人教a版高中数学选修1-1全册同步练习及单元检测含答案
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高中数学人教A 版选修1-1模块综合检测(A)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.命题“若A ⊆B ,则A =B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( )A .0B .2C .3D .42.已知命题p :若x 2+y 2=0 (x ,y ∈R ),则x ,y 全为0;命题q :若a >b ,则1a <1b .给出下列四个复合命题:①p 且q ;②p 或q ;③綈p ;④綈q .其中真命题的个数是( )A .1B .2C .3D .43.以x 24-y 212=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216+y 212=1 B.x 212+y 216=1 C.x 216+y 24=1 D.x 24+y 216=14.已知a >0,则x 0满足关于x 的方程ax =b 的充要条件是( )A .∃x ∈R ,12ax 2-bx ≥12ax 20-bx 0B .∃x ∈R ,12ax 2-bx ≤12ax 20-bx 0C .∀x ∈R ,12ax 2-bx ≥12ax 20-bx 0D .∀x ∈R ,12ax 2-bx ≤12ax 20-bx 05.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0),M 为椭圆上一动点,F 1为椭圆的左焦点,则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A .椭圆B .圆C .双曲线的一支D .线段6.已知点P 在曲线y =4e x +1上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )A .[0,π4)B .[π4,π2)C .(π2,3π4]D .[3π4,π) 7.已知a >0,函数f (x )=x 3-ax 在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则a 的最大值是( ) A .1 B .3 C .9 D .不存在8.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6,那么|AB |等于( )A .10B .8C .6D .49.中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.5210.若当x =2时,函数f (x )=ax 3-bx +4有极值-43,则函数的解析式为( )A .f (x )=3x 3-4x +4B .f (x )=13x 2+4 C .f (x )=3x 3+4x +4 D .f (x )=13x 3-4x +411.设O 为坐标原点,F 1、F 2是x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点,若在双曲线上存在点P ,满足∠F 1PF 2=60°,|OP |=7a ,则该双曲线的渐近线方程为( )A .x ±3y =0 B.3x ±y =0 C .x ±2y =0 D.2x ±y =012.若函数f (x )=x 2+ax (a ∈R ),则下列结论正确的是( ) A .∀a ∈R ,f (x )在(0,+∞)上是增函数 B .∀a ∈R ,f (x )在(0,+∞)上是减函数 C .∃a ∈R ,f (x )是偶函数 D .∃a ∈R ,f (x )是奇函数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知p (x ):x 2+2x -m >0,如果p (1)是假命题,p (2)是真命题,那么实数m 的取值范 围是 ________________________________________________________________.14.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同,则双曲线的方程为________________________________________________________________________.15.若AB 是过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且AM 、BM 与坐标轴不平行,k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率,则k AM ·k BM =________.16.已知f (x )=x 3+3x 2+a (a 为常数)在[-3,3]上有最小值3,那么在[-3,3]上f (x )的最大值是________.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知p :2x 2-9x +a <0,q :⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +3<0x 2-6x +8<0,且綈q 是綈p 的必要条件,求实数a 的取值范围.18.(12分)设P 为椭圆x 2100+y 264=1上一点,F 1、F 2是其焦点,若∠F 1PF 2=π3,求△F 1PF 2的面积.19.(12分)已知两点M (-2,0)、N (2,0),点P 为坐标平面内的动点,满足|MN →||MP→|+MN →·NP →=0,求动点P (x ,y )的轨迹方程.20.(12分)已知函数f (x )=ax 2-43ax +b ,f (1)=2,f ′(1)=1. (1)求f (x )的解析式;(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程.21.(12分)已知直线y =ax +1与双曲线3x 2-y 2=1交于A ,B 两点. (1)求a 的取值范围;(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点,求实数a 的值.22.(12分)已知函数f (x )=ln x -ax +1-ax -1(a ∈R ).(1)当a =-1时,求曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程;(2)当a ≤12时,讨论f (x )的单调性.答案1.B [原命题为假,故其逆否命题为假;其逆命题为真,故其否命题为真;故共有2个真命题.]2.B [命题p 为真,命题q 为假,故p ∨q 真,綈q 真.]3.D [双曲线x 24-y 212=-1,即y 212-x 24=1的焦点为(0,±4),顶点为(0,±23).所以对椭圆y 2a 2+x 2b 2=1而言,a 2=16,c 2=12.∴b 2=4,因此方程为y 216+x 24=1.]4.C [由于a >0,令函数y =12ax 2-bx =12a (x -b a )2-b 22a ,此时函数对应的图象开口向上,当x =b a 时,取得最小值-b 22a ,而x 0满足关于x 的方程ax =b ,那么x 0=b a ,y min =12ax 20-bx 0=-b 22a ,那么对于任意的x ∈R ,都有y =12ax 2-bx ≥-b 22a =12ax 20-bx 0.]5.A [∵P 为MF 1中点,O 为F 1F 2的中点,∴|OP |=12|MF 2|,又|MF 1|+|MF 2|=2a ,∴|PF 1|+|PO |=12|MF 1|+12|MF 2|=a .∴P 的轨迹是以F 1,O 为焦点的椭圆.]6.D [∵y =4e x +1,∴y ′=-4e x (e x +1)2.令e x +1=t ,则e x =t -1且t >1,∴y ′=-4t +4t 2=4t 2-4t .再令1t =m ,则0<m <1,∴y ′=4m 2-4m =4(m -12)2-1,m ∈(0,1). 容易求得-1≤y ′<0,∴-1≤tan α<0,得34π≤α<π.]7.B [因为函数f (x )在区间[1,+∞)上单调递增,所以有f ′(x )≥0,x ∈[1,+∞),即3x 2-a ≥0在区间[1,+∞)上恒成立,所以a ≤3x 2.因为x ∈[1,+∞)时,3x 2≥3,从而a ≤3.] 8.B [由抛物线的定义, 得|AB |=x 1+x 2+p =6+2=8.]9.D [由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y =-b a x ,∴-2=-ba ×4,∴a =2b ,设b =k ,则a =2k ,c =5k ,∴e =c a =5k 2k =52.] 10.D [因为f (x )=ax 3-bx +4, 所以f ′(x )=3ax 2-b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)=12a -b =0f (2)=8a -2b +4=-43,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =13b =4,故所求函数解析式为f (x )=13x 3-4x +4.]11.D [如图所示,∵O 是F 1F 2的中点,PF 1→+PF 2→=2PO →,∴(PF 1→+PF 2→)2=(2PO →)2.即 |PF 1→|2+|PF 2→|2+2|PF 1→|·|PF 2→|·cos 60°=4|PO →|2. 又∵|PO |=7a ,∴ |PF 1→|2+|PF 2→|2+|PF 1→||PF 2→|=28a 2. ① 又由双曲线定义得|PF 1|-|PF 2|=2a , ∴(|PF 1|-|PF 2|)2=4a 2.即|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=4a 2. ② 由①-②得|PF 1|·|PF 2|=8a 2, ∴|PF 1|2+|PF 2|2=20a 2.在△F 1PF 2中,由余弦定理得cos 60°=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|, ∴8a 2=20a 2-4c 2.即c 2=3a 2. 又∵c 2=a 2+b 2,∴b 2=2a 2. 即b 2a 2=2,ba = 2.∴双曲线的渐近线方程为2x ±y =0.]12.C [f ′(x )=2x -ax 2,故只有当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上才是增函数,因此A 、B 不对,当a =0时,f (x )=x 2是偶函数,因此C 对,D 不对.]13.[3,8)解析 因为p (1)是假命题,所以1+2-m ≤0, 即m ≥3.又因为p (2)是真命题,所以4+4-m >0, 即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8. 14.x 24-y 212=1解析 由双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =3x 得ba =3,∴b =3a . ∵抛物线y 2=16x 的焦点为F (4,0),∴c =4. 又∵c 2=a 2+b 2,∴16=a 2+(3a )2, ∴a 2=4,b 2=12.∴所求双曲线的方程为x 24-y 212=1.15.-b 2a 2解析 设A (x 1,y 1),M (x 0,y 0), 则B (-x 1,-y 1),则k AM ·k BM =y 0-y 1x 0-x 1·y 0+y 1x 0+x 1=y 20-y 21x 20-x 21=⎝⎛⎭⎫-b 2a 2x 20+b 2-⎝⎛⎭⎫-b 2a 2x 21+b 2x 20-x 21=-b 2a 2. 16.57解析 f ′(x )=3x 2+6x ,令f ′(x )=0, 得x =0或x =-2.又∵f (0)=a ,f (-3)=a , f (-2)=a +4,f (3)=54+a ,∴f (x )的最小值为a ,最大值为54+a . 由题可知a =3,∴f (x )的最大值为57.17.解 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +3<0x 2-6x +8<0,得⎩⎨⎧1<x <32<x <4,即2<x <3.∴q :2<x <3.设A ={x |2x 2-9x +a <0},B ={x |2<x <3}, ∵綈p ⇒綈q ,∴q ⇒p ,∴B ⊆A . 即2<x <3满足不等式2x 2-9x +a <0. 设f (x )=2x 2-9x +a ,要使2<x <3满足不等式2x 2-9x +a <0, 需⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0f (3)≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧8-18+a ≤018-27+a ≤0. ∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}. 18.解 如图所示,设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则S △F 1PF 2=12mn sin π3=34mn .由椭圆的定义知 |PF 1|+|PF 2|=20,即m +n =20. ① 又由余弦定理,得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos π3 =|F 1F 2|2,即m 2+n 2-mn =122. ②由①2-②,得mn =2563.∴S △F 1PF 2=643 3.19.解 设 P =(x ,y ),则 MN →=(4,0),MP →=(x +2,y ), NP →=(x -2,y ).∴ |MN →|=4,|MP →|=(x +2)2+y 2, MN →·NP →=4(x -2),代入 |MN →|·|MP →|+MN →·NP →=0, 得4(x +2)2+y 2+4(x -2)=0, 即(x +2)2+y 2=2-x , 化简整理,得y 2=-8x .故动点P (x ,y )的轨迹方程为y 2=-8x .20.解 (1)f ′(x )=2ax -43a ,由已知得⎩⎨⎧f ′(1)=2a -43a =1f (1)=a -43a +b =2,解得⎩⎨⎧a =32b =52,∴f (x )=32x 2-2x +52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为 y -2=x -1,即x -y +1=0.21.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y =ax +1,3x 2-y 2=1消去y ,得(3-a 2)x 2-2ax -2=0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3-a 2≠0,Δ>0,即-6<a <6且a ≠±3.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=2a3-a 2,x 1x 2=-23-a 2.∵以AB 为直径的圆过原点,∴OA ⊥OB ,∴x 1x 2+y 1y 2=0,即x 1x 2+(ax 1+1)(ax 2+1)=0, 即(a 2+1)x 1x 2+a (x 1+x 2)+1=0.∴(a 2+1)·-23-a 2+a ·2a3-a 2+1=0, ∴a =±1,满足(1)所求的取值范围. 故a =±1.22.解 (1)当a =-1时,f (x )=ln x +x +2x -1, x ∈(0,+∞),所以f ′(x )=x 2+x -2x 2,x ∈(0,+∞), 因此f ′(2)=1,即曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)=ln 2+2,所以曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为 y -(ln 2+2)=x -2,即x -y +ln 2=0.(2)因为f (x )=ln x -ax +1-ax -1,所以f ′(x )=1x -a +a -1x 2=-ax 2-x +1-a x 2,x ∈(0,+∞). 令g (x )=ax 2-x +1-a ,x ∈(0,+∞).①当a =0时,g (x )=-x +1,x ∈(0,+∞), 所以当x ∈(0,1)时,g (x )>0,此时f ′(x )<0,函数f (x )单调递减;当x ∈(1,+∞)时,g (x )<0,此时f ′(x )>0,函数f (x )单调递增. ②当a ≠0时,由f ′(x )=0,即ax 2-x +1-a =0,解得x 1=1,x 2=1a -1. a .当a =12时,x 1=x 2,g (x )≥0恒成立,此时f ′(x )≤0,函数f (x )在(0,+∞)上单调递减.b .当0<a <12时,1a -1>1, x ∈(0,1)时,g (x )>0,此时f ′(x )<0,函数f (x )单调递减;x ∈⎝⎛⎭⎫1,1a -1时,g (x )<0, 此时f ′(x )>0,函数f (x )单调递增;x ∈⎝⎛⎭⎫1a -1,+∞时,g (x )>0,此时f ′(x )<0,函数f (x )单调递减.c .当a <0时,由于1a -1<0. x ∈(0,1)时,g (x )>0,此时f ′(x )<0,函数f (x )单调递减; x ∈(1,+∞)时,g (x )<0,此时f ′(x )>0,函数f (x )单调递增. 综上所述:当a ≤0时,函数f (x )在(0,1)上单调递减, 在(1,+∞)上单调递增;当a =12时,函数f (x )在(0,+∞)上单调递减;当0<a <12时,函数f (x )在(0,1)上单调递减,在⎝⎛⎭⎫1,1a -1上单调递增,在⎝⎛⎭⎫1a -1,+∞上单调递减.模块综合检测(B)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题“p :x ≥4或x ≤0”,命题“q :x ∈Z ”,如果“p 且q ”与“非q ”同时为假命题,则满足条件的x 为( )A .{x |x ≥3或x ≤-1,x ∉Z }B .{x |-1≤x ≤3,x ∉Z }C .{-1,0,1,2,3}D .{1,2,3}2.“a >0”是“|a |>0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知2x +y =0是双曲线x 2-λy 2=1的一条渐近线,则双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C. 5 D .24.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( ) A.x 24-y 212=1 B.x 212-y 24=1 C.x 210-y 26=1 D.x 26-y 210=15.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( )A .2 3B .6C .4 3D .126.过点(2,-2)与双曲线x 2-2y 2=2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A.x 22-y 24=1 B.x 24-y 22=1 C.y 24-x 22=1 D.y 22-x 24=17.曲线y =x 3-3x 2+1在点(1,-1)处的切线方程为( ) A .y =3x -4 B .y =-3x +2 C .y =-4x +3 D .y =4x -5 8.函数f (x )=x 2-2ln x 的单调递减区间是( )A .(0,1]B .[1,+∞)C .(-∞,-1],(0,1)D .[-1,0),(0,1] 9.已知椭圆x 2+2y 2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A .3 2 B .2 3C.303D.32 610.设曲线y =x +1x -1在点(3,2)处的切线与直线ax +y +1=0垂直,则a 等于( )A .2 B.12 C .-12 D .-211.若函数y =f (x )的导函数在区间[a ,b ]上是增函数,则函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象可能是( )12.已知函数f (x )的导函数f ′(x )=4x 3-4x ,且f (x )的图象过点(0,-5),当函数f (x )取得极小值-6时,x 的值应为( )A .0B .-1C .±1D .1题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知双曲线x 2-y 23=1,那么它的焦点到渐近线的距离为________.14.点P 是曲线y =x 2-ln x 上任意一点,则P 到直线y =x -2的距离的最小值是________. 15.给出如下三种说法:①四个实数a ,b ,c ,d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad =bc . ②命题“若x ≥3且y ≥2,则x -y ≥1”为假命题. ③若p ∧q 为假命题,则p ,q 均为假命题. 其中正确说法的序号为________.16.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)的两个焦点F 1、F 2,若P 为双曲线上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为________.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)命题p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的负实数根,命题q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实数根.若“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题,求m 的取值范围.18.(12分)F 1,F 2是椭圆的两个焦点,Q 是椭圆上任意一点,从任一焦点向△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线引垂线,垂足为P ,求点P 的轨迹.19.(12分)若r (x ):sin x +cos x >m ,s (x ):x 2+mx +1>0.已知∀x ∈R ,r (x )为假命题且s (x )为真命题,求实数m 的取值范围.20.(12分)已知椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的一个顶点为A(0,1),离心率为22,过点B(0,-2)及左焦点F1的直线交椭圆于C,D两点,右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程;(2)求△CDF2的面积.21.(12分)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调区间.22.(12分)已知f(x)=23x3-2ax2-3x (a∈R),(1)若f(x)在区间(-1,1)上为减函数,求实数a的取值范围;(2)试讨论y=f(x)在(-1,1)内的极值点的个数.答案1.D2.A [因为|a |>0⇔a >0或a <0,所以a >0⇒|a |>0,但|a |>0 ⇒a >0,所以“a >0”是“|a |>0”的充分不必要条件.]3.C4.A [由题意知c =4,焦点在x 轴上,又e =c a =2,∴a =2,∴b 2=c 2-a 2=42-22=12,∴双曲线方程为x 24-y 212=1.]5.C [设椭圆的另一焦点为F ,由椭圆的定义知|BA |+|BF |=23,且|CF |+|AC |=23,所以△ABC 的周长=|BA |+|BC |+|AC |=|BA |+|BF |+|CF |+|AC |=4 3.]6.D [与双曲线x 22-y 2=1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22-y 2=λ,由过点(2,-2),可解得λ=-2.所以所求的双曲线方程为y 22-x 24=1.]7.B [y ′=3x 2-6x ,∴k =y ′|x =1=-3,∴切线方程为y +1=-3(x -1),∴y =-3x +2.]8.A [由题意知x >0,若f ′(x )=2x -2x =2(x 2-1)x ≤0,则0<x ≤1,即函数f (x )的递减区间是(0,1].]9.C [令直线l 与椭圆交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧ x 21+2y 21=4 ①x 22+2y 22=4 ②①-②得:(x 1+x 2)(x 1-x 2)+2(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,即2(x 1-x 2)+4(y 1-y 2)=0,∴k l =-12,∴l 的方程:x +2y -3=0,由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -3=0x 2+2y 2-4=0,得6y 2-12y +5=0. ∴y 1+y 2=2,y 1y 2=56.∴|AB |=⎝⎛⎭⎫1+1k 2(y 1-y 2)2=303.] 10.D [y =x +1x -1, ∴y ′|x =3=-2(x -1)2|x =3=-12. 又∵-a ×⎝⎛⎭⎫-12=-1,∴a =-2.] 11.A [依题意,f ′(x )在[a ,b ]上是增函数,则在函数f (x )的图象上,各点的切线的斜率随着x 的增大而增大,观察四个选项中的图象,只有A 满足.]12.C [f (x )=x 4-2x 2+c .因为过点(0,-5),所以c =-5.由f ′(x )=4x (x 2-1),得f (x )有三个极值点,列表判断±1均为极小值点,且f (1)=f (-1)=-6.] 13. 3 解析 焦点(±2,0),渐近线:y =±3x ,焦点到渐近线的距离为23(3)2+1= 3. 14. 2解析 先设出曲线上一点,求出过该点的切线的斜率,由已知直线,求出该点的坐标,再由点到直线的距离公式求距离.设曲线上一点的横坐标为x 0 (x 0>0),则经过该点的切线的斜率为k =2x 0-1x 0,根据题意得,2x 0-1x 0=1,∴x 0=1或x 0=-12,又∵x 0>0,∴x 0=1,此时y 0=1,∴切点的坐标为(1,1),最小距离为|1-1-2|2= 2. 15.①②解析 对①,a ,b ,c ,d 成等比数列,则ad =bc ,反之不一定,故①正确;对②,令x =5,y =6,则x -y =-1,所以该命题为假命题,故②正确;对③,p ∧q 假时,p ,q 至少有一个为假命题,故③错误.16.(1,3]解析 设|PF 2|=m ,则2a =||PF 1|-|PF 2||=m ,2c =|F 1F 2|≤|PF 1|+|PF 2|=3m .∴e =c a =2c 2a ≤3,又e >1,∴离心率的取值范围为(1,3].17.解 命题p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的负实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ=m 2-4>0m >0⇔m >2. 命题q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根⇔Δ′=16(m -2)2-16=16(m 2-4m +3)<0⇔1<m <3.∵“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,∴p 为真、q 为假或p 为假、q 为真,则⎩⎪⎨⎪⎧ m >2m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤21<m <3, 解得m ≥3或1<m ≤2.18.解 设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0),F 1,F 2是它的两个焦点,Q 为椭圆上任意一点,QP 是△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线(如图),连结PO ,过F 2作F 2P ⊥QP 于P 并延长交F 1Q 的延长线于H ,则P 是F 2H 的中点,且|F 2Q |=|QH |,因此|PO |=12|F 1H |=12(|F 1Q |+|QH |)=12(|F 1Q |+|F 2Q |)=a ,∴点P 的轨迹是以原点为圆心,以椭圆半长轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x 轴的交点).19.解 由于sin x +cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4∈[-2,2], ∀x ∈R ,r (x )为假命题即sin x +cos x >m 恒不成立.∴m ≥ 2. ①又对∀x ∈R ,s (x )为真命题.∴x 2+mx +1>0对x ∈R 恒成立.则Δ=m 2-4<0,即-2<m <2. ②故∀x ∈R ,r (x )为假命题,且s (x )为真命题, 应有2≤m <2.20.解 (1)由题意知b =1,e =c a =22,又∵a 2=b 2+c 2,∴a 2=2.∴椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)∵F 1(-1,0),∴直线BF 1的方程为y =-2x -2,由⎩⎪⎨⎪⎧y =-2x -2x 22+y 2=1,得9x 2+16x +6=0. ∵Δ=162-4×9×6=40>0,∴直线与椭圆有两个公共点,设为C (x 1,y 1),D (x 2,y 2), 则⎩⎨⎧ x 1+x 2=-169x 1x 2=23,∴|CD |=1+(-2)2|x 1-x 2|=5·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=5·⎝⎛⎭⎫-1692-4×23=1092, 又点F 2到直线BF 1的距离d =455,故S △CDF 2=12|CD |·d =4910.21.解 (1)由f (x )的图象经过P (0,2)知d =2,∴f (x )=x 3+bx 2+cx +2,f ′(x )=3x 2+2bx +c .由在点M (-1,f (-1))处的切线方程是6x -y +7=0,知-6-f (-1)+7=0,即f (-1)=1,f ′(-1)=6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3-2b +c =6,-1+b -c +2=1,即⎩⎪⎨⎪⎧ b -c =0,2b -c =-3, 解得b =c =-3.故所求的解析式是f (x )=x 3-3x 2-3x +2.(2)f ′(x )=3x 2-6x -3,令3x 2-6x -3=0,即x 2-2x -1=0.解得x 1=1-2,x 2=1+ 2.当x <1-2或x >1+2时,f ′(x )>0.当1-2<x <1+2时,f ′(x )<0.故f (x )=x 3-3x 2-3x +2在(-∞,1-2)和(1+2,+∞)内是增函数,在(1-2,1+2)内是减函数.22.解 (1)∵f (x )=23x 3-2ax 2-3x ,∴f ′(x )=2x 2-4ax -3,∵f (x )在区间(-1,1)上为减函数,∴f ′(x )≤0在(-1,1)上恒成立;∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(-1)≤0f ′(1)≤0 得-14≤a ≤14. 故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤-14,14. (2)当a >14时,∵⎩⎨⎧ f ′(-1)=4⎝⎛⎭⎫a -14>0f ′(1)=-4⎝⎛⎭⎫a +14<0,∴存在x 0∈(-1,1),使f ′(x 0)=0,∵f ′(x )=2x 2-4ax -3开口向上,∴在(-1,x 0)内,f ′(x )>0,在(x 0,1)内,f ′(x )<0,即f (x )在(-1,x 0)内单调递增,在(x 0,1)内单调递减,∴f (x )在(-1,1)内有且仅有一个极值点,且为极大值点.当a <-14时,∵⎩⎨⎧ f ′(-1)=4⎝⎛⎭⎫a -14<0f ′(1)=-4⎝⎛⎭⎫a +14>0,∴存在x 0∈(-1,1)使f ′(x 0)=0.∵f ′(x )=2x 2-4ax -3开口向上,∴在(-1,x 0)内f ′(x )<0,在(x 0,1)内f ′(x )>0.即f (x )在(-1,x 0)内单调递减,在(x 0,1)内单调递增,∴f (x )在(-1,1)内有且仅有一个极值点,且为极小值点.当-14≤a ≤14时,由(1)知f (x )在(-1,1)内递减,没有极值点.综上,当a >14或a <-14时,f (x )在(-1,1)内的极值点的个数为1,当-14≤a ≤14时,f (x )在(-1,1)内的极值点的个数为0.模块综合检测(C)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题12小题,每小题5分,共60分)1.方程x =1-4y 2所表示的曲线是( )A .双曲线的一部分B .椭圆的一部分C .圆的一部分D .直线的一部分2.若抛物线的准线方程为x =-7,则抛物线的标准方程为( )A .x 2=-28yB .x 2=28yC .y 2=-28xD .y 2=28x3.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( )A .2 B. 3 C. 2 D.324.用a ,b ,c 表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:①若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ;②若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥c ;③若a ∥γ,b ∥γ,则a ∥b ;④若a ⊥γ,b ⊥γ,则a ∥b .其中真命题的序号是( )A .①②B .②③C .①④D .③④5.已知a 、b 为不等于0的实数,则a b >1是a >b 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件6.若抛物线y 2=4x 的焦点是F ,准线是l ,点M (4,m )是抛物线上一点,则经过点F 、M 且与l 相切的圆一共有( )A .0个B .1个C .2个D .4个7.若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2.线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5∶3两段,则此双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 6 C.233 D.263 8.已知双曲线与椭圆x 29+y 225=1共焦点,它们的离心率之和为245,则此双曲线方程是( )A.x 212-y 24=1 B .-x 212+y 24=1C.x 24-y 212=1 D .-x 24+y 212=19.下列四个结论中正确的个数为( )①命题“若x 2<1,则-1<x <1”的逆否命题是“若x >1或x <-1,则x 2>1”;②已知p :∀x ∈R ,sin x ≤1,q :若a <b ,则am 2<bm 2,则p ∧q 为真命题;③命题“∃x ∈R ,x 2-x >0”的否定是“∀x ∈R ,x 2-x ≤0”;④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件.A .0个B .1个C .2个D .3个10.设f (x )=x (ax 2+bx +c ) (a ≠0)在x =1和x =-1处有极值,则下列点中一定在x 轴上的是( )A .(a ,b )B .(a ,c )C .(b ,c )D .(a +b ,c )11.函数y =ln x x 的最大值为( )A .e -1B .eC .e 2 D.10312.已知命题P :函数y =log 0.5(x 2+2x +a )的值域为R ;命题Q :函数y =-(5-2a )x 是R 上的减函数.若P 或Q 为真命题,P 且Q 为假命题,则实数a 的取值范围是( )A .a ≤1B .a <2C .1<a <2D .a ≤1或a ≥2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数f (x )=x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数,则m 的取值范围是________.14.一动圆圆心在抛物线x 2=8y 上,且动圆恒与直线y +2=0相切,则动圆必过定点________.15.已知F 1、F 2是椭圆C x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9,则b =________.16.设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时,f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x )>0,且g (-3)=0,则不等式f (x )g (x )<0的解集是________________________________________________________________________.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知p :x 2-12x +20<0,q :x 2-2x +1-a 2>0 (a >0).若綈q 是綈p 的充分条 件,求a 的取值范围.18.(12分)已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f (x )=0的一个根为2.(1)求c 的值;(2)求证:f (1)≥2.19.(12分) 如图,M 是抛物线y 2=x 上的一个定点,动弦ME 、MF 分别与x 轴交于不同的点A 、B ,且|MA |=|MB |.证明:直线EF 的斜率为定值.20.(12分)命题p :关于x 的不等式x 2+2ax +4>0,对一切x ∈R 恒成立,命题q :指数函数f (x )=(3-2a )x 是增函数,若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的取值范围.21.(12分)已知函数f (x )=ax -ln x ,若f (x )>1在区间(1,+∞)内恒成立,求实数a 的取值范围.22.(12分)如图所示,已知直线l :y =kx -2与抛物线C :x 2=-2py (p>0)交于A ,B 两点,O 为坐标原点,OA →+OB →=(-4,-12).(1)求直线l 和抛物线C 的方程;(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时,求△ABP 面积的最大值.答案1.B [x =1-4y 2,∴x 2+4y 2=1 (x ≥0).即x 2+y 214=1 (x ≥0).]2.D3.C [由已知,b 2a 2=1,∴a =b ,∴c 2=2a 2,∴e =c a =2a a = 2.]4.C5.D [如取a =-3,b =-2,满足a b >1,但不满足a >b .反过来取a =1,b =-5,满足a >b ,但不满足a b >1,故答案为D.]6.D [因为点M (4,m )在抛物线y 2=4x 上,所以可求得m =±4.由于圆经过焦点F 且和准线l 相切,由抛物线的定义知圆心在抛物线上.又因为圆经过抛物线上的点M ,所以圆心在线段FM 的垂直平分线上,即圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点,结合图形易知对于点M (4,4)和(4,-4),都各有两个交点,因此一共有4个满足条件的圆.]7.C8.B [由已知得椭圆中a =5,b =3,∴c =4,且它的焦点在y 轴上,故双曲线的焦点也应在y 轴上且为(0,4)和(0,-4),又椭圆的离心率为e =c a =45,所以双曲线的离心率为2,即c a =2,又c =4,∴它的实半轴为2,虚半轴平方为b 2=c 2-a 2=16-4=12, 则双曲线方程为y 24-x 212=1.]9.B [只有③中结论正确.]10.A11.A [令y ′=(ln x )′x -ln x ·x ′x2=1-ln x x 2=0,x =e ,当x >e 时,y ′<0;当x <e 时,y ′>0,y 极大值=f (e)=1e ,在定义域内只有一个极值,所以y max =1e .]12.C [先化简P 与Q ,建构关于a 的关系式;由函数y =log 0.5(x 2+2x +a )的值域为R 知:内层函数u (x )=x 2+2x +a 恰好取遍(0,+∞)内的所有实数⇔Δ=4-4a ≥0⇔a ≤1,即P ⇔a ≤1;同样由y =-(5-2a )x 是减函数⇔5-2a >1,即Q ⇔a <2;由P 或Q 为真,P 且Q 为假知,P 与Q 中必有一真一假.故答案为C.]13.⎣⎡⎭⎫13,+∞解析 f ′(x )=3x 2+2x +m ,依题意可知f (x )在R 上只能单调递增,所以Δ=4-12m ≤0,∴m ≥13.14.(0,2)解析 动圆一定过抛物线x 2=8y 的焦点.15.3解析 由已知,得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|+|PF 2|=2a |PF 1|·|PF 2|=18, ∴|PF 1|2+|PF 2|2+36=4a 2,又|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,∴4a 2-4c 2=36,∴b =3.16.(-∞,-3)∪(0,3)解析 设F (x )=f (x )g (x ),由已知得,F ′(x )=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ).当x <0时,F ′(x )>0,∴F (x )在(-∞,0)上为增函数.又∵f (x )为奇函数,g (x )为偶函数.∴F (-x )=f (-x )g (-x )=-f (x )g (x )=-F (x ),∴F (x )为奇函数.∴F (x )在(0,+∞)上也为增函数.又g (-3)=0,∴F (-3)=0,F (3)=0.∴f (x )g (x )<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).17.解 p :{x |2<x <10},q :{x |x <1-a ,或x >1+a }.由綈q ⇒綈p ,得p ⇒q ,于是1+a <2,∴0<a <1.18.(1)解 ∵f (x )在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,∴f ′(0)=0.∵f ′(x )=3x 2+2bx +c ,∴f ′(0)=c =0.∴c =0.(2)证明 ∵f (2)=0,∴8+4b +2c +d =0,而c =0,∴d =-4(b +2).∵方程f ′(x )=3x 2+2bx =0的两个根分别为x 1=0,x 2=-23b ,且f (x )在[0,2]上是减函数,∴x 2=-23b ≥2,∴b ≤-3.∴f (1)=b +d +1=b -4(b +2)+1=-7-3b ≥-7+9=2.故f (1)≥2.19.证明 设M (y 20,y 0),直线ME 的斜率为k (k >0),则直线MF 的斜率为-k ,直线ME 的方程为y -y 0=k (x -y 20).由⎩⎪⎨⎪⎧ y -y 0=k (x -y 20)y 2=x 得ky 2-y +y 0(1-ky 0)=0.于是y 0·y E =y 0(1-ky 0)k. 所以y E =1-ky 0k .同理可得y F =1+ky 0-k. ∴k EF =y E -y F x E -x F =y E -y F y 2E -y 2F=1y E +y F =-12y 0(定值). 20.解 设g (x )=x 2+2ax +4,由于关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立,所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点,故Δ=4a 2-16<0,∴-2<a <2.函数f (x )=(3-2a )x 是增函数,则有3-2a >1,即a <1.又由于p 或q 为真,p 且q 为假,可知p 和q 一真一假.①若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧-2<a <2,a ≥1, ∴1≤a <2.②若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-2,或a ≥2,a <1, ∴a ≤-2.综上可知,所求实数a 的取值范围为{a |1≤a <2或a ≤-2}.21.解 由f (x )>1,得ax -ln x -1>0.即a >1+ln x x 在区间(1,+∞)内恒成立.设g (x )=1+ln x x ,则g ′(x )=-ln x x 2,∵x >1,∴g ′(x )<0.∴g (x )=1+ln x x 在区间(1,+∞)内单调递减.∴g (x )<g (1)=1,即1+ln x x <1在区间(1,+∞)内恒成立,∴a ≥1.22.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y =kx -2,x 2=-2py ,得x 2+2pkx -4p =0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-2pk ,y 1+y 2=k (x 1+x 2)-4=-2pk 2-4.因为 OA →+OB →=(x 1+x 2,y 1+y 2)=(-2pk ,-2pk 2-4)=(-4,-12),所以⎩⎪⎨⎪⎧ -2pk =-4,-2pk 2-4=-12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧p =1,k =2. 所以直线l 的方程为y =2x -2,抛物线C 的方程为x 2=-2y .(2)设P (x 0,y 0),依题意,抛物线过点P 的切线与l 平行时,△ABP 的面积最大, y ′=-x ,所以-x 0=2⇒x 0=-2,y 0=-12x 20=-2,所以P (-2,-2).此时点P 到直线l 的距离d =|2×(-2)-(-2)-2|22+(-1)2=45=455, 由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x -2,x 2=-2y ,得x 2+4x -4=0, |AB |=1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+22·(-4)2-4×(-4)=410.∴△ABP 面积的最大值为410×4552=8 2.。
高中数学选修1-1(全册)习题(答案详细讲解)目录:数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组](数学选修1-1)第一章常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1.下列语句中是命题的是()A .周期函数的和是周期函数吗?B .0sin 451=C .2210x x +->D .梯形是不是平面图形呢?2.在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下,则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是()A .都真B .都假C .否命题真D .逆否命题真3.有下述说法:①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有()A .0个B .1个C .2个D .3个 4.下列说法中正确的是()A .一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B .“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C .“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D .一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真5.若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.已知条件:12p x +>,条件2:56q x x ->,则p ?是q ?的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件二、填空题1.命题:“若a b ?不为零,则,a b 都不为零”的逆否命题是。
习题精选一、选择题1.过抛物线焦点的直线与抛物线相交于,两点,若,在抛物线准线上的射影分别是,,则为().A.45°B.60°C.90°D.120°2.过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有().A.1条B.2条C.3条D.4条3.已知,是抛物线上两点,为坐标原点,若,且的垂心恰好是此抛物线的焦点,则直线的方程是().A.B.C.D.4.若抛物线()的弦PQ中点为(),则弦的斜率为()A.B.C.D.5.已知是抛物线的焦点弦,其坐标,满足,则直线的斜率是()A.B.C.D.6.已知抛物线()的焦点弦的两端点坐标分别为,,则的值一定等于()A.4 B.-4 C.D.7.已知⊙的圆心在抛物线上,且⊙与轴及的准线相切,则⊙的方程是()A.B.C.D.8.当时,关于的方程的实根的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个9.将直线左移1个单位,再下移2个单位后,它与抛物线仅有一个公共点,则实数的值等于()A.-1 B.1 C.7 D.910.以抛物线()的焦半径为直径的圆与轴位置关系为()A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定11.过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,如果,那么长是()A.10 B.8 C.6 D.412.过抛物线()的焦点且垂直于轴的弦为,为抛物线顶点,则大小()A.小于B.等于C.大于D.不能确定13.抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是()A.(0,0)B.(-2,-2)C.(2,2)D.(2,0)14.已知抛物线()上有一点,它到焦点的距离为5,则的面积(为原点)为()A.1 B.C.2 D.15.记定点与抛物线上的点之间的距离为,到此抛物线准线的距离为,则当取最小值时点的坐标为()A.(0,0)B.C.(2,2)D.16.方程表示()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆17.在上有一点,它到的距离与它到焦点的距离之和最小,则的坐标为()A.(-2,8)B.(2,8)C.(-2,-8)D.(-2,8)18.设为过焦点的弦,则以为直径的圆与准线交点的个数为()A.0 B.1 C.2 D.0或1或219.设,为抛物线上两点,则是过焦点的()A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.不充分不必要20.抛物线垂点为(1,1),准线为,则顶点为()A.B.C.D.21.与关于对称的抛物线是()A.B.C.D.二、填空题1.顶点在原点,焦点在轴上且通径(过焦点和对称轴垂直的弦)长为6的抛物线方程是_________.2.抛物线顶点在原点,焦点在轴上,其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4,则此抛物线方程为_________.3.过点(0,-4)且与直线相切的圆的圆心的轨迹方程是_________.4.抛物线被点所平分的弦的直线方程为_________.5.已知抛物线的弦过定点(-2,0),则弦中点的轨迹方程是________.6.顶点在原点、焦点在轴上、截直线所得弦长为的抛物线方程为____________.7.已知直线与抛物线交于、两点,那么线段的中点坐标是__ _.8.一条直线经过抛物线()的焦点与抛物线交于、两点,过、点分别向准线引垂线、,垂足为、,如果,,为的中点,则 =__________.9.是抛物线的一条焦点弦,若抛物线,,则的中点到直线的距离为_________.10.抛物线上到直线的距离最近的点的坐标是____________.11.抛物线上到直线距离最短的点的坐标为__________.12.已知圆与抛物线()的准线相切,则=________.13.过()的焦点的弦为,为坐标原点,则 =________.14.抛物线上一点到焦点的距离为3,则点的纵坐标为__________.15.已知抛物线(),它的顶点在直线上,则的值为__________.16.过抛物线的焦点作一条倾斜角为的弦,若弦长不超过8,则的范围是________.17.已知抛物线与椭圆有四个交点,这四个交点共圆,则该圆的方程为__________.18.抛物线的焦点为,准线交轴于,过抛物线上一点作于,则梯形的面积为_______________.19.探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分,安装灯源的位置在抛物线的焦点处,如果到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径,已知灯口的半径为30cm,那么灯深为_________.三、解答题1.知抛物线截直线所得的弦长,试在轴上求一点,使的面积为392.若的焦点弦长为5,求焦点弦所在直线方程3.已知是以原点为直角顶点的抛物线()的内接直角三角形,求面积的最小值.4.若,为抛物线的焦点,为抛物线上任意一点,求的最小值及取得最小值时的的坐标.5.一抛物线拱桥跨度为52米,拱顶离水面6.5米,一竹排上一宽4米,高6米的大木箱,问能否安全通过.6.抛物线以轴为准线,且过点,()求证不论点的位置如何变化,抛物线顶点的轨迹是椭圆,且离心率为定值.7.已知抛物线()的焦点为,以为圆心,为半径,在轴上方画半圆,设抛物线与半圆交于不同的两点、,为线段的中点.①求的值;②是否存在这样的,使、、成等差数列,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.8.求抛物线和圆上最近两点之间的距离.9.正方形中,一条边在直线上,另外两顶点、在抛物线上,求正方形的面积.10.已知抛物线的一条过焦点的弦被焦点分为,两个部分,求证.11.一抛物线型拱桥的跨度为,顶点距水面.江中一竹排装有宽、高的货箱,问能否安全通过.12.已知抛物线上两点,(在第二象限),为原点,且,求当点距轴最近时,的面积.13.是抛物线上的动点,连接原点与,以为边作正方形,求动点的轨迹方程.参考答案:一、1.C;2.C;3.D;4.B;5.C;6.B;7.B;8.D;9.C10.C;11.B;12.C;13.C;14.C;15.C;16.C;17.B;18.B;19.C;20.A;21.D二、1.;2.;3.;4.5.;6.(在已知抛物线内的部分)7.或;8.(4,2);9.10.;11.;12.2;13.-414.2;15.0,,,;16.17.;18.3.14;19.36.2cm三、1.先求得,再求得或2.3.设,,则由得,,,于是当,即,时,4.抛物线的准线方程为,过作垂直准线于点,由抛物线定义得,,要使最小,、、三点必共线,即垂直于准线,与抛物线交点为点,从而的最小值为,此时点坐标为(2,2).5.建立坐标系,设抛物线方程为,则点(26,-6.5)在抛物线上,抛物线方程为,当时,,则有,所以木箱能安全通过.6.设抛物线的焦点为,由抛物线定义得,设顶点为,则,所以,即为椭圆,离心率为定值.7.①设、、在抛物线的准线上射影分别为、、,则由抛物线定义得,又圆的方程为,将代入得②假设存在这样的,使得,由定义知点必在抛物线上,这与点是弦的中点矛盾,所以这样的不存在8.设、分别是抛物线和圆上的点,圆心,半径为1,若最小,则也最小,因此、、共线,问题转化为在抛物线上求一点,使它到点的距离最小.为此设,则,的最小值是9.设所在直线方程为,消去得又直线与间距离为或从而边长为或,面积,10.焦点为,设焦点弦端点,,当垂直于轴,则,结论显然成立;当与轴不垂直时,设所在直线方程为,代入抛物线方程整理得,这时,于是,命题也成立.11.取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为轴建立直角坐标系,则桥墩的两端坐标分别为(-26,-6.5),(26,-6.5),设抛物线型拱桥的方程为,则,所以,抛物线方程为.当时,,而,故可安全通过.12.设,则,因为,所以,直线的方程为,将代入,得点的横坐标为(当且仅当时取等号),此时,,,,所以.13.设,,过,分别作为轴的垂线,垂足分别为,,而证得≌,则有,,即、,而,因此,即为所求轨迹方程.。
描述:例题:高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;会求不超过三次的多项式函数的单调区间.2. 了解函数的极大(小)值、最大(小)与导数的关系;会求函数的极大(小)值,以及在指定区间上函数的最大(小)值.二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象(1)导数 表示函数 在点 处的切线斜率.当切线斜率为正值时,切线的倾斜角小于 ,函数曲线呈上升状态;当切线的斜率为负值时,切线的倾斜角大于 且小于 ,函数曲线呈下降状态.(2)如果在区间 内恒有 ,那么函数 在区间 内是常函数.()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数, 的图象如图所示,则 的图象最有可能是下列选项中的( )解:C导函数的图象在 轴的上方,表示导函数大于零,原函数的图象呈上升趋势;导函数的图象在 轴的下方,表示导函数小于零,原函数的图象呈下降趋势.由 时导函数图象在 轴的上方,表示在此区间上,原函数图象呈上升趋势,可排除 B、D 选项;由 时导函数图象在 轴的下方,表示在此区间上,原函数的图象呈下降趋势,可排除 A 选项.(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示,则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案:解析:3. 已知函数 , 的导函数的图象如下图,那么 , 的图象可能是.A.B .C .D .D 和 都是单调递增的,但 增长的越来越慢, 增长的越来越快,并且在 处, 的切线的斜率应该相等.y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分,赔付1万元,关注快乐学了解详情。
综合测试(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法正确的是( )A .命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B .语句“当a >1时,方程x 2-4x +a =0有实根”不是命题C .命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D .命题“当a >4时,方程x 2-4x +a =0有实根”是假命题 答案 D2.如果命题“綈p 且綈q ”是真命题,那么下列结论中正确的是( ) A .“p 或q ”是真命题 B .“p 且q ”是真命题 C .“綈p ”为真命题 D .以上都有可能解析 若“綈p 且綈q ”是真命题,则綈p ,綈q 均为真命题,即命题p 、命题q 都是假命题,故选C.答案 C3.若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,则双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的渐近线方程为( )A .y =±12xB .y =±2xC .y =±4xD .y =±14x解析 由椭圆的离心率e =c a =32,可知c 2a 2=a 2-b 2a 2=34,∴b a =12,故双曲线的渐近线方程为y =±12x ,选A.答案 A4.若θ是任意实数,则方程x 2+y 2sin θ=4表示的曲线不可能是( ) A .椭圆 B .双曲线 C .抛物线D .圆解析 当sin θ=1时,曲线表示圆. 当sin θ<0时,曲线表示的双曲线. 当sin θ>0时,曲线表示椭圆. 答案 C5.曲线y =x 3+1在点(-1,0)处的切线方程为( ) A .3x +y +3=0 B .3x -y +3=0 C .3x -y =0D .3x -y -3=0解析 y ′=3x 2,∴y ′| x =-1=3,故切线方程为y =3(x +1),即3x -y +3=0. 答案 B6.下列命题中,正确的是( )A .θ=π4是f (x )=sin(x -2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件 B .|a |-|b |=|a -b |的充要条件是a 与b 的方向相同 C .b =ac 是a ,b ,c 三数成等比数列的充分不必要条件D .m =3是直线(m +3)x +my -2=0与mx -6y +5=0互相垂直的充要条件答案 A7.函数f (x )=x 2+a ln x 在x =1处取得极值,则a 等于( ) A .2 B .-2 C .4D .-4解析 f (x )的定义域为(0,+∞), 又f ′(x )=2x +a x ,∴由题可知,f ′(1)=2+a =0,∴a =-2. 当a =-2时,f ′(x )=2x -2x =2(x -1)(x +1)x , 当0<x <1时,f ′(x )<0. 当x >1时,f ′(x )>0, ∴f (x )在x =1处取得极值. 故选B. 答案 B8.设P 是椭圆x 29+y 24=1上一点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A .-19B .-1 C.19D.12解析 由椭圆方程a =3,b =2,c =5,∴cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2-|F 1F 2|2-2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|=(2a )2-(2c )2-2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|=162|PF 1|·|PF 2|-1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|+|PF 2|2)2=9, ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9-1=-19,故选A.答案 A9.给出下列三个命题: ①若a ≥b >-1,则a 1+a ≥b1+b;②若正整数m 和n 满足m ≤n ,则m (n -m )≤n2;③设P (x 1,y 1)为圆O 1:x 2+y 2=9上任一点,圆O 2以Q (a ,b )为圆心且半径为1.当(a -x 1)2+(b -y 1)2=2时,圆O 1与圆O 2相切.其中假命题的个数为( ) A .0个 B .1个 C .2个D .3个解析 考查不等式的性质及其证明,两圆的位置关系.显然命题①正确,命题②用“分析法”便可证明其正确性.命题③:若两圆相切,则两圆心间的距离等于4或2,二者均不符合,故为假命题.故选B.答案 B10.如图所示是y =f (x )的导数图像,则正确的判断是( ) ①f (x )在(-3,1)上是增函数; ②x =-1是f (x )的极小值点;③f (x )在(2,4)上是减函数,在(-1,2)上是增函数; ④x =2是f (x )的极小值点. A .①②③ B .②③ C .③④D .①③④解析 从图像可知,当x ∈(-3,-1),(2,4)时,f (x )为减函数,当x ∈(-1,2),(4,+∞)时,f (x )为增函数,∴x =-1是f (x )的极小值点, x =2是f (x )的极大值点,故选B. 答案 B11.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是直线l :x =a 2c (c 2=a 2+b 2)上一点,且PF 1⊥PF 2,|PF 1|·|PF 2|=4ab ,则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ,在Rt △PF 1F 2中,有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|·|P A |,则|P A |=2ab c ,又|P A |2=|F 1A |·|F 2A |,则4a 2b 2c 2=(c -a 2c )·(c +a 2c )=c 4-a 4c 2,即4a 2b 2=b 2(c 2+a 2),即3a 2=c 2,从而e =ca = 3.选B.答案 B12.设p :f (x )=x 3+2x 2+mx +1在(-∞,+∞)内单调递增,q :m ≥8x x 2+4对任意x >0恒成立,则p 是q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析 f (x )在(-∞,+∞)内单调递增,则f ′(x )≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即3x 2+4x +m ≥0对任意x ∈R 恒成立,故Δ≤0,即m ≥43;m ≥8xx 2+4对任意x >0恒成立,即m ≥(8x x 2+4)max ,因为8x x 2+4=8x +4x ≤2,当且仅当x =2时,“=”成立,故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件.答案 B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.以x 24-y 212=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为________.解析 ∵双曲线y 212-x 24=1的焦点坐标为(0,±4),顶点坐标为(0,±23), ∴椭圆的顶点坐标为(0,±4),焦点坐标为(0,±23),在椭圆中a =4,c =23,b 2=4.∴椭圆的方程为x 24+y 216=1. 答案 x 24+y 216=114.给出下列三个命题:①函数y =tan x 在第一象限是增函数;②奇函数的图像一定过原点;③函数y =sin2x +cos2x 的最小正周期为π,其中假.命题的序号是________.解析 ①不正确,如x =π4时tan x =1,当x =9π4时tan x =1,而9π4>π4,所以tan x 不是增函数;②不正确,如函数y =1x 是奇函数,但图像不过原点;③正确.答案 ①②15.若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱,则它的高为________时,材料最省.解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题,然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式.设水箱的高度为h ,底面边长为a ,那么V =a 2h =324,则h =324a 2,水箱所用材料的面积是S =a 2+4ah =a 2+1296a ,令S ′=2a -1296a 2=0,得a 3=648,a =633, ∴h =324a 2=324(633)2=333,经检验当水箱的高为333时,材料最省. 答案 33316.设m ∈R ,若函数y =e x +2mx (x ∈R)有大于零的极值点,则m 的取值范围是________.解析 因为函数y =e x +2mx (x ∈R)有大于零的极值点,所以y ′=e x +2m =0有大于0的实根.令y 1=e x ,y 2=-2m ,则两曲线的交点必在第一象限.由图像可得-2m >1,即m <-12.答案 m <-12三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知抛物线y =ax 2+bx +c 过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线y =x -3相切,求a ,b ,c 的值.解 本题涉及了3个未知量,由题意可列出三个方程即可求解. ∵y =ax 2+bx +c 过点(1,1), ∴a +b +c =1.①又∵在点(2,-1)处与直线y =x -3相切, ∴4a +2b +c =-1.②∴y ′=2ax +b ,且k =1. ∴k =y ′| x =2=4a +b =1, ③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a =3,b =-11,c =9.18.(12分)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为63,直线l :y =-x +22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切.求椭圆C 1的方程.解 ∵e =63,∴e 2=c2a 2=a 2-b 2a 2=23,∴a 2=3b 2.∵直线l :y =-x +22与圆x 2+y 2=b 2相切, ∴222=b ,∴b =2.∴b 2=4,a 2=12.∴椭圆C 1的方程是x 212+y 24=1.19.(12分)已知函数f (x )=ln x ,g (x )=ax (a >0),设F (x )=f (x )+g (x ). (1)求函数F (x )的单调区间;(2)若以函数y =F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0,y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立,求实数a 的最小值.解 (1)F (x )=f (x )+g (x )=ln x +a x (x >0),则F ′(x )=1x -a x 2=x -ax 2(x >0), ∵a >0,由F ′(x )>0,得x ∈(a ,+∞),∴F (x )在(a ,+∞)上单调递增; 由F ′(x )<0,得x ∈(0,a ), ∴F (x )在(0,a )上单调递减.∴F (x )的单调递减区间为(0,a ),单调递增区间为(a ,+∞).(2)由(1)知F ′(x )=x -a x 2(0<x ≤3),则k =F ′(x 0)=x 0-a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立,即a ≥(-12x 20+x 0)max ,当x 0=1时,-12x 20+x 0取得最大值12, ∴a ≥12,∴a min =12.20.(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1:y =-1,过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程;(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ,Q ,交直线l 1于点R ,求RP →·RQ →的最小值.解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离, ∴点C 的轨迹是以F 为焦点,l 1为准线的抛物线. ∴所求轨迹的方程为x 2=4y .(2)由题意知,直线l 2的方程可设为y =kx +1(k ≠0),与抛物线方程联立消去y 得x 2-4kx -4=0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4.又易得点R 的坐标为(-2k ,-1).∴RP →·RQ →=(x 1+2k ,y 1+1)·(x 2+2k ,y 2+1)=(x 1+2k )(x 2+2k )+(kx 1+2)(kx 2+2)=(1+k 2)x 1x 2+(2k +2k )(x 1+x 2)+4k 2+4 =-4(1+k 2)+4k (2k +2k )+4k 2+4 =4(k 2+1k 2)+8. ∵k 2+1k 2≥2,当且仅当k 2=1时取等号,∴RP →·RQ →≥4×2+8=16,即RP →·RQ →的最小值为16.21.(12分)已知函数f (x )=x 2-8ln x ,g (x )=-x 2+14x .(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ,a +1)上均为增函数,求a 的取值范围;(3)若方程f (x )=g (x )+m 有唯一解,试求实数m 的值.解 (1)因为f ′(x )=2x -8x ,所以切线的斜率k =f ′(1)=-6,又f (1)=1,故所求的切线方程为y -1=-6(x -1),即y =-6x +7.(2)因为f ′(x )=2(x +2)(x -2)x, 又x >0,所以当x >2时,f ′(x )>0;当0<x <2时,f ′(x )<0.即f (x )在(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减.又g (x )=-(x -7)2+49,所以g (x )在(-∞,7)上单调递增,在(7,+∞)上单调递减,欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ,a +1)上均为增函数,则⎩⎨⎧ a ≥2,a +1≤7,解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6](3)原方程等价于2x 2-8ln x -14x =m ,令h (x )=2x 2-8ln x -14x ,则原方程即为h (x )=m .因为当x >0时原方程有唯一解,所以函数y =h (x )与y =m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点.又h ′(x )=4x -8x -14=2(x -4)(2x +1)x,且x >0, 所以当x >4时,h ′(x )>0;当0<x <4时,h ′(x )<0.即h (x )在(4,+∞)上单调递增,在(0,4)上单调递减,故h (x )在x =4处取得最小值,从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m =h (4)=-16ln2-24.22.(12分)已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为32,且经过点M (4,1),直线l :y =x +m 交椭圆于A ,B 两点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l 不过点M ,试问直线MA ,MB 与x 轴能否围成等腰三角形?解 (1)根据题意,设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),因为e =32,a 2-b 2=c 2,所以a 2=4b 2.又椭圆过点M (4,1),所以16a 2+1b 2=1,则可得b 2=5,a 2=20,故椭圆的方程为x 220+y 25=1.(2)将y =x +m 代入x 220+y 25=1并整理得5x 2+8mx +4m 2-20=0,Δ=(8m )2-20(4m 2-20)>0,得-5<m <5. 设直线MA ,MB 的斜率分别为k 1和k 2, A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8m 5,x 1x 2=4m 2-205. k 1+k 2=y 1-1x 1-4+y 2-1x 2-4=(y 1-1)(x 2-4)+(y 2-1)(x 1-4)(x 1-4)(x 2-4). 上式分子=(x 1+m -1)(x 2-4)+(x 2+m -1)·(x 1-4) =2x 1x 2+(m -5)(x 1+x 2)-8(m -1)=2(4m 2-20)5-8m (m -5)5-8(m -1)=0, 即k 1+k 2=0.所以直线MA,MB与x轴能围成等腰三角形.。
§3.2导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 课时目标 1.能根据定义求函数y =c ,y =x ,y =x 2,y =1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.1.函数y =f (x )=c 的导数为____________,它表示函数y =c 图象上每一点处,切线的斜率为0.若y =c 表示路程关于时间的函数,则y ′=0可以解释为某物体的____________始终为0,即一直处于________状态.函数y =f (x )=x 的导数为__________,它表示函数y =x 图象上每一点处切线的斜率为1.若y =x 表示路程关于时间的函数,则y ′=1可以解释为某物体做____________为1的______________运动.2.常见基本初等函数的导数公式:(1)若f (x )=c (c 为常数),则f ′(x )=______;(2)若f (x )=x α (α∈Q *),则f ′(x )=________;(3)若f (x )=sin x ,则f ′(x )=________;(4)若f (x )=cos x ,则f ′(x )=________;(5)若f (x )=a x ,则f ′(x )=________ (a >0);(6)若f (x )=e x ,则f ′(x )=________;(7)若f (x )=log a x ,则f ′(x )=________ (a >0,且a ≠1);(8)若f (x )=ln x ,则f ′(x )=________.一、选择题1.下列结论不正确的是( )A .若y =3,则y ′=0B .若y =1x,则y ′=-12x C .若y =-x ,则y ′=-12xD .若y =3x ,则y ′=32.下列结论:①(cos x )′=sin x ;②⎝⎛⎭⎫sin π3′=cos π3;③若y =1x 2,则y ′|x =3=-227.其中正确的有( )A .0个B .1个C .2个D .3个3.已知直线y =kx 是曲线y =e x 的切线,则实数k 的值为( )A.1e B .-1eC .-eD .e 4.正弦曲线y =sin x 上一点P ,以点P 为切点的切线为直线l ,则直线l 的倾斜角的范围是( )A .⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎣⎡⎭⎫3π4,π B .[0,π) C .⎣⎡⎦⎤π4,3π4 D .⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎣⎡⎦⎤π2,3π4 5.已知曲线y =x 3在点P 处的切线斜率为k ,则当k =3时的P 点坐标为( )A .(-2,-8)B .(-1,-1)或(1,1)C .(2,8)D .⎝⎛⎭⎫-12,-18 6.质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s =5t ,则质点在t =4时的速度为( )A .12523B .110523C .25523D .110523 题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7.曲线y =cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6,32处的切线方程为__________________________. 8.已知f (x )=x a ,a ∈Q ,若f ′(-1)=-4,则a =________________________________________________________________________.9.若函数y =f (x )满足f (x -1)=1-2x +x 2,则y ′=f ′(x )=________. 三、解答题10.求下列函数的导数:(1)y =x 12;(2)y =1x4;(3)y =5x 3;(4)y =10x .11.求过点(2,0)且与曲线y =x 3相切的直线方程.能力提升12.设曲线y =x n +1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n =lg x n ,则a 1+a 2+…+a 99的值为________.13.求过曲线y =e x 上点P (1,e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程.1.准确记忆八个公式是求函数导数的前提.2.求函数的导数,要恰当选择公式,保证求导过程中变形的等价性.3.对于一些应用问题如切线、速度等,可以结合导数的几何意义,利用公式进行计算.§3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)知识梳理1.y ′=0 瞬时速度 静止 y ′=1 瞬时速度 匀速直线2.(1)0 (2)αx α-1 (3)cos x (4)-sin x(5)a x ln a (6)e x (7)1x ln a (8)1x作业设计1.B [y ′=⎝⎛⎭⎫1x ′=(x -12)′=-12x -32=-12x x.] 2.B [直接利用导数公式.因为(cos x )′=-sin x ,所以①错误;sin π3=32,而⎝⎛⎭⎫32′=0,所以②错误; ⎝⎛⎭⎫1x 2′=(x -2)′=-2x -3,则y ′|x =3=-227, 所以③正确.]3.D [设切点为(x 0,y 0).由y ′=e x ,得y ′|x =x 0=e x 0,∴过切点的切线为y -e x 0=e x 0(x -x 0),即y =e x 0x +(1-x 0)e x 0,又y =kx 是切线,∴⎩⎪⎨⎪⎧ k =e x 0,(1-x 0)e x 0=0, ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0=1,k =e.] 4.A [∵y ′=cos x ,而cos x ∈[-1,1].∴直线l 的斜率的范围是[-1,1],∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎣⎡⎭⎫34π,π.] 5.B [y ′=3x 2,∵k =3,∴3x 2=3,∴x =±1,则P 点坐标为(-1,-1)或(1,1).]6.B [s ′=15t -45. 当t =4时,s ′=15·1544=110523.] 7.x +2y -3-π6=0 解析 ∵y ′=(cos x )′=-sin x , ∴y ′|x =π6=-sin π6=-12, ∴在点A 处的切线方程为y -32=-12⎝⎛⎭⎫x -π6, 即x +2y -3-π6=0. 8.4解析 ∵f ′(x )=ax a -1,∴f ′(-1)=a (-1)a -1=-4,∴a =4.9.2x解析 ∵f (x -1)=1-2x +x 2=(x -1)2,∴f (x )=x 2,f ′(x )=2x .10.解 (1)y ′=(x 12)′=12x 11.(2)y ′=⎝⎛⎭⎫1x 4′=(x -4)′=-4x -5=-4x 5. (3)y ′=(5x 3)′=(x 35)′=35x -25=355x 2. (4)y ′=(10x )′=10x ln 10.11.解 点(2,0)不在曲线y =x 3上,可令切点坐标为(x 0,x 30).由题意,所求直线方程的斜率k =x 30-0x 0-2=y ′|x =x 0=3x 20,即x 30x 0-2=3x 20,解得x 0=0或x 0=3. 当x 0=0时,得切点坐标是(0,0),斜率k =0,则所求直线方程是y =0;当x 0=3时,得切点坐标是(3,27),斜率k =27,则所求直线方程是y -27=27(x -3), 即27x -y -54=0.综上,所求的直线方程为y =0或27x -y -54=0.12.-2解析 y ′=(n +1)x n ,曲线在点(1,1)处的切线方程为y -1=(n +1)(x -1),令y =0,得x =n n +1. a n =lg x n =lg n n +1=lg n -lg(n +1), 则a 1+a 2+…+a 99=lg 1-lg 2+lg 2-lg 3+…+lg 99-lg 100=-lg 100=-2.13.解 ∵y ′=e x ,∴曲线在点P (1,e)处的切线斜率是y ′|x =1=e ,∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率k =-1e, ∴所求直线方程为y -e =-1e(x -1), 即x +e y -e 2-1=0.。
人教版高中数学选修1~1 全册同步练习及检测目录1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件11.2充分条件与必要条件21.3_1.4试题1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词同步测试第1章《常用逻辑用语》单元测试(1)第1章《常用逻辑用语》单元测试(2)第1章《常用逻辑用语》单元测试(3)第1章《常用逻辑用语》单元测试(4)2.1椭圆《椭圆的几何性质》2.1椭圆2.2双曲线双曲线几何性质2.2双曲线双曲线及其标准方程2.3抛物线习题精选2.3抛物线抛物线及其标准方程第2章《圆锥曲线与方程》单元测试(1)第2章《圆锥曲线与方程》单元测试(2)3.1变化率与导数3.2.2导数的运算法则3.2导数的计算3.3.3函数的最大值与最小值3.3《导数在研究函数中的应用》3.4生活中的优化问题举例第3章《导数及其应用》单元测试(1)第3章《导数及其应用》单元测试(2)1.1 命题及其关系测试练习第1题. 已知下列三个方程24430x ax a +-+=,()2210x a x a +-+=,2220x ax a +-=至少有一个方程有实根,求实数a 的取值范围.答案:312a a a⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或,剠.第2题. 若a b c ∈R ,,,写出命题“200ac ax bx c <++=若则,”有两个相异实根的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.答案:逆命题:()200ax bx c a b c ac ++=∈<R 有实根,则若,,,假;否命题:200ac ax bx c ++=若则,…(a b c ∈R ,,)没有实数根,假;逆否命题:()200ax bx c a b c ac ++=∈R 若没有两实根,则,,…,真.第3题. 在命题22a b a b >>若则“,”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数为.答案:3.第4题. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个钝角”时反设是.答案:假设三角形的内角中没有钝角.第5题. 命题“若0xy =,则0x =或0y =”的逆否命题是. 答案:若0x ≠且0y ≠,则0xy ≠.第6题. 命题“若a b ,>则55a b -->”的逆否命题是( ) (A)若a b ,<则55a b --<(B)若55a b --,>则a b >(C) 若a b ,…则55a b --… (D)若55a b --,…则a b …答案:D第7题. 命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )(A)逆命题 (B)否命题 (C)逆否命题 (D)无关命题答案:A第8题. 命题“若60A ∠=,则ABC △是等边三角形”的否命题是( ) (A)假命题(B)与原命题同真同假(C)与原命题的逆否命题同真同假 (D)与原命题的逆命题同真同假答案:D第9题. )(A) (B)是有理数(C) (D)答案:D第10题. 命题“对顶角相等”的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题是( ) (A)上述四个命题 (B)原命题与逆命题 (C)原命题与逆否命题 (D)原命题与否命题答案:C第11题. 原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”,则下列说法正确的是( ) (A)原命题是真命题 (B)逆命题是假命题 (C) 否命题是真命题 (D)逆否命题是真命题答案:C第12题. 命题“若a A b B ∈∈则,”的否定形式是( ) (A)a A b B ∉∉若则, (B)a A b B ∈∉若则, (C)a A b B ∈∈若则, (D)b A a B ∉∉若则,答案:B第13题. 与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是( ) (A)能被3整除的整数,一定能被6整除 (B)不能被3整除的整数,一定不能被6整除 (C)不能被6整除的整数,一定不能被3整除 (D)不能被6整除的整数,不一定能被3整除答案:B第14题. 下列说法中,不正确的是( ) (A)“若p q 则”与“若q p 则”是互逆的命题 (B)“若非p q 则非“与“若q p 则”是互否的命题 (C)“若非p q 则非”与“若p q 则”是互否的命题 (D)“若非p q 则非”与“若q p 则”是互为逆否的命题答案:B第15题. 以下说法错误的是( )(A) 如果一个命题的逆命题为真命题,那么它的否命题也必为真命题 (B)如果一个命题的否命题为假命题,那么它本身一定为真命题(C)原命题、否命题、逆命题、逆否命题中,真命题的个数一定为偶数 (D)一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题答案:B第16题. 下列四个命题:⑴“若220x y +=,则实数x y ,均为0”的逆命题;⑵“相似三角形的面积相等“的否命题 ; ⑶“A B A A B =⊆ 则,”逆否命题;⑷“末位数不是0的数可被3整除”的逆否命题,其中真命题为( ) (A) ⑴⑵ (B)⑵⑶ (C)⑴⑶ (D)⑶⑷答案:C第17题. 命题“a b ,都是偶数,则a b +是偶数”的逆否命题是.答案:a b +不是偶数则a b ,不都是偶数.第18题. 已知命题:33p …;:34q >,则下列选项中正确的是() A .p 或q 为真,p 且q 为真,非p 为假; B .p 或q 为真,p 且q 为假,非p 为真; C .p 或q 为假,p 且q 为假,非p 为假; D .p 或q 为真,p 且q 为假,非p 为假答案:D第19题. 下列句子或式子是命题的有()个.①语文和数学;②2340x x --=;③320x ->;④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?⑤一个数不是合数就是质数;⑥把门关上. A.1个 B.3个 C.5个 D.2个答案:A第20题. 命题①12是4和3的公倍数;命题②相似三角形的对应边不一定相等;命题③三角形中位线平行且等于底边长的一半;命题④等腰三角形的底角相等.上述4个命题中,是简单命题的只有( ). A.①,②,④ B.①,④ C.②,④ D.④答案:A第21题. 若命题p 是的逆命题是q ,命题q 的否命题是r ,则q 是r 的( ) A.逆命题 B.逆否命题 C.否命题 D.以上判断都不对答案:B第22题. 如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题,那么q 为 命题.答案:真第23题. 下列命题:①“若1xy =,则x ,y 互为倒数”的逆命题;②4边相等的四边形是正方形的否命题;③“梯形不是平行四边形”的逆否命题;④“22ac bc >则a b >”的逆命题,其中真命题是 .答案:①,②,③第24题. 命题“若0ad =,则0a =或0b =”的逆否命题是 ,是 命题.答案:若0a ≠且0b ≠,则0ab ≠,真第25题. 已知命题:p N Z Ü,:{0}q ∈N ,由命题p ,q 构成的复合命题“p 或q ”是 ,是 命题;“p 且q ”是 ,是 命题;“非p ”是 ,是 命题.答案:p 或q :N Z Ü或{0}∈N ,为真;p 且q :N Z Ü且{0}∈N ,为假;非:p N Z Ú或=N Z ,为假.第26题. 指出下列复合命题构成的形式及构成它的简单命题,并判断复合命题的真假. (1)23≤;(2)()A A B Ú;(3)1是质数或合数;(4)菱形对角线互相垂直平分.答案:(1)这个命题是“p 或q ”形式,p :23<,q :23=.p 真q 假,p ∴或q 为真命题.(2)这个命题是“非p ”形式,:()p A A B ⊆ ,p 为真,∴非p 是假命题.(3)这个命题形式是p 或q 的形式,其中:1p 是命 数,:1q 是质数.因为p 假q 假,所以“p 或q ”为假命题.(4)这个命题是“p 且q ”形式,:p 菱形对角线互相垂直;:q 菱形对角线互相平分. 因为p 真q 真,所以“p 且q ”为真命题.第27题. 如果p ,q 是2个简单命题,试列出下列9个命题的直值表:(1)非p ;(2)非q ;(3)p 或q ;(4)p 且q ;(5)“p 或q ”的否定;(6)“p 且q ”的否定;(7)“非p 或非答案:第28题. 设命题为“若0m >,则关于x 的方程20x x m +-=有实数根”,试写出它的否命题、逆命题和逆否命题,并分别判断它们的真假.答案:否命题为“若0m >,则关于x 的方程20x x m +-=没有实数根”; 逆命题为“若关于x 的方程20x x m +-=有实数根,则0m >”; 逆否命题“若关于x 的方程20x x m +-=没有实数根,则0m ≤”. 由方程的判别式14m =+ 得0> ,即14m >-,方程有实根. 0m ∴>使140m +>,方程20x x m +-=有实数根,∴原命题为真,从而逆否命题为真.但方程20x x m +-=有实根,必须14m >-,不能推出0m >,故逆命题为假.1.2 充分条件与必要条件测试练习第1题. 设原命题“若p 则q ”真而逆命题假,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:A第2题. 设x ∈R ,则2x >的一个必要不充分条件是( ) A.1x > B.1x < C.3x > D.3x <答案:A第3题. 如果A 是B 的必要不充分条件,B 是C 的充分必要条件,D 是C 的充分不必要条件,那么A 是D 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A第4题. 设集合{}2M x x =>,{}3P x x =<,那么“x M ∈或x P ∈”是“x M P ∈ ”的( )A.充分条件但非必要条件 B.必要条件但非充分条件 C.充分必要条件 D.非充分条件,也非必要条件答案:B第5题.0x ≥是2x x ≤的___________条件. 答案:必要不充分第6题. 从“⇒”“¿”与“⇔”中选出适当的符号填空(U 为全集,A B ,为U 的子集):(1)A B =___________A B ⊆. (2)A B ⊆___________U UB A 痧⊆.答案:⇒ ⇔第7题. 若A ⌝是B 的充分不必要条件,则A 是B ⌝的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:B第8题. 设:05p x <<,:25q x -<,那么p 是q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A第9题. 条件甲:()200ax bx c a ++=≠的两根,10x >,20x >,条件乙:0b a ->且0ca>,则甲是乙的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:C第10题. 从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空:(1)“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________;(2)“AB C A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________.答案:(1)必要条件 (2)充分条件第11题. 已知A 是B 的充分条件,B 是C 的充要条件,A ⌝是E 的充分条件,D 是C 是必要条件,则D 是E ⌝的_____________条件.答案:必要第12题. 用多种方法判断“2t ≠”是“24t ≠”的什么条件.答案:必要不充分条件第13题. 设全集为U ,在下列条件中,哪些是B A ⊆的充要条件? (1)A B A = ; (2)U A B =∅ ð; (3)U UA B 痧⊆.答案:三者都是第14题. 是否存在实数p ,使“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件?如果存在,求出p 的取值范围.是否存在实数p ,使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件.如果存在,求出p 的取值范围.答案:4p ≥时,“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件;不存在实数p ,使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件.第15题. 已知1:123x p --≤,()22:2100q x x m m -+->≤,若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围.答案:解:由22210x x m -+-≤得()110m x m m -+>≤≤.所以“q ⌝”:{}110A x x m x m m =∈>+<->R或,.由1123x --≤得210x -≤≤,所以 “p ⌝”:{}102B x x x =∈><-R或.由p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件知01203110.m B A m m m >⎧⎪⇔--⇒<⎨⎪+⎩,,⊆≥≤≤故m 的取值范围为03m <≤.第16题. 命题“22530x x --<”的一个必要不充分条件是( ) A.132x -<< B.142x -<< C.132x -<<D.12x -<<答案:B第17题. 设A B ,是非空集合,则A B A = 是A B =的_________条件. 答案:必要不充分第18题. 已知:523p x ->,21:045q x x >+-,试判断p ⌝是q ⌝的什么条件? 答案:充分不必要条件第19题. 设1a ,1b ,1c ,2a ,2b ,2c 均为非零实数,不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为M 和N ,那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件答案:D第20题. 已知条件M :“A B C A B C '''△∽△”;条件N :“AB A B ''∥,AC A C ''∥,BC B C ''∥”,则M 是N 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:B第21题. 从“充分而不必要条件”,“必要而不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空:(1)x A B ∈ 是x A ∈的 ; (2)x A B ∈ 是x B ∈的 ;(3)()U x A ∈ð是x U ∈的; (4)()U x A A ∈ 饀是x A ∈的; (5)“A =∅”是“A B B = ”的 ; (6)“A B Ü”是“A B A = ”的;(7)“x A ∈”是“x A B ∈ ”的 ; (8)“四边形的对角线互相垂直平分”是“四边形为矩形”的;(9)“四边形内接于圆”是“四边形对角互补”的;(10)设1O ,2O 的半径为1r ,2r ,则“1212OO r r =+”是“两圆外切”的. 答案:(1)充分不必要条件 (2)必要不充分条件 (3)充分不必要条件 (4)必要不充分条件 (5)充分不必要条件 (6)充分不必要条件(7)必要而不充分条件 (8)既不充分也不必要条件 (9)充要条件 (10)充要条件.第22题. 设{}2A x x a =∈-R ≤≤,{}23B y y x x A ==+∈,,{}2C z z x x A ==∈,,求使C B ⊆的充要条件.答案:132a ≤≤.第23题. 求关于x 的一元二次不等式210ax ax -+>,对一切x ∈R 都成立的充要条件是什么?答案:04a <≤.第24题. 求方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件.答案:01a <≤.第25题. 求三个实数a b c ,,不全为零的充要条件.答案:a b c ,,中至少有一个不是零.第26题. 设集合{}260A x x x =+-=,{}10B x mx =+=,写出B A Ü的一个充分不必要条件.答案:0m =,13m =,12m =-中之一即可.第27题. 三个数a b c ,,不全为零的充要条件是( ) A.a b c ,,都不是零 B.a b c ,,中至多一个是零 C.a b c ,,中只有一个为零 D.a b c ,,中至少一个不是零答案:D第28题. 设p :“x y z ,,中至少有一个等于1”⇔“(1)(1)(1)0x y z ---=”;q :22(3)0y z -+-=”⇔“(1)(2)(3)0x y z ---=”,那么p ,q 的真假是() A.p 真q 真B.p 真q 假C.p 假q 真D.p 假q 假答案:B第29题. 已知a 为非零实数,x 为某一实数,有命题p :{}x a a ∈-,,q :x a =,则p 是q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B第30题. “13x >且23x >”是“126x x +>且129x x >”的充要条件吗?若是,请说明理由;若不是,请给出“13x >且23x >”的充要条件.答案:不是充要条件;1212(3)(3)06x x x x -->⎧⎨+>⎩.1.2 充分条件与必要条件 同步测试第1题. 设原命题“若p 则q ”真而逆命题假,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:A第2题. 设x ∈R ,则2x >的一个必要不充分条件是( ) A.1x > B.1x < C.3x > D.3x <答案:A第3题. 如果A 是B 的必要不充分条件,B 是C 的充分必要条件,D 是C 的充分不必要条件,那么A 是D 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A第4题. 设集合{}2M x x =>,{}3P x x =<,那么“x M ∈或x P ∈”是“x M P ∈ ”的( )A.充分条件但非必要条件 B.必要条件但非充分条件 C.充分必要条件 D.非充分条件,也非必要条件答案:B第5题.0x ≥是2x x ≤的___________条件. 答案:必要不充分第6题. 从“⇒”“¿”与“⇔”中选出适当的符号填空(U 为全集,A B ,为U 的子集):(1)A B =___________A B ⊆. (2)A B ⊆___________U UB A 痧⊆.答案:⇒ ⇔第7题. 若A ⌝是B 的充分不必要条件,则A 是B ⌝的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:B第8题. 设:05p x <<,:25q x -<,那么p 是q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A第9题. 条件甲:()200ax bx c a ++=≠的两根,10x >,20x >,条件乙:0b a ->且0ca>,则甲是乙的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:C第10题. 从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空:(1)“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________;(2)“AB C A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________.答案:(1)必要条件 (2)充分条件第11题. 已知A 是B 的充分条件,B 是C 的充要条件,A ⌝是E 的充分条件,D 是C 是必要条件,则D 是E ⌝的_____________条件.答案:必要第12题. 用多种方法判断“2t ≠”是“24t ≠”的什么条件.答案:必要不充分条件第13题. 设全集为U ,在下列条件中,哪些是B A ⊆的充要条件? (1)A B A = ; (2)U A B =∅ ð; (3)U UA B 痧⊆.答案:三者都是第14题. 是否存在实数p ,使“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件?如果存在,求出p 的取值范围.是否存在实数p ,使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件.如果存在,求出p 的取值范围.答案:4p ≥时,“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件;不存在实数p ,使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件.第15题. 已知1:123x p --≤,()22:2100q x x m m -+->≤,若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围.答案:解:由22210x x m -+-≤得()110m x m m -+>≤≤.所以“q ⌝”:{}110A x x m x m m =∈>+<->R或,.由1123x --≤得210x -≤≤,所以 “p ⌝”:{}102B x x x =∈><-R或.由p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件知01203110.m B A m m m >⎧⎪⇔--⇒<⎨⎪+⎩,,⊆≥≤≤故m 的取值范围为03m <≤.第16题. 命题“22530x x --<”的一个必要不充分条件是( ) A.132x -<< B.142x -<< C.132x -<<D.12x -<<答案:B第17题. 设A B ,是非空集合,则A B A = 是A B =的_________条件. 答案:必要不充分第18题. 已知:523p x ->,21:045q x x >+-,试判断p ⌝是q ⌝的什么条件? 答案:充分不必要条件第19题. 设1a ,1b ,1c ,2a ,2b ,2c 均为非零实数,不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为M 和N ,那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件答案:D第20题. 已知条件M :“A B C A B C '''△∽△”;条件N :“AB A B ''∥,AC A C ''∥,BC B C ''∥”,则M 是N 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:B第21题. 从“充分而不必要条件”,“必要而不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空:(1)x A B ∈ 是x A ∈的 ; (2)x A B ∈ 是x B ∈的 ;(3)()U x A ∈ð是x U ∈的; (4)()U x A A ∈ 饀是x A ∈的; (5)“A =∅”是“A B B = ”的 ; (6)“A B Ü”是“A B A = ”的;(7)“x A ∈”是“x A B ∈ ”的 ; (8)“四边形的对角线互相垂直平分”是“四边形为矩形”的;(9)“四边形内接于圆”是“四边形对角互补”的;(10)设1O ,2O 的半径为1r ,2r ,则“1212OO r r =+”是“两圆外切”的. 答案:(1)充分不必要条件 (2)必要不充分条件 (3)充分不必要条件 (4)必要不充分条件 (5)充分不必要条件 (6)充分不必要条件(7)必要而不充分条件 (8)既不充分也不必要条件 (9)充要条件 (10)充要条件.第22题. 设{}2A x x a =∈-R ≤≤,{}23B y y x x A ==+∈,,{}2C z z x x A ==∈,,求使C B ⊆的充要条件.答案:132a ≤≤.第23题. 求关于x 的一元二次不等式210ax ax -+>,对一切x ∈R 都成立的充要条件是什么?答案:04a <≤.第24题. 求方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件.答案:01a <≤.第25题. 求三个实数a b c ,,不全为零的充要条件.答案:a b c ,,中至少有一个不是零.第26题. 设集合{}260A x x x =+-=,{}10B x mx =+=,写出B A Ü的一个充分不必要条件.答案:0m =,13m =,12m =-中之一即可.第27题. 三个数a b c ,,不全为零的充要条件是( ) A.a b c ,,都不是零 B.a b c ,,中至多一个是零 C.a b c ,,中只有一个为零 D.a b c ,,中至少一个不是零答案:D第28题. 设p :“x y z ,,中至少有一个等于1”⇔“(1)(1)(1)0x y z ---=”;q :22(3)0y z -+-=”⇔“(1)(2)(3)0x y z ---=”,那么p ,q 的真假是() A.p 真q 真B.p 真q 假C.p 假q 真D.p 假q 假答案:B第29题. 已知a 为非零实数,x 为某一实数,有命题p :{}x a a ∈-,,q :x a =,则p 是q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B第30题. “13x >且23x >”是“126x x +>且129x x >”的充要条件吗?若是,请说明理由;若不是,请给出“13x >且23x >”的充要条件.答案:不是充要条件;1212(3)(3)06x x x x -->⎧⎨+>⎩.高中新课标数学选修(1-1)1.3~1.4测试题一、选择题1.若命题:21()p m m -∈Z 是奇数,命题:21()q n n +∈Z 是偶数,则下列说法正确的是( )A.p q ∨为真 B.p q ∧为真 C.p ⌝为真D.q ⌝为假答案:A2.在下列各结论中,正确的是( )①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分条件但不是必要条件; ②“p q ∧”为假是“p q ∨”为假的充分条件但不是必要条件; ③“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要条件但不充分条件; ④“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的必要条件但不是充分条件. A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 答案:B3.由下列命题构成的“p q ∨”,“p q ∧”均为真命题的是( ) A.:p 菱形是正方形,:q 正方形是菱形 B.:2p 是偶数,:2q 不是质数 C.:15p 是质数,:4q 是12的约数 D.{}:p a a b c ∈,,,{}{}:q a a b c ⊆,, 答案:D4.命题:p 若a b ∈R ,,则1a b +>是1a b +>的充分条件但不是必要条件,命题:q 函数y =的定义域是(][)13--+ ,,∞∞,则下列命题( )A.p q ∨假B.p q ∧真C.p 真,q 假D.p 假,q 真答案:D5.若命题:p x ∀∈R ,22421ax x a x ++-+≥是真命题,则实数a 的取值范围是( )A.3a -≤或2a ≥ B.2a ≥ C.2a >-D.22a -<<答案:B6.若k M ∃∈,对x ∀∈R ,210kx kx --<是真命题,则k 的最大取值范围M 是( ) A.40k -≤≤ B.40k -<≤ C.40k -<≤D.40k -<<答案:C 二、填空题7.命题“全等三角形一定相似”的否命题是 ,命题的否定是 . 答案:两个三角形或不全等,则不一定相似;两个全等三角形不一定相似8.下列三个特称命题:(1)有一个实数x ,使2440x x ++=成立;(2)存在一个平面与不平行的两条直线都垂直;(3)有些函数既是奇函数又是偶函数.其中真命题的个数为 . 答案:29.命题p q ∧是真命题是命题p q ∨是真命题的 (填“充分”、“必要”或“充要”)条件. 答案:充分10.命题:p x ∃∈R ,2250x x ++<是 (填“全称命题”或“特称命题”),它是 命题(填“真”或“假”),它的否定命题:p ⌝ ,它是 命题(填“真”或“假”).答案:特称命题;假;x ∀∈R ,2250x x ++≥;真11.若x ∀∈R ,11x x a -++>是真命题,则实数a 的取值范围是 .答案:(2)-,∞ 12.若x ∀∈R ,2()(1)x f x a =-是单调减函数,则a 的取值范围是 .答案:(1)- 三、解答题13.已知命题2:10p x mx ++=有两个不相等的负根,命题2:44(2)10q x m x +-+=无实根,若p q ∨为真,p q ∧为假,求m 的取值范围.解:210x mx ++=有两个不相等的负根24020m m m ⎧->⇔⇔>⎨-<⎩,. 244(2)10x m +-+=无实根2216(2)160430m m x ⇔--<⇔-+<13m ⇔<<.由p q ∨为真,即2m >或13m <<得1m >;p q ∧∵为假,()p q p ⌝∧⇒⌝∴或q ⌝为真,p ⌝为真时,2m ≤,q ⌝为真时,1m ≤或3m ≥. p ⌝∴或q ⌝为真时,2m ≤或3m ≥.∴所求m 取值范围为{}123m m m <,或|≤≥.14.若x ∀∈R ,函数2()(1)f x m x x a =-+-的图象和x 轴恒有公共点,求实数a 的取值范围.解:(1)当0m =时,()f x x a =-与x 轴恒相交;(2)当0m ≠时,二次函数2()(1)f x m x x a =-+-的图象和x 轴恒有公共点的充要条件是14()0m m a ∆=++≥恒成立,即24410m am ∆=++≥恒成立,又24410m am ++≥是一个关于m 的二次不等式,恒成立的充要条件是2(4)160a '∆=-≤,解得11a -≤≤.综上,当0m =时,a ∈R ;当0m ≠,[]11a ∈-,.15.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“我获奖了”,乙说:“甲未获奖,乙也未获奖”,丙说:“是甲或乙获匀”,丁说:“是乙获奖”,四位歌手的话中有两句是对的,请问哪位歌手获奖. 甲获奖或乙获奖.解:①乙说的与甲、丙、丁说的相矛盾,故乙的话是错误的;②若两句正确的话是甲说的和丙说的,则应是甲获奖,正好对应于丁说的错,故此种情况为甲获奖;③若两句正确的话是甲说的和丁说的,两句话矛盾;④若两句正确的话是丙说的和丁说的,则为乙获奖,对应甲说的错,故此种情况乙获奖. 由以上分析知可能是甲获奖或乙获奖.《1.3简单的逻辑联结词》测试题A卷一.选择题:1.如果命题“p或q”是真命题,“非p”是假命题,那么()A 命题p一定是假命题 B命题q一定是假命题C命题q一定是真命题 D命题q是真命题或者是假命题2.在下列结论中,正确的结论为()①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件③“p或q”为真是“ p”为假的必要不充分条件④“ p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件A①② B①③ C②④ D③④3.对下列命题的否定说法错误的是()A p:能被3整除的整数是奇数; p:存在一个能被3整除的整数不是奇数B p:每一个四边形的四个顶点共圆; p:存在一个四边形的四个顶点不共圆C p:有的三角形为正三角形; p:所有的三角形都不是正三角形D p: x∈R,x2+2x+2≤0; p:当x2+2x+2>0时,x∈R4.已知p: 由他们构成的新命题“p且q”,“p或q”, “ ”中,真命题有()A 1个B 2个C 3个D 4个5.命题p:存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根,则“非p”形式的命题是()A存在实数m,使得方程x2+mx+1=0无实根B不存在实数m,使得方程x2+mx+1=0有实根C对任意的实数m,使得方程x2+mx+1=0无实根D至多有一个实数m,使得方程x2+mx+1=0有实根6.若p、q是两个简单命题,且“p或q”的否定是真命题,则必有()A. p真,q真B. p假,q假C. p真,q假D. p假,q真二.填空题:7.命题“ x∈R,x2+1<0”的否定是__________________。
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综合质量评估第一至第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的( )A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.非充分必要条件【解析】选A.解不等式x2-2x>0得x<0或x>2,故“x>3”是“不等式x2-2x>0”的充分不必要条件.2.(2016·临沂高二检测)命题:“∀x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是( )A.∀x∈R,都有x2-x+1≤0B.∃x0∈R,使-x0+1>0C.∃x0∈R,使-x0+1≤0D.∃x0∈R,使x2-x0+1<0【解析】选C.全称命题的否定是特称命题.3.函数y=f(x)的图象如图1所示,则y=f′(x)的图象可能是( )【解析】选D.由函数y=f(x)的图象可知当x<0时,函数单调递增,故f′(x)>0,当x>0时,函数单调递减,故f′(x)<0.4.(2016·河南南阳高二期末)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-1时取得极值,则a等于( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.f′(x)=3x2+2ax+3.由题意知f′(-1)=0,解得a=3.5.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为( )A.1B.C.-D.-1【解析】选A.y′=2ax,于是曲线y=ax2在点(1,a)处切线的斜率为2a,由题意得2a=2,解得a=1.6.已知点P是双曲线-=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于( )A.7B.6C.5D.3【解题指南】先根据渐近线方程求出a,再根据双曲线的定义求|PF2|.【解析】选A.由双曲线方程得渐近线方程为3x±ay=0,则a=2,双曲线中c=,b=3,由|PF1|=3知P为双曲线左支上一点,则|PF2|=|PF1|+4=7.7.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选B.由题意知=,得a2=4b2,又a>b>0,所以a=2b.所以双曲线的离心率e===.【补偿训练】设双曲线-=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )A. B.5 C. D.【解析】选D.设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物线y=x2+1相切,联立方程得整理得x2-kx+1=0,则Δ=k2-4=0,解得k=±2,即=2,故双曲线的离心率e====.8.(2016·青岛高二检测)设函数f(x)=x2-9lnx在区间上单调递减,则实数a的取值范围是( )A.(1,2]B. D.(0,3]【解析】选A.f′(x)=x-=(x>0),令f′(x)≤0得0<x≤3.所以f(x)在(0,3]上单调递减,所以解得1<a≤2.9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1 【解析】选B.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=x,所以=,解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为-=1.10.(2016·大连高二检测)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选D.因为△OFM的外接圆与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,又因为圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,所以+=6,p=8.11.(2015·济南二模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2处取得极小值,满足x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则的取值范围是( )A.(0,2)B.(1,3)C. D.【解析】选B.因为f(x)=x3+ax2+bx+c,所以f′(x)=x2+ax+b.因为函数f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值,所以f′(x)=x2+ax+b=0在(-1,0)和(0,1)内各有一个根,f′(0)<0,f′(-1)>0,f′(1)>0,即在aOb坐标系中画出其表示的区域,如图,=1+2×,令m=,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,分析可得0<<1,则1<<3,所以的取值范围是(1,3).12.(2016·厦门模拟)若点O和点F(-2,0)分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为( )A.∪∪(3,+∞).18.(12分)(2016·衡水高二检测)已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围.(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.【解析】(1)f′(x)=3x2-x+b,f(x)的图象上有与x轴平行的切线,则f′(x)=0有实数解. 即方程3x2-x+b=0有实数解.所以Δ=1-12b≥0,解得b≤.(2)由题意,得x=1是方程3x2-x+b=0的一个根,设另一个根为x0,则解得所以f(x)=x3-x2-2x+c,f′(x)=3x2-x-2.当x∈时,f′(x)<0;当x∈(1,2]∪时,f′(x)>0.所以当x=-时,f(x)有极大值+c,又f(-1)=+c,f(2)=2+c,所以当x∈时,f(x)的最大值为f(2)=2+c.因为当x∈时,f(x)<c2恒成立.所以c2>2+c,解得c<-1或c>2,所以c的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).19.(12分)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.(1)求此椭圆的方程.(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值. 【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=,=,所以a=2,b2=a2-c2=1.所以所求椭圆方程为+y2=1.(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则Δ=64m2-80(m2-1)>0,得m2<5(*).设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=x1-x2,|PQ|===2.解得m2=,满足(*),所以m=±.20.(12分)已知函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b(a>0).(1)当f(x)的极小值为-,极大值为-1时,求函数f(x)的解析式.(2)若f(x)在区间上为增函数,在区间上是减函数,在上是增函数, 在上是减函数,在上是增函数,在上为增函数,在区间=-4,所以·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=1++1-4==1.解得k=±2.(2)因为y1>0,所以tan∠ATF===≤1.当且仅当y1=即y1=2时取等号.故∠ATF的最大值为.22.(12分)已知函数f(x)=-x3+x2-2x(a∈R).(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间.(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)当a=3时,函数f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2).所以当1<x<2时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x<1或x>2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).(2)由f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+ax-2,因为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,所以问题转化为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)max<2(a-1).因为f′(x)=-+-2,其图象开口向下,对称轴为x=.①当≤1即a≤2时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f′(x)max=f′(1)=a-3,由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1<a≤2.②当>1即a>2时,f′(x)在上单调减增,在上单调递减,所以f′(x)max=f′=-2,由-2<2(a-1),得0<a<8,此时2<a<8,综上可得,实数a的取值范围为(-1,8).关闭Word文档返回原板块。
人教版高中数学选修1~1 全册同步练习及检测目录1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件11.2充分条件与必要条件21.3_1.4试题1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词同步测试第1章《常用逻辑用语》单元测试(1)第1章《常用逻辑用语》单元测试(2)第1章《常用逻辑用语》单元测试(3)第1章《常用逻辑用语》单元测试(4)2.1椭圆《椭圆的几何性质》2.1椭圆2.2双曲线双曲线几何性质2.2双曲线双曲线及其标准方程2.3抛物线习题精选2.3抛物线抛物线及其标准方程第2章《圆锥曲线与方程》单元测试(1)第2章《圆锥曲线与方程》单元测试(2)3.1变化率与导数3.2.2导数的运算法则3.2导数的计算3.3.3函数的最大值与最小值3.3《导数在研究函数中的应用》3.4生活中的优化问题举例第3章《导数及其应用》单元测试(1)第3章《导数及其应用》单元测试(2)1.1 命题及其关系测试练习第1题. 已知下列三个方程24430x ax a +-+=,()2210x a x a +-+=,2220x ax a +-=至少有一个方程有实根,求实数a 的取值范围.答案:312a a a⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或,剠.第2题. 若a b c ∈R ,,,写出命题“200ac ax bx c <++=若则,”有两个相异实根的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.答案:逆命题 :()200ax bx c a b c ac ++=∈<R 有实根,则若,,,假;否命题:200ac ax bx c ++=若则,…(a b c ∈R ,,)没有实数根,假;逆否命题:()200ax bx c a b c ac ++=∈R 若没有两实根,则,,…,真.第3题. 在命题22a b a b >>若则“,”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数为 .答案:3.第4题. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个钝角”时反设是 .答案:假设三角形的内角中没有钝角.第5题. 命题“若0xy =,则0x =或0y =”的逆否命题是 . 答案:若0x ≠且0y ≠,则0xy ≠.第6题. 命题“若a b ,>则55a b -->”的逆否命题是( )(A)若a b ,<则55a b --<(B)若55a b --,>则a b >(C) 若a b ,…则55a b --… (D)若55a b --,…则a b …答案:D第7题. 命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )(A)逆命题 (B)否命题 (C)逆否命题 (D)无关命题答案:A第8题. 命题“若60A ∠=o,则ABC △是等边三角形”的否命题是( ) (A)假命题 (B)与原命题同真同假(C)与原命题的逆否命题同真同假 (D)与原命题的逆命题同真同假答案:D第9题. 用反证法证明命题“23+是无理数”时,假设正确的是( ) (A)假设2是有理数 (B)假设3是有理数 (C)假设23或是有理数 (D)假设23+是有理数答案:D第10题. 命题“对顶角相等”的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题是( ) (A)上述四个命题 (B)原命题与逆命题 (C)原命题与逆否命题 (D)原命题与否命题答案:C第11题. 原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”,则下列说法正确的是( ) (A)原命题是真命题 (B)逆命题是假命题 (C) 否命题是真命题 (D)逆否命题是真命题答案:C第12题. 命题“若a A b B ∈∈则,”的否定形式是( ) (A)a A b B ∉∉若则, (B)a A b B ∈∉若则, (C)a A b B ∈∈若则, (D)b A a B ∉∉若则,答案:B第13题. 与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是( ) (A)能被3整除的整数,一定能被6整除 (B)不能被3整除的整数,一定不能被6整除 (C)不能被6整除的整数,一定不能被3整除 (D)不能被6整除的整数,不一定能被3整除答案:B第14题. 下列说法中,不正确的是( ) (A)“若p q 则”与“若q p 则”是互逆的命题 (B)“若非p q 则非“与“若q p 则”是互否的命题 (C)“若非p q 则非”与“若p q 则”是互否的命题 (D)“若非p q 则非”与“若q p 则”是互为逆否的命题答案:B第15题. 以下说法错误的是( )(A) 如果一个命题的逆命题为真命题,那么它的否命题也必为真命题 (B)如果一个命题的否命题为假命题,那么它本身一定为真命题(C)原命题、否命题、逆命题、逆否命题中,真命题的个数一定为偶数 (D)一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题答案:B第16题. 下列四个命题:⑴“若220x y +=,则实数x y ,均为0”的逆命题; ⑵ “相似三角形的面积相等“的否命题 ; ⑶ “A B A A B =⊆I 则,”逆否命题;⑷ “末位数不是0的数可被3整除”的逆否命题 ,其中真命题为( ) (A) ⑴ ⑵ (B)⑵ ⑶ (C)⑴ ⑶ (D)⑶ ⑷答案:C第17题. 命题“a b ,都是偶数,则a b +是偶数”的逆否命题是 .答案:a b +不是偶数则a b ,不都是偶数.第18题. 已知命题:33p …;:34q >,则下列选项中正确的是( ) A .p 或q 为真,p 且q 为真,非p 为假; B .p 或q 为真,p 且q 为假,非p 为真; C .p 或q 为假,p 且q 为假,非p 为假; D .p 或q 为真,p 且q 为假,非p 为假答案:D第19题. 下列句子或式子是命题的有()个.①语文和数学;②2340x x --=;③320x ->;④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?⑤一个数不是合数就是质数;⑥把门关上.A.1个 B.3个 C.5个 D.2个答案:A第20题. 命题①12是4和3的公倍数;命题②相似三角形的对应边不一定相等;命题③三角形中位线平行且等于底边长的一半;命题④等腰三角形的底角相等.上述4个命题中,是简单命题的只有( ). A.①,②,④ B.①,④ C.②,④ D.④答案:A第21题. 若命题p 是的逆命题是q ,命题q 的否命题是r ,则q 是r 的( ) A.逆命题 B.逆否命题 C.否命题 D.以上判断都不对答案:B第22题. 如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题,那么q 为 命题.答案:真第23题. 下列命题:①“若1xy =,则x ,y 互为倒数”的逆命题;②4边相等的四边形是正方形的否命题;③“梯形不是平行四边形”的逆否命题;④“22ac bc >则a b >”的逆命题,其中真命题是 .答案:①,②,③第24题. 命题“若0ad =,则0a =或0b =”的逆否命题是 ,是 命题.答案:若0a ≠且0b ≠,则0ab ≠,真第25题. 已知命题:p N Z Ü,:{0}q ∈N ,由命题p ,q 构成的复合命题“p 或q ”是 ,是 命题;“p 且q ”是 ,是 命题;“非p ”是 ,是 命题.答案:p 或q :N Z Ü或{0}∈N ,为真;p 且q :N Z Ü且{0}∈N ,为假;非:p N Z Ú或=N Z ,为假.第26题. 指出下列复合命题构成的形式及构成它的简单命题,并判断复合命题的真假.(1)23≤;(2)()A A B U Ú;(3)1是质数或合数;(4)菱形对角线互相垂直平分.答案:(1)这个命题是“p 或q ”形式,p :23<,q :23=.p Q 真q 假,p ∴或q 为真命题.(2)这个命题是“非p ”形式,:()p A A B ⊆U ,p Q 为真,∴非p 是假命题.(3)这个命题形式是p 或q 的形式,其中:1p 是命 数,:1q 是质数.因为p 假q 假,所以“p 或q ”为假命题.(4)这个命题是“p 且q ”形式,:p 菱形对角线互相垂直;:q 菱形对角线互相平分. 因为p 真q 真,所以“p 且q ”为真命题.第27题. 如果p ,q 是2个简单命题,试列出下列9个命题的直值表:(1)非p ;(2)非q ;(3)p 或q ;(4)p 且q ;(5)“p 或q ”的否定;(6)“p 且q ”的否定;(7)“非p 或非pq非p非q p 或qp 且q “p 或q ”的否定 “p 且q ”的否定“非p 或非q ” “非p且非q ” “非‘非p ’” 真 真 假 假 真 真 假 假 假 假 真 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假真真假真假假真 真 假 假 假 假 真 真 假 假 真真真真假答案:第28题. 设命题为“若0m >,则关于x 的方程20x x m +-=有实数根”,试写出它的否命题、逆命题和逆否命题,并分别判断它们的真假.答案:否命题为“若0m >,则关于x 的方程20x x m +-=没有实数根”; 逆命题为“若关于x 的方程20x x m +-=有实数根,则0m >” ; 逆否命题“若关于x 的方程20x x m +-=没有实数根,则0m ≤”. 由方程的判别式14m =+V 得0>V ,即14m >-,方程有实根. 0m ∴>使140m +>,方程20x x m +-=有实数根,∴原命题为真,从而逆否命题为真.但方程20x x m +-=有实根,必须14m >-,不能推出0m >,故逆命题为假.1. 2 充分条件与必要条件测试练习第1题. 设原命题“若p 则q ”真而逆命题假,则p 是q 的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:A第2题. 设x ∈R ,则2x >的一个必要不充分条件是( ) A.1x > B.1x < C.3x > D.3x <答案:A第3题. 如果A 是B 的必要不充分条件,B 是C 的充分必要条件,D 是C 的充分不必要条件,那么A 是D 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A第4题. 设集合{}2M x x =>,{}3P x x =<,那么“x M ∈或x P ∈”是“x M P ∈I ”的( )A.充分条件但非必要条件 B.必要条件但非充分条件 C.充分必要条件 D.非充分条件,也非必要条件答案:B第5题. 0x ≥是2x x ≤的___________条件. 答案:必要不充分第6题. 从“⇒”“¿”与 “⇔”中选出适当的符号填空(U 为全集,A B ,为U 的子集):(1)A B =___________A B ⊆. (2)A B ⊆___________U UB A 痧⊆.答案:⇒ ⇔第7题. 若A ⌝是B 的充分不必要条件,则A 是B ⌝的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:B第8题. 设:05p x <<,:25q x -<,那么p 是q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A第9题. 条件甲:()200ax bx c a ++=≠的两根,10x >,20x >,条件乙:0b a ->且0ca>,则甲是乙的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:C第10题. 从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空:(1)“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________;(2)“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________.答案:(1)必要条件 (2)充分条件第11题. 已知A 是B 的充分条件,B 是C 的充要条件,A ⌝是E 的充分条件,D 是C 是必要条件,则D 是E ⌝的_____________条件.答案:必要第12题. 用多种方法判断“2t ≠”是“24t ≠”的什么条件. 答案:必要不充分条件第13题. 设全集为U ,在下列条件中,哪些是B A ⊆的充要条件? (1)A B A =U ; (2)U A B =∅I ð; (3)U UA B 痧⊆.答案:三者都是第14题. 是否存在实数p ,使“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件?如果存在,求出p 的取值范围.是否存在实数p ,使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件.如果存在,求出p 的取值范围.答案:4p ≥时,“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件;不存在实数p ,使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件.第15题. 已知1:123x p --≤,()22:2100q x x m m -+->≤,若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围.答案:解:由22210x x m -+-≤得()110m x m m -+>≤≤.所以“q ⌝”:{}110A x x m x m m =∈>+<->R 或,.由1123x --≤得210x -≤≤,所以 “p ⌝”:{}102B x x x =∈><-R 或. 由p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件知01203110.m B A m m m >⎧⎪⇔--⇒<⎨⎪+⎩,,⊆≥≤≤故m 的取值范围为03m <≤.第16题. 命题“22530x x --<”的一个必要不充分条件是( ) A.132x -<< B.142x -<< C.132x -<<D.12x -<<答案:B第17题. 设A B ,是非空集合,则A B A =I 是A B =的_________条件. 答案:必要不充分第18题. 已知:523p x ->,21:045q x x >+-,试判断p ⌝是q ⌝的什么条件? 答案:充分不必要条件第19题. 设1a ,1b ,1c ,2a ,2b ,2c 均为非零实数,不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为M 和N ,那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件答案:D第20题. 已知条件M :“ABC A B C '''△∽△”;条件N :“AB A B ''∥,AC A C ''∥,BC B C ''∥”,则M 是N 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:B第21题. 从“充分而不必要条件”,“必要而不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空:(1)x A B ∈I 是x A ∈的 ; (2)x A B ∈U 是x B ∈的 ; (3)()U x A ∈ð是x U ∈的; (4)()U x A A ∈U 饀是x A ∈的; (5)“A =∅”是“A B B =U ”的 ; (6)“A B Ü”是“A B A =I ”的;(7)“x A ∈”是“x A B ∈I ”的 ; (8)“四边形的对角线互相垂直平分”是“四边形为矩形”的;(9)“四边形内接于圆”是“四边形对角互补”的;(10)设1O e ,2O e 的半径为1r ,2r ,则“1212O O r r =+”是“两圆外切”的. 答案:(1)充分不必要条件 (2)必要不充分条件 (3)充分不必要条件 (4)必要不充分条件 (5)充分不必要条件 (6)充分不必要条件(7)必要而不充分条件 (8)既不充分也不必要条件 (9)充要条件 (10)充要条件.第22题. 设{}2A x x a =∈-R ≤≤,{}23B y y x x A ==+∈,,{}2C z z x x A ==∈,,求使C B ⊆的充要条件.答案:132a ≤≤.第23题. 求关于x 的一元二次不等式210ax ax -+>,对一切x ∈R 都成立的充要条件是什么?答案:04a <≤.第24题. 求方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件.答案:01a <≤.第25题. 求三个实数a b c ,,不全为零的充要条件.答案:a b c ,,中至少有一个不是零.第26题. 设集合{}260A x x x =+-=,{}10B x mx =+=,写出B A Ü的一个充分不必要条件.答案:0m =,13m =,12m =-中之一即可.第27题. 三个数a bc ,,不全为零的充要条件是( ) A.a b c ,,都不是零 B.a b c ,,中至多一个是零 C.a b c ,,中只有一个为零 D.a bc ,,中至少一个不是零答案:D第28题. 设p :“x y z ,,中至少有一个等于1”⇔“(1)(1)(1)0x y z ---=”;q :“212(3)0x y z --+-=”⇔“(1)(2)(3)0x y z ---=”,那么p ,q 的真假是( )A.p 真q 真B.p 真q 假C.p 假q 真D.p 假q 假答案:B第29题. 已知a 为非零实数,x 为某一实数,有命题p :{}x a a ∈-,,q :x a =,则p 是q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B第30题. “13x >且23x >”是“126x x +>且129x x >”的充要条件吗?若是,请说明理由;若不是,请给出“13x >且23x >”的充要条件.答案:不是充要条件;1212(3)(3)06x x x x -->⎧⎨+>⎩.1. 2 充分条件与必要条件 同步测试第1题. 设原命题“若p 则q ”真而逆命题假,则p 是q 的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:A第2题. 设x ∈R ,则2x >的一个必要不充分条件是( ) A.1x > B.1x < C.3x > D.3x <答案:A第3题. 如果A 是B 的必要不充分条件,B 是C 的充分必要条件,D 是C 的充分不必要条件,那么A 是D 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A第4题. 设集合{}2M x x =>,{}3P x x =<,那么“x M ∈或x P ∈”是“x M P ∈I ”的( )A.充分条件但非必要条件 B.必要条件但非充分条件 C.充分必要条件 D.非充分条件,也非必要条件答案:B第5题. 0x ≥是2x x ≤的___________条件. 答案:必要不充分第6题. 从“⇒”“¿”与 “⇔”中选出适当的符号填空(U 为全集,A B ,为U 的子集):(1)A B =___________A B ⊆. (2)A B ⊆___________U UB A 痧⊆.答案:⇒ ⇔第7题. 若A ⌝是B 的充分不必要条件,则A 是B ⌝的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:B第8题. 设:05p x <<,:25q x -<,那么p 是q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A第9题. 条件甲:()200ax bx c a ++=≠的两根,10x >,20x >,条件乙:0b a ->且0ca>,则甲是乙的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:C第10题. 从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空:(1)“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________;(2)“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________.答案:(1)必要条件 (2)充分条件第11题. 已知A 是B 的充分条件,B 是C 的充要条件,A ⌝是E 的充分条件,D 是C 是必要条件,则D 是E ⌝的_____________条件.答案:必要第12题. 用多种方法判断“2t ≠”是“24t ≠”的什么条件. 答案:必要不充分条件第13题. 设全集为U ,在下列条件中,哪些是B A ⊆的充要条件? (1)A B A =U ; (2)U A B =∅I ð; (3)U UA B 痧⊆.答案:三者都是第14题. 是否存在实数p ,使“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件?如果存在,求出p 的取值范围.是否存在实数p ,使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件.如果存在,求出p 的取值范围.答案:4p ≥时,“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件;不存在实数p ,使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件.第15题. 已知1:123x p --≤,()22:2100q x x m m -+->≤,若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围.答案:解:由22210x x m -+-≤得()110m x m m -+>≤≤.所以“q ⌝”:{}110A x x m x m m =∈>+<->R 或,.由1123x --≤得210x -≤≤,所以 “p ⌝”:{}102B x x x =∈><-R 或. 由p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件知01203110.m B A m m m >⎧⎪⇔--⇒<⎨⎪+⎩,,⊆≥≤≤故m 的取值范围为03m <≤.第16题. 命题“22530x x --<”的一个必要不充分条件是( ) A.132x -<< B.142x -<< C.132x -<<D.12x -<<答案:B第17题. 设A B ,是非空集合,则A B A =I 是A B =的_________条件.答案:必要不充分第18题. 已知:523p x ->,21:045q x x >+-,试判断p ⌝是q ⌝的什么条件? 答案:充分不必要条件第19题. 设1a ,1b ,1c ,2a ,2b ,2c 均为非零实数,不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为M 和N ,那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件答案:D第20题. 已知条件M :“ABC A B C '''△∽△”;条件N :“AB A B ''∥,AC A C ''∥,BC B C ''∥”,则M 是N 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:B第21题. 从“充分而不必要条件”,“必要而不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空:(1)x A B ∈I 是x A ∈的 ; (2)x A B ∈U 是x B ∈的 ; (3)()U x A ∈ð是x U ∈的; (4)()U x A A ∈U 饀是x A ∈的; (5)“A =∅”是“A B B =U ”的 ; (6)“A B Ü”是“A B A =I ”的;(7)“x A ∈”是“x A B ∈I ”的 ; (8)“四边形的对角线互相垂直平分”是“四边形为矩形”的;(9)“四边形内接于圆”是“四边形对角互补”的;(10)设1O e ,2O e 的半径为1r ,2r ,则“1212O O r r =+”是“两圆外切”的. 答案:(1)充分不必要条件 (2)必要不充分条件 (3)充分不必要条件 (4)必要不充分条件 (5)充分不必要条件 (6)充分不必要条件(7)必要而不充分条件 (8)既不充分也不必要条件 (9)充要条件 (10)充要条件.第22题. 设{}2A x x a =∈-R ≤≤,{}23B y y x x A ==+∈,,{}2C z z x x A ==∈,,求使C B ⊆的充要条件.答案:132a ≤≤.第23题. 求关于x 的一元二次不等式210ax ax -+>,对一切x ∈R 都成立的充要条件是什么?答案:04a <≤.第24题. 求方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件.答案:01a <≤.第25题. 求三个实数a b c ,,不全为零的充要条件.答案:a b c ,,中至少有一个不是零.第26题. 设集合{}260A x x x =+-=,{}10B x mx =+=,写出B A Ü的一个充分不必要条件.答案:0m =,13m =,12m =-中之一即可.第27题. 三个数a bc ,,不全为零的充要条件是( ) A.a b c ,,都不是零 B.a b c ,,中至多一个是零 C.a b c ,,中只有一个为零 D.a bc ,,中至少一个不是零答案:D第28题. 设p :“x y z ,,中至少有一个等于1”⇔“(1)(1)(1)0x y z ---=”;q :“22(3)0y z -+-=”⇔“(1)(2)(3)0x y z ---=”,那么p ,q 的真假是( )A.p 真q 真B.p 真q 假C.p 假q 真D.p 假q 假答案:B第29题. 已知a 为非零实数,x 为某一实数,有命题p :{}x a a ∈-,,q :x a =,则p 是q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B第30题. “13x >且23x >”是“126x x +>且129x x >”的充要条件吗?若是,请说明理由;若不是,请给出“13x >且23x >”的充要条件.答案:不是充要条件;1212(3)(3)06x x x x -->⎧⎨+>⎩.高中新课标数学选修(1-1)1.3~1.4测试题一、选择题1.若命题:21()p m m -∈Z 是奇数,命题:21()q n n +∈Z 是偶数,则下列说法正确的是( )A.p q ∨为真 B.p q ∧为真 C.p ⌝为真D.q ⌝为假答案:A2.在下列各结论中,正确的是( )①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分条件但不是必要条件; ②“p q ∧”为假是“p q ∨”为假的充分条件但不是必要条件; ③“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要条件但不充分条件; ④“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的必要条件但不是充分条件. A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 答案:B3.由下列命题构成的“p q ∨”,“p q ∧”均为真命题的是( ) A.:p 菱形是正方形,:q 正方形是菱形 B.:2p 是偶数,:2q 不是质数 C.:15p 是质数,:4q 是12的约数 D.{}:p a a b c ∈,,,{}{}:q a a b c ⊆,, 答案:D4.命题:p 若a b ∈R ,,则1a b +>是1a b +>的充分条件但不是必要条件,命题:q 函数12y x =--的定义域是(][)13--+U ,,∞∞,则下列命题( )A.p q ∨假B.p q ∧真C.p 真,q 假D.p 假,q 真答案:D5.若命题:p x ∀∈R ,22421ax x a x ++-+≥是真命题,则实数a 的取值范围是( )A.3a -≤或2a ≥ B.2a ≥ C.2a >-D.22a -<<答案:B6.若k M ∃∈,对x ∀∈R ,210kx kx --<是真命题,则k 的最大取值范围M 是( ) A.40k -≤≤ B.40k -<≤ C.40k -<≤D.40k -<<答案:C 二、填空题7.命题“全等三角形一定相似”的否命题是 ,命题的否定是 . 答案:两个三角形或不全等,则不一定相似;两个全等三角形不一定相似8.下列三个特称命题:(1)有一个实数x ,使2440x x ++=成立;(2)存在一个平面与不平行的两条直线都垂直;(3)有些函数既是奇函数又是偶函数.其中真命题的个数为 . 答案:29.命题p q ∧是真命题是命题p q ∨是真命题的 (填“充分”、“必要”或“充要”)条件. 答案:充分10.命题:p x ∃∈R ,2250x x ++<是 (填“全称命题”或“特称命题”),它是 命题(填“真”或“假”),它的否定命题:p ⌝ ,它是 命题(填“真”或“假”).答案:特称命题;假;x ∀∈R ,2250x x ++≥;真11.若x ∀∈R ,11x x a -++>是真命题,则实数a 的取值范围是 . 答案:(2)-,∞12.若x ∀∈R ,2()(1)xf x a =-是单调减函数,则a 的取值范围是 .答案:(21)(12)--U ,, 三、解答题13.已知命题2:10p x mx ++=有两个不相等的负根,命题2:44(2)10q x m x +-+=无实根,若p q ∨为真,p q ∧为假,求m 的取值范围.解:210x mx ++=有两个不相等的负根24020m m m ⎧->⇔⇔>⎨-<⎩,. 244(2)10x m +-+=无实根2216(2)160430m m x ⇔--<⇔-+<13m ⇔<<.由p q ∨为真,即2m >或13m <<得1m >;p q ∧∵为假,()p q p ⌝∧⇒⌝∴或q ⌝为真,p ⌝为真时,2m ≤,q ⌝为真时,1m ≤或3m ≥. p ⌝∴或q ⌝为真时,2m ≤或3m ≥.∴所求m 取值范围为{}123m m m <,或|≤≥.14.若x ∀∈R ,函数2()(1)f x m x x a =-+-的图象和x 轴恒有公共点,求实数a 的取值范围.解:(1)当0m =时,()f x x a =-与x 轴恒相交;(2)当0m ≠时,二次函数2()(1)f x m x x a =-+-的图象和x 轴恒有公共点的充要条件是14()0m m a ∆=++≥恒成立,即24410m am ∆=++≥恒成立,又24410m am ++≥是一个关于m 的二次不等式,恒成立的充要条件是2(4)160a '∆=-≤,解得11a -≤≤.综上,当0m =时,a ∈R ;当0m ≠,[]11a ∈-,.15.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“我获奖了”,乙说:“甲未获奖,乙也未获奖”,丙说:“是甲或乙获匀”,丁说:“是乙获奖”,四位歌手的话中有两句是对的,请问哪位歌手获奖. 甲获奖或乙获奖.解:①乙说的与甲、丙、丁说的相矛盾,故乙的话是错误的;②若两句正确的话是甲说的和丙说的,则应是甲获奖,正好对应于丁说的错,故此种情况为甲获奖;③若两句正确的话是甲说的和丁说的,两句话矛盾;④若两句正确的话是丙说的和丁说的,则为乙获奖,对应甲说的错,故此种情况乙获奖. 由以上分析知可能是甲获奖或乙获奖.《1.3简单的逻辑联结词》测试题A卷一.选择题:1.如果命题“p或q”是真命题,“非p”是假命题,那么()A 命题p一定是假命题 B命题q一定是假命题C命题q一定是真命题 D命题q是真命题或者是假命题2.在下列结论中,正确的结论为()①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件③“p或q”为真是“ p”为假的必要不充分条件④“ p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件A①② B①③ C②④ D③④3.对下列命题的否定说法错误的是()A p:能被3整除的整数是奇数; p:存在一个能被3整除的整数不是奇数B p:每一个四边形的四个顶点共圆; p:存在一个四边形的四个顶点不共圆C p:有的三角形为正三角形; p:所有的三角形都不是正三角形D p: x∈R,x2+2x+2≤0; p:当x2+2x+2>0时,x∈R4.已知p: 由他们构成的新命题“p且q”,“p或q”, “ ”中,真命题有()A 1个B 2个C 3个D 4个5.命题p:存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根,则“非p”形式的命题是()A存在实数m,使得方程x2+mx+1=0无实根B不存在实数m,使得方程x2+mx+1=0有实根C对任意的实数m,使得方程x2+mx+1=0无实根D至多有一个实数m,使得方程x2+mx+1=0有实根6.若p、q是两个简单命题,且“p或q”的否定是真命题,则必有()A. p真,q真B. p假,q假C. p真,q假D. p假,q真二.填空题:7.命题“ x∈R,x2+1<0”的否定是__________________。