.若＜0，由＞0可得＜，＜0可得＞的单增区间为，单减区间为 5分若＞0，由＞0可得＞，＜0可得＜的单增区间为，单减区间为 7分（3）当时，由（1）可知在区间上单增，在区间上单减则 8分由知易知在区间上单减，在区间上单增。

专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义1.（2021·浙江高三其他模拟）函数312x y +=在0x =处的导数是（ ）A ．6ln 2B ．2ln 2C ．6D ．2【答案】A 【解析】利用符合函数的求导法则()()()()()()f g x '''f g x g x =⋅，求出312x y +=的导函数为3131'223322x x y ln ln ++=⋅⋅=⋅，代入x =0，即可求出函数在x =0处的导数.【详解】312x y +=的导函数为3131'223322x x y ln ln ++=⋅⋅=⋅,故当x =0时，'62y ln =.故选：A2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））曲线2cos sin y x x =+在(,2)π-处的切线方程为（）A ．20x y π-+-=B ．20x y π--+=C ．20x y π++-=D ．20x y π+-+=【答案】D 【解析】先求得导函数,根据切点求得斜线的斜率,再由点斜式即可求得方程.【详解】'2sin cos y x x=-+当x π=时,2sin cos 1k ππ=-+=-所以在点(),2π-处的切线方程,由点斜式可得()21y x π+=-⨯- 化简可得20x y π+-+=故选:D练基础3．（2021·全国高三其他模拟（理））曲线12sin()2x y e x π-=-在点(1,1)-处的切线方程为（ ）A ．0x y -=B ．10ex y e --+=C ．10ex y e ---=D ．20x y --=【答案】D 【解析】根据切点和斜率求得切线方程.【详解】因为12sin()2x y ex π-=-，所以1cos()2x y e x ππ-'=-，当1x =时，1y '=，所以曲线12sin()2x y e x π-=-在点(1,1)-处的切线的斜率1k =，所以所求切线方程为11y x +=-，即20x y --=.故选：D4．（2021·山西高三三模（理））已知a R ∈，设函数()ln 1f x ax x =-+的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 过定点（ ）A ．(0,2)B ．(1,0)C ．(1,1)a +D ．(,1)e 【答案】A 【解析】根据导数几何意义求出切线方程，化成斜截式，即可求解【详解】由()1()ln 1'f x ax x f x a x=-+⇒=-，()'11f a =-，()11f a =+，故过(1,(1))f 处的切线方程为：()()()11+112y a x a a x =--+=-+，故l 过定点(0,2)故选：A5．（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））设曲线()xf x ae b =+和曲线()cos2xg x c π=+在它们的公共点()0,2M 处有相同的切线，则b c a +-的值为（ ）A ．0B ．πC ．2-D ．3【答案】D 【解析】利用导数的几何意义可知()()00f g '='，可求得a ；根据()0,2M 为两曲线公共点可构造方程求得,b c ，代入可得结果.【详解】()x f x ae '= ，()sin22xg x ππ'=-，()0f a '∴=，()00g '=，0a ∴=，又()0,2M 为()f x 与()g x 公共点，()02f b ∴==，()012g c =+=，解得：1c =，2103b c a ∴+-=+-=.故选：D.6.（2021·重庆高三其他模拟）曲线()ln f x ax x x =-在点()()1,1f 处的切线与直线0x y +=垂直，则a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D 【解析】求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a 的方程，解方程可得所求值．【详解】解：()f x ax xlnx =-的导数为()1f x a lnx '=--，可得在点()()1,1f 处的切线的斜率为()11k f a '==-，由切线与直线0x y +=垂直，可得11a -=，解得2a =，故选：D ．7．（2021·重庆八中高三其他模拟）已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足ln a fx x =-，若曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线斜率为2，则()1f =（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．2【答案】C 【解析】先由换元法求出()f x 的解析式，然后求导，利用导数的几何意义先求出a 的值，然后可得出()1f 的值.【详解】设t =，则()22ln t f t t a =-，()22at tf t '=-．由()2212a f =-='，解得0a =，从而()10f a =-=，故选: C ．8．（2018·全国高考真题（理））设函数f (x )=x 3+(a ―1)x 2+ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y =f (x )在点(0 ， 0)处的切线方程为( )A ．y =―2xB ．y =―xC ．y =2xD ．y =x 【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得a =1，进而得到f (x )的解析式，再对f (x )求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数f (x )是奇函数，所以a ―1=0，解得a =1，所以f (x )=x 3+x ，f′(x )=3x 2+1，所以f′(0)=1,f (0)=0，所以曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ―f (0)=f′(0)x ，化简可得y =x ，故选D.9.（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（理））设曲线2xy x =-在点()3,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a 等于（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-【答案】B 【解析】利用导数求出曲线 2xy x =-在点()3,3处的切线的斜率，利用两直线平行可得出实数a 的值.【详解】对函数2x y x =-求导得()()222222x x y x x --'==---，由已知条件可得32x a y ='-==-，所以，2a =.故选：B.10．（2020·河北高三其他模拟（文））已知曲线()xax e f x x =+在点()()0,0f 处的切线斜率为2，则a =___________.【答案】1【解析】求导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，解方程即可求解.【详解】解：()xax e f x x =+的导数为()()1xf x a x e =++'，可得曲线()xax e f x x =+在点()()0,0f 处的切线斜率为12a +=，解得1a =.故答案为：1.1．（2021·浙江金华市·高三三模）已知点P在曲线y =θ为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则θ的取值范围是（ ）A ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】首先根据导数的几何意义求得切线斜率的取值范围，再根据倾斜角与斜率之间的关系求得倾斜角的取值范围.【详解】因为y =='，由于124xxe e ++≥，所以[y ∈'，根据导数的几何意义可知：tan [θ∈,所以2[,)3πθπ∈，故选：D.练提升2．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数()2xf x ae x =+的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是()22y e x b =++，那么ab =（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D 【解析】根据导数的几何意义确定斜率与切点即可求解答案.【详解】因为()2xf x ae x =+，所以()2x f x ae x '=+，因此切线方程的斜率(1)2k f ae '==+，所以有222ae e +=+，得2a =，又切点在切线上，可得切点坐标为(1,22)e b ++，将切点代入()f x 中，有(1)2122f e e b =+=++，得1b =-，所以2ab =-.故选：D.3．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））已知直线l 为曲线sin cos y x x x =+在2x π=处的切线，则在直线l 上方的点是（ ）A ．,12π⎛⎫⎪⎝⎭B ．()2,0C ．(),1π-D ．()1,π-【答案】C 【解析】利用导数的几何意义求得切线的方程，进而判定点与切线的位置关系即可.【详解】'cos cos sin 2cos sin y x x x x x x x =+-=-,22x y ππ==-',又 当2x π=时，1y =，所以切线的方程为122y x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,对于A,当2x π=时，1y =，故点,12π⎛⎫⎪⎝⎭在切线上；对于B,当2x =时，2921π11 3.2502244y πππππ⎛⎫=--+=-++>-++=-> ⎪⎝⎭，故点()2,0在切线下方；对于C,当x π=时，2π91111,2512244y πππ⎛⎫=--+=-+<-+=-<- ⎪⎝⎭，故点(),1π-在切线上方；对于D,当x =1时，211122242y ππππππ⎛⎫=--+=-++>->- ⎪⎝⎭,故点()1,π-在切线下方.故选：C.4．（2021·甘肃高三二模（理））已知函数()ln f x x x =，()2g x x ax =+()a ∈R ，若经过点()0,1A -存在一条直线l 与()f x 图象和()g x 图象都相切，则a =（ ）A ．0B ．-1C ．3D ．-1或3【答案】D 【解析】先求得过()0,1A -且于()f x 相切的切线方程，然后与()()2g x x ax a =+∈R 联立，由0∆=求解.【详解】设直线l 与()ln f x x x =相切的切点为(),ln m m m ，由()ln f x x x =的导数为()1ln f x x '=+，可得切线的斜率为1ln m +，则切线的方程为()()ln 1ln y m m m x m -=+-，将()0,1A -代入切线的方程可得()()1ln 1ln 0m m m m --=+-，解得1m =，则切线l 的方程为1y x =-，联立21y x y x ax=-⎧⎨=+⎩，可得()2110x a x +-+=，由()2140a ∆=--=，解得1a =-或3，故选：D .5．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））若点P 是曲线2ln 1y x x =--上任意一点，则点P 到直线3y x =-的最小距离为（ ）A ．1BCD ．2【答案】C 【解析】由已知可知曲线2ln 1y x x =--在点P 处的切线与直线3y x =-平行，利用导数求出点P 的坐标，利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】因为点P 是曲线2ln 1y x x =--任意一点，所以当点P 处的切线和直线3y x =-平行时，点P 到直线的3y x =-的距离最小，因为直线3y x =-的斜率等于1，曲线2ln 1y x x =--的导数12y x x'=-，令1y '=，可得1x =或12x =-（舍去），所以在曲线2ln 1y x x =--与直线3y x =-平行的切线经过的切点坐标为()1,0，所以点P 到直线3y x =-的最小距离为d .故选：C.6．（2021·安徽省舒城中学高三三模（理））若函数()ln f x x x =+与2()1x mg x x -=-的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线21y x =+平行，则实数m =（ ）A ．178B ．176C ．174D ．172【答案】A 【解析】设函数()ln f x x x =+图象上切点为00(,)x y ，求出函数的导函数，根据0()2f x '=求出切点坐标与切线方程，设函数()21x m g x x -=-的图象上的切点为11(,)x y 1(1)x ≠，根据1()2g x '=，得到211244m x x =-+，再由1112211x mx x --=-，即可求出1x ，从而得解；【详解】解：设函数()ln f x x x =+图象上切点为00(,)x y ，因为1()1f x x'=+，所以001()12f x x '=+=，得01x =， 所以00()(1)1y f x f ===，所以切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，设函数()21x mg x x -=-的图象上的切点为11(,)x y 1(1)x ≠，因为222(1)(2)2()(1)(1)x x m m g x x x ----'==--，所以1212()2(1)m g x x -'==-，即211244m x x =-+，又11111221()1x m y x g x x -=-==-，即211251m x x =-+-，所以221111244251x x x x -+=-+-，即2114950x x -+=，解得154x =或11x =（舍），所以25517244448m ⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪⎝⎭．故选：A7．（2021·全国高三其他模拟）已知直线y ＝2x 与函数f （x ）＝﹣2lnx +xe x +m 的图象相切，则m ＝_________.【答案】2ln 4-+【解析】设出切点()00000,2ln ,0xx x x e m x -++>，根据切线方程的几何意义，得到()00000002ln 2212x x x x e m x x e x ⎧-++=⎪-⎨++=⎪⎩，解方程组即可.【详解】因为()2ln xf x x xe m =-++，所以()()21x f x x e x-'=++设切点为()00000,2ln ,0xx x x e m x -++>，所以切线的斜率为()()000021x k f x x e x -'==++又因为切线方程为y ＝2x ，因此()00000002ln 2212x x x x e m x x e x ⎧-++=⎪-⎨++=⎪⎩，由()000212x x e x -++=，得()000210x x e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为010x +≠，所以02x ex =，又00ln 2ln x x =-，所以()000022ln 2ln 2ln x x m x x -+⋅+=-，得2ln 4m =-+.故答案为：2ln 4-+.8．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））若两曲线y ＝x 2+1与y ＝a ln x +1存在公切线，则正实数a 的取值范围是_________．【答案】（0，2e ]【解析】设公切线与曲线y ＝x 2+1和y ＝a ln x +1的交点分别为（x 1，x 12+1），（x 2，a ln x 2+1），其中x 2＞0，然后分别求出切线方程，对应系数相等，可以得到122122111a x x x a nx a⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，然后转化为﹣2224a x ＝a ln x 2﹣a ，，然后参变分离得到a ＝4x 2﹣4x 2ln x ，进而构造函数求值域即可.【详解】解：设公切线与曲线y ＝x 2+1和y ＝a ln x +1的交点分别为（x 1，x 12+1），（x 2，a ln x 2+1），其中x 2＞0，对于y ＝x 2+1，y ′＝2x ，所以与曲线y ＝x 2+1相切的切线方程为：y ﹣（x 12+1）＝2x 1（x ﹣x 1），即y ＝2x 1x ﹣x 12+1，对于y ＝a ln x +1，y ′＝ax，所以与曲线y ＝a ln x +1相切的切线方程为y ﹣（a ln x 2+1）＝2a x （x ﹣x 2），即y ＝2ax x ﹣a +1+a ln x 2，所以122122111a x x x a nx a⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，即有﹣2224a x ＝a ln x 2﹣a ，由a ＞0，可得a ＝4x 2﹣4x 2ln x ，记f (x )＝4x 2﹣4x 2ln x （x ＞0），f ′(x )＝8x ﹣4x ﹣8x ln x ＝4x （1﹣2ln x ），当x时，f ′(x )＞0，即f (x )在（0x时，f ′(x )＜0，即f (x )，+∞）上单调递减，所以f (x )max ＝f）＝2e ，又x →0时，f (x )→0，x →+∞时，f (x )→﹣∞，所以0＜a ≤2e ．故答案为：（0，2e ]．9．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知函数()2ln f x x x =+，点P 为函数()f x 图象上一动点，则P 到直线34y x =-距离的最小值为___________.(注ln 20.69≈)【解析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线与已知直线平行时切点坐标，然后转化为求点到直线的距离即可求解．【详解】解：()12f x x x'=+，()0x >，与直线34y x =-平行的切线斜率132k x x ==+，解得1x =或12x =，当1x =时，()11f =，即切点为()1,1，此时点P 到直线34y x =-的距离为d 当12x =时，11ln 224f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即切点为11,ln 224⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点P 到直线34y x =-的距离为d =>10．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）已知1P ，2P 是曲线:2|ln |C y x =上的两点，分别以1P ，2P 为切点作曲线C 的切线1l ，2l ，且12l l ⊥，切线1l 交y 轴于A 点，切线2l 交y 轴于B 点，则线段AB 的长度为___________.【答案】44ln 2-【解析】由两切线垂直可知，1P ，2P 两点必分别位于该函数的两段上，故可设出切点坐标111222(,),(,)P x y P x y ，表示出两条切线方程，根据两切线垂直，可得124x x =，又两切线分别与y 轴交于1(0,22ln )A x -，2(0,22ln )B x -+，则可求出44ln 2AB =-.【详解】曲线2ln ,01:2ln ,1x x C y x x -<<⎧=⎨≥⎩ ，则2,012,1x x y x x⎧-<<⎪⎪=⎨'⎪≥⎪⎩，设111222(,),(,)P x y P x y ，两切线斜率分别为1k ，2k ，由12l l ⊥得121k k =-，则不妨设1201,1x x <<³，111(,2ln )P x x \-，112k x =-，11112:2ln ()l y x x x x +=--，令0x =，得1(0,22ln )A x -222(,2ln )P x x ，222k x =，22222:2ln ()l y x x x x -=-，令0x =，得2(0,22ln )B x -+由121k k =-，即12221x x -×=-，得124x x =，则1242ln()44ln 2AB x x =-=-.故答案为：44ln 2-.1.（2021·全国高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a<B ．e a b <C ．0e ba <<D ．0e ab <<【答案】D【解析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；练真题解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线x y e =上任取一点(),t P t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()tt y e e x t -=-，即()1t t y e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t tb ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()t f t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D.2.（2020·全国高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.3．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D【解析】43()2f x x x =-(1(1))f ，21y x =--21y x =-+23y x =-21y x =+()432f x x x =- ()3246f x x x '∴=-()11f ∴=-()12f '=-()121y x +=--21y x =-+设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =的导数为y '=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x -=-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选：D.4.（2020·全国高考真题（文））设函数．若，则a =_________．【答案】1【解析】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.故答案为：.5．（2019·全国高考真题（文））曲线在点处的切线方程为___________．【答案】.【解析】所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即．6．（2020·全国高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.e ()xf x x a =+(1)4e f '=()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++()241ae e a =+2210a a -+=1a =123()e x y x x =+(0,0)30x y -=/223(21)3()3(31),x x x y x e x x e x x e =+++=++/0|3x k y ===23()e x y x x =+(0,0)3y x =30x y -=【答案】2y x=【解析】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x =++'=+，00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =.故答案为：2y x =.。

5.1.2导数的概念及其几何意义 -A 基础练一、选择题1．（2020·全国高二课时练）若（m 为常数），则等于（ ）A ．B ．1C ．mD ．2．（2020·全国高二课时练）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2020·全国高二课时练）已知直线经过，两点，且与曲线切于点，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ．4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率k ＝3，则点P 的坐标是( )A ．(1，1)B ．(－1，1)C ．(1，1)或(－1，－1)D ．(2，8)或(－2，－8)5．（多选题）（2020·河北正定高二月考）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．给出下列四个结论正确的是（ ）A.在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D. 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.6．（多选题）（2020·山西师大附中高二月考）下列命题正确的是（ ）A ．若，则函数在处无切线B ．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点C ．曲线在处的切线方程为，则当时，D ．若函数的导数，且，则的图象在处的切线方程为二、填空题7．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1，3)处的切线斜率为2，则b a＝________. 8．（2020·江西九江高二月考）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_____．9．已知曲线y ＝f (x )＝x ，y ＝g (x )＝1x，它们的交点坐标为________，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为________．10．（2020·湖南衡阳高二月考）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)＞0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 三、解答题11．（2020·全国高二课时练）在曲线上求一点，使得曲线在点处的切线分别满足下列条件： （1）平行于直线；（2）垂直于直线；（3）倾斜角为．12．（2020·山东菏泽三中高二期中）设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．。

2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆例1：1．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C 【分析】根据导数的概念可得()21f '=-，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 因为()()()022lim222x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()21f '=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-，故所求切线的倾斜角为34π. 故选：C2．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【详解】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1， 则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B . 【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．举一反三：1．设()f x 是可导函数，且()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=-∆，则0()f x '=（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【分析】由导数的定义可得()()0000lim ()x f x f x f x x x∆→+-'=∆∆，即可得答案．【详解】 根据题意，()()0000lim()2x f x f x f x x x∆→∆+-'==-∆，故0()2f x '=-. 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题． 2．若()02f x '=，则()()000lim2h f x h f x h→+-=______．【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何定义即可计算.()()()()()000000011limlim 1222h h f x h f x f x h f x f x h h →→+-+-'===．故答案为：1.二．导数的几何意义：函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。

5.1导数的概念及几何意义5.2导数的运算强化训练一、选择题1、一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是() A．－3B．3 C．6 D．－62、现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V(单位：L)与直径d(单位：dm)的关系式为V＝π6d3，估计当d＝1 dm时，气球体积的瞬时变化率为()A．2πB．πC．π2D．π43、如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是()A．[x1，x2] B．[x2，x3]C．[x1，x3] D．[x3，x4]4、已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则下列说法中错误的是()A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56C．该物体位移的最大值为43D．该物体在t＝5时的瞬时速度是705、已知f(x)＝cos 2x＋e2x，则f′(x)＝()A.－2sin 2x＋2e2xB.sin 2x＋e2xC.2sin 2x ＋2e 2xD.－sin 2x ＋e 2x6、若函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2f ′(1)x ＋3，则( )A.f (0)<f (4)B.f (0)＝f (4)C.f (0)>f (4)D.以上都不对7、已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )8、曲线f (x )＝2ln x 在x ＝t 处的切线l 过原点，则l 的方程是( )A.2x －e y ＝0B.2x ＋e y ＝0C.e x －2y ＝0D.e x ＋2y ＝09、函数f (x )＝e x －2x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A.2x ＋y ＋e －4＝0B.2x ＋y －e ＋4＝0C.2x －y ＋e －4＝0D.2x －y －e ＋4＝010、已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A.a ＝e ，b ＝－1B.a ＝e ，b ＝1C.a ＝e －1，b ＝1D.a ＝e －1，b ＝－111、函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，2]B.(－∞，2)C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)12、已知曲线f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72B.(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，72D.(0，3)13、(多选)下列导数的运算中正确的是( )A.(3x )′＝3x ln 3B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2 D.(sin x cos x )′＝cos 2x14、(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A.f ′(3)＞f ′(2)B.f ′(3)＜f ′(2)C.f (3)－f (2)＞f ′(3)D.f (3)－f (2)＜f ′(2)15、(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0∈R 使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是( )A.f (x )＝x 2B.f (x )＝e －xC.f (x )＝ln xD.f (x )＝tan x二、填空题16、曲线y ＝f (x )在点P (－1，f (－1))处的切线l 如图所示，则f ′(－1)＋f (－1)＝________．17、日常生活中的饮用水通常都是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用会不断增加．已知1 t 水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝4 015100－x (80<x <100)．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是________元/t.18、若函数f (x )＝ln x －f ′(1)x 2＋3x －4，则f ′(3)＝________. 19、曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________.20、过原点与曲线y ＝(x －1)3相切的切线方程为________.21、曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.22、设函数f (x )＝13x 3＋43，则曲线y ＝f (x )过P (2，4)的切线方程为________.23、设函数f (x )＝e x x ＋a.若f ′(1)＝e4，则a ＝________.24、已知函数f (x )＝x 2＋x ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －ay －1＝0平行，则实数a ＝________.25、已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.26、在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________. 三、解答题27、求下列函数的导数.(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos xe x ；(4)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.28、已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R ).(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围.29、设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.30、已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标.5.1导数的概念及几何意义5.2导数的运算强化训练（答案）一、选择题1、一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(D)A．－3B．3 C．6 D．－62、现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V(单位：L)与直径d(单位：dm)的关系式为V＝π6d3，估计当d＝1 dm时，气球体积的瞬时变化率为(C)A．2πB．πC．π2D．π43、如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是(D)A．[x1，x2] B．[x2，x3]C．[x1，x3] D．[x3，x4]4、已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则下列说法中错误的是(C)A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56C．该物体位移的最大值为43D．该物体在t＝5时的瞬时速度是705、已知f(x)＝cos 2x＋e2x，则f′(x)＝(A)A.－2sin 2x＋2e2xB.sin 2x＋e2xC.2sin 2x＋2e2xD.－sin 2x＋e2x6、若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则(B)A.f(0)<f(4)B.f(0)＝f(4)C.f (0)>f (4)D.以上都不对7、已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( B )8、曲线f (x )＝2ln x 在x ＝t 处的切线l 过原点，则l 的方程是( A )A.2x －e y ＝0B.2x ＋e y ＝0C.e x －2y ＝0D.e x ＋2y ＝09、函数f (x )＝e x －2x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( C )A.2x ＋y ＋e －4＝0B.2x ＋y －e ＋4＝0C.2x －y ＋e －4＝0D.2x －y －e ＋4＝010、已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( D )A.a ＝e ，b ＝－1B.a ＝e ，b ＝1C.a ＝e －1，b ＝1D.a ＝e －1，b ＝－111、函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( B )A.(－∞，2]B.(－∞，2)C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)12、已知曲线f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72 B.(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72D.(0，3)13、(多选)下列导数的运算中正确的是( ABD )A.(3x )′＝3x ln 3B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2 D.(sin x cos x )′＝cos 2x14、(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( BCD )A.f ′(3)＞f ′(2)B.f ′(3)＜f ′(2)C.f (3)－f (2)＞f ′(3)D.f (3)－f (2)＜f ′(2)15、(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0∈R 使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是( AC )A.f (x )＝x 2B.f (x )＝e －xC.f (x )＝ln xD.f (x )＝tan x二、填空题16、曲线y ＝f (x )在点P (－1，f (－1))处的切线l 如图所示，则f ′(－1)＋f (－1)＝____－2____．17、日常生活中的饮用水通常都是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用会不断增加．已知1 t 水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝4 015100－x (80<x <100)．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是___40.15_____元/t.18、若函数f (x )＝ln x －f ′(1)x 2＋3x －4，则f ′(3)＝____－143____. 19、曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为___ y ＝5x ＋2_____.20、过原点与曲线y ＝(x －1)3相切的切线方程为___y ＝0或27x －4y ＝0_____.21、曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____2x －y ＝0____.22、设函数f (x )＝13x 3＋43，则曲线y ＝f (x )过P (2，4)的切线方程为___x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0_____.23、设函数f (x )＝e x x ＋a.若f ′(1)＝e4，则a ＝___1_____.24、已知函数f (x )＝x 2＋x ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －ay －1＝0平行，则实数a ＝___ 13_____.25、已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝____0____.27、在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是__(e ，1)______.三、解答题27、求下列函数的导数.(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ； (3)y ＝cos x e x ；(4)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2. 解 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′ ＝1x －1x 2.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝（cos x ）′e x －cos x （e x ）′（e x ）2＝－sin x ＋cos x e x. (4)∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .28、已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R ).(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围. 解 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2).(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3， 解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0，即4a 2＋4a ＋1＞0，所以a ≠－12. 所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 29、设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x－4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又∵f ′(x )＝a ＋b x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0).令x ＝0，得y ＝－6x 0，∴切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，∴切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0).∴曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|－6x 0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.30、已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标.解 (1)由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a ).①当a ≥13时，Δ≤0，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3， 令f ′(x )>0，则x <x 1或x >x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2.所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增.综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 3上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增. (2)记曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线为l ，切点为P (x 0，x 30－x 20＋ax 0＋1).因为f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＋a ，所以切线l 的方程为y －(x 30－x 20＋ax 0＋1)＝(3x 20－2x 0＋a )(x －x 0).由l 过坐标原点，得2x 30－x 20－1＝0，解得x 0＝1，所以切线l 的方程为y ＝(1＋a )x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（1＋a ）x ，y ＝x 3－x 2＋ax ＋1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1＋a 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1－a .所以曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标为(1，1＋a )和(－1，－1－a ).。

2.2.2 导数的几何意义
1、设曲线)(x f y =在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线（ ）
A 、垂直于x 轴
B 、垂直于y 轴
C 、既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴
D 、方向不能确定
2、分别求抛物线241x y =
过点（-2，1），（2，1）的切线方程。

3、已知曲线12-=x y 和其上一点，且这点的横坐标为-1，求曲线在这点的切线方程。

４、设点),(00y x 是抛物线432++=x x y 上一点，求过点),(00y x 的切线方程。

５、求抛物线241x y =
过点（4，47）的切线方程
６、曲线12)(2++=x x x f 在点M 处的切线的斜率为2，求点M 的坐标。

７、曲线22
3x y =
上哪一点的切线与直线13-=x y 平行？
参考答案：
1、B
2、答案提示：01=++y x ；01=--y x
3、答案提示：022=++y x
4、答案提示：))(32(000x x x y y -+=-
5、答案提示：0142=--y x 或049414=--y x
6、答案提示：（0，1）
7、答案提示：)2
3,1(。

高中数学 2.2 导数的概念及其几何意义同步精练 北师大版选修2-21.函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为( )．A ．－3B ．－2C ．－5D ．－12．设函数f (x )为可导函数，则0(1)(1)lim2x f x f x ∆→+∆-∆等于( )． A ．f ′(1)B ．2f ′(1)C ．12f ′(1)D ．f ′(2) 3．如果过函数y ＝f (x )图像上点A (3，a )的切线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则f ′(3)＝( )．A ．2B ．12-C ．－2D ．124．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点3)，则在该点处的切线方程是( )．A ．y ＝－4x －1B ．y ＝4x －1C ．y ＝4x －11D ．y ＝－4x ＋7 5．已知曲线y ＝x 3上过点(2,8)的切线方程为12x －ay －16＝0，则a ＝( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．2 6．如果曲线y ＝x 3＋x －10的一条切线与直线y ＝4x ＋3平行，则曲线与切线相切的切点坐标为( )．A ．(1，－8)B ．(－1，－12)C ．(1，－8)或(－1，－12)D ．(1，－12)或(－1，－8) 7．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__________. 8．已知f (x )在x ＝6处可导，且f (6)＝8，f ′(6)＝3，则226[()][(6)]lim 6x f x f x →--＝__________.9．已知点M (0，－1)，过点M 的直线l 与曲线f (x )＝13x 3－4x ＋4在点42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线平行，求直线l 的方程．10．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．参考答案1.答案：A 解析：f ′(2)＝00(2)(2)13(2)(132)limlim x x f x f x x x∆→∆→+∆--+∆--⨯=∆∆ ＝0lim x ∆→(－3)＝－3. 2.答案：B 解析：00(1)(1)1(1)(1)1lim lim (1)222x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆ ． 3.答案：B 解析：因为过点A (3，a )的切线与2x ＋y ＋1＝0平行，所以过A 点的切线斜率f ′(3)＝－2.4.答案：B 解析：由3＝2a 2＋1，得a ＝1或a ＝－1(舍去)．又∵f ′(1)＝22002(1)1(211)lim lim x x a x a x∆→∆→+∆+-⨯+=∆(4＋2Δx )＝4， ∴在点(1,3)处的切线方程为y －3＝4(x －1)，∴y ＝4x －1.5.答案：B 解析：k ＝3300(2)2lim lim x x x x∆→∆→+∆-=∆[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12， ∴过点(2,8)的切线方程为y －8＝12(x －2)，即y ＝12x －16，∴a ＝1.6.答案：B 解析：设切点坐标为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 03＋x 0－10. 切线斜率为k ＝3300000()()10(10)lim x x x x x x x x∆→+∆++∆--+-∆ =0lim x ∆→(3x 02＋1)＋3x 0·Δx ＋(Δx )2] ＝3x 02＋1＝4，∴x 0＝±1.当x 0＝1时，y 0＝－8；当x 0＝－1时，y 0＝－12，即切点为(1，－8)或(－1，－12)．7.答案：3 解析：f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12， ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3. 8.答案：48 解析：f ′(6)＝3，∴6()(6)lim 6x f x f x →--＝3. ∴226[()][(6)]lim 6x f x f x →--＝6[()(6)][()(6)]lim 6x f x f f x f x →-+- ＝[f (6)＋f (6)]·f ′(6)＝(8＋8)×3＝48.9.答案：解：Δy ＝13(2＋Δx )3－4(2＋Δx )＋4－311242433⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭(Δx )3＋2(Δx )2， ∴13y x ∆=∆(Δx )2＋2Δx ， ∴2001limlim ()23x x y x x x ∆→∆→∆⎡⎤=∆+∆⎢⎥∆⎣⎦＝0， 即k ＝f ′(2)＝0.∴直线l 的方程为y ＝－1.10.解：f ′(1)＝220(1)(1)2(112)lim x x x x∆→+∆++∆--+-∆＝3， 即l 1的斜率为k 1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 02＋x 0－2)， ∴f ′(x 0)＝2200000()()2(2)lim x x x x x x x x∆→+∆++∆--+-∆ ＝0lim x ∆→(2x 0＋Δx ＋1)＝2x 0＋1， 则直线l 2的斜率为k 2＝f ′(x 0)＝2x 0＋1.又∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即3(2x 0＋1)＝－1，∴x 0＝23-，y 0＝22233⎛⎫-- ⎪⎝⎭－2＝209-. ∴切点为220,39⎛⎫-- ⎪⎝⎭，斜率k 2＝13-， ∴直线l 2的方程为y ＋2012933x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∴3x ＋9y ＋22＝0.。

一、导数概念1． 已知函数y=x 2＋1的图象上一点A （1，2）及其邻近一点B （1＋△x,2＋△y ）,则=AB k （ ）A ．2B ．2xC ．2＋△xD ．2＋(△x)22． 一质点做直线运动，由始点经过ts 后的距离为s=14t 4－4t 3＋16t 2，则速度为0的时刻是 （ ） A ．4s 末 B ．8s 末 C ．0s 末与8 s 末 D ．C ．0s 末，4s 末，8 s 末3.已知f(x)=x 3＋2x 2,则x x f x x f ∆-∆+)()(= ． 4.已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy ． 5.若0()2f x '=，则当k 趋近于0时，00()()2f x k f x k --无限趋近于 . 6.一质点M 的运动方程为S=2t +1，则质点M 在2(s)到2+t ∆（s ）的平均速度t ∆∆s = 质点M 在t=2(s)时的速度S '=2t |== (m/s)二、导数的几何意义1.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=2. （全国Ⅰ新卷理3） 曲线2x y x =+在点（-1，-1）处的切线方程为（A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 (C) y=-2x-3 (D)y=-2x-23. （全国Ⅱ卷理10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）84. （全国Ⅱ卷文7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则 （A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-=(C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-5．曲线y=3x -tanx 在点（)y 60，π处的切线的倾斜角为6.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 . 导数定义及几何意义练习题1．求下列函数导数（1）)11(32x x x x y ++= （2）)11)(1(-+=xx y （3）2cos 2sin x x x y -= （4）y=x x sin 2 （5）y ＝xx x x x 9532-+-（6）y =－2sin 2x (1－2cos 24x )2．曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．29e 2 Ｂ．24eＣ．22e Ｄ．2e 3．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．294e Ｂ．22eＣ．2e Ｄ．22e 4．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．325．若π02x <<，则下列命题中正确的是（ ） A ．3sin πx x < B ．3sin πx x > C ．224sin πx x < D ．224sin πx x > 6．若π02x <<，则下列命题正确的是（ ） A ．2sin πx x < B ．2sin πx x > C ．3sin πx x < D ．3sin πx x >7．曲线313y x x =+在点413⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．19 B ．29 C ．13 D ．238．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49． 利用导数的定义求函数10．已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)经过点（1，1），且在点（2，－1）处的切线与直线y=x －3重合，求a,b,c 的值．11．求曲线y=e x 的过原点的切线方程．。

导数的概念和几何意义同步练习题一、选择题1．若幂函数()y f x =的图像经过点11(,)42A ，则它在A 点处的切线方程是（ ） A. 4410x y ++= B. 4410x y -+= C ．20x y -= D. 20x y +=【答案】B 【解析】试题分析：设()af x x =，把11(,)42A 代入，得1142a =，得12a =，所以12()f x x ==()f x '=，1()14f '=，所以所求的切线方程为1124y x -=-即4410x y -+=，选B.考点：幂函数、曲线的切线.2．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( ) A 、4π B 、0 C 、43πD 、1 【答案】A 【解析】试题分析：由)sin (cos )('x x e x f x -=，则在点()()0,0f 处的切线的斜率1)0('==f k ，1.利用导数求切线的斜率；2.直线斜率与倾斜角的关系 3．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A.2e B.22e C.24eD.22e 【答案】D 【解析】试题分析：∵点2(2)e ，在曲线上，∴切线的斜率'222xx x k ye e --===，∴切线的方程为22(2)y e e x -=-，即220e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为2(0,)e -，(1,0)，∴221122e S e =⨯⨯=.考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形面积公式.4．函数2()f x x =在点(2,(2))f 处的切线方程为( ) A ．44y x =-B ．44y x =+C ．42y x =+D ．4y =【答案】A 【解析】试题分析：由x x f 2)(='得切线的斜率为4)2(='f ，又4)2(=f ，所以切线方程为)2(44-=-x y ，即44-=x y .也可以直接验证得到。

导数的概念及其几何意义同步练习题一、选择题1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆ 3. 函数y =f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0+⊿x 时，函数值的改变量⊿y 为（ ）A.f (x 0+⊿x )B.f (x 0)+⊿xC. f (x 0)•⊿xD. f (x 0+⊿x )- f (x 0)4.已知函数y =f (x )=2x 2-1的图像上一点（1,1）及邻近一点（1+⊿x ，1+⊿y ），则等于（ ） A.4 B.4x C.4+2⊿x D.4+2(⊿x )2 5. 一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A. 3Δt ＋6B. －3Δt ＋6C. 3Δt －6D. －3Δt －66.若函数y =f (x )在x 0处可导，则000()()lim h f x h f x h的值（ ） A.与x 0，h 有关 B.仅与x 0有关，而与h 无关 C. 仅与h 有关，而与x 0无关 D. 与x 0，h 都无关7. 函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是（ ） A.2 B.1 C.0 D.-18.设函数f (x )=，则()()lim x a f x f a x a等于( ) A.1a B.2a C.21a D.21a 9. 下列各式中正确的是( )A. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x －Δx )－f (x 0)ΔxB. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )＋f (x 0)ΔxC. f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)ΔxD. f ′(x )＝li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx10. 设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( ) A. f ′(1) B. 不存在 C. 13f ′(1) D. 以上都不对 11. 设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( )A. 2B. －2C. 3D. 不确定12. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( ) A. 194 B. 174 C. 154 D. 13413.曲线y=2x 2+1在点P （-1,3）处的切线方程是（ ）A.y =-4x -1B.y =-4x -7C.y =4x -1D.y =4x -714.过点（-1,2）且与曲线y =3x 2-4x +2在点M （1,1）处的切线平行的直线方程是（ ）A.y =2x -1B.y =2x +1C.y =2x +4 D .y =2x -415. 下面四个命题：①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线；②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在；③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在；④曲线的切线和曲线有且只有一个公共点．其中，真命题个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 316. 函数y ＝f (x )的导函数f ′(x 0)图像如图所示，则在y ＝f (x )的图像上A 、B 的对应点附近，有( )A. A 处下降，B 处上升B. A 处上升，B 处下降C. A 处下降，B 处下降D. A 处上升，B 处上升17. 曲线y ＝2x 2上有一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( )A.4B. 16C. 8D. 218. 曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )A. y ＝3x －4B. y ＝－3x ＋2C. y ＝－4x ＋3D. y ＝4x －5 19.一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δx →0 Δs Δt为( ) A ．在t 时刻该物体的瞬时速度 B ．当时间为Δt 时物体的瞬时速度C ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度D ．以上说法均错误20. (2012·宝鸡检测)已知函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2处的导数为f ′(2)＝11，则( )A ．f ′(2)是函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2时对应的函数值B ．f ′(2)是曲线f (x )＝x 3－x 在点x ＝2处的割线斜率C ．f ′(2)是函数f (x )＝x 3－x 在x ＝2时的平均变化率D ．f ′(2)是曲线f (x )＝x 3－x 在点x ＝2处的切线的斜率21.已知函数y ＝f (x )的图像如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )＞f ′(xB ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定22.(2012·上饶检测)函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( )A ．2B ．3C ．6D ．1223.设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－324.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1 25．已知曲线y ＝x 24的一条切线斜率为12，则切点的横坐标为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．426．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是 ( ) A ．at 0 B ．－at 0 C.12at 0 D ．2at 0 二、填空题27. 在曲线y ＝x 2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx为__ __． 28. 若质点M 按规律s ＝2t 2－2运动，则在一小段时间[2,2＋Δt ]内，相应的平均速度_ ．29.已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__ __． 30．曲线y ＝f (x )＝2x －x 3在点(1，1)处的切线方程为________．31.函数y ＝x 2在x ＝________处的导数值等于其函数值．32. (2012·南昌调研)若一物体的运动方程为s ＝3t 2＋2，求此物体在t ＝1时的瞬时速度是 .33．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是___ _．34.函数f (x )=3x 2-4x 在x =-1处的导数是 .三、解答题35. 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (3)求当x 1＝4，且Δx ＝0.01时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx；36. 已知自由落体的运动方程为s ＝12gt 2，求： (1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度；(2)落体在t 0时的瞬时速度；(3)落体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s 这段时间内的平均速度；(4)落体在t ＝2 s 时的瞬时速度．37. 求等边双曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率，并写出切线方程．38. 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角．39．已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值．40. (2012·榆林调研)已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83。

（6）导数的概念及其几何意义1、已知曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程为210x y ++=,则( )A. ()00f x '=B. ()00f x '<C. ()00f x '>D. ()0f x '不确定 2、已知曲线32y x =上一点()1,2A ,则A 处的切线斜率等于( )A. 2B. 4C. ()2662x x +∆+∆D. 63、设()f x 为可导函数,且满足0(1)(1)lim 1x f f x x→--=,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率是( )A.2B.-1C.12D.-24、设()f x 存在导函数,且满足()()0112lim 12x f f x x∆→--∆=-∆,则曲线()y f x =上的点()()1,1f 处的切线的斜率为( )A.2B.-1C.1D.-25、已知点()1,1P -为曲线上的一点, P Q 、为曲线的割线,若当0x ∆→时PQ k 的极限为2-,则在点P 处的切线方程为( )A. 21y x =-+B. 21y x =--C. 23y x =-+D. 22y x =--6、已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A. 3?B. 2C. 1D. 127、设点P 是曲线3y x b =+ (b 为实常数)上任意一点, P 点处切线的倾斜角为α,则α的取值范围是( )A. 2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D. 20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭8、设()f x 为可导函数,且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-,则过曲线()y f x =上点(1,(1))f 处的切线斜率为( ) A.2 B.-1 C.1 D.-29、曲线2122y x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的倾斜角为( ) A. 1 B.4π C. 54π D. 4π- 10、曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线方程为( ) A. 34y x =-B. 45y x =-C. 43y x =-+D. 32y x =-+11、已知函数2y ax b =+在点()1,3处的切线斜率为2,则b a =__________. 12、在曲线323610y x x x =++-的所有切线中,斜率最小的切线方程是__________.13、曲线C 在点()00,P x y 处有切线l ,则直线l 与曲线C 的公共点有__________个14、若函数1()f x x x =-,则它与x 轴交点处的切线的方程为__________ 15、设函数()()32910f x x ax x a =+--<,若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行,求a 的值.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：曲线在某点处的切线的斜率为负,说明函数在该点处的导数也为负.2答案及解析：答案：D解析：∵32y x =,∴()330022'lim lim x x x x x y y x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆()()3220332lim x x x x x x x ∆→∆+∆+∆=∆()2202lim 33x x x x x ∆→⎡⎤=∆+∆+⎣⎦26x =.∴1'|6x y ==.∴点()1,2?A 处的切线斜率为6.3答案及解析：答案：B解析：4答案及解析：答案：A解析： ()()0112lim 2x f f x x ∆→--∆∆()()()20121lim '112x f x f f x-∆→-∆-===--∆.5答案及解析：答案：B解析：6答案及解析：答案：A解析：7答案及解析：答案：D解析：8答案及解析：答案：B 解析：00(1)(12)(12)(1)lim lim 122x x f f x f x f x x→→----==--即'11y x -=-,则()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为1-,故选B9答案及解析：答案：B解析：'(),'(1)1f x x k f ===,则tan 1,4k πθθ===故选B.考点:1、导数的几何意义;2、函数的求导.10答案及解析：答案：D解析：由曲线3231y x x =-+,所以2'36y x x =-,曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线的斜率为: 1'|3x y ==-,此处的切线方程为: ()131y x +=--,即32y x =-+.点评:本题考查导数的几何意义、关键是求出直线的斜率,正确利用直线的点斜式方程,考查计算能力.11答案及解析：答案：2解析：∵()201lim x a x a x ∆→+∆-∆ ()0lim 222x a x a a ∆→=⋅∆+==, ∴1a =,又231a b =⨯+,∴2b =,即2b a=.12答案及解析：答案：3110x y --=解析：()22'366311,y x x x ⎡⎤=++=++⎣⎦当1x =-时, y '取得最小值3,即斜率最小值为3,又当1x =-时, 14,y =-所以斜率最小的切线方程为()1431,y x +=+即3110.x y --=13答案及解析：答案：至少一解析：由切线的定义,直线l 与曲线在()00,P x y 处相切,但也可能与曲线其他部分有公共点,故虽然相切,但直线与曲线公共点至少一个14答案及解析：答案：2(1)y x =-或2(1)y x =+解析：由1()0f x x x=-=得1x ±,即与x 轴交点坐标为(1,0)或(1,0)- ∵()()2001111'()lim lim 11x x x x x x x x f x x x x x x ∆→∆→+∆--+⎡⎤+∆==+=+⎢⎥∆+∆⎣⎦ ∴切线的斜率1122k =+= ∴切线的方程为2(1)y x =-或2(1)y x =+15答案及解析：答案： ∵()()00y f x x f x ∆=+∆-()()()()32320000009191x x a x x x x x ax x =+∆++∆-+∆--+-- ()()()()2320003293x ax x x a x x =+-∆++∆+∆ ∴()()220003293y x ax x a x x x∆=+-++∆+∆∆. 当x ∆无限趋近于零时, y x ∆∆无限趋近于200329x ax +-. 即()2000'329f x x ax =+-. ∴()2200'3933a a f x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭. 当03a x =-时, ()0f x '取得最小值293a --. ∵斜率最小的切线与126x y +=平行,∴该切线的斜率为12-. ∴29123a --=-. 解得3a =±.又0a <,∴3a =-.解析：由Ruize收集整理。