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非局部椭圆型共振方程的非平凡解近年来，随着计算机技术的发展，许多复杂系统及其更深入的研究都成为可能。
比如，现在研究者可以利用计算机技术以前所未有的速度和准确性来解决共振方程，特别是椭圆型共振方程的非平凡解，从而深入了解这些复杂系统的动力学。
共振方程是研究动力学系统振荡行为的重要工具，它由一系列微分方程构成，可描述系统因外界刺激而产生的非稳态行为。
椭圆型共振方程是重要的共振方程之一，它在许多系统中都有重要的应用，如轴承振动、空气动力学中的振荡流及结构动力学中的振荡行为等。
椭圆型共振方程可由一元形式$$frac{d^{2}x}{dt^{2}}+frac{a}{2}frac{dx}{dt}+frac{b}{2}x=ccos omega t$$来表示，其中a，b，c和ω分别为定数。
该方程只有特殊解，称为非平凡解。
当解的函数可以表示为具有指定形状和特征的函数时，就可以称为非平凡解。
特别是，一些椭圆型共振方程中的解具有非局部性质，即函数值在一定范围内有多个峰值，而在其他范围内可能没有峰值。
因此，椭圆型共振方程的非平凡解有别于传统非平凡解，可帮助我们深入了解复杂系统的动力学。
近年来，随着计算机技术的进步，研究者能够以更高的速度和准确性来解决椭圆型共振方程的非平凡解。
为此，有许多计算方法通过利用不同精度、不同求解算法等，可以有效解决椭圆型共振方程的非平凡解。
例如，有研究采用分段序列，采用模拟退火算法、非局部搜索算法等来有效解决椭圆型共振方程的非平凡解。
此外，椭圆型共振方程的非平凡解也可以通过利用差分进化（DE）算法来求解。
目前，差分进化（DE）算法已在椭圆型共振方程的非平凡解领域得到广泛应用，它可以有效搜索出椭圆型共振方程的非平凡解，从而更好地理解复杂系统的动力学。
同时，研究者也采用粒子群优化（PSO）算法以解决椭圆型共振方程的非平凡解。
粒子群优化（PSO）算法是一种很有效的迭代优化算法，它可以有效搜索出椭圆型共振方程的非平凡解，从而更好地理解复杂系统的动力学。
一类具退化强制的椭圆方程熵解的存在性作者：代丽丽来源：《华东师范大学学报（自然科学版）》2019年第04期摘要：通过运用截断方法研究了一类带有变指数的椭圆方程.先利用变指数情形下的Marcinkiewicz估计，在得到逼近解序列的截断函数先验估计的基础上，选取适当的检验函数对逼近解序列做出估计，以此得出这类椭圆方程在加权Sobolev空间中熵解的存在性.关键词：退化椭圆方程; 加权Sobolev空间; 变指数; 截断函数中图分类号：0175.2文献标志码：ADOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.2019.04.0060 引言近几十年来，因为椭圆方程在几何学、电磁学、弹性力学、流体力学中都有着重要应用，所以该选题一直都是学者们关注的重点内容.随着研究的不断深入，带有变指数的偏微分模型走进了学者们的视野，它主要来源于电流变流体[1]，可以描述非Newton流体的热对流效应[2]以及热动力学中的一些演化现象[3]，非齐次媒质的热与物质交换[4]等，还可应用于力学[5]，图像学[6]等多方面.与常指数偏微分模型相比它具有更多的优势，能够更为实际和精准地描述扩散过程.[参考文献][1]RUZICKA M. Electrorheological fluids： Modeling and Mathematical Theory [M]. Berlin：Springer-Verlag， 2000.[2]ANTONTSEV S N， DfAZ J I， DE OLIVEIRA H B. Thermal effects without phase changing [J]. Progress inNonlinear Differential Equations and Their Application， 2015， 61： 1-14.[3]ELEUTERI M， HABERMANN J. Calderon-Zygmund type estimates for a class of obstacle problems with p（x）growth[J]. J Math Anal Appl， 2010， 372： 140-161.[4]RODRIGUES J F， SANCHON M. URBANO J M. The obstacle problem for nonlinear elliptic equations withvariable growth and L1-data[J]. Monatsh Math， 2008， 154： 303-322.[5]BLANCHARD D， GUIBE 0. Existence of a solution for a nonlinear system in thermoviscoelasticity[Jl. AdvDifferential Equations， 2000， 5： 1221-1252.[6]HARJULEHTO P， HASTO P， LATVALA V， et al. Critical variable exponent functionals in image restoration[J].Appl Math Lett， 2013. 26： 56-60.[7]GOL'DSHTEIN V. UKHLOV A. Weighted Sobolev spaces and embedding theorems[J]. Trans Amer Math Soc，2009. 361： 3829-3850.龙源期刊网 [8]BLANCHARD D， MURAT F， REDWANE H. Existence and uniqueness of a renormalized solution for a fairlygeneral class of nonlinear parabolic problems [J]. J Differential Equations， 2001， 177（2）： 331-374.[9]DAI L L， GAO W J， LI Z Q. Existence of solutions for degenerate elliptic problems in weighted Sobolev space[J].Journal of Function Spaces， 2015， 2015： 1-9.[10]ZHANG C， ZHOU S. Entropy and renormalized solutions for the p（x）-Laplacian equation with measure data[Jl.Bull Aust Math Soc， 2010. 82： 459-479.[11] 代麗丽，曹春玲. 一类具权函数的退化椭圆方程的性质[J].吉林大学学报（理学版），2018， 56： 589-593.[12]LIONS J L. Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires[M]. Paris： Dunod， 1969.。
D O I :10.3969/j.i s s n .1001-5337.2021.2.001 *收稿日期:2020-06-18基金项目:国家自然科学基金(11471187).作者简介:张海燕,女,1995-,硕士生;研究方向:非线性泛函分析;E -m a i l :2251890822@q q.c o m.通信作者:毛安民,男,1973-,博士,教授;研究方向:非线性泛函分析;E -m a i l :m a o a m@163.c o m.四阶非局部基尔霍夫方程的多重解*张海燕, 莫 帅, 赵月云, 毛安民(曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市) 摘要:研究如下四阶基尔霍夫椭圆型方程Δ2u -a +bʏℝ3|Ñu |2dx ()Δu +V (x )u =q (x )f (x ,u ),x ɪℝ3,u ɪH 2(ℝ3),{其中Δ2=Δ(Δ)为双调和算子,a ,b >0为常数,且势函数V (x )ɪC (ℝ3,ℝ).在合理的假设下,通过使用变分法获得了此方程的基态解和山路解.关键词:基态解;山路解;变分法中图分类号:O 175.8 文献标识码:A 文章编号:1001-5337(2021)02-0001-060 引 言本文讨论如下一类重要的四阶椭圆型方程Δ2u -a +bʏℝ3|Ñu |2dx ()Δu +V (x )u =q (x )f (x ,u ),x ɪℝ3,u ɪH 2(ℝ3).{(*)由于上式方程中出现的积分项为ʏℝ3|Ñu |2d x ()Δu ,问题(*)通常称为一类非局部问题.非局部项的出现引发了一些重要的数学困难,这使得问题(*)的研究变得极其有趣.在有界区域上的基尔霍夫问题与下述方程密切相关-a +bʏℝN|Ñu |2d x ()Δu +V (x )u =f (x ,u ),i nΩ,u (x )=0,o n∂Ω.{设V (x )=0,q (x )ʉ1,ℝ3被光滑区域Ω⊂ℝ3所代替,并且在∂Ω上u =Ñu =0,则问题(*)转化为下述四阶基尔霍夫方程Δ2u -a +bʏΩ|Ñu |2dx ()Δu =f (x ,u ),x ɪΩ,u =0,Ñu =0,o n∂Ω.{在文献[3]中,M a 运用变分方法来研究非局部四阶基尔霍夫方程u (4)-Mʏ|u '|2d x ()u ᵡ=h (x )f (x ,u ,u '),u (0)=u (1)=u ᵡ(0)=uᵡ(1){的正解的存在性以及多重性.第47卷 第2期2021年4月 曲阜师范大学学报J o u r n a l o f Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t yV o l .47 N o .2A p r .2021在问题(*)中,当a =1,b =0,且q (x )=1时,在ℝN 上问题(*)便转化为著名的四阶椭圆型方程Δ2u -Δu +V (x )u =f (x ,u ),x ɪℝN ,u ɪH 2(ℝN ),{(**)对问题(**)的研究已有很多工作.例如,Y i n 和W u [8]通过利用山路定理和对称山路定理研究问题(**)超线性情况下有无穷多个高能量解,为了克服S o b o l e v 嵌入紧性缺失的情况,他们假设V (x )满足(V ')V ɪC (ℝN ,ℝ),满足i n f x ɪℝNV (x )ȡa 1>0,其中a 1>0为常数.而且,对于任何M >0,m e a s x ɪℝN ,V (x )ɤM {}<ɕ,其中m e a s(㊃)为在ℝN 中的勒贝格测度.随后,在条件(V ')下,Y e 和T a n g [9]获得了无穷多个高能量解和低能量解,从而对文献[8]中的结果得到了进一步的推广.最近,A v c i ,e t a l .[2]通过利用变分方法以及截断方法研究如下问题Δ2u -a +bʏℝN|Ñu |2()Δu +c u =f (u )得到了至少有一个正解.综上可知,四阶非局部基尔霍夫问题的正解㊁高能量解㊁低能量解的存在性已得到广泛㊁深入的研究,但是关于四阶非局部基尔霍夫问题的山路解以及基态解的结果很少.受以上文献启发,本文利用山路定理研究问题(*)的山路解以及基态解.对V (x )以及q (x )作如下假设,其中a ,b >0为常数,(A )q (x )>0为连续函数且存在R 0>0,使得s u p f (x ,u )u :u >0{}<i n f 1q(x ):|x |ȡR 0{}. (V )V ɪC (ℝ3,ℝ)满足i n f x ɪℝ3V (x )>0,且存在r >0使得l i m |y|ң+ɕm e a s x ɪℝ3:|x -y|ɤr ,V (x )ɤM {}=0,对任意M >0都成立.对f (x ,u )作如下假设,(f 1)对任意的x ɪℝ3,有l i m |u |ң0f (x ,u )u=0一致成立.(f 2)存在l ɪ(0,+ɕ),当|u |ң+ɕ时,使得f (x ,u )uңl 成立.(f 3)对所有的x ɪℝ3,存在d 0满足0ɤd 0<14S 2,使得q (x )F (x ,u )-14q (x )(f (x ,u ),u )ɤd 0|u |2成立,其中u ɪℝ且S 2由(2.1)定义.对于V (x ),条件(V ')是一个经典的限制条件用来确保嵌入的紧性.在文献[1]中,B a r t s c h 和W a n g 证实了以上限制条件(V )弱于(V ').当然,在文献[7]中仍然有其他方法确保紧性条件成立.在这篇论文中,我们使用比(V ')更弱的条件(V )来获得嵌入的紧性.1 主要结果本文的研究主要结果如下.定理1.1 假设(f 1)-(f 3),(V )和(A )成立,若l >μ,其中μ=i n f ʏℝ3(|Ñu |2+a |Δu |2+V (x )u 2)d x ,u ɪE ,ʏℝ3q (x )u 2d x =1{}.则(ⅰ)存在b >0,使得对所有的b ɪ(0,b ),问题(*)至少有一个非平凡的山路解.(ⅱ)问题(*)至少有一个基态解.与已有文献工作相比较,本文的工作的新颖之处主要体现在以下两方面.(1)为了克服紧性缺失,通常的方法是在有界区域Ω研究,这使得对任意p ɪ[2,6),嵌入映射H 10(Ω)L P (ℝ3)为紧.本文中我们直接在无界区域全空间ℝ3上研究问题(*),如何恢复嵌入的紧性是一个重要的复杂的问题.2 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2021年(2)用q (x )f (x ,u )来代替通常的非线性项f (x ,u ),形式上较为复杂,这使得对于验证泛函的山路几何结构有一定的困难.大多数文章用变分方法以及截断方法研究四阶非局部基尔霍夫问题的正解㊁高能量解㊁低能量解,极少有文章研究此类方程的基态解以及山路解.因此,本文的工作是对已有四阶非局部基尔霍夫问题研究的有益的补充和推广.本文结构如下,第2节给出必要的预备知识和变分框架,第3节给出相关引理以及主要定理的证明.2 预备知识和变分框架本文采用如下记号.定义S o b o l e v 空间H :=H 2(ℝ3):={u ɪL 2(ℝ3):Ñu ,Δu ɪL 2(ℝ3)},内积以及范数分别为(u ,v )=ʏℝ3(Δu Δv +Ñu Ñv +u v )d x , u H :=(u ,u )12H,工作空间为E =u ɪH :ʏℝ3(|Δu |2+|Ñu |2+V (x )u 2)d x <+ɕ{},内积和范数分别为(u ,v )=ʏℝ3(Δu Δv +a Ñu Ñv +V (x )u v )d x , u :=(u ,u )12,其中 ㊃ 等价于 ㊃ H .因为E L P (ℝ3)(2ɤp ɤ6)为连续的,则存在S p >0,使得|u |p ɤS pu ,∀u ɪE .(2.1)显然,众所周知,由于对势函数V 的假设,则EL P (ℝ3)为紧的,对任意p ɪ[2,6),具体参考文献[5]的引理3.4以及文献[1].定义泛函I b (u )=12 u 2+b4ʏℝ3|Ñu |2d x ()2-ʏℝ3q (x )F (x ,u )d x ,u ɪE ,(2.2)其中F (x ,u )=ʏu 0f (x ,s )d s .在已有条件下可得I b ɪC 1(E ,ℝ),并且对于任意的u ,v ɪE ,有<I 'b (u ),v >=ʏℝ3(Δu Δv +a Ñu Ñv +V (x )u v )d x +bʏℝ3|Ñu |2d x ʏℝ3Ñu Ñv d x -ʏℝ3q (x )f (x ,u )v d x .(2.3)泛函I b 的临界点就是问题(*)的弱解,u ɪE 称为泛函I b 的一个临界点是指I 'b (u )=0.定义2.2 设E 为巴拿赫空间,E *为E 的对偶空间,如果对任意的序列{u n },I (u n )ңc ,I '(u n )ң0,序列{u n }都有一个收敛子列,则称泛函I 满足(P S )c 条件.引理2.3 设E 为实的巴拿赫空间,假设I ɪC 1(E ,ℝ),使得对某个α<η,ρ>0,e ɪE 且 e >ρ,有m a x {I (0),I (e )}ɤα<ηɤi n f u =ρI (u )成立.设^c ȡη且^c =i n f γɪΓm a x 0ɤγɤ1I (γ(τ)).则存在序列{u n }⊂E ,使得当n ңɕ时,有I (u n )ң^c ȡη且I'(u n )ң0.3 定理的证明首先证明下列引理.引理3.1 假设(f 1)-(f 3),(V )以及(A )成立,则(ⅰ)存在ρ>0,α>0,使得对所有的u ɪE ,且 u =ρ,有I b (u )ȡα>0.(ⅱ)若l >μ,且有b ,使得对任意的b ɪ(0,b ),存在e ɪE , e >ρ,使得I b (e )<0成立.3第2期 张海燕,等:四阶非局部基尔霍夫方程的多重解证明 (ⅰ)由条件(f 1)和(f 2)知,对任意的ε>0,存在p >1和C =C (ε)>0使得f (x ,u )ɤε|u |+C |u |p ,∀x ɪℝ3,(3.1)则有F (x ,u )ɤε2|u |2+A |u |p +1,∀x ɪℝ3,(3.2)其中A =A (ε,p )>0.而且,由(f 1)-(f 3)以及(A )知,存在C 1>0使得q (x )ɤC 1,∀x ɪℝ3.(3.3)因此,由(3.2)和(3.3)知,对任意的u ɪE ,有ʏℝ3q (x )F (x ,u )d x ɤʏℝ3εC 12|u |2+A C 1|u |p +1æèçöø÷d x =εC 12|u |22+A C 1|u |p +1p +1ɤεC 1S 22u 2+A C 1S p +1 u p +1,由于b4ʏℝ3|Ñu |2d x ()2为非负的,且根据S o b o l e v 不等式得I b (u )=12 u 2+b4ʏℝ3|Ñu |2d x ()2-ʏℝ3q (x )F (x ,u )d x ȡ12 u 2-εC 1S 22u 2-A C 1S P +1 u p +1=12(1-εC 1S 2) u 2-A C 1S p +1 u p +1.因此,当选取εɪ0,12C 1S 2æèçöø÷且 u =ρ>0足够小时,(ⅰ)便可得证.(ⅱ)根据μ的定义以及l >μ,存在u ɪH 且u ȡ0,使得ʏℝ3q (x )u 2d x =1,μɤʏℝ3(|Ñu |2+a |Δu |2+V (x )u 2)d x <l .由(A )以及法图引理得l i m t ң+ɕI 0(t u )t 2= u 22-l i m t ң+ɕʏℝ3q (x )F (x ,t u )(t u)2u 2d x ɤ12( u 2-l )<0.取e =t 0u 且t 0足够大,因此I 0(e )=I 0(t 0u )<0,且 e =t 0 u >ρ.由于I (e )=I 0(e )+b4ʏℝ3|Ñu |2d x ()2为连续的,在b ȡ0为递增的,且I 0(e )<0,则存在足够小的b ,使得对所有的b ɪ(0,b ),有I b (e )<0,则(ⅱ)得证.对于引理3.1给出的α和e ,根据引理2.3知,存在(P S )序列{u n }⊂E 使得I b (u n )ңc >0,I 'b (u n )ң0,n ңɕ.(3.4) 引理3.2 假设(V ),(f 1)-(f 3)和(A )成立,则由(3.1)定义的{u n }有一个收敛的子序列.证明 对于足够大的n ,由(f 3),(2.2)以及(2.3)知 c +1+ u n ȡI (u n )-14<I '(u n ),u n >=12 u n 2+b4ʏℝ3|Ñu n |2d x ()2-ʏℝ3q (x )F (x ,u n)d x =14 u n 2-b 4ʏℝ3|Ñu n|2d x ()2+14ʏℝ3q (x )f (x ,u n )u nd x =14 u n 2+14ʏℝ3q (x )f (x ,u n )u nd x -ʏℝ3q (x )F (x ,u n)d x ȡ14u n 2-d 0ʏℝ3u 2nd x =14u n2-d 0u n22ȡ14u n 2-d 0S 2 u n 2.4 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2021年以上讨论得出了{u n }的有界性.接下来,证明序列{u n }有一个收敛的子序列.仍把子列记为{u n },假设u n ⇀u 在E 中,u n ңu 在L s (ℝ3)中,其中2ɤs <6,u n ңu 几乎处处在ℝ3中,则 <I 'b (u n )-I 'b (u ),u n -u >=ʏℝ3|Δ(u n-u )|2d x +a +b ʏℝ3|Ñu n|2d x ()ʏℝ3|Ñ(u n-u )|2d x +ʏℝ3|Ñ(u n-u )|2dx -b ʏℝ3|Ñu |2d x -ʏℝ3|Ñu n|2d x ()ʏℝ3Ñu Ñ(u n-u )d x -ʏℝ3(q (x )f (x ,u n )-q (x )f (x ,u ))(u n-u )d x +ʏℝ3V (x )|u n-u |2d x .通过计算可得u n -u 2ɤ<I 'b (u n )-I 'b (u ),u n -u >-ʏℝ3(q (x )f (x ,u n )-q (x )f (x ,u ))(u n-u )d x +b ʏℝ3|Ñu |2d x -ʏℝ3|Ñu n|2d x ()ʏℝ3Ñu Ñ(u n-u )d x .其次,设E =u ɪL 2(ℝ3)|Ñu ɪL 2(ℝ3){},由于嵌入E E 的连续性以及{u n }在E 中的有界性得bʏℝ3|Ñu |2d x -ʏℝ3|Ñu n|2d x ()ʏℝ3Ñu Ñ(u n -u )d x ң0,n ңɕ时.因为ʏℝ3|q (x )f (x ,u n )-q (x )f (x ,u )||u n-u |d x ɤ C 1ʏℝ3(|f (x ,u n )|+|f (x ,u )|)|u n-u |d x ɤεC 1ʏℝ3(|u n |+|u |)|u n-u |d x +C C 1ʏℝ3(|u n|p +|u |p)|u n-u |d x ɤεC 1(|u n |2+|u |2)|u n -u |2+C C 1(|u n |p p +1+|u |p p +1)|u n -u |p +1ɤεC 2|u n -u |2+C 3C 1|u n -u |p +1ң0,n ңɕ.显然,由于当n ңɕ时,有I 'b (u n )ң0,所以有n ңɕ时,得出<I 'b (u n )-I 'b (u ),u n -u >ң0,所以当n ңɕ时,有 u n -u E ң0成立.证毕.定理1.1的证明 (ⅰ)由引理3.1,3.2以及引理2.3可证得此结果.(ⅱ)为了获得基态解,用K 表示I b 的非平凡临界点集.设m =i n f {I b (u ):u ɪK },很容易得出K 为非空的.对于任何u ɪK ,有0=<I 'b (u ),u >= u 2+b ʏℝ3|Ñu |2d x ()2-ʏℝ3q (x )f (x ,u )u d x ȡ u 2-ʏℝ3q (x )f (x ,u )u d x .正如在引理3.1中的证明一样,我们选取εɪ0,12C 1S 2æèçöø÷,由(3.1),(3.3)以及S o b o l v e 嵌入定理得ʏℝ3q (x )f (x ,u )u d x ɤʏℝ3εC 1|u |2+CC 1|u |p +1()d x ɤεC 1|u |22+C C 1|u |p +1p +1ɤεC 1S 2 u 2+C C 1S p +1 u p +1.因此,对于任意的u ɪK ,有0ȡ u 2-εC 1S 2 u 2-C C 1S p +1 u p +1.(3.5)由于对任意的u ɪK ,均有u ʂ0,则由(3.5)知,对任意的u ɪK ,有 u ȡ1-εC 1S 2CC 1S p +1æèçöø÷1p -1>0.(3.6)因此,在K 中,序列的任何极限点均非零.我们断言I b 在K 中下方有界.也就是说,对所有的u ɪK ,存在M >0,使得I b (u )ȡ-M .否则,对任意的n ɪℕ,存在{u n }⊂K 使得I b (u n )<-n .由3.1(ⅰ)知I b (u n )ȡ14u n 2-AC 1S p +1 u n p +1,结合5第2期 张海燕,等:四阶非局部基尔霍夫方程的多重解I b (u n )<-n ,这意味着当n ңɕ时,有 u n ң+ɕ.正如引理3.2的证明,我们知道 u n ң+ɕ是不可能的.则I b 在K 中是下方有界的.因此m ȡ-M .设{u n }⊂K ,使得当n ңɕ时,有I b (u n )ңm .则对于序列u n {}以及实数m ,(3.4)式成立.下面的步骤与引理3.2中的证明相似,我们可以得出u n {}在H 中是有界的,把其子列仍记为u n {},且有 u n ң u ,其中u ɪE \{0},而且I b (u )=m ,以及I 'b (u )=0.因此,u ɪE \{0}为问题(*)的基态解.证毕.参考文献:[1]B a r t s c hT ,W a n g ZQ.E x i s t e n c e a n dm u l t i p l i c i t y r e s u l t s f o r s o m e s u p e r l i n e a r e l l i p t i c p r o b l e m s o nℝN [J ].C o mm u n i c a t i o n 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t h i s p a p e r ,w e c o n c e r nw i t h t h e f o l l o w i n g f o u r t ho r d e r e l l i p t i c e q u a t i o n s o fK i r c h h o f f t y p e Δ2u -a +bʏℝ3|Ñu |2dx ()Δu +V (x )u =q (x )f (x ,u ),x ɪℝ3,u ɪH 2(ℝ3),{w h e r eΔ2=Δ(Δ)i s t h eb i -h a r m o n i c o p e r a t o r ,a ,b >0a r e c o n s t a n t s ,a n d V (x )ɪC (ℝ3,ℝ).U n d e r a p pr o -p r i a t e a s s u m p t i o n s ,t h e e x i s t e n c e o fm o u n t a i n -p a s s s o l u t i o n a n d a g r o u n d s t a t e s o l u t i o n i s o b t a i n e d b y u s i n gt h e v a r i a t i o n a lm e t h o d s .K e y wo r d s :g r o u n d s t a t e s o l u t i o n ;M o u n t a i n -p a s s s o l u t i o n ;v a r i a t i o n a lm e t h o d 6 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2021年。
