波函数和电子云的空间图象

第五章 原子结 学习指导与自测一． 教学要点：1.核外电子运动状态的描述.2．多电子核外电子的排布。

3．原子结构与元素周期系二．内容提要1． 波尔理论（1） 氢原子光谱：线状光谱。

普朗克（Planck ）量子论：物质吸收或发射能量是不连续的，即量子化的，光量子是能量的最小单位。

νh E =（2）.玻尔理论的基本假设① 玻尔的量子化条件：电子只能满足p=m v r π2h n =条件的轨道上运动， ②电子尽可能处在基态，能量最低。

电子处于较高能量状态时称为激发态，电子的能量大J ×=218n |E －101792. n ＝1，2，3，… 轨道半径r 为 （a 02=a n r 0＝52.9 pm ，叫做玻尔半径。

）③电子跃迁：电子从高能级跃迁到较低能级时，以光子形式放出能量，能量的大小决定于两个能级间能量之差，h ν＝E 2－E 12． 核外电子运动的特殊性及运动状态的描述（1）电子的波粒二象性：德布罗意（Louis de Brolie ）假设：电子具有波粒二象性ph mv h ==λ （2） 波函数和原子轨道薛定谔方程 描述核外电子运动状态的数学表达式，082222222=+++2ΨV E hm z Ψy Ψx Ψ)( Ý Ý Ý Ý Ý Ý－π 薛定谔方程的解为波函数，用ψ表示。

波函数是量子力学中表征微观粒子运动状态的一个函数。

波函数ψ也叫原子轨道。

波函数ψ没有明确的直观物理意义，但波函数绝对值的平方|Ψ|2表示核外空间某处电子出现的几率密度， |Ψ|2的空间图象就是电子运动空间分布图象。

（3）几率密度和电子云用小黑点的疏密形象地描述几率密度的分布情况的图称之为电子云。

离核越近，小黑点越密，几率密度越大；离核越远，小黑点越稀，几率密度越小。

（4） 四个量子数①主量子数:n 是决定电子离核远近和电子能量高低，n 也称做电子层数。

6.2.4波函数的图形描述波函数的图形描述波函数ψ数学表达式复杂Ψ(r,θ,φ) =R(r) ·Y(θ,φ)径向部分角度部分Y(θ,φ)对θ,φ做图波函数(原子轨道)的角度分布图影响化学键的形成3π1),,(a r e a φθr ψ-=H 原子的1s 轨道 a 0:玻尔半径角度部分：4π1),(=φθY 球形对称分布xzy+p 轨道： )0(2=m p z θe a r πa ψa -r/p zcos 2141020302)(=l =1 , m = +1, 0, -1H 原子的 θπφ)Y(θcos 43=,θcos A =角度部分θθφθcos A cos π43),(==Y θ 0o 30o 60o 90o 120o 180o cos θ1 0.866 0.5 0 -0.5 -1 A0.866A 0.5A 0 -0.5A -AzY p 2x ,yz+ －30°60°θ◆从原点出发，引出一条与z 轴成θ角的线段◆令线段的长度等于Y◆连接所有线段的端点xyz-+yY2pxyz+-xyzzY2p+-正负号代表原子轨道角度部分取值的正负在z轴上出现极大值，称为p z轨道xY2p22d 3y x xyz- -++ xzd 3xy z-- + + yzd 3xyz-- + + xyd 3x yz- -+ + 2d 3z xyz ++（分别在xy,yz,xz 平面夹角为45度处伸展）原子轨道的角度分布图正负号极大值方向。

福师《结构化学》第一章量子力学基础和原子结构课堂笔记◆主要知识点掌握程度了解测不准关系，掌握和的物理意义；掌握一维势箱模型方程的求解以及该模型在共轭分子体系中的应用；理解量子数n，l，m的取值及物理意义；掌握波函数和电子云的径向分布图，原子轨道等值线图和原子轨道轮廓图；难点是薛定谔方程的求解。

◆知识点整理一、波粒二象性和薛定谔方程1．物质波的证明德布罗意假设：光和微观实物粒子（电子、原子、分子、中子、质子等）都具有波动性和微粒性两重性质，即波粒二象性，其基本公式为：对于低速运动，质量为m的粒子：其中能量E和动量P反映光和微粒的粒性，而频率ν和波长λ反映光和微粒的波性，它们之间通过常数h联系起来，普朗克常数焦尔·秒。

实物微粒运动时产生物质波波长λ可由粒子的质量m和运动度ν按如下公式计算。

λν量子化是指物质运动时，它的某些物理量数值的变化是不连续的，只能为某些特定的数值。

如微观体系的能量和角动量等物理量就是量子化的，能量的改变为ν的整数倍。

2．测不准关系：内容：海森保指出：具有波粒二象性的微观离子（如电子、中子、质子等），不能同时具有确定的坐标和动量，它们遵循“测不准关系”：（y、z方向上的分量也有同样关系式）ΔＸ是物质位置不确定度，Δ为动量不确定度。

该关系是微观粒子波动性的必然结果，亦是宏观物体和微观物体的判别标准。

对于可以把h看作O的体系，表示可同时具有确定的坐标和动量，是可用牛顿力学描述的宏观物体，对于h不能看作O的微观粒子，没有同时确定的坐标和动量，需要用量子力学来处理。

3．波函数的物理意义——几率波实物微粒具有波动性，其运动状态可用一个坐标和时间的函数来描述，称为波函数或状态函数。

1926年波恩对波函数的物理意义提出了统计解释：由电子衍射实验证明，电子的波动性是和微粒的行为的统计性联系在一起的，波函数正是反映了微粒行为的统计规律。

这规律表明：对大量电子而言，在衍射强度大的地方，电子出现的数目多，强度小的地方电子出现的数目少，即波函数的模的平方与电子在空间分布的密度成正比。

核外电子运动状态的图形描述—电子云图电子云图具有波粒二象性的电子并不象宏观物体那样，沿着固定的轨道运动。

我们不可能同时准确地测定核外某电子在某一瞬间所处的位置和运动速度，但是我们能用统计的方法去讨论该电子在核外空间某一区域内出现机会的多少。

概率是指电子在空间某一区域中出现次数的多少。

电子衍射实验中，衍射环纹的亮环处电子出现的机会多，即概率大，而暗环处电子出现的机会较少，即概率较小。

概率密度是指电子在单位体积内出现的概率。

概率与概率密度之间的关系为概率（W）= 概率密度 体积（V ）当然这只有在概率密度相等的前提下才成立的。

波函数ψ（r，θ，ϕ）没有明确的物理意义，但∣ψ（r，θ，ϕ）∣2 的物理意义却十分明确。

它表示空间一点P（r，θ，ϕ）处单位体积内电子出现的概率。

所以W=|ψ|2⨯V假想对核外1s电子每个瞬间的运动状态，进行摄影。

将这样千百万张照片重叠，则得到如图所示的统计效果，形象地称之为电子云图。

r |ψ|2图中黑点密集的地方，概率密度大；黑点稀疏的地方，概率密度小。

左图的坐标表示|ψ|2的值随r （与核的距离）变化情况，其趋势与电子云图中黑点的疏密一致。

所以说电子云图是概率密度|ψ|2的形象化说明,也可以说电子云图是|ψ|2的图象。

处于不同运动状态的电子，它们的波函数ψ各不相同，其|ψ|2也当然各不相同，电子云图当然也不一样。

下图给出了各种状态的电子云的分布形状。

s电子云是球形的p电子云有3种，分别沿着某一坐标轴的方向上呈无柄的哑铃形状d电子云有5种，其空间分布情况如下将核外空间中电子出现概率密度相等的点用曲面连结起来，这样的曲面叫做等概率密度面。

1s 电子的等概率密度面是一系的同心球面，球面上标的数值是概率密度的相对大小。

画出一个等密度面，使电子在该球面以内出现的概率占了绝大部分，例如占95%，就得到界面图。

1s 电子的界面图当然是一球面。

谢谢。

１.原子轨道角度分布图“★★”波函数的角向部分Y l,m（θ，?，又称原子轨道的角向部分，若以原子核为坐标原点，引出方向为（θ，?）的直线，连结所有这些线段的端点，在空间可形成一个曲面。

这样的图形称为Y的球坐标图，并称它为原子轨道角度分布图。

作图前，必需首先要知道原子轨道角向部分Y l,m（θ，?）的计算式。

它由解薛定谔方程求得，也可从有关手册中查得。

表５－３列出氢原子若干径向部分和角向部分，供参考。

例如[例，角度无关。

画出的氢原子此，1s无关）会影响图形的形状。

一些随θ角度而变化的Yp z和Y2p z值见表５－４。

利用表中列出的数据，可以在xz平面内画出如图５－１１所示的曲线。

将曲线绕Z 轴旋转一周（360°），可以得到“哑铃型”的立体曲面。

由于Yp 值在Z 轴方向（θ=0°）出现了极大值，所以该曲面图我们称为p 原子轨道角度分布图，记为Yp z，通常以其剖面图表示。

用以上类似的方法，我们可以画出s ，p ，d 各种轨道的角度分布剖面图，如图５－１２所示。

２. R 2n,l （r ）只随角度 电子云角度分布图的画法过程与原子轨道角度分布图一样，只需先将该原子轨道的角向分布·Y l,m （θ，?）的计算式两边平方。

例 p z原子轨道的角向部分是Yp z=K ·cos θ p z电子云的角向部分是Y 2p z=K 2·cos 2θ若将Y 2p z值（表５-３）随θ角度变化作图，得到的图形称为电子云的角度分布图，记为 Y 2p 。

用相同的方法，可以画出s 、p 、d 各种电子云的角度分布图，如图５－１３所示: 它表示随θ和?角度变化时，半径相同的各点，几率密度大小相同。

原子轨道角度分布图与电子云角度分布图的区别见表５－５。

应要注意，把原子轨道角度分布图和电子云角度分布图当作原子轨道和电子云的实际图象是错误的，因为它们只考虑了波函数ψ（原子轨道）和ψ2（电子云）的角向部分，而没有考虑相应的径向部分，下面我们就来讨论有关的径向部分。