高三数学一轮复习优质教案7：2.1 函数及其表示教学设计

第二章 函 数 学案4 函数及其表示导学目标： 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．自主梳理1．函数的基本概念 (1)函数定义设A ，B 是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的 ,在集合B 中 ，称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，x 的取值范围A 叫做函数的__________，__________________叫做函数的值域．(2)函数的三要素__________、________和____________． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有：________、________、________. (4)函数相等如果两个函数的定义域和__________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据．(5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的____________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的________，值域是各段值域的________．2．映射的概念 (1)映射的定义设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中 确定的元素y 与之对应，那么就称对应f :A →B 为从集合A到集合B 的 .（2）由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A 、B 必须是 数集.自我检测1．(2011·佛山模拟)设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．(2010·湖北)函数y ＝1log 0.5x －的定义域为( )A ．(34，1)B ．(34，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(34，1)∪(1，＋∞)3．(2010·湖北)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x， x ≤0，则f(f (19))等于( )A ．4 B.14C ．－4D ．－144．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝(x )2C ．y ＝lg 10xD ．y ＝2log 2x5．(2011·衡水月考)函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ，求a 的取值范围．探究点一 函数与映射的概念例1 (教材改编)下列对应关系是集合P 上的函数的是________．(1)P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；（2）P ={-1,1,-2,2}，Q ={1，4}，对应关系:f :x →y =x 2,x ∈P ,y ∈Q ;(3)P ={三角形}，Q ={x |x >0}，对应关系f :对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应.变式迁移1 已知映射f :A →B .其中B ．其中A ＝B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是 ( )A ．k >1B ．k ≥1C ．k <1D ．k ≤1 探究点二 求函数的定义域例2 (1)求函数y ＝x ＋1＋x －0－x的定义域；(2)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f (x )的定义域．变式迁移2 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，那么g (x )＝f x 21＋x ＋的定义域是________________________________________________________________________．探究点三 求函数的解析式例3 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x)＝3x ，求f (x )．变式迁移3 (2011·武汉模拟)给出下列两个条件： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．探究点四 分段函数的应用例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4变式迁移 4 (2010·江苏)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的范围是________________．1．与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由f (x )的定义域确定函数f [g (x )]的定义域或由f [g (x )]的定义域确定函数f (x )的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． 2．解析式的求法求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法和方程组法．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( )(1)y 1＝x ＋3x －5x ＋3，y 2＝x －5；(2)y 1＝x ＋1x －1，y 2＝x ＋1x －1；(3)f (x )＝x ，g (x )＝x 2；(4)f (x )＝3x 4－x 3，F (x )＝x 3x －1；(5)f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5.A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(4)D ．(3)(5)2．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是 ( ) A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或23．(2011·洛阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ≤－，x 2－1<x，2x x，若f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32C ．1，32或± 3D. 34．(2009·江西)函数y ＝x ＋－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]5.（2011·台州模拟）设f :x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果B ={1，2}，则A ∩B 为 ( )A ．∅B ．{1}6．下列四个命题：(1)f (x )＝x －2＋1－x 有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；(4)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－x 2，x <0的图象是抛物线．其中正确的命题个数是________．7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1 x x 2 x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2xx ，则f [g (3)]＝________，g [f (－12)]＝________.8．(2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝______.三、解答题(共38分)9．(12分)(1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )的表达式； (2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的表达式；(3)若函数f (x )＝xax ＋b，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的表达式．10．(12分)已知f (x )＝x 2＋2x －3，用图象法表示函数g (x )＝f x ＋|f x2，并写出g (x )的解析式．11．(14分)(2011·湛江模拟)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8， 0≤x ≤5，10.2， x >5.假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？答案 自主梳理 1．(1)数集 任意一个数x 都有唯一确定的数f(x)和它对应 定义域 函数值的集合{f(x)|x∈A} (2)定义域 值域 对应关系 (3)解析法 列表法 图象法 (4)对应关系 (5)定义域 对应关系 并集 并集 2.(1)都有唯一 一个映射 (2)函数 非空自我检测1．B [对于题图(1)：M 中属于(1,2]的元素，在N 中没有象，不符合定义；对于题图(2)：M 中属于(43，2]的元素的象，不属于集合N ，因此它不表示M 到N 的函数关系；对于题图(3)：符合M 到N 的函数关系；对于题图(4)：其象不唯一，因此也不表示M 到N 的函数关系．]2．A 3.B 4.C5．解 函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ，即ax 2－ax ＋1>0恒成立． ①当a ＝0时，1>0恒成立；②当a ≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0， ∴0<a <4.综上所述，a 的取值范围为0≤a <4. 课堂活动区例1 解题导引 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．(2)解析 由于(1)中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，并且(3)中集合P 不是数集，所以(1)和(3)都不是集合P 上的函数．由题意知，(2)正确．变式迁移1 A [由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k )<0，∴k >1时满足题意．]例2 解题导引 在(2)中函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)是指x 的取值范围还是2x ＋1的取值范围？f (x )中的x 与f (2x ＋1)中的2x ＋1的取值范围有什么关系？解 (1)要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1.所以函数的定义域是{x |－1≤x <1或1<x <2}． (2)∵f (2x ＋1)的定义域为(0,1)， ∴1<2x ＋1<3，所以f (x )的定义域是(1,3)．变式迁移2 (－1，－910)∪(－910，2]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2≤2x ＋1>01＋x ＋得－1<x ≤2且x ≠－910.即定义域为(－1，－910)∪(－910，2]．例3 解题导引 函数解析式的类型与求法(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．(2)已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围． (3)已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其他未知量，如f (－x )、f (1x)等，要根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．解 (1)令2x ＋1＝t ，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，∴f (x )＝lg 2x －1，x ∈(1，＋∞)．(2)设f (x )＝ax ＋b ，(a ≠0)则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17， ∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.(3)2f (x )＋f (1x)＝3x ， ①把①中的x 换成1x，得2f (1x )＋f (x )＝3x， ②①×2－②，得3f (x )＝6x －3x，∴f (x )＝2x －1x.变式迁移3 解 (1)令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，即f (x )＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ， 则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3.例4 解题导引 ①本题可以先确定解析式，然后通过解方程f (x )＝x 来确定解的个数；也可利用数形结合，更为简洁．②对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便于选择与之相应的对应关系． ③分段函数体现了数学的分类讨论思想，相应的问题处理应分段解决．C [方法一 若x ≤0，则f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋b －＋c ＝c ，－2＋b －＋c ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x ≤0，2， x >0.当x ≤0，由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ， 解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2. ∴方程f (x )＝x 有3个解．方法二 由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如图所示)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．]变式迁移4 (－1，2－1)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0的图象如图所示：f (1－x 2)>f (2x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x1－x 2>0，解得－1<x <2－1.课后练习区1．C [(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应关系不同；(4)定义域相同，且对应关系相同；(5)定义域不同．]2．C [有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x ＝1仅有一个函数值．]3．D [该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1<x <2，∴x ＝ 3.]4．C5．D [由已知x 2＝1或x 2＝2，解之得，x ＝±1或x ＝±2，若1∈A ，则A ∩B ＝{1}，若1∉A ，则A ∩B ＝∅，故A ∩B ＝∅或{1}．] 6．1解析 (1)x ≥2且x ≤1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线．故只有(2)正确．7．7 31168．29．解 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∴f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3，∴f (x )＝2x 2－4x ＋3.………………………………………………………………………………………………(4分)(2)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ，得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，……(6分)即有⎩⎪⎨⎪⎧2f x －f －x ＝x ＋12f －x －f x ＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.……………………………………………………(8分)(3)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b －1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，…(10分)又∵方程有唯一解，∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.……………………………………………………………………………(12分)10．解 函数f (x )的图象如图所示，……………………………………(6分)g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3x ≤－3或x0 －3<x…………………………………………………(12分)11．解 依题意，G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ， x >5.………………………………………………(4分)(1)要使工厂赢利，则有f (x )>0.当0≤x ≤5时，有－0.4x 2＋3.2x －2.8>0，得1<x <7，所以1<x ≤5.………………………………………………………………(8分) 当x >5时，有8.2－x >0， 得x <8.2，所以5<x <8.2.综上所述，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2，即产品应控制在大于100台小于820台的范围内．……………………………………………………………………………………(10分)(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6. 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6.…………………………………………………………(12分)而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2.所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，x ＝4时，每台产品售价为R4＝2.4(万元/百台)＝240(元/台)．……………………………………………………………………………(14分)。

一．课题：函数的概念二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．四．教学过程：（一）主要知识：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义；2．函数的传统定义和近代定义；3．函数的三要素及表示法．（二）主要方法：1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键；3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系．（三）例题分析：例1．（1），，；（2），，；（3），，．上述三个对应（2）是到的映射．例2．已知集合，映射，在作用下点的象是，则集合 （ ）解法要点：因为，所以．例3．设集合，，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是 （ ）8个 12个 16个 18个解法要点：∵为奇数，∴当为奇数、时，它们在中的象只能为偶数、或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数或，共有种对应方法．故映射的个数是．例4．矩形的长，宽，动点、分别在、上，且，（1）将的面积表示为的函数，求函数的解析式；（2）求的最大值．解：（1）2111()408(5)5(8)222ABCD CEF ABE ADF S f x S S S S x x x ∆∆∆==---=--⨯⨯--⨯⨯- ．∵，∴，∴函数的解析式：；（2）∵在上单调递增，∴，即的最大值为．例5．函数对一切实数，均有成立，且，（1）求的值；（2）对任意的，，都有成立时，求的取值范围．解：（1）由已知等式，令，得，又∵，∴．（2）由，令得，由（1）知，∴．∵，∴在上单调递增，∴．要使任意，都有成立，当时，,显然不成立．当时，，∴，解得∴的取值范围是．（四）巩固练习：1．给定映射，点的原象是或．2．下列函数中，与函数相同的函数是（）3．设函数，则＝．五．课后作业：《高考计划》考点7，智能训练5，7，9，10，13，14．。

第二章函数高考导航知识网络2.1函数的概念及表示法典例精析题型一 求函数的解析式【例1】 (1)已知f(x ＋1)＝x2＋x ＋1，求f (x)的表达式； (2)已知f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x ＋3，求f (x)的表达式. 【解析】(1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，代入得f (x)＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t2－t ＋1，所以f (x)＝x2－x ＋1. (2)由f (x)＋2f (－x)＝3x2＋5x ＋3，x 换成－x ，得f (－x)＋2 f (x)＝3x2－5x ＋3，解得f (x)＝x2－5x ＋1.【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x 换成g(x)即可，已知f[g(x)]，求f (x)的解析式，常常是设g(x)＝t ，或者在f[g(x)]中凑出g(x)，再把g(x)换成x.【变式训练1】已知f (x x +-11)＝2211x x +-，求f (x)的解析式.【解析】设x x +-11＝t ，则x ＝t t +-11，所以f (t)＝22)11(1)11(1t t tt +-++--＝212t t +， 所以f (x)＝212x x+(x≠－1).题型二 求函数的定义域【例2】(1)求函数y ＝229)2lg(x x x --的定义域；(2)已知f(x)的定义域为[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域. 【解析】(1)要使函数有意义，则只需要⎩⎨⎧>->-,09,0222x x x 即⎩⎨⎧<<-<>,33,02x x x 或解得－3＜x ＜0或2＜x ＜3，故所求的定义域为(－3,0)∪(2,3).(2)依题意，只需－2≤x2－3x≤4，解得－1≤x≤1或2≤x≤4，故f(x2－3x)的定义域为[－1,1]∪[2,4].【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解.对于抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作f(x)中的x 来对待.【变式训练2】已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，求f(log2x)的定义域.【解析】因为y ＝f(2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1时2－1≤2x≤21，所以y ＝f(x)的定义域为[12，2].令12≤log2x≤2，所以2≤x≤22＝4，故所求y ＝f(log2x)的定义域为[2，4].题型三 由实际问题给出的函数【例3】 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x ，求此框围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB ＝2x ，设宽为a ，则有2x ＋2a ＋πx ＝l ，即a ＝2l －2πx －x ，半圆的半径为x ， 所以y ＝22πx ＋(2l －π2x －x)·2x ＝－(2＋π2)x2＋lx.由实际意义知2l －π2x －x ＞0，因x ＞0，解得0＜x ＜π+2l. 即函数y ＝－(2＋π2)x2＋lx 的定义域是{x|0＜x ＜π+2l}.【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是x ∈R ，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x 表示的，这就是实际问题对变量的制约.【变式训练3】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y ＝f(x)，则y ＝f(x)的图象是( )【解析】由题意得y ＝10x (2≤x≤10)，选A. 题型四 分段函数【例4】 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧≥+<+).0(1),0(32x x x x(1)求f(1)＋f(－1)的值； (2)若f(a)＝1，求a 的值；(3)若f(x)＞2，求x 的取值范围.【解析】(1)由题意，得f(1)＝2，f(－1)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝4. (2)当a ＜0时，f(a)＝a ＋3＝1，解得a ＝－2；当a≥0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a ＝0. 所以a ＝－2或a ＝0. (3)当x ＜0时，f(x)＝x ＋3＞2，解得－1＜x ＜0； 当x≥0时，f(x)＝x2＋1＞2，解得x ＞1. 所以x 的取值范围是－1＜x ＜0或x ＞1.【点拨】分段函数中，x 在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同.因此，分段函数往往需要分段处理.【变式训练4】已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<.10,621,100|,lg |x x x x 若a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【解析】不妨设a ＜b ＜c ，由f(a)＝f(b)＝f(c)及f(x)图象知110＜a ＜1＜b ＜10＜c ＜12，所以－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，所以ab ＝1，所以abc 的范围为(10,12)，故选C. 总结提高1.在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是核心，因为值域由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件.2.若一个函数在其定义域不同的子集上，解析式不同，则可用分段函数的形式表示.3.函数的三种表示法各有利弊，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，通过解析式来解题.求函数解析式的方法有：配方法、观察法、换元法和待定系数法等.。

【考纲解读】【要点梳理】1.符号:f A B →表示集合A 到集合B 的一个映射，它有以下特点： (1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同;(2)集合A 中任何一个元素,在f 下在集合B 中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C 与B 间关系是C B ⊆.2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A 和B 都是非空数集. 函数三要素是指定义域、值域、对应法则.同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同.3.分段函数是指函数由n 个不同部分组成,但是一个函数.4.函数解析式求法:(1)已知函数类型,可设参,用待定系数法；（2）已知复合函数[(()]f g x 的表达式，求()f x 可用换元法；（3）配凑法与方程组法. 【例题精析】考点一 函数的概念【变式训练】1.下列函数中,与函数1y x=有相同定义域的是( ) A.2()log f x x = B.1()f x x= C.()||f x x = D.()2x f x = 【答案】A【解析】选项A 的定义域为(0,)+∞，与原题相同；而选项B 中的x 可以为负数，选项C 、D 的定义域都为R ，故选A.考点二 函数值的求解例2.(2012年高考福建卷文科9)设,则f(g(π))的值为 ( )A 1B 0C -1D .π2. (2012年高考江西卷文科3)设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则f （f （3））=( )A.15 B.3 C. 23 D. 139【答案】D【解析】考查分段函数，f （3）=23，f （f （3））=f （23）=139. 【易错专区】问题：求分段函数的函数值例.已知2,0()(1),0x xf xf x x>⎧=⎨+≤⎩,则4()3f+4()3f-的值等于( )A.-2B.4C.2D.-41.下列各组函数表示相同函数的是( )A. f(x)=2x, g(x)=2()x B. f(x)=|x|,g(x)=2xC. f(x)=1x-, g(x)=11xx--D. f(x)=1x+. 1x-, g(x)= 21x-【答案】B【解析】由题意可分析出,选项A、C、D的定义域不相同，而选项B的定义域与对应法则均相同，故选B.2. (2008年高考山东卷文科第5题) 设函数2211()21x xf xx x x⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)ff⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A．1516B．2716- C．89D．18【答案】A【解析】因为(2)4f=,所以1(2)ff⎛⎫⎪⎝⎭=1()4f=1516,故选A.3.(北京市东城区2012年1月高三考试）已知函数3,0,()(1),0,x xf xf x x≤⎧=⎨->⎩那么5()6f的值为．4．(山东省青州市2011年4月抽样监测文科第14题)已知函数)8(,)0)(3()0(2)(-⎩⎨⎧≤+>=fxxfxxfx则=_________．【答案】2【解析】(8)(5)(2)(1)2f f f f-=-=-==.【考题回放】1．（2010年高考湖北卷文科3）已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =A.4B.14C.-4 D-142．（2009年高考山东卷理科第10题）定义在R 上的函数f(x )满足⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为（ ） A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【答案】C【解析】由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C.3. (2012年高考陕西卷文科11) 设函数发f （x ）=，则f （f （-4））=【答案】4【解析】41(4)()16,((4))(16)16 4.2f f f f --==∴-===4.（2011年高考浙江卷文科3)设函数k 4()1f x x=- ,若()2f a =,则实数a =____5．（2010年高考陕西卷文科13）已知函数f （x ）＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ . 【答案】26．（2009年高考北京卷文科第12题）已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x = .。

高考数学一轮复习 2.1函数及其表示精品学案【知识特点】1．函数、导数及其应用是高中数学的重要内容，本章主要包括函数的概念及其性质，基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数），导数的概念，导数及其几何意义，导数与函数的单调性、最值，导数在实际问题中的应用等内容。

2．本章内容集中体现了函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法，函数的类型较多，概念、公式较多，具有较强的综合性。

【重点关注】1．函数的概念及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、值域是高考考查重点，函数性质的综合考查在历年考试中久考不衰，应重点研究。

2．函数的图象及其变换既是高考考查的重点，又是学生学习的一个难点，应注意区分各函数的图象及图象的变换，利用图象来研究性质。

3．导数的几何意义，导数在函数的最值及单调性方面的应用是高中数学的一个重点内容，也是高等数学的必修内容，是近几年高考的一大热点，复习时应引起足够的重视。

4．注意思想方法的应用。

数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论思想在各种题型中均有体现，应引起重视。

【地位与作用】一、函数在高考中的地位与作用从2009年、2010年和2011年的全国各地的高考试题中可以看出，近几年高考在函数中的考查有如下特点：1、知识点的考查情况①映射与函数：以考查概念与运算为主，部分涉及新定义运算；②定义域、值域、解析式是考查的重点，而且比较稳定，有时结合其它知识点（一本部分内容为背景），分段函数较多、花样翻新；③函数的单调性在历年考试中久考不衰，且比例有上升趋势，和导函数联系较多；④函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值、三角函数等综合，与周期性、对称性、抽象函数等问题联系较多；⑤反函数出现在选择题、填空题中，考反函数概念运算可能性较大，若出现在解答题中，则必定与单调性、奇偶性、不等式、导函数等知识综合，难度较大；⑥二次函数问题是每年的必考题，一方面直接考查二次函数，另一方面是利用二次函数的性质解题，三个“二次”问题（即二次函数、二次方程、二次不等式）是函数考试题中永恒的主题⑦指数函数与对数函数以基本概念、性质为主设计试题，考查指数、对数的定义域、值域、单调性和运算，选择、填空题属中等难度，若解答题涉及到指、对数函数，往往难度会上升；⑧函数的图像与最值每年必考，体现“形是数的直观反映，数是形的抽象概括”，是数学思想方法中的数相结合思想的最直接的表现形式，尤其是函数y=x+a/x（a＞0）的图像和性质，从未间断过；⑨函数应用题与综合应用题是最能体现考生函数水平的试题：一次函数、二次函数、y=x+a/x（a＞0）型、指数型、对数型与现实生活相结合，考查学生的建模能力，而函数与数列、不等式、导函数等众多知识的交汇已经成为函数综合应用中的典型问题。

《函数及其表示》教学设计1. 教学目标1、知识与技能：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识.2、过程与方法：(1)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;(2)了解构成函数的要素;(3)会求一些简单函数的定义域和值域;(4)能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域;3、情感态度与价值观，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性.2. 教学重点/难点重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数;难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示;3. 教学用具多媒体4. 标签函数及其表示教学过程(一)创设情景，揭示课题1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想;2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：(1)炮弹的射高与时间的变化关系问题;(2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题;(3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题.3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点;4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系;5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系.(二)研探新知1、函数的有关概念(1)函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function).记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域(range).注意：①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”;②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.(2)构成函数的三要素是什么?定义域、对应关系和值域(3)区间的概念①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;②无穷区间;③区间的数轴表示.(4)初中学过哪些函数?它们的定义域、值域、对应法则分别是什么? 通过三个已知的函数：y=ax+b (a≠0)y=ax2+bx+c (a≠0)y= (k≠0) 比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会.师：归纳总结(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维。

函数（一）函数1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。

3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。

4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。

5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景。

2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。

4．知道指数函数是一类重要的函数模型。

（三）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3．知道对数函数是一类重要的函数模型.4．了解指数函数与对数函数互为反函数（）。

（四）幂函数1．了解幂函数的概念。

2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。

（五）函数与方程1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。

2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。

能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。

知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。

定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.函数概念（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →: ，f 表示对应法则 注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

第六节函数的图象【课程标准】1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解集的问题.【考情分析】考点考法:高考命题考查函数图象的识别、函数图象的画法及应用函数图象研究函数的性质,已知函数解析式选择函数图象是高考热点,常以选择题形式出现.核心素养:逻辑推理、直观想象、数学运算.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.利用描点法作函数图象的方法步骤(1)确定函数的定义域.(2)化简函数的解析式.(3)讨论函数的性质,即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势).(4)描点连线,画出函数的图象.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)伸缩变换(3)对称变换(4)翻折变换【微点拨】函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言,如从f(-2x)的图象到f(-2x+1)的图象是向右平移12个单位长度,其中是把x变成x-12.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同B.函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同C.函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称D.函数y=lg x的图象关于x=3对称的图象对应的函数是y=lg(6-x)【解析】选ABC.A令f(x)=-x,当x∈(0,+∞)时,y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=-x,两者图象不同.×B 当a≠1时,y=af(x)与y=f(ax)是由y=f(x)分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到,两图象不同.×C y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.×2.(必修第一册P85练习T1变条件、变设问)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是()A.y=f(|x|)B.y=|f(x)|C.y=f(-|x|)D.y=-f(-|x|)【解析】选C.因为题图②中的图象是在题图①的基础上,去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得到的,所以题图②中的图象对应的函数可能是y=f(-|x|).3.(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是()A.y=-3+32+1B.y=3-2+1C.y=2vos2+1D.y=2sin2+1【解析】选A.设f(x)=3-2+1,则f(1)=0,故排除B;设h(x)=2vos2+1,当x∈(0,π2)时,0<cos x<1,所以h(x)=2vos2+1<22+1≤1,故排除C;设g(x)=2sin2+1,则g(3)=2sin310>0,故排除D.4.(看不懂图象导致错误)若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是(0,+∞).【解析】由题意a=|x|+x,令y=|x|+x=2,>0,0,≤0,图象如图所示,故要使a=|x|+x只有一解,则a>0,即实数a的取值范围是(0,+∞).【巧记结论·速算】1.函数图象自身的轴对称(1)f(-x)=f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于y轴对称;(2)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(-x)=f(2a+x);(3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=r2对称.2.函数图象自身的中心对称(1)f(-x)=-f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于原点对称;(2)函数y=f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔f(x)=-f(2a-x)⇔f(-x)=-f(2a+x);(3)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x).3.两个函数图象之间的对称关系(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=-2对称(由a+x=b-x得对称轴方程);(2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称;(3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0,b)对称;(4)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.【即时练】1.下列说法正确的是()A.若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称B.若函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x-1),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称C.当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同D.函数y=f(1-x)的图象可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到【解析】选A.由函数的性质知A正确,B错误;令f(x)=-x,则当x∈(0,+∞)时,f(|x|)=f(x)=-x,|f(x)|=x,f(|x|)≠|f(x)|,故C错误;y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到y=f(-x-1)的图象,故D错误.2.函数y=f(-2-x)与y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称.【解析】由-2-x=x+2,得x=-2,所以函数y=f(-2-x)与y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称.【核心考点·分类突破】考点一作函数的图象[例1]作出下列函数的图象:(1)y=(12)|x|;(2)y=|log2(x+1)|;(3)y=x2-2|x|-1.【解析】(1)先作出y=(12)x的图象,保留y=(12)x图象中x≥0的部分,再作出y=(12x的图象中x>0的部分关于y轴的对称部分,即得y=(12)|x|的图象,如图①实线部分.(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②.(3)因为y=2-2-1,≥0,2+2-1,<0,且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,得图象如图③.【解题技法】函数图象的常见画法(1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出函数图象.(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.提醒:①画函数的图象一定要注意定义域;②利用图象变换法时要注意变换顺序.【对点训练】作出下列各函数的图象:(1)y=x-|x-1|;(2)y=|x2-4x+3|;(3)y=(12)|x+2|;(4)y=sin|x|.【解析】(1)根据绝对值的意义,可将函数解析式化为分段函数y=1,≥1,2-1,<1,其图象如图①所示.(2)函数解析式可化为y=2-4+3,≤1或≥3,-2+4-3,1<<3,其图象如图②实线所示.(3)作出y=(12x的图象,保留y=(12)x的图象中x≥0的部分,加上y=(12)x的图象中x>0的部分关于y轴的对称部分,即得y=(12)|x|的图象,再向左平移2个单位长度,即得y=(12)|x+2|的图象,如图③所示.(4)当x≥0时,y=sin|x|与y=sin x的图象完全相同,又y=sin|x|为偶函数,图象关于y 轴对称,故图象如图④所示.考点二函数图象的识别[例2](1)(2022·全国甲卷)函数y=3-3-cos x在区间-π2,()【解析】选A.令f=3-3-cos x,x∈-π2则f-=3--3cos-=-(3x-3-x)cos x=-f(x),所以f为奇函数,排除B,D;又当x∈0,,3x-3-x>0,cos x>0,所以f>0,排除C.(2)(2023·天津高考)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为()A.5(e-e-)2+2B.5sin2+1C.5(e+e-)2+2D.5cos2+1【解析】选D.由题干中函数图象可知,f(x)图象关于y轴对称,其为偶函数,且f(-2)=f(2)<0,由5sin(-)(-)2+1=-5sin2+1,且定义域为R,即选项B中函数为奇函数,排除B;当x>0时,5(e-e-)2+2>0,5(e+e-)2+2>0,即A,C中函数在(0,+∞)上函数值为正,排除A,C.(3)函数f(x)=x ln x的图象如图所示,则函数y=f(1-x)的大致图象为()【解析】选D.方法一:函数f(x)的定义域为(0,+∞),由1-x>0得x<1,即函数y=f(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,C.f(1-x)=(1-x)ln(1-x),设g(x)=f(1-x)=(1-x)ln(1-x),则g(-1)=2ln2>0,排除B.方法二:将函数f(x)的图象进行以y轴为对称轴的翻折变换,得到函数y=f(-x)的图象,再将图象向右平移一个单位长度,即可得到函数y=f(-(x-1))=f(1-x)的图象.【解题技法】函数图象的识别可从以下几个方面入手(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.【对点训练】1.已知函数f(x)=(e-e-)||-1,则f(x)的图象大致是()【解析】选D.函数f(x)=(e-e-)||-1的定义域为{x|x≠±1},f(-x)=-(e--e)||-1f(x),则f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,可排除A;当0<x<1时,|x|-1<0,e x-e-x>0,则f(x)<0,可排除B,C.2.如图可能是下列哪个函数的图象()A.y=2x-x2-1B.y=2sin4+1C.y=(x2-2x)e xD.y=ln【解析】选C.函数的定义域为R,排除D;当x<0时,y>0,A中,x=-1时,y=2-1-1-1=-32<0,排除A;B中,当sin x=0时,y=0,所以y=2sin4+1有无数个零点,排除B.3.已知函数y=f(x)的图象如图1,则图2对应的函数有可能是()A.y=xf(x)B.y=f(x2)C.y=x2f(x)D.y=xf(x2)【解析】选A.对于B,y=f(x2)为偶函数,与图象不符,故排除B;对于C,当x<0时,x2>0,f(x)<0,所以x2f(x)<0,与图象不符,故排除C;对于D,当x<0时,x2>0,f(x2)>0,所以xf(x2)<0,与图象不符,故排除D.考点三函数图象的应用【考情提示】高考对函数图象的考查比较灵活,涉及知识点较多,且每年均有创新,试题考查角度有两个方面,一是函数解析式与函数图象的对应关系;二是利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解等,综合性较强.角度1研究函数的性质[例3](多选题)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=(12)1-x,则下列结论正确的是()A.2是函数f(x)的周期B.函数f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增C.函数f(x)的最大值是1,最小值是0D.当x∈(3,4)时,f(x)=(12)x-3【解析】选ABD.由已知条件得f(x+2)=f(x),则y=f(x)是以2为周期的周期函数,A 正确;当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=(121+x,画出函数y=f(x)的部分图象如图所示.由图象知B正确,C不正确;当3<x<4时,-1<x-4<0,f(x)=f(x-4)=(12)x-3,D正确.【解题技法】利用函数的图象研究函数的性质对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数,其性质常借助图象研究:(1)从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性;(3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.角度2利用函数图象解决不等式问题[例4](2023·商丘模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为()A.(-2,0)∪(2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(-2,0)∪(2,2)D.(-2,-2)∪(0,2)∪(2,+∞)【解析】选C.根据奇函数的图象特征,作出f(x)在(-∞,0)上的图象,如图所示,由x2f(x)>2f(x),得(x2-2)f(x)>0,则2-2>0,()>0或2-2<0,()<0,解得x<-2或2<x<2或-2<x<0,故不等式的解集为(-∞,-2)∪(-2,0)∪(2,2).角度3利用图象求参数的取值范围[例5](2023·洛阳联考)已知函数f(x |21|,<2,3-1≥2,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)【解析】选D.画出函数f(x)的图象,如图所示,方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,即函数y=f(x)的图象与直线y=a有三个不同的交点,由图可知,实数a的取值范围为(0,1).【解题技法】1.函数性质:一般根据图象观察函数性质有以下几方面:(1)观察函数图象是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;(2)观察函数图象是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;(3)观察图象上升或下降的情况,确定单调性.2.求解不等式:若采用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.3.求参数:当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象的变化,利用数形结合思想确定参数的取值范围.【对点训练】1.设定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式()-(-)<0的解集为()A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)【解析】选D.因为f(x)为奇函数,所以不等式()-(-)<0可化为()<0,即xf(x)<0,f(x)的大致图象如图所示,所以原不等式的解集为(-1,0)∪(0,1).2.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是(12,1).【解析】先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,如图所示,当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)=kx过点A时,斜率为12,故f(x)=g(x)有两个不相等的实数根时,实数k的取值范围为(12,1).。

教学计划：《函数的概念及其表示》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解并掌握函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数定义域和值域。

o学生能够识别函数关系，并用不同的方式（如解析式、表格、图像）表示函数。

o学生能够区分函数与非函数关系，理解函数关系的唯一对应性。

2.过程与方法：o通过实例分析，引导学生从具体到抽象地理解函数概念。

o运用对比、归纳等方法，帮助学生掌握函数的不同表示方法。

o通过小组合作探究，培养学生的合作学习能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，培养探究数学规律的精神。

o引导学生认识到函数在现实生活中的应用价值，增强数学应用的意识。

o通过解决问题，培养学生的耐心、细致和严谨的科学态度。

二、教学重点和难点●重点：函数的基本概念及其三种表示方法（解析式、表格、图像）。

●难点：理解函数关系的唯一对应性，区分函数与非函数关系；灵活运用不同方式表示函数。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过日常生活中的实例（如气温随时间变化、汽车速度与行驶时间的关系等），引导学生思考这些关系中是否存在一个变量随另一个变量变化而变化的规律。

●提出问题：这些关系中的两个变量之间是如何相互影响的？能否用数学语言来描述这种关系？●明确目标：引出函数的概念，并说明本节课将要学习的内容。

2. 概念讲解（15分钟）●函数定义：详细讲解函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数关系以及定义域和值域的概念。

●实例分析：结合生活实例，分析哪些关系可以构成函数，哪些不能，强调函数关系的唯一对应性。

●表示方法：介绍函数的三种表示方法（解析式、表格、图像），并举例说明每种方法的应用场景。

3. 案例分析（10分钟）●典型例题：选取几道具有代表性的例题，通过分析题目中的变量关系，引导学生判断是否为函数关系，并尝试用不同方式表示该函数。

●师生互动：在例题讲解过程中，适时提问引导学生思考，鼓励学生尝试自己解答或提出疑问。

2.1函数及其表示一、学习目标:考纲点击：理解函数的有关概念热点提示：1.函数是高考数学的核心内容，在历年高考中，函数知识覆盖面广、综合性强，在难中易各类考题中都会出现。

而在江苏高考中，函数题的难度一般偏大，同其他省比有其独特性。

2、本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图像，分段函数的考查是热点，另外，实际问题中的建模能力也经常考查。

本节复习重点:函数的定义域和表达式二、知识要点：1.函数的概念定义:设A,B 是___________,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中的______，在集合B 中都有______元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数记作____________. 其中,x 叫做______,x 的取值范围A 叫做函数的_______;与x 的值相对应的y 的值叫做______,函数值的集合{ f(x) |x ∈A}叫做函数的_______.2.函数的三要素:①_________;②__________________;③_________ 。

注：两个函数当且仅当_______和________，都相同时，才称作相同的函数.3．常用的函数表示法（1）解析法：；（2）列表法：；（3）图象法：。

4．分段函数5．复合函数若y =f (u)，u=g(x ),x ∈ (a ，b )，u∈ (m,n)，那么y =f [g(x )]称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是g(x )的值域。

三、课前检测：1. (09山东理)定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为________2.（09福建文）下列函数中，与函数y= 有相同定义域的是（ ） A .()ln f x x = B.1()f x x =C. ()||f x x =D.()x f x e = 3. （09江西理）函数y =的定义域为________4. （09北京文）已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x = .5. .（09安徽理）已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 .四．经典例题：热点考向一：求函数定义域例1:（1）求函数02)4(1||21)(-+-+-=x x x x f 的定义域。