2018-2019学年北师大版选修2-1 第二章 空间向量与立体几何 单元测试

一、选择题1．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．132．已知向量(2,0,2)a =-，则下列向量中与a 成45的夹角的是（ ） A ．(0,0,2) B ．(2,0,0) C ．()0,2,2 D ．()2,2,0- 3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为（ ） A ．26 B ．36 C ．56 D ．13 4．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P CM ⊥，则PBC ∆的面积的最小值为（ ）A 25B 5C ．45D ．15．已知在平行六面体1111ABCD A BC D -中，过顶点A 的三条棱所在直线两两夹角均为60︒，且三条棱长均为1，则此平行六面体的对角线1AC 的长为（ ）A 3B ．2C 5D 66．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )A ．13B ．223C ．324D ．127．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A ．12 B ．22 C ．13 D ．16 8．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．105B ．1010C ．32D ．629．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．16010．如图所示，平行六面体1111ABCD A BC D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒.求1BD 与AC 夹角的余弦值是（ ）A 3B 6C ．217D 21 11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60︒，若对角线1AC 的长是棱长的m 倍，则m 等于（ ）A ．2B ．3C ．1D ．212．在平面直角坐标系中，()2,3A -、()32B -，，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则AB 的长为（ ）A ．2B ．211C ．32D ．42二、填空题13．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P AB R λλ=∈若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为______．14．设(3,3,1),(1,0,5),(0,1,0)A B C ，则AB 中点M 到C 的距离CM = _______.15．已知空间直角坐标系中点()123p ，，，()321Q ，，，则||PQ =__________． 16．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -中，M 为棱11D C 的中点，则直线BM 和平面11AC B 所成角的正弦为_____________________.17．如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心,则点O 到平面ABC 1D 1的距离为 .18．在直三棱柱111ABC A B C -中,若1BAC 90,ABAC AA ，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于_________ 19．已知平面α⊥平面β，且l αβ⋂=，在l 上有两点A ，B ，线段AC α⊂，线段BD β⊂，并且AC l ⊥，BD l ⊥，6AB =，24BD =，8AC =，则CD =______． 20．正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为________三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，223AB DC ==，AC BD F ⋂=，且PAD △与ABD △均为正三角形，AE 为PAD △的中线，点G 在线段AE ，且2AG GE =.（1）求证：GF //平面PDC ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAD 与平面GBC 所成锐二面角的余弦值.22．如图，平行四边形ABCD 中，26AD AB ==，,E F 分别为,AD BC 的中点.以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，使点C 到达点M 的位置，点D 到达点N 的位置，且NF NA =.（1）求证：平面AFN ⊥平面NEB ；（2）若23BE =，求点F 到平面BEM 的距离.23．如图，已知ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，//AD EG 且2AD EG =，//GD CF 且2GD FC =，2DA DG ==.（1）求平面BEF 与平面CDGF 所成二面角的余弦值；（2）设M 为FG 的中点，N 为正方形ABCD 内一点（包含边界），当//MN 平面BEF 时，求线段MN 的最小值.24．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，90ADC ∠=︒，3AD =，22SD CD AB ===，点E ，F 分别是BC ，SD 的中点.（1）求证：//EF 平面SAB ；（2）若SB SC =，2EF =，求二面角B SC D --的余弦值.25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是等腰梯形//,2,4,,AB DC BC CD AD AB M N ====分别是,AB AD 的中点.（1）证明：平面PMN ⊥平面PAD ；（2）若二面角C PN D --的大小为60°，求四棱锥P ABCD -的体积.26．如图：三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且222AD AB CD ===，2BC =；BM AC ⊥，BN AD ⊥，垂足分别为M ，N .（1）求证：AMN 为直角三角形；（2）求直线BC 与平面BMN 所成角的大小.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标，作1HM BB ⊥,连接PM ,可得222HP HM MP =+，作1PN CC ⊥，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得2HP 的范围.【详解】根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示：作1HM BB ⊥交1BB 于M,连接PM ，则HM PM ⊥作1PN CC ⊥交1CC 于N ，则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离.设(),3,P x z ,则()()()1,3,2,3,3,2,0,3,F M N z ()03,03x z ≤≤≤≤∵点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长∴PN PF =由两点间距离公式可得()()2212x x z =-+-()2212x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥综上可得132x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+()()222332x z =+-+-()223321x x =+-+-()2213x =-+132x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以213HP ≥（当时2x = 取等）故选:D【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难题.2．B解析：B【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到答案【详解】根据夹角余弦值cos a ba b θ⋅=对于A 若()b 0,0,2,=则-222==-222a b a b ⋅⨯，而2cos 452︒=，故不符合条件 对于B 若()b 20,0,=，则222==222a ba b ⋅⨯，而2cos 452︒=，故符合条件 对于C 若()b 0,22,=，则-21==-cos 45222a b a b ⋅≠︒⨯，故不符合条件 对于D 若()b 2-20=，，则21==cos 45222a b a b ⋅≠︒⨯，故不符合条件 故选B【点睛】 本题考查了向量的数量积，运用公式代入进行求解，较为简单3．A解析：A【分析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量求异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26． 【详解】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A （2，0，0），E （0，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0）， ()2,2,1AE =-,()10,2,2D C =- ,∵cos ＜1,AE DC ＞26922=⋅. ∴异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26． 故选A ．【点睛】 本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．A解析：A【分析】建立空间直角坐标系，设出P 点的坐标，利用1CM D P ⊥求得P 点坐标间的相互关系，写出三角形PBC 面积的表达式，利用二次函数的对称轴，求得面积的最小值.【详解】以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，依题意有()()()()12,0,1,0,2,0,0,0,2,2,,M C D P a b ，()()12,2,1,2,,2MC D P a b =--=-，由于1CM D P ⊥，故()()2,2,12,,24220a b a b --⋅-=-+-+=，解得22b a =-.根据正方体的性质可知，BC BP ⊥，故三角形PBC 为直角三角形，而()2,2,0B ，故()0,2,PB a b =--=PBC 的面积为(122BC PB ⨯⨯==126105a ==时，面积取得最小值为=，故选A. 【点睛】本小题主要考查空间两条直线相互垂直的坐标表示，考查三角形面积的最小值的求法，还考查了划归与转化的数学思想.属于中档题.空间两条直线相互垂直，那么两条直线的方向向量的数量积为零.对于两个参数求最值，可利用方程将其中一个参数转化为另一个参数，再结合函数最值相应的求法来求最值.5．D解析：D【分析】由()2211+BC CC ,AC AB =+根据已知条件能求出结果 【详解】∵()2211+BC CC AC AB =+ =222111222AB BC CC AB BC AB CC BC CC +++⋅+⋅+⋅=1+1+1+2×1×1×cos60°+2×1×1×co s60°+2×1×1×cos60°=6．∴AC =故选D ．【点睛】这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.6．B解析：B【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()10,? 02AA =，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC ， ∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设11111222AA A B B C ===， 则11,1,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，）， 11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）=， 设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，则11cos 18MB AA MB AA θ⋅===⋅ ∴异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为3，故选B ． 【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.7．C解析：C【分析】 根据题意，以D 为坐标原点，直线1DADC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，平面外一点到平面的距离可以用平面上任意一点与该点的连线在平面法向量上的投影表示，而法向量垂直于平面上所有向量，由AC ，1AD 即可求得平面1ACD 的法向量n ，而1D E 在n 上的投影即为点E 到面1ACD 的距离，即可求得结果【详解】以D 为坐标原点，直线1DADC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1101A ，，，()1001D ，，,()100A ，，，()020C ，， E 为AB 的中点，则()110E ，， ()1111D E ∴=-，，，()120AC =-，，，()1101AD =-，，设平面1ACD 的法向量为()n a b c =，，，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩ 可得2a ba c =⎧⎨=⎩可取()212n =，， ∴点E 到面1ACD 的距离为1212133D E n d n⋅+-=== 故选C 【点睛】本题是一道关于点到平面距离的题目，解题的关键是掌握求点到面距离的方法，建立空间直角坐标系，结合法向量求出结果，属于中档题。

[学习目标] 1.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义.2.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线向量定理.3.利用向量知识解决立体几何中一些简单的问题.知识点一 空间向量的加法设a 和b 是空间两个向量，如图，过点O 作OA →＝a ，OB →＝b ，则平行四边形的对角线OC 对应的向量OC →就是a 与b 的和，记作a ＋b . 知识点二 空间向量的减法a 与b 的差定义为a ＋(－b )，记作a －b ，其中－b 是b 的相反向量. 知识点三 空间向量加减法的运算律 (1)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ). (2)交换律：a ＋b ＝b ＋a . 知识点四 数乘的定义空间向量a 与实数λ的乘积是一个向量，记作λa . (1)|λa |＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. (3)交换律：λa ＝a λ(λ∈R ).(4)分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . (λ＋μ)a ＝λa ＋μa (λ∈R ，μ∈R ). (5)结合律：(λμ)a ＝λ(μa )(λ∈R ，μ∈R ). 知识点五 定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 思考 (1)实数λ和空间向量a 的乘积λa 的意义是什么？ (2)实数与空间向量可以相加、相减吗？答案 (1)λ>0时，λa 和a 方向相同；λ<0时，λa 和a 方向相反；λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍.(2)不能.因为向量既有大小又有方向.题型一 空间向量的加减运算例1 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )①A 1D 1→－A 1A →－AB →； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→； ③AD →－AB →－DD 1→； ④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→. A.①②B.②③C.③④D.①④ 答案 A解析 (1)A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； (2)BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；(3)AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；(4)B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→，故选A. 反思与感悟 运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”.跟踪训练1 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是________(填序号).①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. 答案 ①②③④解析 ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以所给四个式子的运算结果都是AC 1→.题型二 空间向量的数乘运算例2 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋(a ＋c ＋12b )＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， ∴MP →＋NC 1→＝(12a ＋12b ＋c )＋(a ＋12c )＝32a ＋12b ＋32c . 反思与感悟 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形进行求解.如果要表示的向量与已知向量起点相同，一般用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，则用数乘.跟踪训练2 如图所示，在平行六面体ABCDA ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用a ，b ，c 表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.解 (1)∵P 是CA ′的中点，∴AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(a ＋b ＋c ). (2)∵M 是CD ′的中点，∴AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→)＝12(a ＋2b ＋c ). (3)∵N 是C ′D ′的中点，∴AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→)＝12a ＋b ＋c . (4)∵CQ ∶QA ′＝4∶1，∴AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA ′→－AC →)＝15AC →＋45AA ′→＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→ ＝15a ＋15b ＋45c . 题型三 向量共线问题例3 如图，四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，则CE →与MN →是否共线？解 方法一 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.①又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，②①＋②得2MN →＝CE →， ∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线.方法二 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AF →)－12AC →＝12(AB →＋AF →)－12(AB →＋AD →) ＝12(AF →－AD →)＝12(BE →－BC →)＝12CE →. ∴MN →∥CE →，即MN →与CE →共线.反思与感悟 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb 成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a ＝λb ，从而得到a ∥b .跟踪训练3 设两非零向量e 1、e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2).试问：A 、B 、D 是否共线，请说明理由.解 ∵BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋8e 2)＋3(e 1－e 2) ＝5(e 1＋e 2)，∴BD →＝5AB →，又∵B 为两向量的公共点， ∴A 、B 、D 三点共线.1.设a ，b 是两个不共线的向量，λ，μ∈R ，若λa ＋μb ＝0，则( ) A.a ＝b ＝0 B.λ＝μ＝0 C.λ＝0，b ＝0 D.μ＝0，a ＝0答案 B解析 ∵a ，b 是两个不共线的向量， ∴a ≠0，b ≠0，∴只有B 正确.2.设空间中四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝OA →＋tAB →，其中0<t <1，则有( ) A.点P 在线段AB 上 B.点P 在线段AB 的延长线上 C.点P 在线段BA 的延长线上 D.点P 不一定在直线AB 上 答案 A解析 ∵0<t <1，∴点P 在线段AB 上.3.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于( ) A.12a －23b ＋12c B.－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c 答案 B解析 MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13a ＋(b －a )＋12(c －b )＝－23a ＋12b ＋12c .4.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A.－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝12(AD →－AB →)＋AA 1→＝－12a ＋12b ＋c .5.如图，在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示). 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .1.空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线，三个向量共面问题，在几何中可以解决一些点共线、点共面、线面平行问题.2.向量可以平移，任意两个向量都是共面向量.因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算.。

一、选择题1．正方体''''ABCD A B C D -棱长为6，点P 在棱AB 上，满足PA PB =，过点P 的直线l 与直线''A D 、'CC 分别交于E 、F 两点，则EF =（ ）A ．313B ．95C ．18D ．212．在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平四边形，设OA a =，OB b =，OC c =，则BD 可表示为（ ）A ．a c b +-B ．a +2b c -C ．c b a +-D ．a c +-2b 3．如图，在几何体111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，111////AA BB CC ，1AA ⊥平面ABC ，若E 是棱11B C 的中点，且1112AB AA CC BB ===，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A ．1313 B 213 C 26 D 226 4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为（ ）A ．26B 3C 5D ．135．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等；②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③ 6．已知在平行六面体1111ABCD A BC D -中，过顶点A 的三条棱所在直线两两夹角均为60︒，且三条棱长均为1，则此平行六面体的对角线1AC 的长为（ ）A ．3B ．2C ．5D ．6 7．设平面α的一个法向量为1(1,2,2)n =-，平面β的一个法向量为2(2,4,)n k =--，若//αβ，则k = ( )A ．2B ．-4C ．-2D ．4 8．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC ∆的边长为1，AE ⊥平面,ABC CD AE ∥，且12CD AE =.设CE 与平面ABE 所成的角为,(0)AE k k α=>，若ππ[,]64α∈，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A 2B ．1C 2D 39．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( ) A 7B 7 C 7 D 7 10．记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A BC D 的对角线1BD 上一点，记11D P D B λ=．当APC ∠为钝角时，则λ的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．1(,1)3 C ．1(0,)3 D ．(1,3)11．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动.当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C 12．已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是平面ABC 外一点，则在下列条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的条件是（ ）A ．111222OM OA OB OC =++ B ．OM OA OB OC =++ C ．1133OM OA OB OC =-+ D ．2OM OA OB OC =--二、填空题13．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则有以下四个结论，其中结论正确的是__________________.（请将你认为正确的结论的序号都填上，注意：多填、错填、少填均不得分.）①//AC 截面PQMN ；②AC BD ⊥；③AC BD =；④异面直线PM 与BD 所成的角为045.14．设(3,3,1),(1,0,5),(0,1,0)A B C ，则AB 中点M 到C 的距离CM = _______. 15．如右图，AO ⊥平面α，点0为垂足，BC ⊂平面α，BC OB ⊥，若π4ABO ∠=，π6COB ∠=，则 tan BAC ∠=__________．16．已知(1,2,1),(2,2,2)A B -，点P 在z 轴上，且PA PB =，则点P 的坐标为____________.17．如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心,则点O 到平面ABC 1D 1的距离为 .18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中,12AA =，1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点.有下列判断：① 直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直1AC ；③ 三棱锥1E AAO -的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为22 其中正确的序号序号是______.19．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.20．已知60︒ 的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知1AB = ，2AC = ，3BD = ，则线段CD 的长为__________．三、解答题21．如图，在三棱锥A BCD -中，O 、E 、F 分别为AB 、AC 、AD 的中点，DO ⊥平面ABC ，1DO =，AC BC ⊥，2AC BC ==.（1）求证：平面//OEF 平面BCD ；（2）求平面OEF 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，DA AB BC a ===，2CD a =，PD ⊥平面ABCD ，2PD a =.（1）求PC 与DB 所成角的余弦值；（2）设l 是过点P 且与AB 平行的一条直线，点Q 在直线l 上，当PC 与平面BQD 所成角的正弦值最大时，求线段PQ 的长.23．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的余弦值．24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D 、E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，M 为棱11A B 的中点.（1）求证：11C M B D ⊥；（2）求二面角1B B E D --的余弦值；25．如图：三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且222AD AB CD ===，2BC =；BM AC ⊥，BN AD ⊥，垂足分别为M ，N .（1）求证：AMN 为直角三角形；（2）求直线BC 与平面BMN 所成角的大小.26．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA AB ⊥，4PA AD ==，//BC AD ，AB AD ⊥，2AB BC ==，()01PE PC λλ=≤＜．（1）若12λ=，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值； （2）设二面角B AE C --的大小为θ，若234cos 17θ=，求λ的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.再建立空间直角坐标系求解即可.【详解】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.以A 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,则设(,0,6)E e ,(6,6,)F f ,(0,3,0)P又,,E P F 共线,则EP PF λ=,故(,3,6)(6,3,)e f λ--=,故6133666e e f f λλλλ-==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎩. 故(6,0,6)E -,(6,6,6)F -,则222(12)6(12)18EF =++=.故选：C【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系求解共线问题的方法等,属于中等题型.2．D解析：D【分析】作出图形，根据条件得出BD BA BC =+，再得到BA a b =-，BC c b =-，即可求解， 得到答案.【详解】如图所示，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，则BD BA BC =+， 在OAB ∆中，BA OA OB a b =-=-，在OBC ∆中，BC OC OB c b =-=-，故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的加法的几何意义，其中解答中熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3．C解析：C【解析】【分析】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值【详解】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝CC 1＝2BB 1＝2，则A 131，2），A 310，，），C 1（0，0，2），B 1（0，2，1），E （0，1，32）， 1A E =（3-0，12-），1AC =（3-1，2）， 设异面直线A 1E 与AC 1所成角为θ，则cosθ1111226131384A E AC A E AC ⋅===⋅⋅． ∴异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值为2613． 故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．A解析：A【分析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量求异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26． 【详解】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A （2，0，0），E （0，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0），()2,2,1AE =-,()10,2,2D C =- ,∵cos ＜1,AE DC ＞=4226922-=⋅. ∴异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26． 故选A ．【点睛】 本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．D解析：D【解析】【分析】由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④．【详解】 如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1H ⊥平面AB 1D 1，垂足为H ，连接A 1C ，可得A 1C ⊥AB 1，A 1C ⊥AD 1，即有A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，直线A 1H 与该正方体各棱所成角相等，均为2①正确；直线A 1H 与该正方体各面所成角相等，均为2②正确； 过直线A 1H 的平面截该正方体所得截面为A 1ACC 1为平行四边形，故③正确；垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．故选：D ．【点睛】本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．6．D解析：D【分析】由()2211+BC CC ,AC AB =+根据已知条件能求出结果 【详解】∵()2211+BC CC AC AB =+ =222111222AB BC CC AB BC AB CC BC CC +++⋅+⋅+⋅=1+1+1+2×1×1×cos60°+2×1×1×co s60°+2×1×1×cos60°=6． ∴AC =故选D ．【点睛】这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.7．D解析：D【分析】根据平面平行得法向量平行，再根据向量平行坐标表示得结果.【详解】因为//αβ，所以12122//24n n k-==--，，解之得4k =，应选答案D 【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力，属基础题. 8．C解析：C【详解】分析：建立空间直角坐标系，利用直线CE 与平面ABE 所成的角，求解k 的最大值，进而求解平面BDE 和平面ABC 的一个法向量，利用向量所成的角，求解二面角的余弦值，进而求得正切值，得到结果.详解：如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz - ，则31(0,1,0),(0,0,),(0,1,),(,0)22k A D E k B ， 取AB 的中点M ，则33(,0)4M ，则平面ABE 的一个法向量为33(,0)44CM =， 由题意23sin 21CE CMCE CM k α⋅==⋅+又由ππ[,]64α∈，所以2132sin 2221kα≤=≤+，解得222k ≤≤， 所以k 2当2k =BDE 的法向量为(,,)n x y z =，则20312022n DE y z n BE x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩， 取(3,12)n =--，由平面ABC 的法向量为(0,0,1)m =， 设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ， 则3cos 3n m n m θ⋅==⋅，所以sin 6θ=tan 2θ= C. 点睛：本题考查了空间向量在立体几何中的应用，解答的关键在于建立适当的空间直角坐标系，求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生的推理与运算能力，以及转化的思想方法的应用. 9．C解析：C【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P 的轨迹方程，得到P 的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．【详解】建立空间直角坐标系．设A（0，﹣1，0），B（0，1，0），S（0，0，3），M（0，0，32），P（x，y，0）．于是有AM=（0，1，32），MP=（x，y，32-）．由于AM⊥MP，所以（0，1，32）•（x，y，32-）＝0，即y34=，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为22371()42-=．故选C．【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题10．B解析：B【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，即，从而可求λ的取值范围．【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则有A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），1D （0，0，1）∴=（1，1，-1），∴ =（λ，λ，-λ）， ∴ = + =（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1） = + =（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0∴ 0PA PC ⋅<∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得 ＜λ＜1 因此，λ的取值范围是（ ，1），故选B.点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题． 11．B解析：B【分析】将问题转化为动点P 到直线MN 的距离最小时，确定点P 的位置，建立空间直角坐标系，取MN 的中点Q ，通过坐标运算可知PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，再由空间两点间的距离公式求出||PQ 后，利用二次函数配方可解决问题.【详解】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ， 1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-， 设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---，由1AC 与PC 共线，可得11111t t z ---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为||(1PM ==||(1PN == 所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离， 由空间两点间的距离公式可得||PQ ===所以当12c =时，||PQ 取得最小值4P 为线段1CA 的中点，由于||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点. 故选：B 【点睛】 本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题. 12．C 解析：C【分析】由共面向量定理可得：若定点M 与点A 、B 、C 一定共面，则存在实数x ，y ，使得AM xAB yAC =+，即(1)OM x y OA xOB yOC =--++，判断标准是验证OA ，OB ，OC 三个向量的系数和是否为1，若为1则说明四点M ，A ，B ，C 一定共面，由此规则即可找出正确的条件．【详解】由题意,,A B C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，对于A 由于向量的系数和是32，不是1，故此条件不能保证点M 在面ABC 上； 对于B ，等号右边三个向量的系数和为3，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面对于C ，等号右边三个向量的系数和为1，满足四点共面的条件，故能得到点M 与,,A B C 一定共面对于D ，等号右边三个向量的系数和为0，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面综上知，能得到点M 与,,A B C 一定共面的一个条件为C .故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的基本定理，利用向量判断四点共面的条件，解题的关键是熟练记忆四点共面的条件，利用它对四个条件进行判断得出正确答案，本题考查向量的基本概念，要熟练记忆．二、填空题13．①②④【分析】根据线面平行的判定定理可判断①；同①以及正方形的特征可判断②；根据异面直线所成的角可判断④；根据题中条件若不是其所在线段中点时可判断③【详解】因为是正方形所以所以平面又平面平面于所以所解析：①②④【分析】根据线面平行的判定定理可判断①；同①以及正方形的特征可判断②；根据异面直线所成的角可判断④；根据题中条件，若P Q M N 、、、不是其所在线段中点时可判断③【详解】因为PQMN 是正方形，所以//PQ MN ，所以//PQ 平面ACD ，又平面ACD ⋂平面ABC 于AC ，所以//AC PQ ，所以//AC 截面PQMN ，故①正确；同理可得//BD MQ ，所以AC BD ⊥，即②正确；又//BD MQ ，PMQ 45∠=︒，所以异面直线PM 与BD 所成的角为045，故④正确；根据已知条件，无法确定AC BD 、长度之间的关系，故③错.故答案为①②④【点睛】本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记相关知识点即可求出结果，属于常考题型. 14．【解析】中点【解析】中点32,,32M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，MC == 15．【解析】因为平面平面所以根据三垂线定理可得：设因为所以所以在中有并且所以【解析】因为AO ⊥平面α，BC ⊂平面α，BC OB ⊥，所以根据三垂线定理可得：BC AB ⊥．设2OB =，因为π4ABO ∠=，π6COB ∠=， 所以2OA =，22AB =，233BC =， 所以在ABC △中有BC AB ⊥，并且22AB =，233BC =， 所以6tan 6BC BAC AB ∠==． 16．【解析】设P(00z)由|PA|=|PB|得1+4+(z−1)2=4+4+(z−2)2解得z=3故点P 的坐标为(003)解析：()003，， 【解析】设P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z−1)2=4+4+(z−2)2，解得z=3，故点P 的坐标为(0,0,3). 17．【详解】以D 为原点DADCDD1所在直线分别为x 轴y 轴z 轴建立空间直角坐标系如图所示则A(100)B(110)D1(001)C1(011)O(1)=(010)=(-101)设平面ABC1D1的法向量解析：【详解】以D 为原点,DA,DC,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系如图所示,则A (1,0,0),B (1,1,0),D 1(0,0,1),C 1(0,1,1),O (12，12,1), =(0,1,0),=(-1,0,1), 设平面ABC 1D 1的法向量n =(x,y,z),由1·AB y 0{·AD x z 0n n ===-+=，，得令x =1,得n =(1,0,1). 又=(-12,12-,0), ∴O 到平面ABC 1D 1的距离d=1·n OD n ==.18．①③④【分析】由题意画出图形由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心由棱锥底面积与高为定值判断③；设BE ＝x 列出AE+EC1关于x 的函数式结合其几何意义求出最小值判断④【详解 解析：①③④【分析】由题意画出图形，由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断③；设BE ＝x ，列出AE +EC 1关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断④．【详解】如图，∵直线AC 经过平面BCC 1B 1内的点C ，而直线C 1E 在平面BCC 1B 1内不过C ，∴直线AC 与直线C 1E 是异面直线，故①正确；当E 与B 重合时，AB 1⊥A 1B ，而C 1B 1⊥A 1B ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1，则A 1E 垂直AC 1，故②错误；由题意知，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O 是AC 1 与A 1C 的交点，则△AA 1O 的面积为定值，由BB 1∥平面AA 1C 1C ，∴E 到平面AA 1O 的距离为定值，∴三棱锥E ﹣AA 1O 的体积为定值，故③正确； 设BE ＝x ，则B 1E ＝2﹣x ，∴AE +EC 12211(2)x x =++-由其几何意义，即平面内动点（x ，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知， 其最小值为2④正确．故答案为①③④【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题 19．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定解析：)【解析】分析：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，由余弦定理可得22233cos 22VC a a VDC =-∠，利用三角函数的有界性可得结果. 详解：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，则VD VC == VDC ∠是二面角V AB C --的平面角，可得0,1cos 1VDC VDC π<∠<-<∠<，在三角形VDC 中由余弦定理可得，2222cos 2222VC a a a VDC ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯∠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2233cos 22a a VDC =-∠22030VC a VC <<⇒<<，即VC 的取值范围是()，为故答案为().点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题. 20．【解析】根据题意画图由空间向量法得到故答案为：解析：【解析】 根据题意画图，由空间向量法得到()2222||2?··CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD BDCA =++=+++++214CA BD =⋅==故答案为：三、解答题21．（1）证明见解析；（2）3. 【分析】（1）先证明线面平行，再利用面面平行的判定定理证明即可；（2）根据题意建立如图空间直角坐标系，利用坐标求平面OEF 与平面OCD 的法向量，再利用数量积求其夹角的余弦值，即得结果.【详解】（1）证明：依题意O 、E 、F 分别为AB 、AC 、AD 的中点，则//OE BC ，//EF CD ，OE ⊄平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， //OE ∴平面BCD ,//EF 平面BCD又EF OE E ⋂=，且在平面OEF 内，∴平面//OEF 平面BCD ；（2）依题意：2AC BC ==，则CO AB ⊥，2AB =，1CO =，又DO ⊥平面ABC ，故建立如图空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A -，(0,1,0)C ，(0,0,1)D ，11,,022E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,0,22F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,,022OE ⎫⎛∴=- ⎪⎝⎭，11,0,22OF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 设(,,)n x y z =为平面OCD 的一个法向量，则1102211022OE n x y OF n x z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩取1x =，则(1,1,1)n =，又易见(1,0,0)m =为平面OEF 的一个法向量，13cos ,33m nm n m n ⋅∴<>=== ∴平面OEF 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值为33. 【点睛】方法点睛：求二面角的方法通常有两个方法：一是利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断锐二面角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，利用垂直关系和二面角的定义，找到二面角对应的平面角，再求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.22．（1）42）8a 【分析】（1）过A 作AM CD ⊥于M ，再过D 作DN ∥AM ，由于PD ⊥平面ABCD ，所以得,,PD DN DM 两两垂直，所以以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解；（2）PQ AB =λ，由于PQ 与AB 平行，所以3(,,2)(0,,0)22BP a a a a λ=--=，然后求出平面BQD 的法向量3(1,)3n =-，设θ为PC 与平面BQD 所成角，则可得2222(2)sin 2(16)λθλ+=+，再换元可求出sin θ的最大值，进而可求得答案【详解】解：（1）过A 作AM CD ⊥于M ，则2aDM =，所以3ADM π∠=， 过D 作DN ∥AM ，因为PD ⊥平面ABCD ，,DN DM 在平面ABCD 内， 所以,PD DN PD DM ⊥⊥，所以以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则3(0,0,2),(0,2,0),(0,0,0),(,,0)22P a C a D B a a ， 所以33(0,2,2),(,,0)2PC a a DB a a =-=，2cos ,2PC DBPC DB PC DB ⋅===⋅（2）因为,,0)2aA a ，所以(0,,0)AB a =，设PQ AB =λ，因为PQ 与AB 平行，所以3(,,2)(0,,0)22BP a a a λ=--=， 33(0,,0),(,,0),(0,2,2)22PQ a DB a a PC a a λ===-，3(,,2)2BQ BP PQ a a a λ=+=--， 设平面BQD 的法向量为(,,)n x y z =，则33()202233022n BQ ax a a y az n DB ax ay λ⎧⋅=-+-+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令1x =， 则33(1,,)36n λ=-， 设θ为PC 与平面BQD 所成角，所以22233233sin cos ,1216221312a a PC n a λλθλλ--+===⋅+⋅++， 所以2222(2)sin 2(16)λθλ+=+， 令2t λ=+，则22221sin 4202(420)2(1)t t t t t θ==-+-+因为22041[,)5t t -∈-+∞， 所以2max 15sin 182(1)5θ==-，此时2220411120()105t t t -=--，当1110t =，即10t =时取得最大值，此时8λ=， 所以8PQ AB =，所以8PQ a =【点睛】关键点点睛：此题考查线面角的求法，解题的关键是建立空间直角坐标系，设PQ AB =λ，则有22233233sin cos ,1216221312a a PC n a λλθλλ--+===⋅+⋅++，再利用换元法可求得结果，考查计算能力，属于中档题 23．（1）证明见解析；（2）34. 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，根据面面垂直的性质定理，可得DO ⊥平面ABC ，根据O ，F 分别为AC ，BC 的中点，可得四边形DEFO 为平行四边形，即//EF DO ，即可得证；（2）如图建系，求得各点坐标，进而求得所需向量坐标，分别求得平面ADC 和平面DCE 的法向量，利用二面角的向量求法，即可求得答案.【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，如图所示：∵在DAC △中，DA DC =，∴DO AC ⊥，∵平面DAC ⊥平面ABC ，且平面DAC ⋂平面ABC =AC ， ∴DO ⊥平面ABC ，∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点， ∴//OF AB ，且2AB OF =， 又//DE AB ，2AB DE =， ∴//OF DE OF DE =，，∴四边形DEFO 为平行四边形，∴//EF DO ， ∴EF ⊥平面ABC ； （2）∵DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ， DO AO ⊥，又AC BC ⊥，∴以O 为原点，OA 为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点， ∴(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，(1,4,0)B -，∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成角为60EBF ︒∠=， ∴tan6023DO EF BF ︒=== ∴(0,0,23)D ，(1,2,23)E -， 取平面ADC 的一个法向量(0,1,0)m =， 设平面DCE 的一个法向量(,,)n x y z =， ∵(1,0,23)CD =，(0,2,23)CE =，则2302230n CD x z n CE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得(23,3,1)n =--， ∴222||(23)(3)14n =-+-+=，||1m =，3m n ⋅=-，∴33cos ,||||14m n m n m n ⋅-<>===⋅⨯， 设平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角为θ， 则3cos |cos ,|4m n θ=〈〉=， ∴平面DCE 与平面ADC 3 【点睛】解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理、性质定理，并灵活应用，利用空间向量求解二面角的步骤为：1，建系求得所需点的坐标；2，求得所需向量的坐标；3，求出两个平面的法向量12,n n ；4，代入公式121212cos ,n n n n n n ⋅<>=⋅即可求得二面角的余弦值；需要结合图象判断所求角为锐角还是钝角. 24．（1）证明见解析；（26【分析】（1）以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，计算出110C M B D ⋅=，即可证得结论成立；（2）求出平面1B DE 和平面1BB E 的法向量，利用空间向量法可求得二面角1B B E D --的余弦值. 【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则点()0,2,0B 、()10,2,3B 、()10,0,3C 、()1,1,3M 、()2,0,1D 、()0,0,2E ，()11,1,0C M =，()12,2,2B D =--，则()()111212020C M B D ⋅=⨯+⨯-+⨯-=，因此，11C M B D ⊥；（2）()2,0,1ED =-，()10,2,1EB =，设平面1B DE 的法向量为(),,m x y z =，由12020m ED x z m EB y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2z =，可得1x =，1y =-，所以，()1,1,2m =-，易知平面1BB E 的一个法向量为()1,0,0n =，16cos ,61m n m n m n⋅<>===⨯⋅ 由图形可知，二面角1B B E D --为锐角，所以，二面角1B B E D --6 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 25．（1）证明见解析；（2）4π. 【分析】（1）先证明CD ⊥平面ABC ，可得CD BM ⊥，则可得BM ⊥平面ACD ，即可得出BM AD ⊥，进而AD ⊥平面BMN ，即得出AD MN ⊥可说明；（2）以B 点为原点，过B 做CD 的平行线，如图建立空间直角坐标系，利用向量法可求出. 【详解】 解：（1）AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AB CD ∴⊥，1,2AB AD ==，3BD ∴=，2,1BC CD ==，∴222BC CD BD +=，BC CD ∴⊥，AB BC B ⋂=，CD 平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，CD BM ∴⊥，BM AC ⊥，AC CD C =，BM ∴⊥平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，BM AD ∴⊥，BN AD ⊥，BN BM B ⋂=，AD ∴⊥平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，AD MN ∴⊥，∴AMN 为直角三角形；（2）以B 点为原点，过B 做CD 的平行线，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,0,1A ，()2,0C ，()2,0D -，()0,2,0BC =，()2,1AD =--.由（1）得AD ⊥平面BMN ，∴AD 为平面BMN 的法向量， ∴2sin cos ,2AD BC AD BC AD BCθ⋅===⋅ ∴直线BC 与平面BMN 所成角大小为4π.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 26．（1）47035；（2）13λ=．【分析】（1）首先证明PA ⊥平面ABCD ，再以点A 为原点，{},,AB AD AP 为正交基底，建立空间直角坐标系，求平面ABE 的法向量，再求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值； （2）首先求平面ABE 和平面AEC 的法向量，利用法向量求二面角的余弦值，求λ的值． 【详解】解：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，PA AB ⊥，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PA ⊂平面PAB ，所以PA ⊥平面ABCD ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥． 又AB AD ⊥，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直． 以{},,AB AD AP 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．因为4PA AD ==，2AB BC ==，所以()0,0,0A ,()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,4P ，（1）若12λ=，即E 为PC 中点，则()1,1,2E ， 所以()1,3,2DE =-，()2,0,0AB =，()1,1,2AE =． 设平面ABE 的一个法向量为()111,,m x y z =，则00m AB m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即111120,20.x x y z =⎧⎨++=⎩令11z =，得12y =-，所以平面ABE 的一个法向量为()0,2,1m =-．设直线DE与平面ABE所成角为α，则sin cos ,35DE mα===．（2）因为()01PE PCλλ=≤<，则()2,2,44Eλλλ-．设平面ABE的一个法向量为()222,,n x y z=，则n ABn AE⎧⋅=⎨⋅=⎩即()222220,22440.xx y zλλλ=⎧⎨++-=⎩令22y=，得21zλλ=-，所以平面ABE 的一个法向量为0,2,1nλλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭．设平面AEC 的一个法向量为()333,,l x y z=，则l ACl AP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即333220,40.x yz+=⎧⎨=⎩令31x=，得31y=-，所以平面AEC的一个向量为()1,1,0l=-．（或证明CD⊥平面PAC，从而CD为平面PAC的一个法向量）因为二面角B AE C--的大小为θ，且cos17θ=，得cos,174n l==+整理得23210λλ+-=，解得13λ=，或1λ=-（舍）．所以13λ=．【点睛】方法点睛：本题考查线线，线面，面面关系中的垂直问题，空间直角坐标法解决线面，面面角，一般求线面角和二面角有如下公式：1.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a是直线l的方向向量，n是平面的法向量，利用公式sin cos,a nθ=<>求解.2.建立空间直角坐标系，设两个平面的法向量为m和n，利用公式cos cos,m nθ=<>,。

一、选择题1．已知向量(2,0,2)a =-，则下列向量中与a 成45的夹角的是（ ） A ．(0,0,2)B ．(2,0,0)C ．()0,2,2D ．()2,2,0-2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为（ ） A ．26B ．36C ．56D ．133．如图，点P 在正方体1111ABCD A BC D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变； 1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB 平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P CM ⊥，则PBC ∆的面积的最小值为（ ）A 25B 5C ．45D ．15．已知直三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的余弦值为（ ）A ．12B ．18C ．14D ．346．如图，已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =， 011120A AB A AD ∠=∠=，则线段1AC 的长为（ ）A ．2B ．1C ．2D ．37．已知A,B,C 三点不共线,对于平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是( )A ．OM OA OB OC =++ B ．2OM OA OB OC =-- C ．1123OM OA OB OC =++ D ．111236OM OA OB OC =++ 8．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于（ ）A ．121+232OA OB OC - B ．211+322OA OB OC -+ C ．111222OA OB OC +- D ．211322OA OB OC -- 9．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，2,22,2AB AD PA ===，则异面直线BC 与AE 所成的角的大小为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π210．三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是边长为2的菱形， 1160,CBB BC ︒∠=交1BC 于点,O AO ⊥侧面11BB C C ，且 1AB C 为等腰直角三角形．若建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则点1A 的坐标为（ ）A ．(1,3,2)-B ．(3,1,1)-C ．(1,2,3)-D ．(2,1,3)-11．如图所示，平行六面体1111ABCD A BC D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒.求1BD 与AC 夹角的余弦值是（ ）A ．33B ．66C ．217D 21 12．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动.当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C二、填空题13．若△ABC 的三个顶点坐标分别为A(0,0,2),B 31-,,222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,C(-1,0,2),则角A 的大小为_____.14．如图，在三棱锥P ABC -，ABC ∆为等边三角形，PAC ∆为等腰直角三角形，4PA PC ==，平面PAC⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为__________．15．已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______． 16．在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B （含端点）上的任一点，则直线ME 与平面1D EF 所成角的正弦值的最小值为_________. 17．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()·22c a b -=-，则x = __________．18．在棱长为2的正方体△ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1、CD 的中点，则点B 到截面AMC 1N 的距离为_____.19．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列给出四个命题： (1)四边形ABC 1D 1的面积为1AB BC (2)11AD A B 与的夹角为60°；(3)22111111111111()3();(4)()0AA A D A B A B AC A B A D ++=⋅-=； 则正确命题的序号是______．(填出所有正确命题的序号)20．在平行六面体ABCD A B C D '-''' 中，4AB = ，3AD = ，5A A '= ，90BAD ∠=︒ ，60A AB A AD ''∠=∠=︒ ，则AC '= __________．三、解答题21．在①()()DE CF DE CF +⊥-，②17||2DE =，③0cos ,1EF DB <<这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.问题：如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -.已知点1D 的坐标为()0,0,2，E 为棱11D C 上的动点，F 为棱11B C 上的动点，___________，试问是否存在点E ，F 满足1EF AC ⊥？若存在，求AE BF ⋅的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．如图四棱锥S ABCD -，ABCD 是平行四边形，2AD BD ==，AD BD ⊥，SAD 为等边三角形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，E 是AB 边的中点，F 是侧棱SC 上的一点.（1）是否存在这样的点F ，使得//EF 平面SAD ？若存在，请求出SFSC的值，若不存在，请说明理由；（2）在（1）的条件下，求异面直线AD 与EF 的距离.23．如图，在三梭柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ，11AACC 均为菱形，12AA =，1160ABB ACC ∠=∠=︒，D 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1CDB ；（Ⅱ）若60BAC ∠=︒，求直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值.24．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD ＝120°，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD ＝CD ＝BC ＝CF .（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.25．如图，在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，AD ⊥平面ABC ，点M 为棱AB 的中点，2AB AC ==，3AD =.（Ⅰ）求直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅱ）求平面ABD 和平面BDC 的夹角的余弦值.26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点.（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90的角）的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到答案 【详解】根据夹角余弦值cos a b a b θ⋅=对于A 若()b 0,0,2,=则-222=22a b a b ⋅⨯2cos 45︒=，故不符合条件对于B 若()b 20,0,=，则222==222a b a b⋅⨯2cos 45︒=，故符合条件 对于C 若(b 0,22,=，则-21==-cos 45222a b a b ⋅≠︒⨯，故不符合条件 对于D 若()b 2-2=，，则21==cos 45222a b a b⋅≠︒⨯，故不符合条件 故选B 【点睛】本题考查了向量的数量积，运用公式代入进行求解，较为简单2．A解析：A 【分析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量求异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26． 【详解】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A （2，0，0），E （0，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0），()2,2,1AE =-,()10,2,2D C =- ,∵cos ＜1,AE DC ＞26922=⋅. ∴异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26． 故选A ． 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．C解析：C 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ， 故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确；对于②，连接1A B ，11AC ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BAC 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC ⊥平面11BCBC ，所以1DC BC ⊥， 若1DPBC ，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．4．A解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，设出P 点的坐标，利用1CM D P ⊥求得P 点坐标间的相互关系，写出三角形PBC 面积的表达式，利用二次函数的对称轴，求得面积的最小值. 【详解】以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，依题意有()()()()12,0,1,0,2,0,0,0,2,2,,M C D P a b ，()()12,2,1,2,,2MC D P a b =--=-，由于1CM D P ⊥，故()()2,2,12,,24220a b a b --⋅-=-+-+=，解得22b a =-.根据正方体的性质可知，BC BP ⊥，故三角形PBC 为直角三角形，而()2,2,0B ，故()()220,2,2PB a b a b =--=-+PBC 的面积为()2221251282BC PB a b a a ⨯⨯=-+=-+126105a ==时，面积取得最小值为26625512855⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本小题主要考查空间两条直线相互垂直的坐标表示，考查三角形面积的最小值的求法，还考查了划归与转化的数学思想.属于中档题.空间两条直线相互垂直，那么两条直线的方向向量的数量积为零.对于两个参数求最值，可利用方程将其中一个参数转化为另一个参数，再结合函数最值相应的求法来求最值.5．C解析：C 【分析】建立空间坐标系，分别求得直线的方向向量，进而得到线线角. 【详解】立空间坐标系如图，设边长为2，得到A （2，0，0），1B （132）， B （1，3，0），1C （0，0，2） 向量()()111,3,2,-1,3,2AB BC =-=- 设异面直线夹角为θ，则1111cos =||||AB BC AB BC θ⋅=⋅14故答案为C 【点睛】这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.6．A解析：A 【分析】由11AC AB BC CC =++，两边平方，利用数量积的运算法则及数量积公式能求出21AC 的值，从而可得结果. 【详解】平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，1112,120AA A AB A AD =∠=∠=，11AC AB BC CC ∴=++，()2211AC AB BC CC ∴=++222111222AB BC CC AB CC BC CC AB BC =+++⋅+⋅+⋅114212cos120212cos12002=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+=，∴线段1AC 的长为12AC = A.【点睛】本题主要考查利用空间向量求线段的长，考查向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.7．D解析：D 【分析】根据点M 与点,,A B C 共面，可得1x y z ++=，验证选项，即可得到答案. 【详解】设OM xOA yOB zOC =++，若点M 与点,,A B C 共面,,则1x y z ++=，只有选项D 满足，.故选D. 【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点M 与点,,A B C 共面时，且OM xOA yOB zOC =++,则1x y z ++=是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8．D解析：D 【解析】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O 出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O 出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果. 详解：由题意可得21()32EF OF OE OA OB OC =-=-+ 211322OA OB OC =--，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题.9．B解析：B 【解析】分析：以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得(0,22,0),(1,2,1)BC AE ==，利用向量的夹角公式，即可求解.详解：以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,22,0),(0,0,2),(0,0,0),(1,2,1)B C P A E ， 则(0,22,0),(1,2,1)BC AE ==， 设异面直线BC 和AE 所成的角为θ， 则42cos ,2224BC AE BC AE BC AE⋅===⋅⋅， 所以异面直线BC 和AE 所成的角为4π，故选B.点睛：本题考查了异面直线所成的角的求解，其中把异面直线所成的角转化为向量所成的角，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，对于对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.10．B解析：B 【分析】作1A D ⊥平面11BB C C 于点 D ，连接1B D ，1,C D OD ，则点1A 与点 D 的横纵坐标相同，点1A 竖坐标的值为1A D 的长度，由1//AA 平面 11BBC C ，得到A 和1A 到平面11BB C C 的距离相等．由 1//AD AO ，则1A 竖坐标的值为AO 的长度,由111//,OC C D OC C D OB ==，得到 11DB OC 为平行四边形，然后由1AB C 为等腰直角三角形面11BB C C 是边长为2的菱形， 160CBB ︒∠=求得坐标即可. 【详解】 如图所示，作1A D ⊥平面11BB C C 于点 D ，连接1B D ，1,C D OD ， 则点1A 与点D 的横纵坐标相同，点1A 竖坐标的值为1A D 的长度， 因为111//,AA CC CC ⊂平面 111,BB C C AA ⊄平面11BB C C ， 所以1//AA 平面11BB C C ，所以A 和1A 到平面11BB C C 的距离相等． 而1A D ⊥平面11,BB C C AO ⊥平面 11BB C C ， 所以1A D AO =，1//A D AO ， 所以1AODA 为平行四边形， 所以11//,AA OD AA OD =， 所以11//,OD CC OD CC =， 所以1OCC D 为平行四边形． 所以111//,OC C D OC C D OB ==， 所以11DB OC 为平行四边形， 所以111,,B D OC C D OB ==．而在边长为2的菱形11CC B B 中，160CBB ︒∠=， 所以113,1OC BO OC OB ===． 所以点D 的坐标为(3,1,0)-， 而1AB C 为等腰直角三角形， 所以11OA OC OB ===， 故点1A 的坐标为(3,1,1)-． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查直线，平面间的平行关系以及平面几何图形的应用，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.11．B解析：B【分析】以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，表示出1BD 和AC ，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得． 【详解】由题意11111cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=． 以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，AC AB AD =+，111BD AD AB AD AA AB =-=+-，221111()()AC BD AB AD AD AA AB AB AD AB AA AB AD AD AA AB AD ⋅=+⋅+-=⋅+⋅-++⋅-⋅1=，222()23AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=222211111()2222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB=+-=+++⋅-⋅-⋅=，∴111cos ,3AC BD AC BD AC BD ⋅<>===⋅．∴1BD 与AC故选：B ． 【点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角．12．B解析：B 【分析】将问题转化为动点P 到直线MN 的距离最小时，确定点P 的位置，建立空间直角坐标系，取MN 的中点Q ，通过坐标运算可知PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，再由空间两点间的距离公式求出||PQ 后，利用二次函数配方可解决问题. 【详解】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-， 设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为2221||(1)(10)(0)2PM z z z =--+--+-25334z z =-+2221||(11)(10)()2PN z z z =--+--+-25334z z =-+所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离， 由空间两点间的距离公式可得22231||(1)(10)()44PQ z z z =--+--+-29338z z =-+2133()28z =-+所以当12c =时，||PQ 取得最小值64P 为线段1CA 的中点， 由于2||MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点. 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.二、填空题13．【分析】先写出的坐标再由向量的夹角公式求得角A 【详解】=(-100)则cosA=又因为故角A 的大小为30°填【点睛】求平面向量夹角公式：若则解析：30【分析】先写出,AB AC 的坐标，再由向量的夹角公式求得角A. 【详解】31AB -,,0,AC 22⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=(-1,0,0).则cosA=3AB?AC 211|AB|?|AC|==⨯,又因为,[0,]AB AC π∈，故角A 的大小为30°.填30．【点睛】求平面向量夹角公式：cos ,,,[0,]a b a b a b a bπ⋅=∈⋅，若111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==，则121212222222cos ,,,[0,]x x y y z z a b a b x y z x y zπ++=∈++⋅++．14．【分析】建立如图所示的空间直角坐标系结合为等腰直角三角形求得向量的坐标利用向量的夹角公式即可求解【详解】取得中点连接因为所以因为平面平面平面平面所以平面又因为所以于是以为坐标原点建立如图所示的空间直解析：4【分析】建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，结合PAC ∆为等腰直角三角形，求得向量,AC PD 的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】取AC 得中点O ，连接OP ，OB ，因为PA PC =，所以AC OP ⊥. 因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =.所以OP ⊥平面ABC ，又因为AB BC =，所以AC OB ⊥，于是以O 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，结合PAC ∆为等腰直角三角形，4PA PC ==,ABC ∆为等边三角形，则()A ，()C -，(P ，)D，所以()AC =-，(2,PD =-，所以8cos ,424AC PD AC PD AC PD⋅-〈〉==⨯ 24=-，故异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为24.【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力．15．【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B 则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：()1,4,1--【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果. 【详解】 设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z+++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--． 【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.16．【分析】建立直角坐标系设正方体边长为2求出平面的法向量为直线与平面所成角为因为所以当时取到最小值代入即可【详解】解：如图建立直角坐标系设正方体边长为2则002设平面的法向量为由得令故0由设直线与平面解析：25【分析】建立直角坐标系，设正方体边长为2，求出平面DEF 的法向量为m ，直线ME 与平面1D EF 所成角为α，2sin cos ,15m EM a α==+⋅，因为[0a ∈，2]，所以当2a =时，取到最小值，代入即可．【详解】解：如图，建立直角坐标系，设正方体边长为2，AM a =， 则(2E ，0，1)，(2M ，a ，2)，(0D ，0，2)，(2F ，2，1)， 设平面DEF 的法向量为(m x =，y ，)z ，1(0,2,0),(2,0,1)EF ED ==-，由0m EF ⋅=，10m D E ⋅=，得020y x z =⎧⎨-+=⎩，令2z =，1x =，故(1m =，0，2)，由(0,,1)EM a =，设直线ME 与平面1D EF 所成角为α， 22sin cos ,15m EM a α==+⋅，因为[0a ∈，2]，所以当2a =时，sin α的最小值为22555=⋅， 故答案为：25．【点睛】考查立体几何中的最值问题，本题利用向量法求线面所成的角，基础题．17．2【解析】因为向量所以则解之得应填答案解析：2 【解析】因为向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===，所以(0,0,1),2(2,4,2)c a x b -=-=，则()(2)222c a b x -⋅=-=-，解之得2x =，应填答案2。

一、选择题1．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，2AB =，E 为PB 的中点，若3cos ,3DP AE =，则PD =（ ）A ．1B ．32C ．3D ．22．长方体12341234A A A A B B B B -的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合12{|i j x x A B A B =⋅，{1,2,3,4},{1,2,3,4}}i j ∈∈中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（ ） A ．43π B ．πC ．23π D ．2π 4．已知在平行六面体1111ABCD A BC D -中，过顶点A 的三条棱所在直线两两夹角均为60︒，且三条棱长均为1，则此平行六面体的对角线1AC 的长为（ ）A ．3B ．2C ．5D ．65．如图，在长方形ABCD 中，3AB =，1BC =，点E 为线段DC 上一动点，现将ADE ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 内的射影K 在直线AE 上，当点E 从D 运动到C ，则点K 所形成轨迹的长度为（ ）A 3B 23C ．3πD ．2π6．已知A,B,C 三点不共线,对于平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是( ) A ．OM OA OB OC =++ B ．2OM OA OB OC =-- C ．1123OM OA OB OC =++ D ．111236OM OA OB OC =++ 7．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，点M 在1AC 且112AM MC =，N 为1B B 的中点，则MN 为( )A ．216a B ．66a C ．156a D ．153a8．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，2,22,2AB AD PA ===，则异面直线BC 与AE 所成的角的大小为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π29．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（ ）个 ①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等； ③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．四棱锥P ABCD -中，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-，则这个四棱锥的高为（ ） A 5B ．15C ．25D 2511．已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是平面ABC 外一点，则在下列条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的条件是（ ） A ．111222OM OA OB OC =++ B ．OM OA OB OC =++ C ．1133OM OA OB OC =-+ D ．2OM OA OB OC =--12．在平面直角坐标系中，()2,3A -、()32B -，，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则AB 的长为（ ）A ．2B ．211C ．32D ．42二、填空题13．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是11A B 、11A C 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为______．14．设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.15．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 是异面直线；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为22.其中正确命题的序号是______________.（将你认为正确的命题序号都填上）16．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中,E 为1AB 的中点,在面ABCD 中取一点F ,使1EF FC +最小,则最小值为__________.17．如图所示，三棱锥O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在棱OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN =__________．（用a ，b ，c 表示）18．已知向量,,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量,,a b a b c +-是空间的另一个基底．若向量m 在基底,,a b c 下的坐标为()1,2,3，则m 在基底,,a b a b c +-下的坐标为 _________19．已知(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，若ka b +和3a b -相互垂直，则k =________． 20．在z 轴上与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点C 的坐标为__________．三、解答题21．如图，几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为梯形、ACFE 为矩形，//AB CD ，2AD DC CB AE ====，60ABC ∠=︒，平面ACFE ⊥平面ABCD .（1）证明：BC ⊥平面ACFE ； （2）求二面角B-EF-D 的正弦值.22．如图①所示，在直角梯形EFCD 中，//CF DE ，EF DE ⊥，BA DE ⊥，224AE AD EF BC ====．现以AB 为折痕将四边形AEFB 折起，使点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ，如图②．（1）求证：//CF 平面ADE ；（2）求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且3AD PD ==，33PC =，平面PCD ⊥平面ABCD ，点E 为线段PC 的中点.（1）求证：DE ⊥面PBC ； （2）若点F 在线段AB 上，且13AF AB =，求二面角C DE F --的平面角的正弦值. 24．如图，在底面为平行四边形的四棱锥A BCDE -中，AE AD ⊥，::1:2:2AE EB BC =，AED CDE ∠=∠，AC DC =，点O 为DE 的中点.（1）证明：CO ⊥平面ADE .（2）求平面ABE 与平面AOC 所成锐二面角的余弦值.25．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE =.（1）求直线DE 与直线AC 所成的角； （2）求二面角B ED C --的余弦值.26．如图，四边形PABC 中，90,23,4PAC ABC PA AB AC ︒∠=∠====，现把PAC ∆沿AC 折起，使PA 与平面ABC 成60︒角，点P 在平面ABC 上的投影为点O (O 与B 在CA 同侧)（1）证明：//OB 平面PAC ；（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由已知以D 为原点建立空间直角坐标系，设(0,0,)P a ，求得,DP AE 的坐标，由数量积公式可得答案. 【详解】由已知DP DA DC 、、两两垂直，所以以D 为原点，建立如图所示的坐标系， 设(0)PD a a =>，则(0,0,)P a ，(2,0,0)A ，连接BD 取中点F ，连接EF ，所以//EF PD ，EF ⊥平面ABCD ， 所以(1,1,)2a E ，所以(0,0,)DP a =，(1,1,)2a AE =-，由3cos ,3DP AE =，得2232cos ,3114a DP AE DP AE DP AE a a ⋅===⋅⋅++， 解得2a =. 故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的数量积公式的应用，关键点是建立空间直角坐标系，由数量积公式求得a ，考查了学生的空间想象力.2．C解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的定义，进行计算，即可求解． 【详解】由题意，因为正方体12341234A A A A B B B B -的底面为班车为1的正方形，高为2， 建立如图所示的空间直角坐标系，则12341234(1,1,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,0),(1,1,2),(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2)A A A A B B B B ，则12(1,0,2)A B =-， 与11(0,0,2)A B =相等的向量为223344A B A B A B ==，此时1211224A B A B ⋅=⨯=， 与14(0,1,2)A B =-相等的向量为23A B ，此时1214224A B A B ⋅=⨯=， 与41(0,1,2)A B =相等的向量为32A B ，此时1241224A B A B ⋅=⨯=， 与21(1,0,2)A B =相等的向量为34A B ，此时1221143A B A B ⋅=-+=， 与12(1,0,2)A B =-相等的向量为43A B ，此时1212145A B A B ⋅=+=， 体对角线向量为13(1,1,2)A B =--，此时1213145A B A B ⋅=+=， 24(1,1,2)A B =-，此时1224143A B A B ⋅=-+=， 31(1,1,2)A B =，此时1231143A B A B ⋅=-+=，42(1,1,2)A B =-，此时1242145A B A B ⋅=+=，综上集合11{|,{1,2,3,4},{1,2,3,4}}{3,4,5}i j x x A B A B i j =⋅∈∈=，集合中元素的个数为3个． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了集合的元素的计算，以及向量的数量积的运算，其中解答中建立恰当的空间直角坐标系，熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．C解析：C 【分析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN ⊥AC ，BN ⊥AC ，可得出二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角为∠BND ，再利用余弦定理求出BD ，可知三棱锥B ﹣ACD 为正四面体，可得出内切球的半径R ，再利用球体的表面积公式可得出答案． 【详解】 如下图所示，易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点N ，则DN ⊥AC ，BN ⊥AC ． 所以，∠BND 是二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角，过点B 作BO ⊥DN 交DN 于点O ，可得BO ⊥平面ACD ．因为在△BDN 中，3BN DN ==，所以，BD 2＝BN 2+DN 2﹣2BN •DN •cos ∠BND 1332343=+-⨯⨯=， 则BD ＝2．故三棱锥A ﹣BCD 为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的14，又正四面体的高为棱长的63，故662126R ==． 因此，三棱锥A ﹣BCD 的内切球的表面积为226244(3R πππ=⨯=． 故选C ． 【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．4．D解析：D 【分析】由()2211+BC CC ,AC AB =+根据已知条件能求出结果【详解】∵()2211+BC CC AC AB =+=222111222AB BC CC AB BC AB CC BC CC +++⋅+⋅+⋅=1+1+1+2×1×1×cos60°+2×1×1×co s60°+2×1×1×cos60°=6． ∴AC =6 故选D ． 【点睛】这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.5．C解析：C 【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度． 【详解】由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是12， 如图当E 与C 重合时，4=12， 取O 为AD′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=3π，∴∠K0D'=23π， 其所对的弧长为1223π⨯=3π， 故选：C 【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点K 的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变，属于中档题目．6．D解析：D 【分析】根据点M 与点,,A B C 共面，可得1x y z ++=，验证选项，即可得到答案. 【详解】设OM xOA yOB zOC =++，若点M 与点,,A B C 共面,,则1x y z ++=，只有选项D 满足，.故选D. 【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点M 与点,,A B C 共面时，且OM xOA yOB zOC =++,则1x y z ++=是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7．A解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用坐标关系求得线段的长度． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系则N(a ，a ，12a)，C 1（0，a ，a ），A （a ，0，0） 因为11AM MC 2= 所以11AM AC 3=所以113DM DA AC =+()()1211,0,0,,,,3333a a a a a a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭所以121,,336MN DN DM a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 所以222121213366MN a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以选A【点睛】本题考查了空间直角坐标系的简单应用，利用坐标求得线段长度，属于基础题． 8．B解析：B【解析】分析：以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得(0,22,0),(1,2,1)BC AE ==，利用向量的夹角公式，即可求解.详解：以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0),(2,22,0),(0,0,2),(0,0,0),(1,2,1)B C P A E ，则(0,22,0),(1,2,1)BC AE ==，设异面直线BC 和AE 所成的角为θ，则42cos ,2224BC AEBC AE BC AE ⋅===⋅⋅， 所以异面直线BC 和AE 所成的角为4π，故选B.点睛：本题考查了异面直线所成的角的求解，其中把异面直线所成的角转化为向量所成的角，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，对于对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 9．A解析：A【解析】分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.详解：由题意，当四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一个矩形时，设AC BD O ⋂=且PO ⊥底面ABCD ，此时可得PA PB PC PD ===，而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，所以③不正确的；因为四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，而直角梯形ABCD 没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；设四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，所以各条测量与底面ABCD 的正弦值都相等，所以②正确的， 综上，故选A.点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键. 10．A解析：A【分析】求出平面ABCD 的法向量n ，计算法向量n 与AP 的夹角得出AP 与平面ABCD 的夹角，从而可求出P 到平面ABCD 的距离．【详解】解：设平面ABCD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则n ABn AD ⎧⊥⎨⊥⎩，∴23020x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =可得2y =，0z =，即(1n =，2，0)， cos ,||||5n AP n AP n AP ∴<>== 设AP 与平面ABCD 所成角为α，则sinα=，于是P 到平面ABCD 的距离为||sin AP α=，即四棱锥P ABCD - 故选：A ．【点睛】 本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．11．C解析：C【分析】由共面向量定理可得：若定点M 与点A 、B 、C 一定共面，则存在实数x ，y ，使得AM xAB yAC =+，即(1)OM x y OA xOB yOC =--++，判断标准是验证OA ，OB ，OC 三个向量的系数和是否为1，若为1则说明四点M ，A ，B ，C 一定共面，由此规则即可找出正确的条件．【详解】由题意,,A B C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，对于A 由于向量的系数和是32，不是1，故此条件不能保证点M 在面ABC 上； 对于B ，等号右边三个向量的系数和为3，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面对于C ，等号右边三个向量的系数和为1，满足四点共面的条件，故能得到点M 与,,A B C 一定共面对于D ，等号右边三个向量的系数和为0，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面综上知，能得到点M 与,,A B C 一定共面的一个条件为C .故选：C ． 【点睛】本题考查平面向量的基本定理，利用向量判断四点共面的条件，解题的关键是熟练记忆四点共面的条件，利用它对四个条件进行判断得出正确答案，本题考查向量的基本概念，要熟练记忆．12．D解析：D【分析】作AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，则AB AC CD DB =++，两边平方后代入数量积即可求得2||AB ，则AB 的长可求．【详解】如图，()2,3A -，()3,2B -，作AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，则()2,0C -，()3,0D ，3AC ∴=，5CD =，2DB =，沿x 轴把坐标平面折成60︒的二面角，CA ∴<，60DB >=︒，且0AC CD CD DB ⋅=⋅=，222||()AB AB AC CD DB ∴==++ 222222AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅19254232322⎛⎫=+++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭． 42AB ∴=．即AB 的长为42．故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间角，向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】由题意设正方体的棱长为2建立如图所示空间直角坐标系利用空间向量求解即可得到答案【详解】设正方体的棱长为2建立如图所示空间直角坐标系则0211异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为故答案为 解析：3010【解析】【分析】由题意，设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量求解，即可得到答案．【详解】设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0，0)，B(2,2，0)，M(2,1，2)，N(1,1，2)，()BM 0,1,2∴=-，()AN 1,1,2=-，BM AN330cos BM,AN 1056BM AN ⋅∴===⨯⋅． ∴异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为3010． 故答案为3010．【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14．【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本题主要考 解析：3π【分析】利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解．【详解】先把三棱锥P ABC -所以球的半径为所以球的表面积为24π3π⨯=⎝⎭．【点睛】 本题主要考查了球的体积公式：343V r π=球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长公式：l =,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．15．①③④【分析】由题意画出图形由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心由棱锥底面积与高为定值判断③；设列出关于的函数式结合其几何意义求出最小值判断④【详解】解：对于①直线经过平解析：①③④【分析】由题意画出图形，由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断③；设AE x =，列出PE EC +关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断④．【详解】解：对于①，直线PB 经过平面ABCD 内的点B ，而直线CE 在平面ABCD 内不过C ，∴直线PB 与直线CE 是异面直线，故①正确；对于②，当E 与D 重合时，BE AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA BE ⊥，又PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，BE ∴⊥平面PAC ，则BE 垂直AC ，故②错误；对于③，由题意知，四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O 是PC 的中点，则△BCE 的面积为定值，且O 到平面ABCD 的距离为定值，∴三棱锥E BCO -的体积为定值，故③正确；对于④，设AE x =，则2DE x =-，2211(2)PE EC x x ∴+=+++-． 由其几何意义，即平面内动点(,1)x 与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小值知，其最小值为22，故④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题． 16．【解析】如图将正方体关于面对称则就是所求的最小值 解析：142. 【解析】 如图，将正方体1111ABCD A BC D -关于面ABCD 对称，则1EC 就是所求的最小值，2221131141242EC EN NC ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭． 17．【解析】解析：211322a b c -++ 【解析】MN MA AB BN =++11()32OA OB OA BC =+-+ 21()32OA OB OC OB =-++- 211322OA OB OC =-++ 211322a b c =-++． 18．【解析】由题意可知：即在基底下的坐标为解析：31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可知： ()()3123322m a b c a b a b c =++=+--+ ， 即m 在基底,,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭ . 19．【解析】试题分析：所以考点：空间向量解析：165【解析】试题分析：，所以考点：空间向量20．（00）【详解】解：由题意设C （00z ）∵C 与点A （-417）和点B （35-2）等距离∴|AC|=|BC|∴点C 的坐标为（00）解析：（0，0，）【详解】解：由题意设C （0，0，z ），∵C 与点A （-4，1，7）和点B （3，5，-2）等距离，∴|AC|=|BC|， 22161(7)925(2)18z 28z 4=19z z ++-=+++∴=，∴点C 的坐标为（0，0，149） 三、解答题21．（1）见解析；（2310【分析】（1）先根据余弦定理求出,AC AB ，得出BC AC ⊥，再利用面面垂直的性质定理即可证明BC ⊥平面ACFE ；（2）利用二面角的向量求法，求出二面角的余弦值，再利用同角三角函数之间的关系即可求出二面角B-EF-D 的正弦值.【详解】解：（1）2AD BC ==，∴四边形ABCD 为等腰梯形，又60ABC ∠=︒，18060120ADC DCB ∴∠=∠=-=，在ADC 中，由余弦定理得：2222212cos12022222122AC AD DC AD DC ⎛⎫=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 故23AC =，在ABC 中，由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即()22223=222cos60AB AB +-⨯⋅⋅，化简得：2280AB AB --=，又0AB >,解得：4AB =，()2222222316BC AC AB +=+==， 故BC AC ⊥，又平面ACFE ⊥平面ABCD ，且平面ACFE 平面ABCD AC =，BC AC ⊥，∴BC ⊥平面ACFE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系：则()()()0,2,0,23,0,2,0,0,2B E F ===，作AC 的中点G ，则DG AC ⊥， 132CG AC ==()2222231DG DC CG =-=-=，)3,1,0D ∴=-，则()()()23,2,2,23,0,0,3,1,2BE EF FD =-=-=--， 设平面BEF 的法向量为()111,,m x y z =，平面EFD 的法向量为()222,,n x y z =， 则00BE m EF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即11112200y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令11y =，则()0,1,1m =， 00EF n FD n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即2222020y z ⎧-=⎪--=，令21z =，则()0,2,1n =-，则2cos ,2m nm n m n ⋅-===⨯⋅ 设二面角B-EF-D 的平面角为θ，则sin 10θ== 故二面角B-EF-D 【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错；（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量；（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.22．（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，由平面几何证得四边形CMEF 为平行四边形，再由线面平行的判定可得证；（2）由已知以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，运用二面角的向量求解方法可求得平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值．【详解】（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，则//AM BC =，∴四边形ABCM 为平行四边形，//AB MC∴=，四边形ABEF 为矩形 //AB EF ∴=，//MC EF∴=， ∴四边形CMEF 为平行四边形，//CF EM∴=， 又CF ⊂/平面ADE ，M E ⊂平面ADE ，//CF ∴平面ADE ；（2）点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ．EA ∴⊥平面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(2,0,4)F ，(0,4,0)AD ∴=，(2,2,0)CD =-，(0,2,4)CF =-设(,,)n x y z =是平面CDF 的一个法向量，则00n CD n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即020x y y z -=⎧⎨-=⎩，令2y =，解得21x z =⎧⎨=⎩，(2,2,1)n ∴=， 又AD 是平面AEFB 的一个法向量，2cos ,3||||n AD n AD n AD ⋅∴〈〉==⋅， ∴平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值为23．【点睛】方法点睛：向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取. 1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，让尽量多的点落在坐标轴上.2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.3、求：求出两个面的法向量.4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；5、取：根据二面角的范围()0π，和图示得出的二面角是锐角还是钝角，再取值. 23．（1）证明见解析；（2239【分析】（1）由面PCD ⊥面ABCD ，BC CD ⊥可得BC ⊥面PCD ，则BC DE ⊥，又DE PC ⊥，即可证得结论；（2）过D 点作DC 的垂线DZ ，则DZ ⊥面ABCD .以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DZ 为z 轴建立空间直角坐标系，分别求得面DCE 的法向量为1n ，面DEF 的法向量为2n ，计算即可得出结果.【详解】证明：（1）∵PD AD DC ==，E 为PC 中点，∴DE PC ⊥.∵面PCD ⊥面ABCD ，面PCD面ABCD CD =，BC CD ⊥，∴BC ⊥面PCD ，∵DE ⊂面PCD ，∴BC DE ⊥.∵PC BC C ⋂=，∴DE ⊥面PBC .（2）∵面PCD ⊥面ABCD ，面PCD面ABCD CD =，在面PCD 内，过D 点作DC 的垂线DZ ，则DZ ⊥面ABCD .如图，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DZ 为z 轴建立空间直角坐标系， ∴()3,1,0F，30,4E ⎛ ⎝⎭，()0,3,0C ，()0,0,0D ，()0,3,0DC =，30,,44DE ⎛= ⎝⎭，()3,1,0DF =.设面DCE 的法向量为1n ，由面PCD ⊥面ABCD ，可得()11,0,0n =，设面DEF 的法向量为()2,,n x y z =，2200n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即304430y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1x =，求得(21,n =-， 121cos ,13n n =C DE F --的平面角为θ，∴sin θ=.【点睛】思路点睛：解决线面角、二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.24．（1）证明见解析；（2）55. 【分析】（1）先证明，CO ED ⊥，再证明CO AO ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证明； （2）以O 为原点，OC 为x 轴正半轴建立空间直角坐标系O xyz -，用向量法计算.【详解】（1）证明：由题意BCDE 为平行四边形，且::1:2:2AE EB BC = 可得四边形BCDE 为菱形，连接CE ，在Rt ADE △中，∵12AE DE =， ∴60AED ∠=︒，则60CDE ∠=︒，所以CDE △为正三角形.由点O 为DE 的中点，得CO ED ⊥.∵点O 为DE 的中点，∴12AO ED EO ==，又AC DC =，∴AC EC =，∴"AOC △≌EOC △，则CO AO ⊥.∵AO DE O ⋂=，∴CO ⊥平面ADE .（2）解：如图，不妨设2DE =，以O 为原点，OC 为x 轴正半轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0D ，()0,1,0E -，)3,0,0C ，()3,2,0B -，130,,22A ⎛- ⎝⎭. 设平面ABE 的一个法向量为()111,,m x y z =，则1111301302m BE x y m EA y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 不妨令11z =，得()1,3,1m =--. 设平面AOC 的一个法向量为()222,,n x y z =，则222301302n OC x n OA y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 令23y =()0,3,1n =. ∵0315cos ,552m nm n m n ⋅-+===⨯， ∴平面ABE 与平面AOC 5 【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．25．（1）2π；（2）12. 【分析】由题意可得AB AD ⊥，AE AB ⊥，AE AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出所用点的坐标．（1）分别求出,DE AC 的坐标，由0DE AC =可得直线DE 与直线AC 所成的角； （2）分别求出平面BED 的一个法向量与平面EDC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B ED C --的余弦值．【详解】如图，由题意，AB AD ⊥，AE AB ⊥，AE AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：则()0,0,0A ，()2,0,0B ，(2C ，()0,2,0D ，(2E ，（1）(0,2DE =-，(2AC =， 220DE AC ⋅=-+=，∴直线DE 与直线AC 所成的角为π2； （2）设平面BED 的一个法向量为()111,,m x y z =，(2BE =-，(0,2DE =-， 由1111220220m BE x z m DE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取12z (2m =； 设平面EDC 的一个法向量为()222,,n x y z =，(0,2DE =-，()1,1,0EC =， 由22222200n DE y z n EC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取22z =(1,1,2n =-. 21cos ,222m nm n m n ⋅∴===⨯⋅， ∴二面角B ED C --的余弦值为12.【点睛】本题考查了立体几何中的异面直线所成的角和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.26．（1）证明见解析；（2）24. 【分析】（1）连接AO ，证明CA ⊥平面PAO ，说明PAO ∠是PA 与平面ABC 的角，通过证明//OB AC ，推出//OB 平面PAC ．（2）建立直角坐标系求解【详解】解：（1）连AO ，因为PO ⊥平面ABC ，得PO CA ⊥．又因为CA PA ⊥，PO PA P =，PO ⊂平面PAO ，PA ⊂平面PAO所以CA ⊥平面PAO ，AO ⊂平面PAO ，所以CA AO ⊥因为PAO ∠是PA 与平面ABC 的角，60PAO ∠=︒．因为23PA =，得3OA =．在OAB 中，903060OAB ∠=︒-︒=︒，故有OB OA ⊥，从而有//OB AC ，OB ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC所以//OB 平面PAC ．（2）以,,OB OA OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，则(0,0,3)P ，(0,3,0)A ，(3,0,0)B ，3,0)C(4,0,0),(0,3,3),(3,0,3)AC PA PB ∴==-=-设平面PAC 的法向量(,,)n x y z =则40330n AC x n PA y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩得(0,3,1)n = 32sin cos ,4232||||n PBn PB n PB α⋅∴=<>===⨯⋅即直线PB与平面PAC所成角的正弦值为2 4.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.。

一、选择题1．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，2AB =，E 为PB 的中点，若3cos ,3DP AE =，则PD =（ ）A ．1B ．32C ．3D ．22．在四面体OABC 中，空间的一点OM 满足1126OM OA OB OC λ=++，若MA ，MB ，MC 共面，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．512D ．7123．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（ ）A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭4．长方体12341234A A A A B B B B -的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合12{|i j x x A B A B =⋅，{1,2,3,4},{1,2,3,4}}i j ∈∈中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（ ） A ．43π B ．πC ．23π D ．2π 6．已知长方体1111ABCD A BC D -的底面AC 为正方形，1AA a =，AB b =，且a b >，侧棱1CC 上一点E 满足13CC CE =，设异面直线1A B 与1AD ，1A B 与11D B ，AE 与11D B 的所成角分别为α，β，γ，则 A ．αβγ<<B ．γβα<<C ．βαγ<<D ．αγβ<<7．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(02)AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为( )A ．23B ．2C ．223λD ．2558．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．105B ．1010C ．32D ．629．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于（ ）A ．121+232OA OB OC - B ．211+322OA OB OC -+ C ．111222OA OB OC +- D ．211322OA OB OC --10．已知()()2,,,1,21,0a t t b t t ==--，则b a -的最小值是( ) A ．2B ．3C ．5D ．611．如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点.设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E 为平面BCC 1B 1的中心，则直线DE 与平面ACD 1所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．13C ．33D ．233二、填空题13．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P A B R λλ=∈若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为______．14．若平面α的一个法向量为()n 122=，，，A(1，0，2)，B(0，-1，4)，A ∉α，B ∈α，则点A 到平面α的距离为__________．15．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m 、n 所成角的正弦值为________．16．正四棱锥S ABCD -的八条棱长都相等，SB 的中点是E ，则异面直线AE ，SD 所成角的余弦为__________．17．已知直线l 的倾斜角为θ，则直线l 的一个方向向量为_______________.18．如图，空间四边形OABC 中，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别为_____．19．如图，空间四边形C OAB 中，a OA =，b OB =，C c O =，点M 在OA 上，且23OM =OA ，点N 为C B 中点，则MN 等于_____．（用向量表示）20．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，,,M E F 分别为,,PQ AB BC 的中点，则直线ME 与平面ABCD 所成角的正切值为________；异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是________．三、解答题21．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中60BAD ∠=︒，22AB AD ==，45BAE GAD ∠=∠=︒.（Ⅰ）求证：平面ADG ⊥平面BDG ； （Ⅱ）求直线BG 与平面AGFE 所成角的正弦值.22．如图，在三梭柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ，11AACC 均为菱形，12AA =，1160ABB ACC ∠=∠=︒，D 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1CDB ；（Ⅱ）若60BAC ∠=︒，求直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值.23．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 和11BCC B 都是正方形，平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，,D E 分别为1BB ，AC 的中点．（1）求证：//BE 平面1ACD ． （2）求直线1B E 与平面1ACD 所成角的正弦值．24．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE =.（1）求直线DE 与直线AC 所成的角； （2）求二面角B ED C --的余弦值.25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，12AA =，CH ⊥平面11AA B B ，且3CH =．（1）求1AC 与平面ABC 所成角的正弦值；（2）在线段11A B 上是否存在一点P ，使得平面PBC ⊥平面ABC ？若存在，求出1B P 的长；若不存在，说明理由．26．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点.（1）PB ∥平面AEC ；（2）设PA =1，ABC ∠60︒=，三棱锥E -ACD 3，求二面角D -AE -C 的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】由已知以D 为原点建立空间直角坐标系，设(0,0,)P a ，求得,DP AE 的坐标，由数量积公式可得答案. 【详解】由已知DP DA DC 、、两两垂直，所以以D 为原点，建立如图所示的坐标系， 设(0)PD a a =>，则(0,0,)P a ，(2,0,0)A ，连接BD 取中点F ，连接EF ，所以//EF PD ，EF ⊥平面ABCD ， 所以(1,1,)2a E ，所以(0,0,)DP a =，(1,1,)2a AE =-，由3cos ,3DP AE =，得2232cos ,3114a DP AE DP AE DP AE a a ⋅===⋅⋅++， 解得2a =. 故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的数量积公式的应用，关键点是建立空间直角坐标系，由数量积公式求得a ，考查了学生的空间想象力.2．B解析：B 【分析】根据向量共面定理求解． 【详解】由题意1126MA OA OM OA OB OC λ=-=--， 1526MB OB OM OA OB OC λ=-=-+-，11(1)26MC OC OM OA OB OC λ=-=--+-，∵MA ，MB ，MC 共面，∴在在实数唯一实数对(,)m n ，使得MA mMB nMC =+，1126OA OB OC λ--1511(1)2626m OA OB OC n OA OB OC λλ⎛⎫⎡⎤=-+-+--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴111222511666(1)m n m n m n λλλ⎧--=⎪⎪⎪-=-⎨⎪-+-=-⎪⎪⎩，解得132313m n λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩．故选：B ． 【点睛】结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．,,OA OB OC 是不共面的向量，OM xOA yOB zOC =++，则,,,M A B C 共面⇔1x y z ++=． 3．A解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-，()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC D C D P λλλλλλ=-=---=---，由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得：103λ<<， 当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC ADC ∠=∠显然是锐角，符合题意， 所以103λ≤<， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，还需利用11PA D A D P =-，11PC DC D P =-求出PA 、PC 的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.4．C解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的定义，进行计算，即可求解． 【详解】由题意，因为正方体12341234A A A A B B B B -的底面为班车为1的正方形，高为2， 建立如图所示的空间直角坐标系，则12341234(1,1,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,0),(1,1,2),(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2)A A A A B B B B ， 则12(1,0,2)A B =-， 与11(0,0,2)A B =相等的向量为223344A B A B A B ==，此时1211224A B A B ⋅=⨯=， 与14(0,1,2)A B =-相等的向量为23A B ，此时1214224A B A B ⋅=⨯=， 与41(0,1,2)A B =相等的向量为32A B ，此时1241224A B A B ⋅=⨯=， 与21(1,0,2)A B =相等的向量为34A B ，此时1221143A B A B ⋅=-+=， 与12(1,0,2)A B =-相等的向量为43A B ，此时1212145A B A B ⋅=+=， 体对角线向量为13(1,1,2)A B =--，此时1213145A B A B ⋅=+=， 24(1,1,2)A B =-，此时1224143A B A B ⋅=-+=，31(1,1,2)A B =，此时1231143A B A B ⋅=-+=， 42(1,1,2)A B =-，此时1242145A B A B ⋅=+=，综上集合11{|,{1,2,3,4},{1,2,3,4}}{3,4,5}i j x x A B A B i j =⋅∈∈=，集合中元素的个数为3个． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了集合的元素的计算，以及向量的数量积的运算，其中解答中建立恰当的空间直角坐标系，熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．C解析：C 【分析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN ⊥AC ，BN ⊥AC ，可得出二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角为∠BND ，再利用余弦定理求出BD ，可知三棱锥B ﹣ACD 为正四面体，可得出内切球的半径R ，再利用球体的表面积公式可得出答案． 【详解】 如下图所示，易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点N ，则DN ⊥AC ，BN ⊥AC ． 所以，∠BND 是二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角，过点B 作BO ⊥DN 交DN 于点O ，可得BO ⊥平面ACD ．因为在△BDN 中，3BN DN ==，所以，BD 2＝BN 2+DN 2﹣2BN •DN •cos ∠BND 1332343=+-⨯⨯=，故三棱锥A ﹣BCD 为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的14，又正四面体的高为棱长的63，故662126R =⨯=． 因此，三棱锥A ﹣BCD 的内切球的表面积为226244()63R πππ=⨯=． 故选C ． 【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．6．A解析：A 【分析】根据题意将异面直线平移到同一平面，再由余弦定理得到结果. 【详解】根据题意将异面直线平移到同一平面中，如上图，显然α，β，(0,]2πγ∈，因为a b >，异面直线1A B 与1AD 的夹角即角1AD C ，根据三角形1AD C 中的余弦定理得到222211cos 21()a b a b aα==>++，故(0,)3πα∈，同理在三角形1A DB 中利用余弦定理得到：2221cos 222()1a a b bβ==<⋅+⋅+，故(,)32ππβ∈， 连接AC ，则AC 垂直于BD ，CE 垂直于BD ，AC 交CE 于C 点，故可得到BD 垂直于面ACE ，进而得到BD 垂直于AE ，而BD 平行于11D B .从而得到2πγ=，故αβγ<<. 故答案为A.这个题目考查了异面直线夹角的求法，一般是将异面直线平移到同一平面中，转化到三角形中进行计算，或者建立坐标系，求解两直线的方向向量，两个方向向量的夹角就是异面直线的夹角或其补角.7．D解析：D 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离 . 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,,2,0,0,2,2,0,1,2,2,1G D E F λ，()()()12,0,1,0,2,0,0,,1ED EF EG λ=-==，设平面1D EF 的法向量(),,n x y z =，则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，取1x =，得()1,0,2n =，∴点G 到平面1D EF 的距离为 22555EG n d n⋅===，故选D. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.8．A解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，求出向量AM 与1BC 的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值.以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,,1)2M ∴1(0,,1)2AM =，52AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为111110cos ,10AM B C AM B C AM B C⋅===⋅ 故选A. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．9．D解析：D 【解析】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O 出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O 出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果. 详解：由题意可得21()32EF OF OE OA OB OC =-=-+ 211322OA OB OC =--，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题.10．A解析：A 【解析】解：由题意可知：()1,1,b a t t t -=---- ，则：(b a t -=--= ，即b a - 本题选择A 选项.点睛：本题的模长问题最终转化为二次函数求最值的问题.二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．11．D解析：D 【分析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，,02AE x x =≤≤，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，确定出,,B D E 点的坐标，求出平面BDE 的法向量m ，底面ABC 的法向量坐标为(0,0,1)n =，将cos α表示为关于x 的函数，通过讨论cos α的增减变化，即可求出结论. 【详解】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤， 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则,0),(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s tk =，则mBD m ED⎧⊥⎨⊥⎩，即02(1)0t k t x k⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =1t s x ==+，所以平面BDE 的一个法向量(1m x =+， 底面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，cos |cos ,|m n α=<>==当1(0,)2x ∈，cos α随着x 增大而增大，则α随着x 的增大而减小， 当1(,2)2x ∈，cos α随着x 增大而减小，则α随着x 的增大而增大.故选：D.【点睛】本题考查空间向量法求二面角，应用函数思想讨论二面角的大小，考查直观想象、数学计算能力，素养中档题.12．B解析：B 【分析】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭.易知平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，计算夹角得到答案. 【详解】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭. 根据1,n AC n AD ⊥⊥得到平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，11,1,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故22cos 3n DE n DEα⋅==⋅，故1sin 3α=， 直线DE 与平面ACD 1所成角θ，满足1cos sin 3θα==. 故选：B .【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题13．【分析】从二面角的大小入手利用空间向量求解【详解】以N 为坐标原点NCNA 所在直线分别为x 轴y 轴建立空间直角坐标系如图则由可得设为平面的一个法向量则即令可得易知平面ABC 的一个法向量为因为平面与平面所 解析：2-【分析】从二面角的大小入手，利用空间向量求解. 【详解】以N 为坐标原点，NC,NA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图则()()()()()10,0,0,1,0,1,1,0,0,3,0,3,2N M B A A - ,由111A P A B λ=可得()11111133,2NP NA A P NA A B NA AB λλλλ=+=+=+=-, ()1,0,1NM =,设(),,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则00n NM n NP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即)0120x z x y z λλ+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩， 令1z =-，可得()()321,,131n λλ⎛⎫+=- ⎪ ⎪-⎝⎭，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =. 因为平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，所以1cos45n mn m n ⋅︒==，即2n =，所以21211231λλ+⎛⎫++= ⎪-⎝⎭，解得2λ=-. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用二面角求解参数.二面角的求解和使用的关键是求解平面的法向量，把二面角转化为向量的夹角问题.14．【分析】利用点到直线的距离公式借助平面的法向量利用公式即可求解【详解】由题意平面的一个法向量为且则所以点A 到平面的距离为【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求法其中解答中熟记空间向量在几何问题中的解析：13【分析】利用点到直线的距离公式，借助平面的法向量，利用公式，即可求解. 【详解】由题意，平面α的一个法向量为,,(1)22n =，且(1,0,2),(0,1,4),,A B A B αα-∉∈，则(1,1,2)BA =-， 所以点A 到平面α的距离为1131BA n d n⋅+===+.【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求法，其中解答中熟记空间向量在几何问题中的应用，以及点到直线的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15．【分析】画出题目描述的图形判断直线mn 的所成的角通过解三角形即可【详解】如图:α‖平面CB1D1α∩平面ABCD=mα∩平面ABA1B1=n 可知:m//CD1m//B1D1因为△CB1D1是正三角形【分析】画出题目描述的图形，判断直线m 、n 的所成的角，通过解三角形即可.【详解】如图:α‖平面CB1D1, α∩平面ABCD=m, α∩平面ABA1B1=n,可知:m//CD1,m//B1D1,因为△CB1D1是正三角形.所以m、n所成角就是∠CD1B1=60°则m、m所成角的正弦值为:3 2故选:A【点睛】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力，解决问题的关键是在空间图形中找到异面直线所成的平面角.16．【解析】以正方形的中心为原点平行于的直线为轴平行于的直线为轴为轴建立如图所示空间直角坐标系设四棱锥棱长为则所以∴故异面直线所成角的余弦值为解析：3 3【解析】以正方形ABCD的中心O为原点，平行于AB的直线为x轴，平行于AD的直线为y轴，SO为z轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz，设四棱锥S ABCD -棱长为2，则(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(0,0,2)S ，(1,1,0)D -，112,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以312,,222AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(1,1,2)SD =--，∴311322cos ,3911112442AE SD -+-==-++⋅++． 故异面直线AE ，SD 所成角的余弦值为33． 17．(cos sin )【分析】分类讨论：当倾斜角为时可以得出直线的一个方向向量；当倾斜角不等于时先求出直线的斜率然后再写出直线的一个方向向量最后综合即可得出答案【详解】当时直线与垂直则可得直线的一个方解析：(cos θ,sin θ) 【分析】分类讨论：当倾斜角θ为90︒时，可以得出直线的一个方向向量；当倾斜角θ不等于90︒时，先求出直线的斜率，然后再写出直线的一个方向向量，最后综合即可得出答案. 【详解】当90θ︒=时，直线l 与x 垂直，则可得直线l 的一个方向向量为()0,1；当90θ︒≠时，则可得直线l 的斜率为tan k θ=，则可得直线l 的一个方向向量为()1,tan θ或()cos ,sin θθ；令θ90︒=，则有()()cos ,sin 0,1θθ=，综上可得：直线l 的倾斜角为θ时，直线l 的一个方向向量为()cos ,sin θθ. 故答案为：()cos ,sin θθ. 【点睛】本题考查了直线方向向量的求解，注意做题时一定要考虑到直线的倾斜角可能为90︒，属于一般难度的题.18．【解析】∵∴∴故答案为解析：111,,633【解析】∵ O G OM MG =+，12OM OA =，2,3MG MN MN ON OM ==-，1 ()2ON OB OC =+，∴111633OG OA OB OC =++，∴16x =，13y z ==，故答案为111,,63319．【分析】试题分析：因为空间四边形OABC 如图点M 在线段OA 上且OM=2MAN 为BC 的中点所以所以考点：向量加减混合运算及其几何意义【详解】解析：211322a b c -++【分析】试题分析：因为空间四边形OABC 如图a OA =， b OB =，C c O =，点M 在线段OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 的中点， 所以1122ON c b =+ 所以211322MN ON MO a b c =+=-++ 考点：向量加减混合运算及其几何意义 【详解】20．【详解】试题分析：由两两垂直分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系设则所以其中平面的一个法向量为所以与平面所成角的正弦值为所以；又向量与所成角的余弦值为又所以异面直线与所成角的余弦值是考点23030【详解】试题分析：由,,AB AD AQ 两两垂直，分别以,,AB AD AQ 所在的直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB =，则(0,0,0),(1,0,0),(2,1,0),(0,1,2)A E F M ，所以(1,1,2),(2,1,0)EM AF =-=，其中平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =，所以ME与平面ABCD 所成角的正弦值为6sin 3EM n EM nα⋅==⋅，所以tan 2α=EM与AF 所成角的余弦值为cos EM AF EM AFβ⋅=⋅3030=-，又(0,]2πβ∈，所以异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是3030．考点：空间向量的运算及空间角的求解．三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ21【分析】（Ⅰ）证明：AD DB ⊥，GD DB ⊥，即可证明BD ⊥平面ADG ，从而得到平面ADG ⊥平面BDG ；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量方法求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值． 【详解】（Ⅰ）证明：在BAD 中，22AB AD ==，60BAD ∠=︒．由余弦定理2222cos60BD AD AB AB AD =+-︒，3BD ， 222AB AD DB =+，AD DB ∴⊥，在直平行六面体中，GD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，GD DB ∴⊥， 又ADGD D =，,AD DG ⊂平面ADGBD ∴⊥平面ADG ．又因为BD ⊂平面BDG ， 所以平面ADG ⊥平面BDG ；（Ⅱ）解：如图以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==，(1A ∴，0，0)，(0,3,0)B ，(0,3,2)E ，(0G ，0，1)，(1,3,2)AE =-，(1,0,1)AG =-，(0,3,1)GB =-，设平面AEFG 的法向量(,,)n x y z =，·320·0n AE x y z n AG x z ⎧=-++=⎪⎨=-+=⎪⎩令1x =，得33y -=，1z =， ∴3(1,,1)3n =-，设直线GB 和平面AEFG 的夹角为θ，∴21sin |cos ,|||7||||GB n GB n GB n θ=<>==， 所以直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值为217．【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）22. 【分析】（Ⅰ）连结1BC ，与1BC 交于点O ，连结OD ，由平几知识可证得1//AC OD ，再由线面平行的判定可得证；（Ⅱ）方法一：由已知可得1AO BC ⊥，1AO B C ⊥，11B C BC =，再由线面垂直的判定可得AO ⊥平面11BB C C ，从而有1AC B ∠即为直线1AC 与平面11BB C C 所成的角，解三角形可解得直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值.方法二：以D 为原点，分别以射线DB ，1DB ，CD 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -，运用线面角的空间向量的求解方法可求得答案． 【详解】解：（Ⅰ）连结1BC ，与1BC 交于点O ，连结OD ， 四边形11BB C C 是平行四边形，O 为1BC 中点，D 为AB 中点，得1//AC OD ，又OD ⊂平面1CDB ，故1//AC 平面1CDB ；（Ⅱ）方法一：由12AB AC ==，12AC AB ==，且O 为1BC ，1BC 的中点， 得1AO BC ⊥，1AO B C ⊥，11B C BC =， 又1BC ，1CB 为平面11BB C C 内两条相交直线，得AO ⊥平面11BB C C ，故1AC B ∠即为直线1AC 与平面11BB C C 所成的角； 由60BAC ∠=︒，2AB AC ==，2BC =，得四边形11BB C C 为菱形，又11B C BC =，故四边形11BB C C 为正方形，122BC =， 则1ABC 为等腰直角三角形，且12BAC π∠=，故14AC B π∠=，12sin 2AC B ∠=， 因此，直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值为22.方法二：以D 为原点，分别以射线DB ，1DB ，CD 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0D ，()1,0,0A -，()1,0,0B ，()13,0A -，()13,0B ， 由60BAC ∠=︒，2AB AC ==，ABC 为正三角形， 故CD AB ⊥，又1B D AB ⊥，所以AB ⊥平面1CDB ， 设()0,,C y z ，由2CA =，123CA =得(22223,38,y z y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩即326y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3260,C ⎛ ⎝⎭， 由11B C BC ，得12326C ⎛- ⎝⎭，所以12326AC ⎛= ⎝⎭，()13,0BB =-，3261,BC ⎛=- ⎝⎭； 设平面11BB C C 的一个法向量为()111,,n x y z =，由10,0,n BB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得1111130,33260,x y x z ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩可取(3,1,2n =，设直线1AC 与平面11BB C C 所成角为θ， 则1112sin cos ,2AC n AC n AC nθ⋅===， 因此，直线1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值为22. 【点睛】思路点睛：线面角的二种求法：1.几何法：一般要有三个步骤：一作，二证，三算.}2. 向量法：直线a 的方向向量和平面α的法向量分别为m 和n .直线a 的方向向量和平面α所成的角θ满足: ||sin .||||n m n m θ⋅=⋅23．（1）证明见解析；（2）23.【分析】（1）取1AC 中点F ，证明四边形EFDB 为平行四边形，证出//BE DF ，即可证明//BE 平面1ACD ；（2）根据题意建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求解平面1ACD 的 法向量，利用数量积的计算公式即可求出直线1B E 与平面1ACD 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：取1AC 中点F ，连接DF ，EF ， ∵,E F 分别为1,AC AC 的中点，∴1//EF AA ，且112EF AA =，又四边形11ABB A 是正方形，∴11//BB AA 且11BB AA =， 即1//EF BB 且112EF BB =，又∵D 为1BB 中点，∴//EF BD 且EF BD =，所以四边形EFDB 为平行四边形，所以//BE DF ，又BE ⊄平面1ACD ，DF ⊂平面1ACD ， 所以//BE 平面1ACD . （2）由题意，1,,BA BC BB 两两垂直，所以以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设12BA BC BB ===，则11(0,2,0),(1,0,1),(2,0,0),(0,1,0),(0,2,2)B E C D A . ，11(1,2,1),(2,1,0),(2,2,2)B E CD AC =-=-=-，设平面 1ACD 的法向量为(),,m x y z =，则100AC m CD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即 222020x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩，得()1,2,1m =-设直线1B E 与平面1ACD 所成角为θ， 1111412sin cos ,366B E m B E mB E mθ， 所以直线1B E 与平面1ACD 所成角的正弦值为23.【点睛】方法点睛：本题考查的是空间向量与立体几何的问题，（1）关于线面平行的证明，一般利用线面平行的判定定理证明，需要证明平行线，一般是找中位线或者平行四边形证明；（2）关于线面角的求解，一般利用空间向量的方法，需要求解平面的法向量，再代入数量积求解公式计算. 24．（1）2π；（2）12.【分析】由题意可得AB AD ⊥，AE AB ⊥，AE AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出所用点的坐标．（1）分别求出,DE AC 的坐标，由0DE AC =可得直线DE 与直线AC 所成的角； （2）分别求出平面BED 的一个法向量与平面EDC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B ED C --的余弦值． 【详解】如图，由题意，AB AD ⊥，AE AB ⊥，AE AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：则()0,0,0A ，()2,0,0B，(C ，()0,2,0D，(E ， （1）(0,DE =-，(AC =，220DE AC ⋅=-+=，∴直线DE 与直线AC 所成的角为π2；（2）设平面BED 的一个法向量为()111,,m x y z =，(BE =-，(0,DE =-，由11112020m BE x m DE y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1z(m =； 设平面EDC 的一个法向量为()222,,n x y z =，(0,DE =-，()1,1,0EC =，由2222200n DE y n EC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2z =(1,1,n =-. 21cos ,222m n m n m n⋅∴===⨯⋅， ∴二面角B ED C --的余弦值为12. 【点睛】本题考查了立体几何中的异面直线所成的角和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 25．（12）存在，115B P =. 【分析】（1）以点1B 为坐标在原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求得结果；（2）假设存在点P ，设(,0,0)P λ，且[]0,2λ∈，利用平面PBC 的法向量与平面ABC 的法向量垂直列式可解得结果. 【详解】（1）以点1B 为坐标在原点建立空间直角坐标系，如图：则1(0,0,0)B ，1(2,0,0)A ，(2,2,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,3)C ， （1）(2,0,0)AB =-，(1,1,3)AC =--，设平面ABC 的一个法向量(,,)n x y z = 则00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2030x x y z -=⎧⎨--+=⎩，令1z =得(0,3,1)n =，设1AC 与平面ABC 所成角为θ，1(1,1,3)AC =-，110333sin 11055119091AC n AC n θ⋅++∴===++⨯++⋅ （2）假设存在点P ，设(,0,0)P λ，且[]0,2λ∈，(,2,0)PB λ∴=-，(1,1,3)BC =-，设平面PBC 的法向量(,,)m x y z =，则00m PB m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2030x y x y z λ-+=⎧⎨-+=⎩，令1x =得11,,263m λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，平面PBC ⊥平面ABC ，m n ∴⊥，即310263m n λλ=⋅=+-，得[]10,25λ=∈，∴存在这样的点1,0,05P ⎛⎫⎪⎝⎭使得平面PBC ⊥平面ABC ，且115B P =．【点睛】关键点点睛：将平面与平面垂直问题转化为两个平面的法向量垂直求解是本题的解题关键. 26．（1）证明见解析；（2）14. 【分析】(1 )连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，根据中位线定理可得//PB OE ，由线面平行的判定定理即可证明//PB 平面AEC ；（2）设菱形ABCD 的边长为a ，根据2324P ABCD P ACD E ACD V V V ---===2a =，以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面CAE 与平面DAE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 【详解】(1)连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则O 为BD 中点，E 为PD 的中点，所以//PB OE ，OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面AEC ；（2）设菱形ABCD 的边长为a ，2324P ABCD P ACD E ACD V V V ---===， 1233113132P ABCD ABCD V S PA a a -⨯⨯⨯=⋅==，则2a =. 取BC 中点M ，连接AM .以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴， 以AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.()0,2,0D ，()0,0,0A ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()3,1,0C10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3,1,0AC =，设平面ACE 的法向量为1(,,)n x y z =， 由11,n AE n AC ⊥⊥，得10230y z x y ⎧+=⎪⎪+=⎩，令3y =1,23x z =-=- (11,3,23n =∴--，平面ADE 的一个法向量为()21,0,0n =1212121cos<,>41312n n n n n n ⋅===++⋅，即二面角D AE C --的余弦值为14. 【点睛】方法点睛：二面角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n ；再代入公式cos m n m nα⋅=±（其中,m n 分别是两个平面的法向量，α是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“ ”号）。

一、选择题1．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，2AB =，E 为PB 的中点，若3cos ,3DP AE =，则PD =（ ）A ．1B ．32C ．3D ．22．如图，在几何体111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，111////AA BB CC ，1AA ⊥平面ABC ，若E 是棱11B C 的中点，且1112AB AA CC BB ===，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A 13B ．21313C 26D 2263．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30，6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（ ）A ．()0,6B ．()6,+∞C ．(0,63D ．()63,+∞4．长方体12341234A A A A B B B B -的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合12{|i j x x A B A B =⋅，{1,2,3,4},{1,2,3,4}}i j ∈∈中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，点P 在正方体1111ABCD A BC D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变； 1//A P ②平面1ACD ；1DP BC ⊥③；④平面1PDB 平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(02)AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为( )A ．23B ．2C ．223λD ．2557．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若a b =，则,a b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量,AB CD ，满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD > D ．若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//AB CD8．已知菱形ABCD 中，∠60ABC =︒，沿对角线AC 折叠之后,使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A --的余弦值为（ ）.A ．2B ．12C ．33D 59．已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，11114A E AC =，若1BE xAB yAD zAA =++，则x 的值为（ ） A ．14B ．34-C ．1D ．1210．如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点.设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大11．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11AC 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为710时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ） A 15B 15C 5 D 512．在长方体1111ABCD A BC D -中，若13AC =111()AB AC AD AC ++⋅=（ ）A ．0B 3C ．3D ．6二、填空题13．若非零向量,αβ满足αβαβ+=-，则α与β所成角的大小为___． 14．设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.15．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AB ⊥AC ，且AA 1=AB=AC ，则异面直线AB 1与BC 1所成角为_____．16．已知空间向量(1,0,0)a =，13(,22b =，若空间向量c 满足2c a ⋅=，52c b ⋅=，且对任意,x y R ∈，()()00001(,)c xa yb c x a y b x y R -+≥-+=∈，则c =__________. 17．在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11AB（含端点）上的任一点，则直线ME 与平面1D EF 所成角的正弦值的最小值为_________. 18．如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-中，1,2,AB AD AA BAD BAA ===∠=∠''60DAA =='∠，则AC '的长为__________19．在直三棱柱111A B C ABC -中，底面ABC 为直角三角形，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的最小值为 .20．在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________.三、解答题21．如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==，87CF =（1）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （2）求平面BDE 与平面BDF 夹角的余弦值．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，112BC AD ==且3CD =，E 为AD 的中点，F 是棱PA 的中点，2PA =，PE ⊥底面ABCD .AD CD ⊥（Ⅰ）证明：//BF 平面PCD ； （Ⅱ）求二面角P BD F --的正弦值；（Ⅲ）在线段PC （不含端点）上是否存在一点M ，使得直线BM 和平面BDF 所成角的正弦值为3913？若存在，求出此时PM 的长；若不存在，说明理由. 23．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是等腰梯形//,2,4,,AB DC BC CD AD AB M N ====分别是,AB AD 的中点.（1）证明：平面PMN ⊥平面PAD ；（2）若二面角C PN D --的大小为60°，求四棱锥P ABCD -的体积.24．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC △为等腰直角三角形，90APC ∠=︒，ABC 为正三角形，D 为AC 的中点，2AC =.（1）证明：PB AC ⊥；（2）若三棱锥P ABC -的体积为33，求二面角A PC B --的余弦值. 25．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（1）证明：BE DC ⊥；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，CF CP λ=且满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值.26．如图，四边形PABC 中，90,23,4PAC ABC PA AB AC ︒∠=∠====，现把PAC ∆沿AC 折起，使PA 与平面ABC 成60︒角，点P 在平面ABC 上的投影为点O (O 与B 在CA 同侧)（1）证明：//OB 平面PAC ；（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由已知以D 为原点建立空间直角坐标系，设(0,0,)P a ，求得,DP AE 的坐标，由数量积公式可得答案.【详解】由已知DP DA DC 、、两两垂直，所以以D 为原点，建立如图所示的坐标系， 设(0)PD a a =>，则(0,0,)P a ，(2,0,0)A ，连接BD 取中点F ，连接EF ，所以//EF PD ，EF ⊥平面ABCD ， 所以(1,1,)2a E ，所以(0,0,)DP a =，(1,1,)2a AE =-，由3cos ,3DP AE =，得2232cos ,3114a DP AE DP AE DP AE a a ⋅===⋅⋅++， 解得2a =. 故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的数量积公式的应用，关键点是建立空间直角坐标系，由数量积公式求得a ，考查了学生的空间想象力.2．C解析：C 【解析】 【分析】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值 【详解】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴， CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB ＝AA 1＝CC 1＝2BB 1＝2，则A 131，2），A 310，，），C 1（0，0，2），B 1（0，2，1），E （0，1，32）， 1A E =（3-0，12-），1AC =（3-1，2），设异面直线A 1E 与AC 1所成角为θ，则cosθ1111226131384A E AC A E AC ⋅===⋅⋅． ∴异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值为2613． 故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．C解析：C 【分析】画出已知图形，可得出OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，求出OB 的长度，则线段BC 长的范围即可求出.【详解】 如下图所示：AO α⊥，BC α⊂，BC AO ∴⊥.又BC AC ⊥，AO AC A ⋂=，AO 、AC ⊂平面ACO ，BC ∴⊥平面ACO .OC ⊂平面ACO ，OC BC ∴⊥，在Rt OAB ∆中，6AO =，30ABO =∠，6tan 30AOOB ∴==.在平面α内，要使得OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，则0BC OB <<，即0BC <<BC 长的取值范围是(.故选C. 【点睛】本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．C解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的定义，进行计算，即可求解． 【详解】由题意，因为正方体12341234A A A A B B B B -的底面为班车为1的正方形，高为2， 建立如图所示的空间直角坐标系，则12341234(1,1,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,0),(1,1,2),(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2)A A A A B B B B ， 则12(1,0,2)A B =-， 与11(0,0,2)A B =相等的向量为223344A B A B A B ==，此时1211224A B A B ⋅=⨯=， 与14(0,1,2)A B =-相等的向量为23A B ，此时1214224A B A B ⋅=⨯=， 与41(0,1,2)A B =相等的向量为32A B ，此时1241224A B A B ⋅=⨯=， 与21(1,0,2)A B =相等的向量为34A B ，此时1221143A B A B ⋅=-+=， 与12(1,0,2)A B =-相等的向量为43A B ，此时1212145A B A B ⋅=+=， 体对角线向量为13(1,1,2)A B =--，此时1213145A B A B ⋅=+=， 24(1,1,2)A B =-，此时1224143A B A B ⋅=-+=， 31(1,1,2)A B =，此时1231143A B A B ⋅=-+=， 42(1,1,2)A B =-，此时1242145A B A B ⋅=+=，综上集合11{|,{1,2,3,4},{1,2,3,4}}{3,4,5}i j x x A B A B i j =⋅∈∈=，集合中元素的个数为3个． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了集合的元素的计算，以及向量的数量积的运算，其中解答中建立恰当的空间直角坐标系，熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．C解析：C 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ， 故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC 的体积不变，故①正确；对于②，连接1A B ，11AC ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BAC 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC ⊥平面11BCBC ，所以1DC BC ⊥，若1DP BC ，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．6．D解析：D【分析】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离 .【详解】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()12,,2,0,0,2,2,0,1,2,2,1G D E F λ，()()()12,0,1,0,2,0,0,,1ED EF EG λ=-==，设平面1D EF 的法向量(),,n x y z =，则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，取1x =，得()1,0,2n =， ∴点G 到平面1D EF 的距离为25EG nd n ⋅===，故选D. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 7．D 解析：D【分析】 由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面，选项A 错误； 因为a b =仅表示a 与b 的模相等，与方向无关，选项B 错误；因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB CD >这种写法，选项C 错误； ∵0AB CD +=，∴AB CD =-，∴AB 与CD 共线，故AB //CD ，选项D 正确. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查向量平移的性质，向量模的定义的理解，向量共线的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．D解析：D【分析】取AC 的中点E ，分别以EA ，ED ，EB 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角B CD A --的余弦值．【详解】解：如图取AC 的中点E ，分别以EA ，ED ，EB 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，令棱形ABCD 的边长为2，则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()0,3,0D ，()0,0,3B 设平面BCD 的法向量为(),,n x y z =，()1,0,3BC =--，()0,3,3BD =- 30330x z y z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩令3z =则3y =，3x =- 即()3,3,3n =-平面ACD 的法向量为()0,0,1m =令二面角B CD A --的夹角为θ 35cos 5115n mn m θ===⨯ 因二面角B CD A --为锐二面角5cos 5θ=故选D 【点睛】本题考查求二面角二余弦值，关键是准确的建立空间直角坐标系，属于中档题． 9．B解析：B【分析】根据向量运算得到1113144BE BA AA A E AB AD AA =++=-++，得到答案. 【详解】 ()11111111131444BE BA AA A E AB AA A B A D AB AD AA =++=-+++=-++，故34x =-. 故选：B .【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.10．D解析：D【分析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，,02AE x x =≤≤，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，确定出,,B D E 点的坐标，求出平面BDE 的法向量m ，底面ABC 的法向量坐标为(0,0,1)n =，将cos α表示为关于x 的函数，通过讨论cos α的增减变化，即可求出结论.【详解】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则,0),(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BD m ED ⎧⊥⎨⊥⎩， 即02(1)0t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =1ts x ==+， 所以平面BDE 的一个法向量(1m x =+，底面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，cos |cos ,|m n α=<>== 当1(0,)2x ∈，cos α随着x 增大而增大，则α随着x 的增大而减小，当1(,2)2x ∈，cos α随着x 增大而减小，则α随着x 的增大而增大.故选：D.【点睛】本题考查空间向量法求二面角，应用函数思想讨论二面角的大小，考查直观想象、数学计算能力，素养中档题.11．B解析：B【分析】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE 和BF 所成角的余弦值为710，求出12t AA ==．由此能求出AE 与平面11BCC B 所成角α的正弦值．【详解】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则3331(3,1,0),,,(0,0,0),,22A E t B F t ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3(2AE =-，12，)t ，3(2BF =，12，)t ， AE ∵和BF 所成角的余弦值为710， 2221||||72|cos ,|10||||11t AE BF AE BF AE BF t t -∴<>===++，解得2t =．∴3(2AE =-，12，2)， 平面11BCC B 的法向量(1,0,0)n =，AE ∴与平面11BCC B 所成角α的正弦值为：3||152sin 10||||5AE n AE n α===． 故选：B ．【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解.【详解】如图建立空间直角坐标系A xyz -，设1,,AB a AD b AA c ===，则111(,0,),(,,0),(0,,),(,,)AB a c AC a b AD b c AC a b c ====.则111(2,2,2)2AB AC AD a b c AC ++==，所以21111()2()6AB AC AD AC AC ++⋅==.故选：D【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的模的概念，属于容易题.二、填空题13．90°【分析】对该方程两边分别平方即可得到即可【详解】则∴α与β所成角的大小为90°故答案为90°【点睛】本题考查了向量模去绝对值问题可以通过对向量模平方去掉绝对值即可解析：90°【分析】对该方程两边分别平方，即可得到0αβ⋅=，即可．【详解】 αβαβ+=-222222ααββααββ∴+⋅+=-⋅+则0αβ⋅=∴α与β所成角的大小为90°故答案为90°【点睛】本题考查了向量模去绝对值问题，可以通过对向量模平方，去掉绝对值，即可． 14．【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本题主要考 解析：3π【分析】利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解．【详解】先把三棱锥P ABC -所以球的半径为所以球的表面积为24π3π⨯=⎝⎭．【点睛】本题主要考查了球的体积公式：343V r π=球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长公式：l =,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．15．【解析】连结A1B ∵AA1⊥面ABC 平面A1B1C1∥面ABC ∴AA1⊥平面A1B1C1∵A1C1⊂平面A1B1C1∴AA1⊥A1C1∵△ABC 与△A1B1C1是全等三角形AB ⊥AC ∴A1B1⊥A1 解析：2π 【解析】连结A 1B ， ∵AA 1⊥面ABC ，平面A 1B 1C 1∥面ABC ，∴AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴AA 1⊥A 1C 1，∵△ABC 与△A 1B 1C 1是全等三角形，AB ⊥AC ， ∴A 1B 1⊥A 1C 1，∵A 1B 1∩AA 1=A 1，∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1C 1⊥AB 1，∵矩形AA 1B 1B 中，AA 1=AB ，∴四边形AA 1B 1B 为正方形，可得A 1B ⊥AB 1，∵A 1B∩A 1C 1=A 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1，结合BC 1⊂平面A 1BC 1，可得AB 1⊥BC 1，即异面直线AB 1与BC 1所成角为2π． 故答案为2π．16．【分析】设空间向量由已知条件可得的值由对任意得：进而得到答案【详解】解：空间向量设空间向量空间向量又由对任意则故故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算空间向量的模属于中档题 解析：22【分析】设空间向量(),,c m n z =，由已知条件可得m 、n 的值，由对任意x ，y R ∈，00|()||()|1c xa yb c x a y b -+-+=得：||1z =，进而得到答案．【详解】解：空间向量(1,0,0)a =，13(,22b =， 设空间向量(),,c m n z =，2c a ⋅=，52c b ⋅=，2m ∴=，1522m = 2m ∴=，3n =，∴空间向量()2,3,c z =，又由对任意x ，y R ∈，()()001c xa yb c x a y b -+≥-+=， 则||1z =，故(22c =+=故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，空间向量的模，属于中档题．17．【分析】建立直角坐标系设正方体边长为2求出平面的法向量为直线与平面所成角为因为所以当时取到最小值代入即可【详解】解：如图建立直角坐标系设正方体边长为2则002设平面的法向量为由得令故0由设直线与平面 解析：25【分析】建立直角坐标系，设正方体边长为2，求出平面DEF 的法向量为m ，直线ME 与平面1D EF 所成角为α，sin cos ,m EM α==，因为[0a ∈，2]，所以当2a =时，取到最小值，代入即可．【详解】 解：如图，建立直角坐标系，设正方体边长为2，AM a =，则(2E ，0，1)，(2M ，a ，2)，(0D ，0，2)，(2F ，2，1)，设平面DEF 的法向量为(m x =，y ，)z ，1(0,2,0),(2,0,1)EF ED ==-，由0m EF ⋅=，10m D E ⋅=，得020y x z =⎧⎨-+=⎩，令2z =，1x =，故(1m =，0，2)， 由(0,,1)EM a =， 设直线ME 与平面1D EF 所成角为α，sin cos ,m EM α==， 因为[0a ∈，2]，所以当2a =时， sin α25=，故答案为：25． 【点睛】考查立体几何中的最值问题，本题利用向量法求线面所成的角，基础题．18．【解析】所以解析：11【解析】22222||222AC AB BC CC AB BC CC AB BC BC CC AB CC =++=+++⋅+⋅'''⋅'+' 222000112211cos60221cos60212cos6011=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 所以11AC =' 19．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系则A （000）E （01）G （01）F （x00）D （0y0）=（-y1）=（x-1-）由于GD ⊥EF 所以x+2y-1=0所以当时线段DF 长度的最小值是故答案为：解析：55【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），E （0，1，12），G （12，0，1），F （x ，0，0），D （0，y ，0）DG =（12，-y ，1）， EF =（x ，-1，-12）由于GD ⊥EF ，所以x+2y-1=0,所以DF ===25y =时，线段DF 长度的最20．【解析】【分析】设出点的坐标根据题意列出方程组从而求得该点到原点的距离【详解】设该点的坐标因为点到三个坐标轴的距离都是1所以所以故该点到原点的距离为故填【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用空间【解析】 【分析】 设出点的坐标(,,)x y z ，根据题意列出方程组，从而求得该点到原点的距离. 【详解】设该点的坐标(,,)x y z因为点到三个坐标轴的距离都是1所以221x y +=，221y z +=，221x z +=，所以22232x y z ++=故填2 【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用，空间两点间的距离公式，属于中档题.三、解答题21．（1）49；（2）13． 【分析】首先以A 为原点，建立空间直角坐标系，（1）求平面BDE 的法向量m ，利用公式sin cos ,CE m θ=<>求解；（2）求平面BDF 的法向量n ，利用公式cos ,m n <> 求解.【详解】以A 为原点，,,AB AD AE 分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()0,0,2E ，()1,2,0C ，81,2,7F ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）设平面BDE 法向量(),,m x y z =，()1,1,0BD =-，()1,0,2BE =-，则20x y x z -+=⎧⎨-+=⎩， 令1z =，则2,2x y ==，∴()2,2,1m =，()1,2,2CE =--，2424sin cos ,339CE m θ--+=<>==⨯（2）设平面BDF 法向量(),,n x y z =，()1,1,0BD =-，80,2,7BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则82070y z x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩， 令4x =，则4,7y z ==-∴()4,4,7n =-，8871cos cos ,393m n θ+-=<>==⋅， 因为平面BDE 与平面BDF 夹角是锐二面角，所以二面角的余弦值是13.【点睛】关键点点睛：本题是比较典型的向量坐标法解决空间角，关键是计算准确， 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ465Ⅲ）存在，73PM =. 【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面BCD 的法向量以及直线BF 的方向向量，根据向量数量积为零，即可证明；（Ⅱ）分别求出平面PBD 与平面FBD 的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系求出其正弦值；（Ⅲ）设PM PC λ=，()0,1λ∈，利用空间向量法表示出直线BM 和平面BDF 所成角的正弦值，即可得到方程，求出λ，即可求出PM 的长； 【详解】解：（Ⅰ）由题意得：//BC DE ，=BC DE ，90ADC ∠=︒， 所以四边形BCDE 为矩形， 又PE ⊥面ABCD ，如图建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，()1,0,0A ，()3,0B，()1,0,0D -，(3P ，()3,0C -，132F ⎛ ⎝⎭设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，()0,3,0DC =，(3DP =则00DC m DP m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则3030x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则0y =，不妨设3x =-1z =， 可得()3,0,1m =-又13,3,2BF ⎛= ⎝⎭，可得0BF m ⋅=，又因为直线BF ⊄平面BCD ，所以//BF 平面BCD .（Ⅱ）设平面PBD 的法向量为()1111,,x n y z =，()1,3,0DB =，(0,3,3BP =-，则1100DB n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11110x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，不妨设x =()13,1,1n =--，设平面BDF 的法向量为()2222,,n xy z =，32DF ⎛= ⎝⎭， 则2200DB n DF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220302x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，不妨设2x =，可得()2n =-， 因此有1212127cos ,n n n n n n ⋅==-⋅ （注：结果正负取决于法向量方向） 于是21212465sin ,1cos ,65n n n n =-=， 所以二面角P BD F--. （Ⅲ）设((),PM PC λλλ==-=-，()0,1λ∈(),BM BP PM λ=+=-，由（Ⅱ）可知平面BDF 的法向量为()23,1,3n =-，2223cos ,BM n BM n BM n⋅===⋅，有23410λλ-+=，解得1λ=（舍）或13λ=， 可得1,333PM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以7PM = 【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 23．（1）证明见解析；（2）1. 【分析】（1）连接DM ，证出MN AD ⊥，PD MN ⊥，再利用面面垂直的判定定理即可证明.（2）连接BD ，以点D 为坐标原点，以,,DA DB DP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(0,0,)(0)P m m >，根据空间向量的数量积求出m ，再根据锥体的体积公式即可求解. 【详解】（1）连接DM ，显然//DC BM 且DC BM =， ∴四边形BCDM 为平行四边形，//DM BC ∴且DM BC =，AMD ∴△是正三角形，MN AD ∴⊥，又PD ⊥平面,ABCD MN ⊂平面,ABCD PD MN ∴⊥,,PD AD D MN ⋂=∴⊥平面PAD ，又MN ⊂平面PMN ，∴平面PMN ⊥平面PAD .（2）连接BD ，易知//,,BD MN BD AD BD PD ∴⊥⊥.建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0)D N C -， 设(0,0,)(0)P m m >，(1,0,),(2,3,0)PN m CN ∴=-=-.设平面PNC 的法向量为(,,)a x y z =，00a PN a CN ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，即0,230,x mz x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩令3,(3,2,3)z a m m ==，而平面PND 的一个法向量为(0,1,0)b =，2221|cos ,|cos602343m a b m m ︒〈〉===++ 解得33m =，所以113(24)31323V =⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】 方法点睛：证明面面垂直的常用方法：证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用线面垂直的判定定理来证明，也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义证明. 解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角.24．（1）证明见解析；（2）7. 【分析】（1）根据PAC △为等腰直角三角形，D 为中点，得到PD AC ⊥，再根据ABC 为正三角形，D 为中点，得到BD AC ⊥.然后利用线面垂直的判定定理证明.（2）设三棱锥P ABC -的高为h ，由 1132P ABC V AC BD h -=⨯⨯⨯⨯==， 求得h ，由以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设为平面PBC 的一个法向量(),,n x y z =，又DB 是平面PAC 的一个法向量，然后由cos ,DB n DB n DB n⋅=求解..【详解】（1）∵PAC △为等腰直角三角形，D 为中点，. ∴PD AC ⊥，又ABC 为正三角形，D 为中点， ∴BD AC ⊥.又PD BD D ⋂=，PD ，BD ⊂平面PBD ， ∴AC ⊥平面PBD . 又PB ⊂平面PBD ， ∴PB AC ⊥.（2）设三棱锥P ABC -的高为h ，sin60BD BC =︒=∴1132P ABC V AC BD h -=⨯⨯⨯⨯==， ∴1h =. 又112PD AC ==， ∴PD ⊥平面ABC .如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，则()1,0,0A ，()3,0B，()1,0,0C -，()0,0,1P∴()3,0=DB ，()1,0,1CP =，()1,3,0CB =. 设(),,n x y z =为平面PBC 的一个法向量，则00CP n CB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即030x z x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =，得31y z ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴31,1n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.又DB 是平面PAC 的一个法向量， ∴7cos ,7DB n DB n DB n⋅==-∴二面角A PC B --7 【点睛】方法点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．25．（1）证明见解析；（2）33；（3310 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出点的坐标，根据向量垂直的坐标表示可得证； （2）根据线面角的空间向量求解方法，可得答案；（3）由CF CP λ=，01λ≤≤.，由向量垂直的坐标表示，求得λ，再运用二面角的空间向量求解方法，可得答案. 【详解】解：（1）证明 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图）.可得()()()()1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2B C D P .由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E 向量()0,1,1BE =，()2,0,0DC =，故0BE DC ⋅=， 所以BE DC ⊥.（2）向量()1,2,0BD =-，()1,0,2PB =-. 设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量.则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，不妨令1y =，得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量，于是有cos ,3||||6n BEn BE n BE ⋅〈〉===⋅. 所以直线BE 与平面PBD （3）向量()1,2,0BC =，()2,2,2CP =--，()2,2,0AC =，()1,0,0AB =. 由点F 在棱PC 上，CF CP λ=，01λ≤≤.故()12,22,2BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=--.由BF AC ⊥，得0BF AC ⋅=，因此()() 212 2220λλ-+-=，解得34λ=.即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()1,,n x y z =为平面FAB 的法向量，则110 0n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩. 不妨令1z =，得()10,3,1n =-为平面FAB 的一个法向量. 取平面ABP的法向量()20,1,0n =，则：12121210c os ,nn n n n n ⋅=⋅==-知，二面角F AB P --【点睛】求二面角的方法：1、几何法：做出二面角的平面角，运用解三角形的知识求解二面角的大小；2、建立空间直角坐标系，运用空间向量的数量积运算求得二面角的大小，运用此方法时，注意判断二面角的范围． 26．（1）证明见解析；（2）24. 【分析】（1）连接AO ，证明CA ⊥平面PAO ，说明PAO ∠是PA 与平面ABC 的角，通过证明//OB AC ，推出//OB 平面PAC ．（2）建立直角坐标系求解【详解】解：（1）连AO ，因为PO ⊥平面ABC ，得PO CA ⊥． 又因为CA PA ⊥，POPA P =，PO ⊂平面PAO ，PA ⊂平面PAO所以CA ⊥平面PAO ，AO ⊂平面PAO ，所以CA AO ⊥ 因为PAO ∠是PA 与平面ABC 的角，60PAO ∠=︒． 因为23PA =，得3OA =．在OAB 中，903060OAB ∠=︒-︒=︒，故有OB OA ⊥， 从而有//OB AC ，OB ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC 所以//OB 平面PAC ．（2）以,,OB OA OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系， 则(0,0,3)P ，(0,3,0)A ，(3,0,0)B ，3,0)C(4,0,0),(0,3,3),(3,0,3)AC PA PB ∴==-=-设平面PAC 的法向量(,,)n x y z =则40330n AC x n PA y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩得(0,3,1)n = 32sin cos ,4232||||n PB n PB n PB α⋅∴=<>===⨯⋅ 即直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为24.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.。

第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在以下命题中,不正确的有()①|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;②若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb;③若向量a,b,c构成空间的一个基底,则a+b,b+c,c+a构成空间的另一个基底;④|(a·b)c|=|a||b||c|.A.1个B.2个C.3个D.4个解析:只有③正确,故选C.答案:C2.如图,已知四面体ABCD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AC的中点,则)=() A. B.C. D.解析:∵)=)=,又∵,∴)=.答案:C3.已知A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令a=,b=,则a+b=()A.(5,-9,2)B.(-5,9,-2)C.(5,9,-2)D.(5,-9,-2)解析:∵A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),∴a==(-1,0,-2),b==(-4,9,0),∴a+b=(-5,9,-2).答案:B4.已知O-ABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为()A.B.C.D.解析:如图,连接AG1并延长交BC于点E,则E为BC的中点,∴)=-2),-2).∵=3=3(),∴)=,故选A.答案:A5.设x>y>0>z,空间向量m=,n=,且x2+9z2=4y(x-y),则m·n的最小值是()A.2B.4C.2D.5解析:∵空间向量m=,n=,∴m·n=x2++9z2=4y(x-y)+≥2=4.当且仅当4y(x-y)=时取等号.则m·n的最小值是4.答案:B6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF与A1D,AC都垂直C.EF与BD1相交D.EF与BD1异面解析:以D为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为3,则A(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0),A1(3,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),∴=(-3,0,-3),=(-3,3,0),=(1,1,-1),∴=0,=0,∴,∴A1D⊥EF,AC⊥EF.又=(-3,-3,3),∴=-3,即BD1与EF平行.故选B.答案:B7.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线OA上有一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为()A.(-2,2,0)B.(2,-2,0)C.D.解析:由=(-1,1,0),且点H在直线OA上,可设H(-λ,λ,0),则=(-λ,λ-1,-1).又BH⊥OA,∴=0,即(-λ,λ-1,-1)·(-1,1,0)=0,即λ+λ-1=0,解得λ=,∴H,故选C.答案:C8.如图,正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面内的投影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC 与平面PAC的夹角是()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,则=(2a,0,0),=(a,a,0),设平面PAC的一个法向量为n,可取n=(0,1,1),则cos<,n>=,所以<,n>=60°,所以直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°.答案:A9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1的中点,则点E到平面ABC1D1的距离是() A. B.C. D.解析:建立如图所示的坐标系,∵正方体的棱长为1,∴A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E.设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z).∴n·=0,且n·=0,即(x,y,z)·(0,1,0)=0,且(x,y,z)·(-1,0,1)=0.∴y=0,且-x+z=0,令x=1,则z=1,∴n=(1,0,1).∴n0=.又,∴点E到平面ABC1D1的距离为|·n0|=.答案:B10.如图,在四面体P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,则平面ABP与平面APC的夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析:取AC的中点D,连接BD,过D作DE∥PC,以DB,DC,DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由图知平面APC的法向量为.设AB=1,则D(0,0,0),B,A,C,P,∴=(0,-1,-1),.设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则令y=3,∴n=(-,3,-3).∴cos<,n>==-,即平面ABP与平面APC的夹角的余弦值为.答案:C11.设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为()A. B. C. D.0解析:设a与b的夹角为θ.x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4有以下三种可能:①2a·a+2b·b=2|a|2+2|b|2=10|a|2;②4a·b=4|a|·2|a|cos θ=8|a|2cos θ;③a·a+2a·b+b·b=|a|2+2|a||b|cos θ+|b|2=5|a|2+4|a|2cos θ.由此易知②最小,则8|a|2cos θ=4|a|2,解得cos θ=,∴θ=.答案:B12.导学号90074051已知平面α与平面β的夹角为60°,AB⫋α,AB⊥l,A为垂足,CD⫋β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析:如图,在平面α内过C作CE∥AB,则∠ECD为异面直线AB与CD所成的角或其补角,不妨取CE=1,过E作EO⊥β于O.在平面β内过O作OH⊥CD于H,连EH,则EH⊥CD.因为AB∥CE,AB⊥l,所以CE⊥l.又因为EO⊥平面β,所以CO⊥l,所以∠ECO=60°.而∠ACD=135°,CO⊥l,所以∠OCH=45°.在Rt△ECO中,CO=CE·cos∠ECO=1·cos 60°=.在Rt△COH中,CH=CO·cos∠OCH=·sin 45°=.在Rt△ECH中,cos∠ECH=.所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选B.答案:B二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为,则m=.解析:∵l∥α,∴l的方向向量与平面α的法向量垂直,即(2,m,1)·=0,∴2+m+2=0,∴m=-8.答案:-814.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设=a,=b,=c,则=.解析:如图,取CC'中点E,连接AC,AE.∵正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,=a,=b,=c,∴a+b+c=.∴=||=.答案:15.如图,PD垂直于正方形ABCD所在的平面,AB=2,E为PB的中点,cos =.以D为原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系,则点E的坐标为.解析:设DP=2a,则P(0,0,2a),B(2,2,0),E(1,1,a),A(2,0,0).∵=(0,0,2a),=(-1,1,a),∴cos =,解得a=1.∴E(1,1,1).答案:(1,1,1)16.如图,等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,平面ABC与平面ABDE的夹角的余弦值为,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值为.解析:如图所示,过点C作CO⊥平面ABDE,垂足为O,取AB的中点F,连接CF,OF,OA,OB,则∠CFO为二面角C-AB-D的平面角,∴cos∠CFO=.设AB=1,则CF=,OF=,OC=,∴O为正方形ABDE的中心.如图建立空间直角坐标系,则E,A,M,N,∴,∴cos<>=.答案:三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(满分10分)已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).(1)求△ABC的面积;(2)求△ABC中AB边上的高.解(1)由已知,得=(1,-3,2),=(2,0,-8),∴||=,||==2,=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14,∴cos<>=,∴sin<>=.∴S△ABC=|·||·sin<>=×2=3.(2)设AB边上的高为CD,则||==3,即△ABC中AB边上的高为3.18.(满分12分)如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,AD=1,AA'=1.证明直线BC'平行于平面D'AC,并求直线BC'到平面D'AC的距离.解如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为A(1,0,1),B(1,2,1),C(0,2,1),C'(0,2,0),D'(0,0,0).设平面D'AC的法向量n=(u,v,w),则n⊥,n⊥.因为=(1,0,1),=(0,2,1),n·=0,n·=0,所以解得u=2v,w=-2v.取v=1,得平面D'AC的一个法向量n=(2,1,-2).因为=(-1,0,-1),所以n·=0,所以n⊥.又BC'不在平面D'AC内,所以直线BC'与平面D'AC平行.由=(1,0,0),得点B到平面D'AC的距离d=,所以直线BC'到平面D'AC的距离为.19.(满分12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥底面ABC,∠BCA=90°,PB=BC=CA=2,E为PC的中点,点F在PA上,且2PF=FA.(1)求证:BE⊥平面PAC;(2)求直线AB与平面BEF所成角的正弦值.解(1)∵PB⊥底面ABC,且AC⫋底面ABC,∴AC⊥PB.由∠BCA=90°,可得AC⊥CB.又PB∩CB=B,∴AC⊥平面PBC.∵BE⫋平面PBC,∴AC⊥BE.∵PB=BC,E为PC的中点,∴BE⊥PC.∵PC∩AC=C,∴BE⊥平面PAC.(2)以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(2,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1),.设平面BEF的法向量为m=(x,y,z),由m·=0,m·=0,得x+y+z=0,x+z=0.取x=1,则y=1,z=-1,m=(1,1,-1)为平面BEF的一个法向量.又=(-2,-2,0),∴cos<,m>==-,∴直线AB与平面BEF所成角的正弦值为.20.(满分12分)如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M 为OA的中点,N为BC的中点.(1)求证:直线MN∥平面OCD;(2)求异面直线AB与MD夹角的大小;(3)求点B到平面OCD的距离.解作AP⊥CD于点P.如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.A(0,0,0),B(1,0,0),P,D,O(0,0,2),M(0,0,1),N.(1)证明:.设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,即取z=,解得n=(0,4,).∵·n=·(0,4,)=0,又MN⊈平面OCD,∴MN∥平面OCD.(2)设AB与MD的夹角为θ,∵=(1,0,0),,∴cos θ=.∴θ=,即AB与MD的夹角的大小为.(3)点B到平面OCD的距离为d=,∴点B到平面OCD的距离为.21.(满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AB=AC=1,AA1=2,点P是棱BB1上一点,满足=λ(0≤λ≤1).(1)若λ=,求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值;(2)若平面PA1C与平面A1BC的夹角的正弦值为,求λ的值.解以A为坐标原点,分别以AB,AC,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz.因为AB=AC=1,AA1=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,2),B1(1,0,2),P(1,0,2λ).(1)由λ=得,=(1,0,-2),=(0,1,-2).设平面A1BC的法向量为n1=(x1,y1,z1),由不妨取z1=1,则x1=y1=2,从而平面A1BC的一个法向量为n1=(2,2,1).设直线PC与平面A1BC所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n1>|=,所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为.(2)设平面PA1C的法向量为n2=(x2,y2,z2),=(1,0,2λ-2),由不妨取z2=1,则x2=2-2λ,y2=2,所以平面PA1C的法向量为n2=(2-2λ,2,1).则cos<n1,n2>=.又因为二面角P-A1C-B的正弦值为,所以,化简得λ2+8λ-9=0,解得λ=1或λ=-9(舍去),故λ的值为1.22.导学号90074052(满分12分)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD夹角的大小. (1)证法一连接DG,CD,设CD∩GF=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG 为平行四边形.则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OH∥BD,又OH⫋平面FGH,BD⊈平面FGH,所以BD∥平面FGH.证法二在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形.可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⫋平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)解法一设AB=2,则CF=1.在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF=AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DG∥FC.又FC⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC.在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,G是AC中点,所以AB=BC,GB⊥GC,因此GB,GC,GD 两两垂直.以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.所以G(0,0,0),B(,0,0),C(0,,0),D(0,0,1).可得H,F(0,,1),故=(0,,1).设n=(x,y,z)是平面FGH的一个法向量,则由可得可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1,).因为是平面ACFD的一个法向量,=(,0,0),所以cos<,n>=.所以平面FGH与平面ACFD夹角的大小为60°.解法二作HM⊥AC于点M,作MN⊥GF于点N,连接NH.由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC,又FC∩AC=C,所以HM⊥平面ACFD.因此GF⊥NH,所以∠MNH即为所求的角.在△BGC中,MH∥BG,MH=BG=,由△GNM∽△GCF,可得,从而MN=.由HM⊥平面ACFD,MN⫋平面ACFD,得HM⊥MN,因此tan∠MNH=,所以∠MNH=60°.所以平面FGH与平面ACFD夹角的大小为60°.。

一、选择题1．如图，在60︒二面角的棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若AB =4,AC =6,BD =6，则线段CD 的长为（ ）A ．29B ．10C ．241D ．2132．在空间四边形OABC 中，OA OB OC ==，3AOB AOC π∠=∠=，则cos ,OA BC的值为（ ） A ．0B ．22C ．12-D ．123．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．已知长方体1111ABCD A BC D -的底面AC 为正方形，1AA a =，AB b =，且a b >，侧棱1CC 上一点E 满足13CC CE =，设异面直线1A B 与1AD ，1A B 与11D B ，AE 与11D B 的所成角分别为α，β，γ，则 A ．αβγ<<B ．γβα<<C ．βαγ<<D ．αγβ<<5．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B ．33 C ．23D ．136．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（ ）个①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等； ③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC ∆的边长为1，AE ⊥平面,ABC CD AE ∥，且12CD AE =.设CE 与平面ABE 所成的角为,(0)AE k k α=>，若ππ[,]64α∈，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．22B ．1C ．2D ．38．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为4的正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为平面ABCD 上的动点，且满足•0MP MC =，则点M 到直线AB 的最远距离为（ ）A ．25B ．35+C ．45+D ．422+9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，点E F 、分别是棱AB 、BC 的中点，则点1C 到平面1B EF 的距离等于（ ）A ．23B ．223C 23D ．4310．以下命题①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底； ③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅． 其中正确的命题有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E 为平面BCC 1B 1的中心，则直线DE 与平面ACD 1所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．13C ．33D ．23312．在平面直角坐标系中，()2,3A -、()32B -，，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则AB 的长为（ ） A ．2B ．211C ．32D ．42二、填空题13．ABC △中，90C ∠︒＝，60A ∠︒＝，2AB ＝，M 为AB 中点，将BMC △沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，A ，B 两点之间的距离为_____．14．在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为棱11A B 的中点，则异面直线AM 与1BC 所成的角的大小为________（结果用反三角函数值表示）.15．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1BC 上一点，且12BD DC =设1,,,AB a AC b AA c ===用a ,b ,c 表示向量AD ，则AD =_____________.16．已知＝(2，－1,3)，＝(－1,4，－2)，＝(7,5，λ)，若、、三向量共面，则实数λ＝_________．17．在直三棱柱111A B C ABC -中，底面ABC 为直角三角形，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的最小值为 .18．如图，已知平面α⊥平面β，A ，B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA β⊂，CB β⊂，且DA AB ⊥，CB AB ⊥，4=AD ，8BC =，6AB =，在平面α内有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB △的面积的最大值是______．19．如图，在四面体D ABC -中，5AD BD AC BC ====，6AB DC ==.若M 为线段AB 上的动点（不包含端点），则二面角D MC B --的余弦值取值范围是__________．20．已知60︒ 的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知1AB = ，2AC = ，3BD = ，则线段CD 的长为__________．三、解答题21．如图1，在矩形ABCD 中，22,BC AB E ==是AD 中点，将CDE △沿直线CE 翻折到CPE △的位置，使得3PB =，如图2.（1）求证：面PCE ⊥面ABCE ； （2）求PC 与面ABP 所成角的正弦值.22．如图1，正方形ABCE ，2AB =，延长CE 到达D ，使DE CE =，M ，N 两点分别是线段,AD BE 上的动点，且AM BN =．将三角形ADE 沿AE 折起，使点D 到达1D 的位置（如图2），且1D E EC ⊥．（Ⅰ）证明：//MN 平面1DCE ； （Ⅱ）在线段1AD 上确定点M 的位置，使平面MBE 与平面ABE 所成角（锐角）的余弦值为33． 23．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、M 、N 分别是棱AB 、AD 、11A B 、11A D 的中点，点P 、Q 分别在棱1DD 、1BB 上移动，且()02DP BQ λλ==<<.（1）当1λ=时，证明：直线1//BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.24．如图，平面ABCDE ⊥平面CEFG ，四边形CEFG 为正方形，点B 在正方形ACDE 的外部，且5,4AB BC AC ===．（1）证明：AD CF ⊥．（2）求平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值．25．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上.（1）若P 是线段1A B 的中点，求直线MP 与平面11ABB A 所成角的大小； （2）若N 是1CC 的中点，平面PMN 与平面CMN 537，求线段BP 的长度.26．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点.（1）PB ∥平面AEC ；（2）设PA =1，ABC ∠60︒=，三棱锥E -ACD 3，求二面角D -AE -C 的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】CD CA AB BD =++，利用数量积运算性质可得2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++．根据CA AB ⊥，BD AB ⊥，可得0CA AB =，0BD AB =，由60︒二面角可得；cos120CA BD CA BD =︒，代入计算即可得出． 【详解】解：CD CA AB BD =++，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，CA AB ⊥，BD AB ⊥，∴0CA AB =，0BD AB =，1cos12066182CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-．∴222264621852CD =++-⨯=， ∴213CD =故选：D ． 【点睛】本题考查了利用向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2．A解析：A 【分析】利用OB OC =，以及两个向量的数量积的定义可得cos ,OA BC <>的值，即可求解． 【详解】由题意，可知OB OC =，则()OA BC OA OC OB OA OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅coscos33OA OC OA OB ππ=⋅-⋅1()02OA OC OB =⋅-=， 所以OA BC ⊥，所以∴cos ,0OA BC <>=. 故选A ． 【点睛】本题主要考查了两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．D解析：D 【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可. 【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ， 据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=，0PQ AM ⋅=，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．A解析：A 【分析】根据题意将异面直线平移到同一平面，再由余弦定理得到结果. 【详解】根据题意将异面直线平移到同一平面中，如上图，显然α，β，(0,]2πγ∈，因为a b >，异面直线1A B 与1AD 的夹角即角1AD C ，根据三角形1AD C 中的余弦定理得到222211cos 21()a b a b aα==>++，故(0,)3πα∈，同理在三角形1A DB 中利用余弦定理得到：22211cos 222()1b aa b bβ==<⋅+⋅+，故(,)32ππβ∈， 连接AC ，则AC 垂直于BD ，CE 垂直于BD ，AC 交CE 于C 点，故可得到BD 垂直于面ACE ，进而得到BD 垂直于AE ，而BD 平行于11D B .从而得到2πγ=，故αβγ<<. 故答案为A. 【点睛】这个题目考查了异面直线夹角的求法，一般是将异面直线平移到同一平面中，转化到三角形中进行计算，或者建立坐标系，求解两直线的方向向量，两个方向向量的夹角就是异面直线的夹角或其补角.5．A解析：A 【详解】试题分析：设1AB =112,5BD BC DC ∴===， 1BDC ∆面积为3211C BDC C BCD V V --=131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3d CD θ∴==考点：线面角6．A解析：A 【解析】分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.详解：由题意，当四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一个矩形时， 设AC BD O ⋂=且PO ⊥底面ABCD ，此时可得PA PB PC PD ===，而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，所以③不正确的；因为四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，而直角梯形ABCD 没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；设四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，所以各条测量与底面ABCD 的正弦值都相等，所以②正确的， 综上，故选A.点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键.7．C解析：C 【详解】分析：建立空间直角坐标系，利用直线CE 与平面ABE 所成的角，求解k 的最大值，进而求解平面BDE 和平面ABC 的一个法向量，利用向量所成的角，求解二面角的余弦值，进而求得正切值，得到结果.详解：如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz - ，则31(0,1,0),(0,0,),(0,1,),(,0)222k A D E k B ， 取AB 的中点M ，则33(,0)4M ，则平面ABE 的一个法向量为33(,0)44CM =，由题意23sin 21CE CM CE CMk α⋅==⋅+又由ππ[,]64α∈，所以2132sin 221kα≤=≤+，解得222k ≤≤， 所以k 2 当2k =BDE 的法向量为(,,)n x y z =，则20312022n DE y z n BE x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩，取(3,1,2)n =--，由平面ABC 的法向量为(0,0,1)m =， 设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ， 则3cos 3n m n m θ⋅==⋅，所以sin 63θ=，所以tan 2θ=，故选C. 点睛：本题考查了空间向量在立体几何中的应用，解答的关键在于建立适当的空间直角坐标系，求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生的推理与运算能力，以及转化的思想方法的应用.8．B解析：B 【分析】建立空间直角坐标系，求出点M 的轨迹，然后求出点M 到直线AB 的最远距离 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系则(2,0,23P ,()0,4,0,C 设(),,0M a b ，04,04a b ≤≤≤≤(2,,23MP a b ∴=--,(),4,0MC a b =--•0MP MC =,22•240MP MC a a b b ∴=-+-+=，整理得()()22125a b -+-=M ∴为底面ABCD 内以()12O ，为圆心，以5r = 则点M 到直线AB 的最远距离为41535-=故选B 【点睛】本题考查了运动点的轨迹问题，需要建立空间直角坐标系，结合题意先求出运动点的轨迹，然后再求出点到线的距离问题9．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，找到平面1B EF 的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可. 【详解】以1D 为坐标原点，分别以11D A ，11D C ，1D D 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则1(2,2,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,1,2)E ，(1,2,2)F .设平面1B EF 的法向量为(,,)n x y z =，1(0,1,2)B E =-1(1,0,2)B F =-则1100n B E n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩令1z =，得(2,2,1)n =. 又11(2,0,0)BC =-， ∴点1C 到平面1B EF 的距离1122|||243||221n B C h n ⋅-===++，故选：D . 【点睛】本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.10．B解析：B 【分析】①||||||a b a b -=+共线，反之不成立，即可判断出结论； ②利用基底的定义即可判断出真假；③|()||||||||cos ,|a b c a b c a b =<>，即可判断出真假． 【详解】①||||||a b a b a -=+⇒，b 共线，反之不成立，||||||a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；②若{a ，b ，}c 是空间的一组基底，假设,,a b b c c a +++共面， 则存在唯一一组实数,x y ，使=()()a b x b c y c a ++++成立， 即()a b xb x y c ya +=+++， 所以1,1,0x y x y ==+=，显然无解， 假设不成立，即,,a b b c c a +++不共面，则{a b +，b c +，}c a +是空间的另一组基底，正确；③|()|||||||cos ,a b c a b c a b =<>，而cos ,a b <>不一定等于1， 因此不正确．其中正确的命题有一个． 故选：B ． 【点睛】本题考查了向量共线、共面定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．B解析：B 【分析】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭.易知平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，计算夹角得到答案. 【详解】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭. 根据1,n AC n AD ⊥⊥得到平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，11,1,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故22cos 3n DE n DEα⋅==⋅，故1sin 3α=， 直线DE 与平面ACD 1所成角θ，满足1cos sin 3θα==. 故选：B .【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.12．D解析：D 【分析】作AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，则AB AC CD DB =++，两边平方后代入数量积即可求得2||AB ，则AB 的长可求． 【详解】如图，()2,3A -，()3,2B -，作AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，则()2,0C -，()3,0D ，3AC ∴=，5CD =，2DB =，沿x 轴把坐标平面折成60︒的二面角，CA ∴<，60DB >=︒，且0AC CD CD DB ⋅=⋅=，222||()AB AB AC CD DB ∴==++222222AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅19254232322⎛⎫=+++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭．42AB ∴=．即AB 的长为42． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了空间角，向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】取MC 中点O 连结AOBO 推导出AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1AO ＝BO ＝AO ⊥MCAO ⊥平面BMCAO ⊥BO 由此能求出AB 两点之间的距离【详解】取MC 中点O 连结AOBO ∵△ABC 中∠C ＝ 解析：102【解析】 【分析】取MC 中点O ，连结AO ，BO ，推导出AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1，AO ＝32，BO ＝72，AO ⊥MC ，AO ⊥平面BMC ，AO ⊥BO ，由此能求出A ，B 两点之间的距离． 【详解】取MC 中点O ，连结AO ，BO ，∵△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝2，M 为AB 中点， ∴AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1， ∴AO 2131()2- BO 22011172cos120121422BM MO BM OM ⎛⎫+-⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯-=⎪⎝⎭AO ⊥MC ，将△BMC 沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时， AO ⊥平面BMC ，∴AO ⊥BO ，∴A ，B 两点之间的距离|AB |==,． 【点睛】本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．【分析】以D 为原点DA 为x 轴DC 为y 轴DD1为z 轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出异面直线AM 与B1C 所成的角【详解】以D 为原点DA 为x 轴DC 为y 轴DD1为z 轴建立空间直角坐标系设正方体ABCD ﹣解析： 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM 与B 1C 所成的角． 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1棱长为2，则A （2，0，0），M （2，1，2），B 1（2，2，2），C （0，2，0），AM =（0，1，2），1BC =（﹣2，0，2）， 设异面直线AM 与B 1C 所成的角为θ，cosθ115AM B C AM BC⋅===⋅ ∴θ=． ∴异面直线AM 与B 1C 所成的角为． 故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．15．【解析】试题分析：考点：平面向量基本定理解析：122333a b c ++ 【解析】 试题分析：()()111222333AD AB BD AB BC AB BC CC AB AC AB CC =+=+=++=+-+ ()21223333a b a c a b c =+-+=++ 考点：平面向量基本定理16．【解析】试题分析：三向量共面则存在实数使所以解得考点：空间向量基本定理 解析：657【解析】 试题分析：、、三向量共面，则存在实数,x y ，使c xa yb =+，所以27{4532x y x y x y λ-=-+=-=，解得33717{7657x y λ===．考点：空间向量基本定理．17．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系则A （000）E （01）G （01）F （x00）D （0y0）=（-y1）=（x-1-）由于GD ⊥EF 所以x+2y-1=0所以当时线段DF 长度的最小值是故答案为：解析：55【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），E （0，1，12），G （12，0，1），F （x ，0，0），D （0，y ，0） DG =（12，-y ，1）， EF =（x ，-1，-12）由于GD ⊥EF ，所以x+2y-1=0, 所以22225415()5215DF x y y y y =+=-+=-+25y =时，线段DF 长度的最5518．12【解析】解析：12 【解析】314219．【详解】以AB 的中点为原点建立如图所示的空间直角坐标系则平面的一个法向量为设平面的一个法向量为则则令所以平面的一个法向量为所以因为所以所以所以即二面角的余弦值的取值范围是点睛：本题主要考查了空间几何 解析：99(,)1616-【详解】以AB 的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则163(0,(0,4,0),(,0,0)(33)2D C M a a --<<，平面MBC 的一个法向量为1(0,0,1)n =， 设平面DMC 的一个法向量为2(,,)n x y z =，则963(0,,),(,4,0)22DC MC a =-=-，则229630022040n DC y z n MC ax y ⎧⎧⋅=--=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩⎪-+=⎩， 令4639,,63z x y a ===，所以平面DMC 的一个法向量为2463(,63,9)n a=， 所以122299cos ,166316636381144n n a a ==⨯⨯+++， 因为33a -<<，所以29<a ，所以2166316631441442569a ⨯⨯+>+=， 所以129cos ,16n n <，即二面角的余弦值的取值范围是99(,)1616-.点睛：本题主要考查了空间几何体的结构特征和二面角的计算问题，空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，利用空间向量求解空间角的关键在于“四破”：第一、破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二、破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三、破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四、破“应用公式关”.20．【解析】根据题意画图由空间向量法得到故答案为： 解析：22【解析】根据题意画图，由空间向量法得到()2222||2?··CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD BDCA =++=+++++1421462 2.CA BD =+⋅=-=故答案为：22三、解答题21．（1）证明见解析；（2）22211. 【分析】（1）连结BE ，可得BE EC ⊥，结合两图，可得BE EC ⊥，BE PE ⊥，又EC PE E ⋂=，根据线面垂直的判定定理证得BE ⊥面PEC ，再利用面面垂直的判定定理证得结果；（2）以点A 为原点，分别以,AB AE 直线为x 轴，y 轴，以经过点A 且垂直于平面ABCE 的直线为z 轴建立直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值得到结果. 【详解】（1）证明：连结BE ，由图1可得BE EC ⊥ 在图2中2,1,3,BE PE PB BE PE ===∴⊥又EC PE E BE ⋂=∴⊥面PECBE ∴⊂面ABCE ∴面PCE ⊥面ABCE（2）以点A 为原点，分别以,AB AE 直线为x 轴，y 轴，以经过点A 且垂直于平面ABCE 的直线为z 轴建立直角坐标系.由题意可知，()()()131,0,0,1,2,0,0,1,0,,,222B C E P ⎛ ⎝⎭()132,,,1,0,0222AP AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭设面ABP 的法向量为(),,n x y z =则0,0n AP n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩令y 得3,z =-所以()0,2,3n =- 11,,22PC ⎛= ⎝⎭222sin cos ,11PC n PC n PCnθ⋅∴===⨯ 所以直线PC 与面ABP 所成角的正弦值为11. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题方法如下：（1）结合平面几何的知识得到线线垂直，利用线面垂直的判定定理证得线面垂直； （2）建立适当的坐标系，求得平面的法向量和直线的方向向量，求得其所成角的余弦值，进而得到线面角的正弦值.22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）M 是1AD 中点． 【分析】（Ⅰ）分别以1,,EA EC ED 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，并由1AD BE ==，AM BN =，可设1AM AD λ=，BN BE λ=，得出,M N 坐标，求出平面1D EC 的一个法向量n ，计算MN n ⋅后可证结论；（Ⅱ）在（Ⅰ）基础上，求出平面MBE 和平面ABE 的法向量，由法向量夹角的余弦值的绝对值等于3求得λ，得点M 位置． 【详解】（Ⅰ）由题意1,AE D E AE CE ⊥⊥，又1D E EC ⊥，分别以1,,EA EC ED 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D ，设(,,)M x y z ，设1AM AD λ=，01)λ≤≤，而122AD BE ==，AM BN =，则BN BE λ=，由1AM AD λ=得(2,,)(2,0,2)x y z λ-=-，22,0,2x y z λλ=-+==，即(22,0,2)M λλ-+，同理得(22,22,0)N λλ-+-+，所以(0,22,2)MN λλ=-+-，易知平面1D EC 的一个法向量是(1,0,0)n =，因为0MN n ⋅=，所以MN n ⊥，而MN ⊄平面1D EC ，所以//MN 平面1D EC ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知(22,0,2)EM λλ=-+，(2,2,0)EB =， 设平面MBE 的一个法向量是(,,)m x y z =，由00m EB m EM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得220(22)20x y x z λλ+=⎧⎨-++=⎩，取1x =，则1y =-，2212z λλλλ--==， 所以1(1,1,)m λλ-=-，又平面ABE 的一个法向量是(0,0,1)p =，则211cos ,12m p m p m pλλλ-⋅<>==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由题意2113312λλλ-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得12λ=． 所以M 是1AD 中点时，平面MBE 与平面ABE 所成角（锐角）的余弦值为33．【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法证明线面平行，求二面角．求二面角的方法： （1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．23．（1）证明见解析；（2）存在，212λ=±. 【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，证明出1//BC FP ，利用线面平行的判定定理可证得1//BC 平面EFPQ ； （2）计算出面EFPQ 与面PQMN 的法向量，由已知条件得出这两个平面的法向量垂直，结合02λ<<求出实数λ的值，即可得解. 【详解】（1）证明：以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,2,0B 、()10,2,2C 、()2,1,0E 、()1,0,0F ，当1λ=时，()0,0,1P ，()12,0,2BC =-，()1,0,1FP =-，12BC FP ∴=，1//BC FP ∴， 1BC ⊄平面EFPQ ，FP ⊂平面EFPQ ，因此，1//BC 平面EFPQ ；（2）()2,1,0E 、()1,0,0F 、()0,0,P λ、()1,0,2N 、()2,1,2M ，设平面EFPQ 的一个法向量为()111,,m x y z =，()1,1,0EF =--，()1,0,FP λ=-，由00m EF m FP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得111100x y x z λ--=⎧⎨-+=⎩，取1x λ=，则1y λ=-，11z =，(),,1m λλ=-，设平面PQMN 的一个法向量为()222,,n x y z =，()1,1,0MN =--，()1,0,2NP λ=--，由00n MN n NP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得()2222020x y x z λ--=⎧⎨-+-=⎩，取22x λ=-，则22y λ=-，21z =，()2,2,1n λλ∴=--，若存在λ，使得面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m n ⊥. 且()()2210m n λλλλ⋅=---+=，整理可得22410λλ-+=，02λ<<，解得12λ=±因此，存在12λ=±EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角. 【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．24．（1）详见解析；（2【分析】（1）易知GC CE ⊥,再根据平面ABCDE ⊥平面CEFG ，得到GC ⊥平面ABCDE ，进而有GC AD ⊥，再由CE AD ⊥,利用线面垂直的判定定理证明即可.（2）以C 为原点，以CD ，CA ，CG ，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得 平面BFG 的一个法向量(),,n x y z =，再由平面ABCDE 的一个法向量()0,0,1m =， 设平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角为α，由cos m n m nα⋅=⋅求解.【详解】（1）因为四边形CEFG 为正方形， 所以GC CE ⊥,又因为平面ABCDE ⊥平面CEFG ，且平面ABCDE ⋂平面CEFG CE =， 所以GC ⊥平面ABCDE ，又AD ⊂平面ABCDE ， 所以GC AD ⊥，又因为四边形ACDE 是正方形， 所以CE AD ⊥,又CE CG C ⋂=， 所以AD ⊥平面CEFG ， 又CF ⊂平面CEFG ， 所以AD CF ⊥.（2）以C 为原点，以CD ，CA ，CG ，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：则(()()0,0,42,4,4,42,1,2,0G F B -， 所以()(4,4,0,1,2,42GF BG ==-， 设平面BFG 的一个法向量为：(),,n x y z =，则00n GF n GF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即4402420x y x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，则321,y z =-=，则321,1,n ⎛=- ⎝⎭， 又平面ABCDE 的一个法向量为：()0,0,1m =， 设平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角为α323738cos 91132m n m nα⋅===⋅++【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝AC BD AC BD⋅⋅.2、利用向量求线面角的方法：（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 25．（1）4π；（2）423. 【分析】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，由已知条件知1//PH AA 且112PH AA =，即PM 与面11ABB A 所成角为MPH θ=∠，即可求其大小. （2）构建空间直角坐标系，由已知线段长度标识,,M N C 的坐标，令(,0,2)P a a -，由向量坐标表示NP ，MN ，NC ，MC ，进而求得面PMN 与面CMN 的法向量，由二面角余弦值即可求参数a ，即可求BP 的长度. 【详解】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，又AB AC ⊥ ，∴//MH AC ，M 是棱BC 的中点，所以H 是AB 的中点，而P 是线段1A B 的中点， ∴1//PH AA 且112PH AA =， PM 与面11ABB A 所成角为MPH ∠，设MPH θ=∠则12tan 12ACMHAA PHθ===，[0,]2πθ∈，∴4πθ=，（2）构建以A 为原点，1,,AB AC AA 分别为x 、y 、z 轴正方向，则(1,1,0),(0,2,1),(0,2,0)M N C ，由等腰1Rt A AB ，可令(,0,2)P a a -，∴(,2,1)NP a a =--，(1,1,1)MN =-，(0,0,1)NC =-，(1,1,0)MC =-，若(,,)m x y z =为面PMN 的一个法向量，则2(1)0ax y a z x y z -+-=⎧⎨-++=⎩，令1y =，有(3,1,2)m a a =--，若()111,,n x y z =为面CMN 的一个法向量，则110{0z x y -=-+=，令11x =，有(1,1,0)n =，∴由题意，知：2453737||||221014m n a m n a a ⋅-==⋅-+，整理得22168360a a -+=，解得187a =或23a =，而P 在线段A 1B 上，有23a =则24(,0,)33P ，∴423BP =.【点睛】 关键点点睛：（1）根据线面角的几何定义，找到直线MP 与平面11ABB A 所成角的平面角，进而求角. （2）构建空间直角坐标系，设(,0,2)P a a -，求二面角的两个半面的法向量，根据二面角的余弦值求参数a ，进而求线段长. 26．（1）证明见解析；（2）14. 【分析】(1 )连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，根据中位线定理可得//PB OE ，由线面平行的判定定理即可证明//PB 平面AEC ；（2）设菱形ABCD 的边长为a ，根据2324P ABCD P ACD E ACD V V V ---===2a =，以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面CAE 与平面DAE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 【详解】(1)连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则O 为BD 中点，E 为PD 的中点，所以//PB OE ，OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面AEC ；（2）设菱形ABCD 的边长为a ，23243P ABCD P ACD E ACD V V V ---===， 12331131323P ABCD ABCD V S PA a a -⨯⨯⨯⨯=⋅==，则2a =. 取BC 中点M ，连接AM .以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.()0,2,0D ，()0,0,0A ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()3,1,0C10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3,1,0AC =，设平面ACE 的法向量为1(,,)n x y z =， 由11,n AE n AC ⊥⊥，得10230y z x y ⎧+=⎪⎪+=⎩，令y =1,x z =-=- (11,n =∴--，平面ADE 的一个法向量为()21,0,0n =1212121cos<,>41n n n n n n ⋅===+⋅，即二面角D AE C --的余弦值为14. 【点睛】方法点睛：二面角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n ；再代入公式cos m n m nα⋅=±（其中,m n 分别是两个平面的法向量，α是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“±”号）。

一、选择题1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）A ．85B ．97C ．12D ．230 2．如图，四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，G 为CD 的中点，60DAF ∠=，则直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是（ ）A ．25B ．105C ．155D ．2153．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(02)AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为( )A ．23B ．2C ．223λD ．2554．如图，已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =， 011120A AB A AD ∠=∠=，则线段1AC 的长为（ ）A ．2B ．1C ．2D ．35．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．105B ．1010C ．32D ．626．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为,3π=,,a AB b CD =则=a b ⋅A ．5-B ．1-C ．3-D ．6-7．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S ==B ．21=S S 且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠8．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( ) A ．76 B ．75 C ．72 D ．749．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，点E F 、分别是棱AB 、BC 的中点，则点1C 到平面1B EF 的距离等于（ ）A ．23B ．223C ．33D ．4310．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形， Q 为BC 的中点，PQ ⊥面ABCD ，且2PQ =，动点N 在以D 为球心半径为1的球面上运动，点M 在面 ABCD内运动，且PM 5=，则MN 长度的最小值为（ ）A ．352-B ．23-C ．25-+D ．332- 11．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）A ．12B ．24C ．22D 312．在平面直角坐标系中，()2,3A -、()32B -，，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则AB 的长为（ ）A 2B ．211C ．32D ．42二、填空题13．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ,若BCD 是正三角形，且E 为其中心，则1322AB BC DE AD +--的化简结果为________． 14．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AB ⊥AC ，且AA 1=AB=AC ，则异面直线AB 1与BC 1所成角为_____．15．已知平面向量()21,3m =+a 与()2,m =b 是共线向量且0⋅<a b ,则=b __. 16．已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为________．17．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA =，1AB BC ==，动点P 、Q 分别在线段1C D 、AC 上，则线段PQ 长度的最小值是______．18．如图，空间四边形OABC 中，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别为_____．19．在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,2,3)A -到原点的距离为__________．20．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.三、解答题21．在①()()DE CF DE CF +⊥-，②17||2DE =，③0cos ,1EF DB <<这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.问题：如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -.已知点1D 的坐标为()0,0,2，E 为棱11D C 上的动点，F 为棱11B C 上的动点，___________，试问是否存在点E ，F 满足1EF AC ⊥？若存在，求AE BF ⋅的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．如图.四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是直角梯形，BC ∥AD ，AB AD ，AD=2BC=2，四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形.（1）证明；平面ABB 1A 1平面ABCD ；（2）求二面角B 1 CD-A 的余弦值.23．如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD AB ⊥，4AB AS ==，3AD =，6BC =，E 为SB 的中点．（1）求证：//AE 平面SCD ．（2）求二面角B AE C --的余弦值．24．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，已知2,6PB PD PA ===，E 为PA 的中点．（1）求证PC BD ⊥；（2）求直线PC 与平面 PBD 所成角的正弦值．（3）求二面角B PC E --的余弦值．25．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，其中四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，1//902AB AF BE AF BE BAF ==∠=︒，，，M 为线段CE 上一点，//MF 平面ABCD ．（1）确定点M 的位置，并证明你的结论；（2）求直线DF 与平面BFM 所成角的正弦值．26．如图，四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒，2AB AD CD ==，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD △为等腰直角三角形，90APD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD PB ⊥；（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得．【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++， ∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c '=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=AC '=．故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．2．C解析：C【分析】 以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，利用空间向量法可求得直线BG 与平面AGE 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，得()0,0,0A 、()2,1,0G 、()0,2,0B 、(1,3E ，则()2,1,0AG =，(3AE =，()2,1,0BG =-，设平面AGE 的法向量为(),,n x y z =， 则20230n AG x y n AE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，则2y =-，3z = 所以，平面AGE 的一个法向量为(1,2,3n =-， 从而10cos ,225n BGn BG n BG ⋅<>===⨯⋅， 故直线BG 与平面AGE 2101515⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h lθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.3．D解析：D【分析】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离 .【详解】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,,2,0,0,2,2,0,1,2,2,1G D E F λ，()()()12,0,1,0,2,0,0,,1ED EF EG λ=-==，设平面1D EF 的法向量(),,n x y z =，则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，取1x =，得()1,0,2n =，∴点G 到平面1D EF 的距离为 2255EG nd n ⋅===，故选D. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 4．A解析：A【分析】由11AC AB BC CC =++，两边平方，利用数量积的运算法则及数量积公式能求出21AC 的值，从而可得结果.【详解】平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，1112,120AA A AB A AD =∠=∠=， 11AC AB BC CC ∴=++，()2211AC AB BC CC ∴=++222111222AB BC CC AB CC BC CC AB BC =+++⋅+⋅+⋅ 114212cos120212cos12002=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+=， ∴线段1AC 的长为12AC = A.【点睛】本题主要考查利用空间向量求线段的长，考查向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 5．A解析：A【分析】建立空间直角坐标系，求出向量AM 与1BC 的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值.【详解】 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,,1)2M ∴1(0,,1)2AM =，52AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为111110cos ,10AM B C AM B C AM B C⋅===⋅ 故选A.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．6．B解析：B【解析】设菱形中横向单位向量为,m 纵向单位向量为n ，则111,1122m n m n ==⋅=⨯⨯=，2a AB m n ==+，32b CD m n ==-+，()()232a b m n m n ⋅=+-+=223443421m n m n -+-⋅=-+-=-，故选B. 7．D解析：D 【分析】试题分析：结合其空间立体图形易知，112222=⨯⨯=S ，2312222S S ==⨯⨯=，所以23S S =且13S S ≠，故选D ．考点：空间直角坐标系及点的坐标的确定，正投影图形的概念，三角形面积公式． 8．C 解析：C【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P 的轨迹方程，得到P 的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．【详解】建立空间直角坐标系．设A （0，﹣1，0），B （0，1，0），S （0，03M （0，0，3P （x ，y ，0）． 于是有AM =（0，13MP =（x ，y ，3 由于AM ⊥MP ，所以（0，13•（x ，y ，30， 即y 34=，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2371()4-=．故选C ．【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题9．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，找到平面1B EF 的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.【详解】以1D 为坐标原点，分别以11D A ，11D C ，1D D 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则1(2,2,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,1,2)E ，(1,2,2)F .设平面1B EF 的法向量为(,,)n x y z =，1(0,1,2)B E =-1(1,0,2)B F =-则1100n B E n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩ 令1z =，得(2,2,1)n =.又11(2,0,0)BC =-，∴点1C 到平面1B EF 的距离1122|||2200|43||221n B C h n ⋅-⨯++===++， 故选：D .【点睛】 本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.10．C解析：C【分析】若要使MN 最短，点N 必须落在平面ABCD 内，且一定在DN 的连线上，此时应满足,,,D N M Q 四点共线，通过几何关系即可求解【详解】如图，当点N 落在平面ABCD 内，且,,,D N M Q 四点共线时，MN 距离应该最小，由PM 5=1MQ =，即点M 在以Q 为圆心，半径为1的圆上，由几何关系求得5DQ ，1DN MQ ==，故552NM DN MQ -=故答案选：C【点睛】本题考查由几何体上的动点问题求解两动点间距离的最小值，属于中档题11．B解析：B【分析】如图建立空间直角坐标系，可证明1A D ⊥平面11ABC D ，故平面11ABC D 的一个法向量为：1DA ，利用点到平面距离的向量公式即得解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则：1111(,,1),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)22O D A B C 111(,,0)22OD ∴=-- 由于AB ⊥平面111,ADD A AD ⊂平面11ADD A1AB A D ∴⊥，又11AD A D ⊥，1AB AD1A D ∴⊥平面11ABC D故平面11ABC D 的一个法向量为：1(1,0,1)DA = O ∴到平面11ABC D 的距离为： 1111||22||2OD DA d DA ⋅===故选：B【点睛】本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.12．D解析：D 【分析】作AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，则AB AC CD DB =++，两边平方后代入数量积即可求得2||AB ，则AB 的长可求．【详解】如图，()2,3A -，()3,2B -，作AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，则()2,0C -，()3,0D ，3AC ∴=，5CD =，2DB =，沿x 轴把坐标平面折成60︒的二面角，CA ∴<，60DB >=︒，且0AC CD CD DB ⋅=⋅=，222||()AB AB AC CD DB ∴==++ 222222AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅19254232322⎛⎫=+++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭． 42AB ∴=即AB 的长为42故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间角，向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 二、填空题13．【分析】由题意结合重心的性质和平面向量的三角形法则整理计算即可求得最终结果【详解】如图取BC 的中点F 连结DF 则∴【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：0【分析】由题意结合重心的性质和平面向量的三角形法则整理计算即可求得最终结果.【详解】如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则23DF DE =， ∴1322AB BC DE AD +--AB BF DF DA =+-+AF FD DA =++0=.【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14．【解析】连结A1B ∵AA1⊥面ABC 平面A1B1C1∥面ABC ∴AA1⊥平面A1B1C1∵A1C1⊂平面A1B1C1∴AA1⊥A1C1∵△ABC 与△A1B1C1是全等三角形AB ⊥AC ∴A1B1⊥A1 解析：2π 【解析】连结A 1B ，∵AA 1⊥面ABC ，平面A 1B 1C 1∥面ABC ，∴AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴AA 1⊥A 1C 1，∵△ABC 与△A 1B 1C 1是全等三角形，AB ⊥AC ，∴A 1B 1⊥A 1C 1，∵A 1B 1∩AA 1=A 1，∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1C 1⊥AB 1，∵矩形AA 1B 1B 中，AA 1=AB ，∴四边形AA 1B 1B 为正方形，可得A 1B ⊥AB 1，∵A 1B∩A 1C 1=A 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1，结合BC 1⊂平面A 1BC 1，可得AB 1⊥BC 1，即异面直线AB 1与BC 1所成角为2π． 故答案为2π．15．【解析】∵向量与是共线向量∴∴或∵∴即∴则∴故答案为解析：22【解析】∵向量(21,3)a m =+与(2,)b m =是共线向量∴(21)6m m +=∴32m =或2m =- ∵0a b ⋅<∴(21)230m m +⨯+<，即27m <-∴2m =-，则(2,2)b =-∴22(b =+=故答案为16．【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知AC 的中点即为BD 的中点AC 的中点设D(xyz)则∴x ＝5y ＝13z ＝－3故D(513－3)解析：(5,13,3)-【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为BD 的中点，AC 的中点7(,4,1)2O - ，设D (x ，y ，z )， 则7251,4,12222x y z +-++==-= ∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3，故D (5,13，－3)．17．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法计算出异面直线的公垂线的长度即为所求【详解】由题意可知线段长度的最小值为异面直线的公垂线的长度如下图所示以点为坐标原点所在直线分解析：13【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度，即为所求.【详解】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x y y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-， 可得()2,2,1n =-， 因此，min 23DA n PQ n ⋅==. 故答案为：23. 【点睛】 关键点点睛：解本题的关键在于将PQ 长度的最小值转化为异面直线AC 、1C D 的距离，实际上就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可. 18．【解析】∵∴∴故答案为解析：111,,633【解析】∵ O G OM MG =+，12OM OA =，2 ,3MG MN MN ON OM ==-，1 ()2ON OB OC =+，∴111 633OG OA OB OC =++，∴16x =，13y z ==，故答案为111,,63319．【解析】距离【解析】距离d ==20．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定解析：)【解析】分析：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，由余弦定理可得22233cos 22VC a a VDC =-∠，利用三角函数的有界性可得结果. 详解：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，则VD VC == VDC ∠是二面角V AB C --的平面角，可得0,1cos 1VDC VDC π<∠<-<∠<，在三角形VDC 中由余弦定理可得，2222cos VC VDC ⎫⎫=+-∠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2233cos 22a a VDC =-∠22030VC a VC <<⇒<<，即VC 的取值范围是()，为故答案为().点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题. 三、解答题21．答案见解析【分析】先利用已知条件写出点坐标，设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤，进而得到1,,,EF A A F C E B 的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示求出1,EF A AE BF C ⋅⋅；若选① ：利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量垂直的性质即可求解；若选② ：利用空间向量模的坐标表示公式即可得出结果；若选③ ：利用空间向量夹角的性质进行求解即可.【详解】解：由题意，正方体1111ABCD A BC D -棱长为2，则1(2,0,0),(2,2,0),(2,0,2),(0,0,0),(0,2,0)A B A D C ，设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤，则1(,2,0),(2,2,2),(2,,2),(2,0,2)EF b a A AE a BF b C =-=--=-=-， 所以142(),82EF A a b AE C BF b ⋅=-+⋅=-.选择①：()()DE CF DE CF +⊥-，所以22()()0,DE CF DE CF DE CF +⋅-==，得a b =，若10EF AC ⋅=得42()0a b -+=， 则1a b ==，故存在点(0,1,2),(1,2,2)E F ，满足10EF AC ⋅=，826AE BF b ⋅=-=. 选择②：因为17||2DE =，=， 得12a =， 若10EF AC ⋅=， 即42()0a b -+=，得32b =. 故存在点130,,2,,2,222E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 满足10EF AC ⋅=，825AE BF b ⋅=-=. 选择③：因为0cos ,1EF DB <〈〉<，所以EF 与DB 不共线，所以2b a ≠-，即2a b +≠，则142()0EF AC a b ⋅=-+≠，故不存在点,E F 满足10EF AC ⋅=. 【点睛】关键点睛：建立空间坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示、空间向量垂直的性质、空间向量模的坐标表示公式以及空间向量夹角的性质是解决本题的关键.22．（1）详见解析；（2）66. 【分析】（1）根据四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形，得到11,AA AB AA AD ⊥⊥，再由线面垂直的判定定理证得1AA ⊥平面ABCD ，然后利用面面垂直的判定定理证明.（2）以A 为原点，以1,,AB AD AA 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系,求得平面1BCD 的一个法向量为(),,m x y z =，又平面CDA 的一个法向量为()0,0,1n =，然后由cos ,m n m n m n ⋅=⋅求解.【详解】 （1）因为四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形.所以11,,AA AB AA AD AB AD A ⊥⊥⋂=，所以1AA ⊥平面ABCD ；又因为1AA ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1平面ABCD ；（2）以A 为原点，以1,,AB AD AA 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系：则()()()()10,0,0,2,1,0,0,2,0,2,0,2A C D B ，所以()()12,1,0,0,1,2CD CB =-=-，设平面1BCD 的一个法向量为(),,m x y z =， 则100m CD m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y y z -+=⎧⎨-+=⎩， 令1,2,1x y z ===，则()1,2,1m =，又平面CDA 的一个法向量为()0,0,1n =，所以16cos ,66m nm n m n ⋅===⋅， 二面角B 1CD-A 的余弦值是66【点睛】 方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．23．（1）证明见解析；（2）2211. 【分析】（1）取SC 的中点F ，连接,DF EF ，证明四边形ADFE 为平行四边形，可得//AE DF ，即可证//AE 平面SCD ；（2）建立如图所示空间直角坐标系，然后写出各点坐标，得平面ABE 的法向量为AD ，计算平面ACE 的法向量m ，利用数量积公式代入计算二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取SC 的中点F ，连接,DF EF因为E 、F 为SB 、SC 的中点，所以//EF BC 且132EF BC ==，又因为//AD BC ，3AD =，6BC =，所以//EF AD 且EF AD =，所以四边形ADFE 为平行四边形，所以//AE DF ，又AE ⊄平面SCD ，DF ⊂平面SCD ，所以//AE 平面SCD ． （2）因为SA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，所以建立如图所示空间直角坐标系， 则(0,0,0),(4,0,0),(4,6,0),(0,3,0),(2,0,2)A B C D E ，(2,0,2),(4,0,0),(4,6,0)AE AB AC ===，(0,3,0)AD = 由题意可知AD ⊥平面ABE ，设平面ACE 的法向量(,,)m x y z =所以00AC m AE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则460220x y x z +=⎧⎨+=⎩，得(3,2,3)m =-- 设二面角B AE C --的平面角为θ， 所以622cos cos ,322AD m θAD m AD m ⋅-====⨯，所以二面角B AE C --的余弦值为2211.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面关系的相互转化，通过中位线平行证明线线平行，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.24．（1）证明见解析（2）22（3）155 【分析】(1)由PB PD =可得出PO BD ⊥，再由菱形性质可得AC BD ⊥，即可证明BD ⊥平面POC ，可得PC BD ⊥；（2）先证明OP ⊥平面ABCD ，可以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；（3）由（2）利用向量法求二面角的余弦值.【详解】（1）设,AC BD 交点为O ,连接PO ，ABCD 是边长为2的菱形，,AC BD O ∴⊥是,AC BD 的中点，,PD O B BD P P =∴⊥，又PO ⊂平面POC ,AC ⊂平面 POC ，PO AC O =，BD ∴⊥平面POC ，PC ⊂平面POC ，.C BD P ∴⊥（2）60,2,A D B D A A B ︒===∠ABD ∴是等边三角形，又AB PB PD ==PBD ∴是等边三角形， 3P OA O ∴== 222OP PA OA +∴=，OA OP ∴⊥又,OP OB OA OB O ⊥⋂=OP ∴⊥平面ABCD ，以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图:则(1,0,0),3,0),3)B C P ，(0,3,3PC ∴=-，而3,0)OC →=是平面 PBD 的一个法向量，设直线PC 与平面PBD 所成角为θ， 则||2sin 263|||||PC OC PC OC θ→→→→⋅===⋅ 所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为22. (3)由（2）知(3,0)BC →=-,(3,3PC =-设平面BPC 的法向量n (x,y,z)→=， 则.0.0n PC n BC ⎧=⎨=⎩,33030y z x y ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩, 令1y =，得3,1x z ==，所以(3,1,1)n →=，又BD ⊥平面EPC , (1,0,0)m ∴=是平面 EPC 的一个法向量，315cos ,||||515m n m n m n ⋅∴〈〉===⋅⋅， ∴二面角B PC E --的余弦值为155. 【点睛】关键点点睛：根据题目所给条件，利用平面几何知识证明OA OP ⊥，再根据OP OB ⊥，证明OP ⊥平面ABCD ，得以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系是解题的关键所在.25．（1）点M 在CE 的中点处，证明见解析；（2）32. 【分析】（1）首先观察图形的特征，确定点M 的位置，之后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设出边长，写出点的坐标，利用向量法求得线面角的正弦值.【详解】（1）点M 在CE 的中点处，证明如下：取BC 中点P ，连接,BP AP ，根据题意，可知//,PM AF PM AF =，所以四边形AFMP 是平行四边形，所以//AP MF ，又因为FM ⊄平面ABCD ，AP ⊂平面ABCD ，所以//MF 平面ABCD ；（2）设1AF AB AD ===，如图建立空间直角坐标系，则有1(1,0,1),(1,1,0),(0,1,),(0,0,0)2D F M B ，所以(0,1,1)DF =-，1(1,1,0),(0,1,)2BF BM ==，设平面BFM 的法向量为(,,)n x y z =， 则有00n BF n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1y =，则有1,2x z =-=-， 所以平面BFM 的一个法向量为(1,1,2)n =--， 所以03cos ,26DF nDF n DF n ⋅+<>===⋅， 所以直线DF 与平面BFM 3 【点睛】 思路点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下：（1）首先根据图形的特征，判断出点的位置，之后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）在证明的过程中，注意线在面外和线在面内的条件；（3）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和直线的方向向量；（4）利用向量所成角的余弦值得到线面角的正弦值.26．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3913. 【分析】（Ⅰ）取AD 的中点G ，连结PG 、GB 、BD ，根据PA PD =和ABD △是正三角形，证明AD ⊥平面PGB 即可.（Ⅱ）根据侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG AD ⊥，易得直线GA 、GB 、GP 两两互相垂直，以G 为原点，直线GA 、GB 、GP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，求得平面PBC 的一个法向量()000,,n x y z =，再由平面PAD 的一个法向量1(0,3,0)n GB a ==，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ，由11cos ||n n n n θ⋅=⋅求解. 【详解】（Ⅰ）如图所示：取AD 的中点G ，连结PG 、GB 、BD ．PA PD =，PG AD ∴⊥AB AD =，且60DAB ∠=︒，ABD ∴是正三角形，BG AD ⊥，又PG BG G =，AD ∴⊥平面PGB ．AD PB ∴⊥（Ⅱ）∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，又PG AD ⊥，PG ∴⊥底面ABCD ．PG BG ∴⊥．∴直线GA 、GB 、GP 两两互相垂直，故以G 为原点，直线GA 、GB 、GP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．设PG a =，则可求得(0,0,)P a ，(,0,0)A a ，3,0)B a ，(,0,0)D a -，33,02C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 33,,02BC a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭．(0,3,)PB a a ∴=-． 设()000,,n x y z =是平面PBC 的一个法向量，则0n BC ⋅=且0n PB ⋅=．0000330,230.ax ay az ⎧-=⎪∴⎪-=⎩解得00003,3.x y z y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 取03y =(1,3,3)n =-．又∵平面PAD 的一个法向量13,0)n GB a ==，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ， 则1139cos ||1393n n n n aθ⋅===⋅++⋅ 所以平面PAD 与平面PBC 39 【点睛】 方法点睛：求二面角最常用的方法：1、几何法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．向量法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．。