专题09 圆锥曲线-2021年高考数学尖子生培优题典(新高考专版)(解析版)

（新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题曲线与方程新人教A版【考纲解读】了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1. 平面解析几何是历年来高考重点内容之一, 经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2. 高考将会继续保持稳定, 坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新, 命题形式会更加灵活.【要点梳理】1. 已知曲线形状, 求方程: 可以用待定系数法.2. 未知曲线的形状, 求方程:(1) 直接法: 直接由条件列式, 化简整理即可;(2) 代入法: 明确主动点与被动点;(3) 定义法: 利用圆或圆锥曲线的定义求轨迹方程.【例题精析】考点一求曲线方程例 1 设A 是单位圆x2+y2=1 上任意一点，l 是过点 A 与x 轴垂直的直线，D是直线l 与x 轴的交点，点M在直线l 上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）. 当点A 在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。

（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。

（2）过原点且斜率为K 的直线交曲线C于P，Q两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，请说明理由.1因为，两点在椭圆上，所以两式相减可得2.③【名师点睛】本小题主要考查直线与圆以及圆锥曲线等基础知识, 考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等数学思想方法，考查同学们分析问题和解决问题的能力.【变式训练】1. ( 本小题满分12 分)如图，动圆,1<t<3,与椭圆：相交于A，B，C，D四点，点分别为的左，右顶点。

2021年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1．（2021年高考江西卷（理））过点(2,0)引直线l与曲线y?1?x相交于a,b两点,o 为坐标原点,当2?aob的面积挑最大值时,直线l的斜率等同于a．y?eb?bc?cd【答案】b（）33b．?33c．?33d．?3x22．（2021年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯word版））双曲线?y2?1的顶点到其渐4将近线的距离等同于a．（）b．2545c．255d．455【答案】c3．（2021年普通高等学校录取统一考试广东省数学（理）卷（氢铵word版））未知中心在原点的双曲线c的右3f?3,0?焦点为,离心率等于2,在双曲线c的方程是22x2y2xy??1??14545a．b．（）x2y2??125c．x2y2??125d．【答案】bx2y254．（2021年高考新课标1（理））已知双曲线c:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为,则c的渐近线ab2方程为a．y??（）1x4b．y??1x3c．y??1x2d．y??x【答案】cx2y2?2?1与5．（2021年高考湖北卷（理））已知0,则双曲线c1:2cos?sin?4?y2x2c2:2?2?1的sin?sin?tan2?a．实轴长成正比【答案】db．虚轴长相等c．焦距成正比d．离心率相等2（）y?1的渐近线的距离是（）6．（2021年高考四川卷（理））抛物线y?4x的焦点到双曲线x?322a．12b．32c．1d．3【答案】bx27．（2021年普通高等学校录取统一考试浙江数学（理）试题）例如图,f1,f2就是椭圆c1:?y2?1与双曲线c24的公共焦点,a,b分别就是c1,c2在第二、四象限的公共点.若四边形af1bf2为矩形,则c2的距心率就是yaf1ob（第9题图）f2xc．（）a．2【答案】db．332d．62x2y28．（2021年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的ab两条渐近线与抛物线y2?2px(p?0)的准线分别处设a,b两点,o为座标原点.若双曲线的距心率为2,△aob的面积为3,则p=a．1【答案】cc．2d．3b．32x2y2??1的左、右顶点分别为a1,a2,9．（2021年普通高等学校录取统一考试大纲版数学（理））椭圆c:43点p在c上且直线pa2的斜率的值域范围就是??2,?1?,那么直线pa1斜率的值域范围就是（）a．?，?24【答案】b10．（2021年普通高等学校录取统一考试大纲版数学（理））未知抛物线c:y?8x与点m??2,2?,过c的2?13b．?，?84?331?c．?，?1??2?1?d．?，?3??4焦点且斜率为k的直线与c处设a,b两点,若ma?mb?0,则k?a．（）12b．22c．2d．2【答案】dx2y211．（2021年高考北京卷（理））若双曲线2?2?1的离心率为3,则其渐近线方程为aba．y=±2x【答案】b（）b．y=?2xc．y??1x2d．y??2x212．（2021年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知抛物线c1y?:12x2p(p?0)x22?y?1c23cc的焦点与双曲线:的右焦点的连线交1于第一象限的点m.若1在点m处的切线平c2的一条渐近线,则p?（）3a．16【答案】d3b．823c．343d．3x2y213．（2021年中考新课标1（理））未知椭圆e:2?2?1(a?b?0)的右焦点为f(3,0),过点f的直线缴ab椭圆于a,b两点.若ab的中点坐标为(1,?1),则e的方程为（）x2y2??1a．4536【答案】dx2y2??1b．3627x2y2??1c．2718x2y2d．??118914．（2021年普通高等学校录取统一考试新课标ⅱ卷数学（理））设立抛物线c:y?2px(p?0)的焦点为f,2点m在c上,mf?5,若以mf为直径的圆过点(0,2),则c的方程为a．y2?4x或y2?8xc．y?4x或y?16x【答案】c22（）b．y2?2x或y2?8xd．y?2x或y?16x2215．（2021年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知a、b为平面内两定点,过该平面内动点m作直线ab2???的垂线,垂足为n.若mn??an?nb,其中?为常数,则动点m的轨迹不可能是a．圆【答案】c（）b．椭圆c．抛物线d．双曲线2216．（2021年普通高等学校录取统一考试重庆数学（理）试题（含答案））未知圆c1:?x?2y?3??1,圆c2:?x?3y?4??9,m,n分别是圆c1,c2上的动点,p为x轴上的动点,则pm?pn的最小值为a．52?4【答案】a二、填空题17．（2021年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯word 版含附加题））双曲线22（）b．17?1c．6?22d．17x2y2??1的两条渐近线的方程为_____________.169【答案】3y??x42x2y218．（2021年高考江西卷（理））抛物线x?2py(p?0)的焦点为f,其准线与双曲线??1相交于a,b33两点,若?abf为等边三角形,则p?_____________【答案】6x2y219．（2021年高考湖南卷（理））设f1,f2是双曲线c:2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点,p是c上一点,ab?若pf1?pf2?6a,且?pf1f2的最轻内角为30,则c的距心率为___.【答案】320．（2021年中考上海卷（理））设ab就是椭圆?的长轴,点c在?上,且?cba??4,若ab=4,bc?2,则的两个焦点之间的距离为________【答案】21．（2021年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）已知直线y?a交抛物线y?x于a,b两点.246.3若该抛物线上存有点c,使?abc为直角,则a的值域范围为________.【答案】[1,??)22．（2021年普通高等学校录取全国统一录取考试江苏卷（数学）（已校订氢铵word版不含额外题））抛物线y?x2在x?1处的切线与两坐标轴围起三角形区域为d(涵盖三角形内部与边界).若点p(x,y)就是区域d内的任一一点,则x?2y的值域范围就是__________.【答案】??2,?2??1??23．（2021年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯word版含附加题））在平面直角坐x2y2标系xoy中,椭圆c的标准方程为2?2?1(a?0,b?0),右焦点为f,右准线为l,长轴的一个端的ab点为b,设原点到直线bf的距离为d1,f到l的距离为d2,若d2?_______.【答案】6d1,则椭圆c的离心率为33x2y224．（2021年普通高等学校录取统一考试福建数学（理）试题（氢铵word版））椭圆?:2?2?1(a?b?0)的ab左.右焦点分别为f1,f2,焦距为2c,若直线y?3(x?c)与椭圆?的一个交点m满足mf1f22mf2f1,则该椭圆的距心率等同于__________【答案】3?1x2y2525．（2021年高考陕西卷（理））双曲线??1的离心率为,则m等于___9_____.16m4【答案】9x2y226．（2021年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（word版））已知椭圆c:2?2?1(a?b?0)ab的左焦点为f,c与过原点的直线相交于a,b两点,连接af,b,f 若ab?10,af?6,cos?abf?【答案】4,则c的离心率e=______.557227．（2021年上海市春季高考数学试卷(含答案)）抛物线y?8x的准线方程是_______________【答案】x??228．（2021年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯word 版含附加题））在平面直角坐标系xoy中,预设点a(a,a),p就是函数y?1(x?0)图象上一动点,若点p，a之间的最短距离为x22,则满足条件的实数a的所有值_______.【答案】?1或1029．（2021年普通高等学校录取统一考试浙江数学（理）试题）设f为抛物线c:y?4x的焦点,过点p(?1,0)2的直线l交抛物线c于两点a,b,点q为线段ab的中点,若|fq|?2,则直线的斜率等同于________.。

1. 【2014高考福建卷第9题】设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ）A.25B.246+C.27+D.262. 【2014高考广东卷理第4题】若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ）A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等 3. 【2014高考湖北卷理第9题】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A.433 B.233C.3D.2 4. 【2014高考湖南卷第15题】如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过F C ,两点，则_____=ab.6. 【2014辽宁高考理第10题】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．437. 【2014辽宁高考理第15题】已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .8. 【2014全国1高考理第4题】已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A.3 B. 3 C. m 3 D. m 39. 【2014全国1高考理第10题】已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若FQ PF 4=，则=QF （ ） A.27 B. 3 C. 25D. 2 10. 【2014全国2高考理第10题】设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为（ ） A.33 B.93 C. 6332 D. 9411. 【2014高考安徽卷理第14题】设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为__________12. 【2014高考北京版理第11题】设双曲线C 经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 .13. 【2014江西高考理第9题】在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A.45π B.34π C.(625)π- D.54π14. 【2014山东高考理第10题】 已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为12222=+by a x ，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为（ ） A.02=±y x B.02=±y x C.02=±y x D.02=±y x15. 【2014四川高考理第10题】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．1728D ．10 16. 【2014浙江高考理第16题】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17. 【2014重庆高考理第8题】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49D.3 18. 【2014天津高考理第5题】已知双曲线22221x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l ：210yx，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y （B ）221205x y （C ）2233125100x y （D ）2233110025x y19. 【2014大纲高考理第6题】已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为 （ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 20. 【2014大纲高考理第9题】已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）21. 【2014高考安徽卷第19题】如图，已知两条抛物线()02:1121>=p x p y E 和()02:2222>=p x p y E ，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交于21,B B 两点. (1)证明：;//2211B A B A(2)过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点.记111C B A ∆与222C B A ∆的面积分别为1S 与2S ,求21S S 的值.22. 【2014高考北京理第19题】已知椭圆C ：2224x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论. 23. 【2014高考大纲理第21题】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.24. 【2014高考福建理第19题】已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一， 四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公 共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由.25. 【2014高考广东理第20题】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)5,0，5（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.（1）求轨迹为C 的方程；27. 【2014高考湖南理第21题】如图7,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b-=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知123e e =,且2431F F =.(1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.28. 【2014高考江苏第18题】如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=. （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？29. 【2014高考江苏第17题】如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且22BF =，求椭圆的方程； （2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.30. 【2014高考江西理第20题】如图，已知双曲线)0(1222>=-a y ax C n 的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）. （1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值.31. 【2014高考辽宁理第20题】圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P 3.（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.32. 【2014高考全国1第20题】已知点A (0,2),椭圆E:22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32；F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点 （I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P,Q 两点。

2021年新高考数学专题复习-圆锥曲线专项练习1．已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点Q P 、，与椭圆Γ相交于两点M N 、，各点互不重合，且满足12PM MQ PN NQ λλ==，. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）若直线l 的方程为1y x =-+，求1211λλ+的值；（3）若123，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标.2．已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1. （1）求动点M 所在的曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点.3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且离心率2e =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k 且不过点P 的直线l 交C 于,A B 两点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，求直线l 的斜率k .4．如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点()10B ,是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设过点()4,0D 的直线2l 与曲线C 相交于,M N 两点（点M 在,D N 两点之间）.是否存在直线2l 使得2DN DM =？若存在，求直线2l 的方程；若不存在，请说明理由.5．已知双曲线C 的方程为：22186x y -=，其左右顶点分别为：1A ，2A ，一条垂直于x轴的直线交双曲线C 于1P ，2P 两点，直线11A P 与直线22A P 相交于点P .（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）过点)Q的直线，与轨迹E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于M 点，试探讨ABMQ是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由. 6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(l 与x 轴不重合)，1F MN △，12F F M △的周长分别为12和8. （1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一点T ，使得直线TM 与TN 的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T 的坐标；若不存在，请说明理由.7．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =10x +-=被以椭圆C . （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且||||||||MA MB MA MB λ+=⋅，求λ的取值范围.8．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l ：2y x a =+与抛物线C 交于A ，B 两点.（1）若1a =-，求FAB 的面积；（2）若抛物线C 上存在两个不同的点M ，N 关于直线l 对称，求a 的取值范围. 9．如图，直线l 与圆22:(1)1E x y ++=相切于点P ，与抛物线2:4C x y =相交于不同的两点,A B ，与y 轴相交于点(0,)(0)T t t >.（1）若T 是抛物线C 的焦点，求直线l 的方程；（2）若2||||||TE PA PB =⋅，求t 的值.10．在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q 的动圆恒过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切，设动圆的圆心Q 的轨迹为曲线Γ. （Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点F 的两条直线1l 、2l 与曲线Γ相交于A 、B 、C 、D 四点，且M 、N 分别为AB 、CD 的中点.设1l 与2l 的斜率依次为1k 、2k ，若121k k +=-，求证：直线MN 恒过定点.11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且直线1x y a b +=与圆222x y +=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ﹐B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆C 相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上．记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围． 12．已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为,F 点Р在抛物线E 上，点Р的横坐标为2,且2PF =.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若,A B 为抛物线E 上的两个动点(异于点P )，且AP AB ⊥，求点B 的横坐标的取值范围.13．如图，已知点F 为抛物线E ：y 2=2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |=3.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点G (-1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线.14．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2.（∠）求椭圆C 的方程；（∠）设过定点()02T ，的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．参考答案1．（1）221124x y +=；（2）83-；（3）证明见解析，(2,0). 【分析】（1）由题意，得到2b =和222(2)(2)2(2)a b c +=，结合222a b c =+，求得2a 的值，即可求得椭圆Γ的标准方程；（2）由直线l 的方程为1y x =-+，根据12PM MQ PN NQ λλ==，，求得12121211x x x x λλ==--，，得到121212112x xx x λλ++=-，联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解；（3）设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，由1PM MQ ，得到111x m x λ=-和222xm xλ=-，联立方程组，结合根与系数的关系和123，求得2m =，得到直线l 的方程，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，可得2b =， 设焦距为2c ，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列， 可得222(2)(2)2(2)a b c +=，即2222a b c +=又因为222a b c =+，解得212a =，所以椭圆Γ的标准方程为221124x y +=.（2）由直线l 的方程为1y x =-+，可得而(01)(10)P Q ，，，，设1122()()M x y N x y ，，，，因为12PM MQ PN NQ λλ==，，可得1111122222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y λλ-=---=--，，，，，， 从而111222(1)(1)x x x x λλ=-=-，，于是12121211x x x x λλ==--，，所以12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-，由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得24690x x --=，可得12123924x x x x +==-，，所以1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-. （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122()()M x y N x y ，，，，可得(0,)(,0)P km Q m -，，由1PMMQ ，可得11111()()x y km m x y λ+=--，，， 所以()111x x m λ=-，从而111x m x λ=-，同理222x m x λ=-， 又123，∠212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=， 则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③∠代入∠得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k ---⋅+=⇒=+++，∠2m =，(满足∠)故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(20)，. 2．（1）24y x =；（2）证明见解析，定值1-；（3）证明见解析.【分析】（1）根据题意转化为动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，结合抛物线的定义，即可求得曲线C 的方程；（2）由:2(1)PA l y k x -=-和2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组，求得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，结合斜率公式，即可求解； （3）由：:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:，分别联立方程组()22242,k k A k k ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭和()222,22k k B k k ⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭，求得2(2)22AB k k k k k -=-+，求得直线AB l 的方程，即可求解. 【详解】（1）已知动点M 到直线20x +=的距离比到点(1,0)F 的距离大1，等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得曲线C 的轨迹时以(1,0)F 为焦点，以直线1x =-为准线的方程，且2p =，所以曲线C 的方程为24y x =.（2）设直线PA 的斜率为k ，因为直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，所以直线PB 的斜率为k -，则:2(1)PA l y k x -=-，2(1)PB l y k x -=--:联立方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭联立方程组22(1)4y k x y x-=--⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k +--=，即()()2+420ky k y +-=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k B k k ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭所以()()22224242122ABk kk k k k k k k ----==-+--，即直线AB 的斜率为定值1-. （3）设直线PA 的斜率为k ，所以直线PB 的斜率为2k -， 则2(1)PA l y k x -=-：，2(1)PB l y k x -=--：两类方程组22(1)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，整理得24480ky y k --+=， 即()()2420ky k y +--=⎡⎤⎣⎦，可得()22242,k k A k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 联立方程组()222(1)4y k x y x⎧-=--⎨=⎩，可得()22440k y y k --+=，即()()2220k y k y ---=⎡⎤⎣⎦，可得()222,22k k B k k ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭所以()()22222242(2)22222ABk kk k k k k k k k k k k ----==-+---， 所以()2222(2)2222AB k k k k l y x k k k k ⎛⎫--=- ⎪ ⎪--+-⎝⎭:，整理得()2(2)122k k y x k k -=+-+ 所以直线AB 恒过()1,0-.3．（1）2212x y +=；（2. 【分析】（1）由题意可得222221112a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解方程组即可求得,,a b c 的值，进而可得椭圆C 的标准方程；（2））设直线PA的方程为()112y k x -=-，()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆方程联立消元可得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得1x ，因为120k k +=，所以21k k =-，同理可得2x ，再利用1212y y k x x -=-即可求得直线l 的斜率k .【详解】（1）因为1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，所以221112a b +=，又2c e a ==，222a b c =+，由上述方程联立可得22a =，21b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）设直线PA的方程为()112y k x -=-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由122(1)12y k x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 得： ())222111111222210k xk k x k +++--=，所以21112121112k x k --⨯=+，因为120k k +=，所以21k k =-，同理可得21122121112k x k +-⋅=+，因为2112214212k x x k -+=+，1122112x x k --=+，所以()111121112112121212222k x k k x k k x x k y y k x x x x x x ⎛-+--++ +--⎝⎭===---2242212k k k k --+=== 4．（1）22143x y+=（2）存在，(4)6y x =-或4)6y x =--．【分析】（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆C 的方程.（2）设出直线2l 的方程，联立直线2l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用2DN DM =，结合向量相等的坐标表示，求得直线2l 的斜率，进而求得直线2l 的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线2l 的方程的设法的不同. 【详解】（1）因为圆A 的方程为22(1)16x y ++=，所以(1,0)A -，半径4r =．因为1l 是线段AP 的垂直平分线，所以||||QP QB =． 所以||||||||||4AP AQ QP AQ QB =+=+=．因为4||AB >，所以点Q 的轨迹是以(1,0)A -，(1,0)B 为焦点，长轴长24a =的椭圆．因为2a =，1c =，2223b a c =-=，所以曲线C 的方程为22143x y +=．（2）存在直线2l 使得2DN DM =．方法一：因为点D 在曲线C 外，直线2l 与曲线C 相交，所以直线2l 的斜率存在，设直线2l 的方程为(4)y k x =-．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，由22143(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得2222(34)32(6412)0k x k x k +-+-=． 则21223234k x x k +=+， ① 2122641234k x x k-=+， ② 由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，解得1122k -<<． 因为2DN DM =，所以2142(4)x x -=-，即2124x x =-． ③把③代入①得21241634k x k +=+，22241634k x k-+=+ ④ 把④代入②得2365k =，得6k =±，满足1122k -<<．所以直线2l的方程为：(4)6y x =-或4)6y x =--． 方法二：因为当直线2l 的斜率为0时，(2,0)M ，(2,0)N -，(6,0)DN =-，(2,0)DM =-此时2DN DM ≠．因此设直线2l 的方程为：4x ty =+．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，由221434x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)24360t y ty +++=． 由题意知22(24)436(34)0t t ∆=-⨯+>，解得2t <-或2t >，则1222434ty y t +=-+， ① 1223634y y t =+， ②因为2DN DM =，所以212y y =． ③把③代入①得12834t y t =-+，221634ty t =-+ ④ 把④代入②得2536t =，t =±2t <-或2t >． 所以直线2l的方程为4)y x =-或4)y x =-． 5．（1）22186x y +；（2）为定值，4.【分析】（1）设直线为：0x x =，()100,P x y ，()200,P x y -，以及(),P x y，利用三点共线得到==，两式相乘化简得22022088y y x x =---，再利用点1P 在双曲线上代入整理即可得到答案；（2）显然直线l 不垂直x 轴，①当0k =时，易证4ABMQ=，②当0k ≠时，利用点斜式设出直线l 方程，联立直线l 与椭圆的方程消y ，得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理以及弦长公式求出AB ，求出AB 的中点坐标，利用点斜式求出线段AB 的垂直平分线的方程，求出点M 的坐标，利用两点间的距离公式求解MQ ，即可得出答案. 【详解】（1）由题意知：()1A -，()2A ，设直线为：0x x =，()100,P x y ，()200,P x y -，以及(),P x y ， 由11,,A P P 三点以及22,,A P P 三点共线，则==，两式相乘化简得：22022088y y x x =---， 又2200186x y -=， 代入上式得轨迹E 的方程：22186x y +.（2）显然直线l 不垂直x 轴，①当0k =时，直线l 的方程为：0y =，线段AB 为椭圆的长轴，线段AB 的垂直平分线交x 轴于M 点，则AB =，()0,0M,MQ =所以4ABMQ=； ②当0k ≠时，设方程为：(y k x =，联立方程得(22186y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，化简整理得：()2222348240kxx k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，212221223482434x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，)2122143k AB x k +=-==+，线段AB的中点的坐标为222,3434P k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，线段AB的垂直平分线的方程为：22213434y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪ ⎪++⎝⎭， 令0y =，则M ⎫⎪⎪⎝⎭，)22134k MQ k +==+，∴4ABMQ=. 综上：4ABMQ=. 6．（1）22198x y ；（2）存在，坐标为(3,0)-和(3,0).【分析】（1）由1F MN △，12F F M △的周长分别为12和8，可求椭圆基本量，进一步确定方程. （2）设直线代入消元，韦达定理整体代入定点满足的关系，探求恒成立的条件. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2(0)c c >，由题意可得412228a a c =⎧⎨+=⎩，解得31a c =⎧⎨=⎩，所以b =因此椭圆C 的方程为22198x y .（2）因为直线l 过点2(1,0)F 且不与x 轴重合，所以设l 的方程为1x my =+，联立方程221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()228916640m y my ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12212216896489m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以()1212218289x x m y y m +=++=+， ()()()2212121212272911189m x x my my m y y m y y m -+=++=+++=+. 设(,0)T t ，则直线TM 与TN 的斜率分别为11TM y k x t =-，22TN y k x t=-， 则()()1212TM TN y y k k x t x t ⋅=--()2122221212226489729188989y y m m x x t x x t t t m m -+==-+-++-⋅+++ ()222648729189t m t t -=-+-+.所以当28720t -=，即当3t =-时，m ∀∈R ，49TM TN k k ⋅=-； 当3t =时，m ∀∈R ，169TM TN k k ⋅=-. 因此，所有满足条件的T 的坐标为(3,0)-和(3,0).7．（1）2214x y +=；（2）2]3.【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得1b =.由椭圆的离心率可得2a =，则椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）当直线l 的斜率为0时，求出MA ，MB ，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 方程为4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程可得()2248120m y my +++=，满足题意时212m >，结合韦达定理以及弦长公式，化简整理，结合不等式的性质，据此即可所求范围. 【详解】（1）因为原点到直线10x +-=的距离为12，所以22212b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭（0b >），解得1b =. 又22222314c b e a a ==-=，得2a =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB ⋅=，268MA MB +=+=,所以||||82||||123MA MB MA MB λ+===⋅，当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2248120m y my +++=， 由()22=644840m m ∆-+>，得212m >，所以122124y y m =+，12284my y m +=-+，()21221214m MA MB y y m +⋅==+，1212MA MB y y y +=+=+284mm =+，||||||||121MA MB MA MB m λ+====⋅+由212m >，得211113121m ∴<-<+，所以2233λ<<.23λ<≤，即2]3.8．（12）12a <- 【分析】（1）联立直线与抛物线，根据弦长公式求出||AB ，根据点到直线的距离公式求出点F 到直线的距离，根据三角形面积公式可求得结果；（2）设直线MN 的方程为12y x m =-+代入抛物线，利用判别式大于0可得2m >-， 根据韦达定理求出MN 的中点坐标，将其代入直线l 得到m 与a 的关系式，根据m 的范围可得a 的范围. 【详解】抛物线C ：24y x =的焦点为F (1,0)，（1）当1a =-时，直线:21l y x =-，联立2214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得21204x x -+=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x +=，1214x x =，所以||AB ===点F 到直线:21l y x =-的距离d ==，所以FAB的面积为11||22AB d ==. （2）因为点M ，N 关于直线l 对称，所以直线MN 的斜率为12-， 所以可设直线MN 的方程为12y x m =-+， 联立2124y x m y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 并整理得22(416)40x m x m -++=， 由22(416)160m m ∆=+->，得2m >-，设33(,)M x y ，44(,)N x y ，所以34416x x m +=+，所以343411()2(416)2822y y x x m m m +=-++=-⨯++=-， 所以MN 的中点为(28,4)m +-，因为点M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点(28,4)m +-在直线:2l y x a =+上，所以42(28)m a -=++，得420a m =--，因为2m >-，所以12a <-.9．（1）1y =+；（2）12. 【分析】（1）由(0,)(0)T t t >为抛物线焦点，即可设直线l 的方程为1y kx =+，根据直线l 与圆相切可求k 值，写出直线方程.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由直线上两点距离公式可知()()0022||||14PA PB kxy ⋅==+-，根据直线l 与圆相切、2||||||TE PA PB =⋅求0y ，切线性质：直线l 与PE 互相垂直及00t y kx =-即可求t 的值.【详解】（1）因为(0,)(0)T t t >是抛物线2:4C x y =的焦点，所以1t =，即(0,1)T ，设直线l 的方程为1y kx =+，由直线l 与圆E1=，即k =，所以，直线l的方程为1y =+.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由24y kx tx y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx t --=，124x x k +=，124x x t ⋅=-，∴1020||||PA PB x x ⋅=-⋅-()()221201201kx xx x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()()220014k x kx t ⎡⎤=+-+⎣⎦()()220014k x y =+-. 由直线l 与圆E1=，即221(1)k t +=+.由||1TE t =+，2||||||TE PA PB =⋅，得()()2220014(1)kxy t +-=+.所以20041x y -=，又()220011x y ++=，解得03y =-+.由直线l 与PE 互相垂直，得0011PE xk k y =-=-+， 200001i x t y kx y y =-=++220000001112x y y y y y ++-===++. 10．（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）设(,)Q x y，根据题意得到|1|x +=Γ的方程；（Ⅱ）设1l ，2l 的方程为12(1),(1)y k x y k x =-=-，联立方程组分别求得2121122,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，和2222222,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而得出MN k ，进而得出()111MN k k k =+，得出直线MN 的方程，即可判定直线MN 恒过定点. 【详解】（Ⅰ）由题意，设(,)Q x y ，因为圆心为点Q 的动圆恒过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切，可得|1|x +=24y x =.（Ⅱ）设1l ，2l 的方程分别为1(1)y k x =-，2(1)y k x =-，联立方程组12(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得()2222111240k x k x k -++=， 所以21122124k x x k ++=，则2121122,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理2222222,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 所以121222121222122222MNk k k k k k k k k k k -==+++-， 由121k k +=-，可得()111MN k k k =+，所以直线MN 的方程为()2111211221k y k k x k k ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭ 整理得()1121(1)y k k x +=+-，所以直线MN 恒过定点(1,2)-.11．（1）22163x y +=；（2）,33⎣⎦． 【分析】（1）依题意得到c a ==，再根据222c b a +=解方程即可；（2）由M 为线段AB 的中点，可得12OM S S OP=，对直线l 的斜率的斜率存在与否分两种情况讨论，当直线l 的斜率存在时，设直线():0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ．联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，根据0OA OB ⋅=，即可得到12120x x y y +=，从而得到m 与k 的关系，即可求出面积比的取值范围； 【详解】解：（1）∵椭圆的离心率为2，∴2c a =（c 为半焦距）． ∵直线1x y a b+=与圆222x y +==．又∵222c b a +=，∴26a =，23b =．∴椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△． （ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，由OA OB ⊥及椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22A x =．则22M x =，26P x =，∴123OM S S OP ==． （ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线():0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ．由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222214260k x kmx m ++-=＋． ∴()()()2222221682138630k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22630k m -+>．∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+． ∵点O 在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=． ∴()()221212121210x x y y kx xkm x x m +=++++=． ∴()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫++-+= ⎪++⎝⎭． 化简，得2222m k =＋．经检验满足0∆>成立．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭． 当0k =时，22m =．此时123S S ==． 当0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-．由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得2221221P k x k =+，22321P y k =+． ∴M P OM y OP y == ∴12S S ==12,33S S ⎛∈ ⎝⎭． 综上，12S S的取值范围为33⎣⎦．12．（1）24x y =；（2）[)(,)610--⋃∞+∞，. 【分析】()1由抛物线的定义可得022p y =-，再代入可求得p ，可得抛物线E 的标准方程为24x y =.()2由直线垂直的条件建立关于点A 、B 的坐标的方程，由根的判别式可求得范围.【详解】解：()1依题意得0,,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭设()002,,22p P y y =-， 又点Р是E 上一点，所以4222p p ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p =， 所以抛物线E 的标准方程为24x y =.()2由题意知()2,1P ， 设221212,,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()2111114224APx k x x -==+-，因为12x ≠-，所以142AB k x =-+，AB 所在直线方程为()2111442x y x x x --=-+，联立24x y =. 因为1x x ≠，得11(216(0))x x x +++=，即()21122160x x x x ++++=，因为()224216)0(x x ∆=+-+≥，即24600x x --≥，故10x ≥或6x ≤-经检验，当6x =-时，不满足题意.所以点B 的横坐标的取值范围是[)(,)610--⋃∞+∞，. 13．（1）y 2=4x ；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用抛物线定义，由|AF |=2+2p=3求解. （2）根据点A (2，m )在抛物线E 上，解得m ,不妨设A (2，)，直线AF 的方程为y(x -1)，联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，然后论证k G A +k G B =0即可 【详解】（1）由抛物线定义可得|AF |=2+2p=3，解得p =2. ∠抛物线E 的方程为y 2=4x .（2）∠点A (2，m )在抛物线E 上， ∠m 2=4×2，解得m，由抛物线的对称性，不妨设A (2，)，由A (2，，F (1，0)，∠直线AF 的方程为y (x -1)，由)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 得2x 2-5x +2=0，解得x =2或12，∠B 1,2⎛ ⎝.又G (-1，0)，∠k G A =3，k G B =3-∠k G A +k G B =0， ∠∠AGF =∠BGF . ∠GF 为∠AGB 的平分线. 【点睛】关键点点睛：由GF 为∠AGB 的平分线，即∠AGF =∠BGF ，转化为 k G A +k G B =0结合韦达定理证明.14．（∠）23x +y 2＝1；（∠）11k ⎛⎫⎛∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 【分析】（∠）根据椭圆短轴长公式、离心率公式，结合椭圆中,,a b c 的关系进行求解即可；（∠）根据平面向量数量积公式，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可. 【详解】（∠）由已知得 2b ＝2，所以1b =，又因为c a =所以有：2223c a =，而222c a b =-， 解得23a =，即椭圆C 的方程为23x +y 2＝1．（∠）直线l 方程为y ＝kx +2，将其代入23x +y 2＝1，得（3k 2+1）x 2+12kx +9＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴△＝（12k ）2﹣36（1+3k 2）＞0，解得k 2＞1，由根与系数的关系，得x 1+x 2＝21213kk -+，x 1x 2＝2913k + ∵∠AOB 为锐角， ∴OA ⋅OB ＞0， ∴x 1x 2+y 1y 2＞0，∴x 1x 2+（kx 1+2）（kx 2+2）＞0， ∴（1+k 2）x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4＞0，化简得2213313k k -+＞0，解得2133k <，由21k >且2133k <，解得1133k ⎛⎫⎛∈--⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，．。

2021年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2021年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.【2021年四川高考】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，那么直线OM的斜率的最大值为？答案】C2.【2021年天津高考】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，那么双曲线的方程为？答案】D3.【2021年全国I高考】方程x^2/4-y^2/n^2=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是？答案】A4.【2021年全国I高考】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点，|AB|=42，|DE|=25，那么C的焦点到准线的距离为？答案】B5.【2021年全国II高考】圆x+y-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，那么a=？答案】A6.【2021年全国II高考】圆F_1,F_2是双曲线E: x^2/4-y^2/9=1的左、右焦点，点M在E上，MF_1与x轴垂直，F_1F_2=b/a*sin∠MF_1F_2，那么E的离心率为？答案】A7.【2021年全国III高考】O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。

P为C上一点，且PF⊥x轴。

过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。

假设直线BM经过OE的中点，那么C的离心率为？答案】A8.【2021年浙江高考】椭圆C_1: x^2/4+y^2/m^2=1(m>1)与双曲线C_2: x^2/4-y^2/n^2=1(n>0)的焦点重合，e_1，e_2分别为C_1，C_2的离心率，且e_1>e_2，那么m、n的大小关系是？答案】m>n2y-1由AN·BM = (x-a)(y-b)(x+c)(y+c) = (x+c)(y+c)得证。

2021-2022年高考数学分项汇编专题09 圆锥曲线（含解析）文一．基础题组1. 【xx课标全国Ⅱ，文5】设椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )．2A． B． C． D．【答案】：D2. 【xx全国新课标，文4】设F1，F2是椭圆E：(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )A． B． C． D．【答案】C【解析】设直线与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°，在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，，故22312cos6022a cF MPF c-︒===，解得，故离心率．3. 【xx全国新课标，文5】中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. B. C. D.【答案】：D4. 【xx全国2，文5】已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是( )（A）（B）6 （C）（D）12【答案】C5. 【xx全国2，文5】抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为（）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5【答案】D6. 【xx全国2，文6】双曲线的渐近线方程是（）(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】由题意知：，∴双曲线的渐近线方程是.7. 【xx全国2，文20】（本小题满分12分）设分别是椭圆的左右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为.（Ⅰ）若直线的斜率为，求的离心率；（Ⅱ）若直线在轴上的截距为，且，求.【解析】8. 【xx课标全国Ⅱ，文20】(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为在y轴上截得线段长为.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．【解析】：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.9. 【xx全国新课标，文20】设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E 相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．即＝|x2－x1|.则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝224222224(1)4(12)8(1)1(1)b b bb b b=+++－－－，解得b＝.10. 【xx全国3，文22】 (本小题满分14分)设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（Ⅱ）当时，求直线的方程.即的斜率存在时，不可能经过焦点……………………………………8分所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F…………………………9分（Ⅱ）当时，二．能力题组1. 【xx全国2，文10】设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于,两点，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C2. 【xx课标全国Ⅱ，文10】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为( )．A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝或y＝C．y＝或y＝D．y＝或y＝【答案】：C3. 【xx 全国新课标，文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，，则C 的实轴长为( )A ．B ．C ．4D ．8 【答案】 C【解析】设双曲线的方程为，抛物线的准线为x ＝－4，且，故可得A (－4，)，B (－4，)，将点A 坐标代入双曲线方程得a 2＝4，故a ＝2，故实轴长为4．4. 【xx全国2，文9】已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )（A）（B）（C）（D）【答案】A5. 【xx全国3，文9】已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为（）A．B．C．D．【答案】C6. 【xx全国新课标，文20】设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F 为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py，得x2－px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故＝p2＋8pb＝0，解得.因为m的截距，，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.三．拔高题组1. 【xx全国2，文12】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与C相交于A、B两点，若＝3，则k等于( )A．1 B. C. D．2【答案】：B2. 【xx全国2，文11】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为( )(A) (B) (C) (D)【答案】：D【解析】∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍,∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴.3. 【xx全国2，文12】设F1,F2分别是双曲线的左右焦点，若点P在双曲线上,且，则( )(A) (B) (C) (D)【答案】：B4. 【xx全国2，文11】过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为( )（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】5. 【xx全国3，文10】设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A． B． C．D．【答案】D【解析】，，则垂线，，∴2224222222(1)()c a c by b ba a a-=-==，∴，，，所以，即a²-c²=2ac，即c²+2ac-a²=0，∴2222a ac a a-±==-±，∴，∵0<e<1，所以.6. 【xx全国2，文15】已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________.【答案】：27. ）【xx全国2，文22】已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)相交于B、D两点，且BD 的中点为M(1,3)．(1)求C的离心率；(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|＝17，证明过A、B、D三点的圆与x轴相切．【解析】：(1)由题设知，l的方程为y＝x＋2.代入C的方程，并化简，得(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0，设B(x1，y1)、D(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，①由M(1,3)为BD的中点知＝1，故×＝1，即b2＝3a2，②故c＝＝2a，所以C的离心率e＝＝2.故|BD|＝|x1－x2|＝·＝6.连结MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切．所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．8. 【xx全国2，文22】（本小题满分１２分）已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。

2021年高考数学尖子生培优 专题09 圆锥曲线一、单选题（共8题；共16分）1.直线 x −y =0 与双曲线 2x 2−y 2=2 有两个交点为 A ， B ，则 |AB|= （ ） A. 2 B. 2√2 C. 4 D. 4√2 【答案】 C【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】由 {2x 2−y 2=2x −y =0 ，得 {x 1=√2y 1=√2 ， {x 2=−√2y 2=−√2 ， ∴ |AB|=√(2√2)2+(2√2)2=4 . 故答案为：C ．【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，直接解得焦点坐标，再计算两点间的距离即可得到答案。

2.已知动点 M 的坐标满足方程 5√x 2+y 2=|3x +4y −12| ，则动点 M 的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】 C【考点】圆锥曲线的轨迹问题【解析】【解答】设点 M(x,y) ，由 5√x 2+y 2=|3x +4y −12| 可得出 √x 2+y 2=√32+42，由题意可知，点 M 到原点的距离等于点 M 到直线 3x +4y −12=0 的距离， 由抛物线的定义可知，点 M 的轨迹为抛物线. 故答案为：C.【分析】将题干中的等式变形为 √x 2+y 2=√32+42，利用距离的几何意义以及抛物线的定义可得出点M 的轨迹的形状.3.已知抛物线 y 2=2px(p >0) 的焦点为 F ，准线为l ，过点F 且斜率为 √3 的直线交抛物线于点 M ( M 在第一象限)， MN ⊥l ，垂足为 N ，直线 NF 交 y 轴于点 D ，若 |MD|=2√3 ，则抛物线的方程是（ ）A. y 2=xB. y 2=2xC. y 2=4xD. y 2=8x 【答案】 C【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】由题意如图，过点 F 且斜率为 √3 的直线交抛物线于点 M(M 在第一象限），可知，∠NMF=60°，MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，准线与x轴的交点为A，所以MN=FM，则三角形NMF是正三角形，因为O是AF的中点，AN//OD，所以D是NF的中点，所以MD⊥NF，∠DMF=30°，|MD|=2√3，所以|MF|=|MD|cos30°=4，则|MN|=4，由三角形NMF是正三角形可知F在MN上的射影是MN是中点，所以AF=BN=2，则F(1,0)，可得p=2，所以抛物线方程为：y2=4x．故答案为：C．【分析】画出图形，利用抛物线定义可判断三角形NMF是正三角形，结合已知条件求出MN，结合F 在MN上的射影是MN是中点，然后求解抛物线方程．4.双曲线C:x2a2−y2b2=1（a>0,b>0）的渐近线与圆x2+y2−2x+15=0相切，则双曲线C的离心率为（）A. √52B. √2 C. √5 D. √172【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线C:x2a2−y2b2=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程为bx−ay=0，圆的方程为x2+y2−2x+15=0，即(x−1)2+y2=45，圆心为(1,0)，半径为2√55，因为双曲线的渐近线与圆相切，得22=2√55，化简得b=2a，离心率e=√1+b2a=√1+4=√5.故答案为：C【分析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心坐标，利用圆心到直线的距离等于半径求解关系式，即可得到双曲线的离心率．5.如图，设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于点Q，若|PF1|=4|QF2|，则直线PF2的斜率为（）A. -2B. -1C. −12D. 1【答案】A【考点】椭圆的定义，直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】如下图，连接PF1,QF1，设|QF2|=x(x>0)，则|PF1|=4x，因为|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，所以|PF2|=2a−4x，|QF1|=2a−x，在△PF1Q中，∠F1PF2=90°，所以|PF1|2+|PQ|2=|QF1|2，即(4x)2+(2a−4x+x)2=(2a−x)2，整理得a=3x，所以tan∠PF2F1=|PF1||PF2|=4x2a−4x=4x6x−4x=2，所以直线PF2的斜率为k=tan(180°−∠PF2F1)=−2.故答案为：A.【分析】连接PF1,QF1，设|QF2|=x(x>0)，则|PF1|=4x，根据椭圆的定义，可求得|PF2|= 2a−4x，|QF1|=2a−x，结合∠F1PF2=90°，可得|PF1|2+|PQ|2=|QF1|2，计算可得a= 3x，从而可求出tan∠PF2F1，由直线PF2的斜率为k=tan(180°−∠PF2F1)，可求出答案.6.已知平行于x 轴的一条直线与双曲线x 2a 2−y 2b 2 =1(a>0，b>0)相交于P ，Q 两点，|PQ|=4a ，∠PQO= π3 (O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )A. √62B. √52C. √6D. √5【答案】 D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】如图所示，∵P ，Q 两点关于y 轴对称，不妨设x P <x Q ， ∴x Q = 12 PQ=2a ，又∵Q 在双曲线上，∴(2a)2a 2−y 2b 2=0 ⇒ y= √3 b ，Q(2a ， √3 b)；又∵∠PQO= π3 ，∴△PQO 为等边三角形；即|OQ|=|PQ|= 4a∴根据两点间距离公式得 √(2a)2+(√3b)2 =4a ⇒ b 2=4a 2 ⇒ e= √5 。

第九单元 圆锥曲线B 卷 滚动提升检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【2020浙江吴兴湖州中学高三其他】设x 、y R ∈，条件甲：221259x y +≤，条件乙：53x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则条件甲是条件乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：由于222125259x x y ≤+≤，可得2125x ≤，得5x ≤，同理可得3y ≤，所以，条件甲是条件乙的充分条件；必要性：当5x ≤，3y ≤，取5x =，3y =，则2221259x y+=>，所以，条件甲不是条件乙的必要条件. 综上所述，条件甲是条件乙的充分不必要条件. 故选A.2. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ． 1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． (1,0)D ． (2,0)【答案】B【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选B ．3. 【2020陕西咸阳高三三模(理)】若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：2020127a a +=，120202b b ⋅=，函数()f x 满足()()2f x f x +=-且()e x f x =，[]0,2x ∈，则10101011101010111a a f b b ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭A ． 1e -B ． eC ． 2eD ． 9e【答案】B【解析】因为数列{}n a 为等差数列，且2020127a a +=，所以1010101127a a +=； 又{}n b 为等比数列，且120202b b ⋅=，所以101010112b b =，所以101010111010101127913a ab b +==+；又()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的最小正周期为4， 又()e xf x =，[]0,2x ∈所以 ()()()92411f f f e =⨯+==，即1010101110101011e 1a a f b b ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭.故选B ．4. 【2020天津高三二模】若函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，2πϕ<）图象的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为-1，为了得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向左平移6π个单位长度【答案】D【解析】由条件可知函数的最小值为-1，即1A =， 对称中心和相邻的对称轴间的距离为4T，即1274123πππω⨯=-，解得：2ω=当712x π=时，7322122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈,2πϕ<，3πϕ∴=()sin 2cos 2cos 23326f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变换到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22266366x x x πππππ⎛⎫+=-+=+- ⎪⎝⎭， 根据平移变换规律可知，只需向左平移6π个单位. 故选D.5. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8【答案】A【解析】5ca=，c ∴，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．6. 【2020浙江宁波华茂外国语学校高三一模】设抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，若F 到直线3y x =的距离为3，则p 为（ ）A ．2B ．4C ．23D ．43【答案】B【解析】依题意得，(,0)2pF ， 因为F 到直线3y x =的距离为3，|3|2331p ⨯=+，所以||4p =， 因为0p >，所以4p =. 故选B.7. 【2020河南南阳中学高三月考（理）】某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）为A ．18B ．63C ．33D ．23【答案】C【解析】由题意可知几何体是底面为正三角形的三棱柱，底面边长为2，高为3， 所以几何体的体积为232333⨯=故选C ．8. 【2020四川省南充高级中学高三月考（理）】已知P 是曲线1C ：e x y =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln xy x=上任意一点，则PQ 的最小值是 A ．ln 212-B ．ln 212+C ．2D ．【答案】D【解析】曲线1C ：e x y =，求导得e xy '=，易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+.下面证明e 1x x ≥+恒成立.构造函数()e 1xf x x =--，求导得()e 1xf x '=-，则(),0x ∈-∞时，0fx，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增.故函数()()00f x f ≥=，即e 1x x ≥+恒成立. 又2C ：ln x y x =，求导得21ln xy x-'=，当1x =时，1y '=，且2C 过点()1,0B ，故2C 在点()1,0处的切线方程为1y x =-. 下面证明ln 1xx x-≥在0,上恒成立.令()2ln F x x x x =--，则()()()221112121x x x x F x x x x x+---'=--==， 当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增， 所以()()min 10F x F ==，即()()10F x F ≥=， 则2ln 0--≥x x x ，即ln 1xx x-≥在0,上恒成立.因为AB ==1y x =+与1y x =-=，所以PQ 的最小值为.故选D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. 【2020山东高三其他】 已知F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =⋅⋅⋅，12,,FP FP 3,FP ⋅⋅⋅组成公差为()0d d >的等差数列，则（ ）A ．该椭圆的焦距为6B ．1FP 的最小值为2C ．d 的值可以为310 D ．d 的值可以为25【答案】ABC【解析】由椭圆2212516x y +=，得5a =，4b =，3c =，故A 正确； 椭圆上的动点P ，1a c PF a c -≤≤+，即有12||8PF ≤≤， 故1FP 的最小值为2，B 正确；设1FP ，2FP ，3FP ，…组成的等差数列为{}n a ，公差0d >，则12,8n a a ≥≤， 又11n a a d n -=-，所以663121110d n ≤≤=--，所以3010d <≤，所以d 的最大值是310， 故C 正确，D 错误. 故选ABC.10. 【2020山东潍坊高三其他】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．1QF QP +的最小值为21a -B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C 【答案】ACD【解析】A. 因为122F F =，所以()221,0,1=F PF ，所以1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a ，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误；C. 因为点()1,1P 在椭圆内部，所以111a b +<，又1a b -=，所以1b a =-，所以1111+<-a a ，即2310a a -+>，解得(214>==a12+>，所以12=<e ，所以椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故正确； D. 若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以()3,1Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a ，解得24===a ，2=，所以椭圆C 的，故正确. 故选ACD.11.【2020山东高三一模】已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()F ，点P 的坐标为（0，1），点Q 为双曲线C 左支上的动点，且PQF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为( ) AB．CD ．3【答案】AC【解析】设双曲线C 的左焦点为F ',则2QF QF a '-=,即2QF QF a '=+，故22QF PQ QF PQ a PF a ''+=++≥+.由题意可得5PF PF '===，所以2214PQ QF PF PF a +≥+≥+，所以2a ≥.则双曲线C的离心率c e a==≤因为1e >.所以双曲线C的离心率的取值范围为(. 故选AC.12. 【2020山东青岛高三三模】在如图所示的棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，则下列命题中正确的（ ）A ．若点P 总满足1PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线B ．若点P 到点A 的距离为2，则动点P 的轨迹是一个周长为2π的圆C ．若点P 到直线AB 的距离与到点C 的距离之和为1，则动点P 的轨迹是椭圆D ．若点P 到直线AD 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹是双曲线 【答案】ABD【解析】A.在正方体1A C 中，1,AC BD BB ⊥⊥平面ABCD ， 所以11,BB AC BB BD B ⊥=，所以AC ⊥平面11BB D D ，1BD ⊂平面11BB D D ，所以1AC BD ⊥，同理111,AB BD AB AC A ⊥=，所以1BD ⊥平面1AB C ，而点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，且1PA BD ⊥， 所以点P 的轨迹就是直线1B C ，故A 正确；B.点P 的轨迹是以A 2的球面与平面11BCC B 的交线， 即点P 的轨迹为小圆，设小圆的半径为r ， 球心A 到平面11BCC B 的距离为1，则()2211r =-=，所以小圆周长22l r ππ==，故B 正确；C. 点P 到直线AB 的距离就是点P 到点B 的距离，即平面11BCC B 内的点P 满足1PB PC BC +==，即满足条件的点P 的轨迹就是线段BC ，不是椭圆，故C 不正确； D.如图，过P 分别做PM BC ⊥于点M ，1PE CC ⊥于点E ，则PM ⊥平面ABCD ，所以PM AD ⊥，过M 做MN AD ⊥，连结PN ，PM MN M ⋂=，所以AD ⊥平面PMN ，所以PNAD ，如图建立平面直角坐标系，设(),P x y ，PM y =，则221PN y =+，()221PE x =-，即()2211y x +=-，整理为：()2211x y --=， 则动点P 的轨迹是双曲线，故D 正确. 故选ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为5y x =，则该双曲线的离心率是 ． 【答案】32【解析】双曲线22215x y a -=，故5b =由于双曲线的一条渐近线方程为5y x =，即52b a a =⇒=，所以22453c a b =+=+=，所以双曲线的离心率为32c a =. 故答案为：3214. 【20203的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ， 又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：16315.【2020山东潍坊高三其他】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为______.【答案】2213y x -=【解析】由题意，圆()2223F x y -+=：的圆心()2,0F 是双曲线C 的右焦点，2c ∴=.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2223F x y -+=：相切，∴圆心()2,0F 到直线by x a=，223b a =∴=，又2224c a b =+=，221,3a b ∴==.∴双曲线C 的方程为2213y x -=.故答案为：2213y x -=.16. 【2020山东青岛高三二模】抛物线()220y px p =>过圆2248190x y x y +-++=的圆心，()3,A m 为抛物线上一点，则A 到抛物线焦点F 的距离为__________. 【答案】5【解析】圆2248190x y x y +-++=的圆心为48,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()2,4-，代入抛物线方程得()24224p p -=⨯⇒=，所以抛物线方程为28y x =，其准线方程为2x =-，()3,A m 则A 到抛物线焦点F 的距离等于A 到抛物线准线的距离，即距离为325+=. 故答案为：5四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．【答案】（1）221252516x y +=；（2）52.【解析】（1）由题设可得54=22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ = 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ =11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ的距离为2，故11APQ △的面积为15222⨯=. 22||PQ 22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52. 18．【2020年高考北京】已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．【答案】（1）22182x y +=；（2）1. 【解析】 (1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+. 很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==.19．【2020浙江高三二模】已知抛物线21:4C y x =和x 轴上的定点()4,0M ，过抛物线焦点作一条直线交1C 于A 、B 两点，连接,AM BM 并延长，交1C 于C 、D 两点.（1）求证：直线CD 过定点；（2）求直线AB 与直线CD 最大夹角为θ，求tan θ. 【答案】（1）证明见解析；（2）3tan 4θ=. 【解析】（1）证明：由题意知抛物线焦点()1,0F ，当直线AB 斜率不存在时，直线:1AB x =，易得()1,2A ，()1,2B -， 则直线()2:43AM y x =--，()2:43BM y x =-， 所以点()16,8C -，()16,8D ，此时直线:16CD x =；当线AB 斜率存在时，设直线():1AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，不妨设10y >， 则()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，化简得2440y y k--=，>0∆， 则114y y =-，221212144y y x x =⋅=，①当14x =时，则()4,4A ，所以2141y y -==-，21114x x ==，点1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以直线:4AM x =，点()4,4C -，直线()4:415BM y x =-，则()244154y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得点()64,16D ， 所以直线116:33CD y x =-； ②当14x ≠时，此时直线()11:44y AM y x x =--， 则()112444y y x x y x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩，结合2114y x =化简得()2211116160x x x x x -++=，此方程有一根为1x ，所以3116x x =，所以3116y y =-，所以111616,C x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 同理可得221616,D x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由114y y =-，121=x x ，2114y x =可得2116416,C y y ⎛⎫-⎪⎝⎭，()2114,4D y y ， 所以1112211211646444CDy y yk y y y +==--，所以直线()211121:444y CD y y x y y -=--，化简得()12116:4x y CD y y -=-， 可得直线CD 过点()16,0； 综上，直线CD 恒过点()16,0；（2）由（1）知，当直线AB 斜率不存在时，//AB CD ；当直线斜率AB 存在时，1212211221121616116164CDy y x x y y k k y y x x x x -+-==-⋅=--， 设直线AB 与直线CD 的夹角为α，2333tan 4144CD CD k k k k kk kkα，当且仅当2k =±时，等号成立， 所以对于直线AB 与直线CD 最大夹角θ，3tan 4θ=. 20.【2020浙江省高一单元测试】已知函数()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，此时8x π=；最小值为1-，此时2x π=.【解析】（1）()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，该函数的最小正周期为22T ππ==.解不等式()2224k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，得()388k x k k Z ππππ-+≤≤+∈. 因此，函数()y f x =最小正周期为π，单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； （2）,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，32244x πππ∴-≤-≤.当204x π-=时，即当8x π=时，函数()y f x =取得最大值，即()max f x =当3244x ππ-=时，即当2x π=时，函数()y f x =取得最小值，即()min 314f x π==-. 21. 【2020全国高三一模】已知函数()()()32120ax a b x b f x x a =+++>为奇函数，且()f x 的极小值为16-.()f x '为函数()f x 的导函数. （1）求a 和b 的值；（2）若关于x 的方程()32f x x m ='+有三个不等的实数根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1a =，1b =-；（2）()12,11-- 【解析】（1）因为()f x 是奇函数， 所以()()0f x f x --=恒成立， 则()220a b x +=，所以=-b a ，所以()312f x ax ax =-，则()()()2312322x x f x a x a a =-=+-'，令()0f x '=，解得2x =-或2x =，当()2,2x ∈-时，()0f x '<， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()2,2-单调递减，在()2,+∞单调递增，所以()f x 的极小值为()2f ， 由()28241616f a a a =-=-=-， 解得1a =，所以1a =，1b =-，（2）由（1）可知()312f x x x =-，()2312f x x '=-，方程()32f x x m ='+，即为233122x x m -=+，即方程3223120x x m -++=有三个不等的实数根， 设()322312g x x x m =-++，只要使曲线有3个零点即可，设()2660g x x x '=-=，0x ∴=或1x =分别为()g x 的极值点，当(),0x ∈-∞和()1,+∞时，()0g x '>，()g x 在(),0-∞和()1,+∞上单调递增，当()0,1x ∈时()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减，所以，0x =为极大值点，1x =为极小值点.所以要使曲线与x 轴有3个交点，当且仅当()()0010g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即120110m m +>⎧⎨+<⎩， 解得1211m -<<-.即实数m 的取值范围为()12,11--.22. 【2020山东高三其他】已知椭圆22165:x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线l 交椭圆C于A ，B 两点.（1）若1F AB 的面积为11，求直线l 的方程； （2）若222BF F A =，求AB .【答案】（1）10x y ±-=；（2【解析】（1）当直线l 斜率为0时，不满足题意.当直线l 斜率不为0时，设()11A ,x y ，()22B ,x y ，设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆C 的方程消去x ，得()225610250m y my ++-=由0∆＞得m R ∈. 由韦达定理得1221056m y y m -+=+①， 1222556y y m -=+②，则112121122F ABSF F y y =⋅-=⨯==， 整理得4250490m m --=，解得21m =，或24950m =-（舍去）， 所以1m =±，故直线l 的方程为10x y ±-=. （2）若222BF F A =，则()()22111,21,x y x y --=-，所以212y y =-， 代入上式①②得121056m y m =+，21225256y m =+消去1y ，得222102525656m m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，解得m =，所以12121526AB y y y y =-=-===⨯+。