切线的性质定理及应用

切线证明法切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ,点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证:DC 是⊙O 的切线．思路:要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可． 证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．图1图2证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证:AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质--与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1,B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ,∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC , ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．图3 OABCD2 31∵∠COD是△BOC的外角,∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D,∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2,已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径,D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明:连接OC,则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ,∴AE∥CO,又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC，OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE,AD。

切线长定理及应用切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在许多实际应用中发挥着重要的作用。

本文将介绍切线长定理的概念、证明以及一些实际应用。

一、切线长定理的概念切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出的切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。

换句话说，如果从圆外一点引出一条切线，那么切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。

二、切线长定理的证明为了证明切线长定理，我们可以利用几何推理和一些基本的几何定理。

首先，我们可以通过连接圆心、切点和圆上的一个点，构成一个直角三角形。

然后，利用勾股定理和相似三角形的性质，我们可以得出切线长定理的结论。

三、切线长定理的应用切线长定理在实际应用中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 圆的切线问题：切线长定理可以帮助我们解决与圆相关的问题，例如确定切线的长度、判断两条切线是否相等等。

2. 几何建模：在几何建模中，切线长定理可以用于计算和确定物体表面的切线长度，从而帮助我们进行准确的建模和设计。

3. 光学问题：在光学问题中，切线长定理可以用于计算光线的传播路径和角度，从而帮助我们理解光的行为和性质。

4. 工程测量：在工程测量中，切线长定理可以用于计算和确定测量点与目标物之间的距离和位置关系，从而帮助我们进行精确的测量和定位。

5. 数学建模：在数学建模中，切线长定理可以用于建立数学模型，从而帮助我们解决各种实际问题，例如物体运动的轨迹、曲线的切线方程等。

总结：切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在圆的切线问题、几何建模、光学问题、工程测量和数学建模等领域都有着广泛的应用。

通过理解和应用切线长定理，我们可以更好地解决实际问题，提高问题求解的准确性和效率。

切线的定义和判定定理切线的定义和判定定理是数学中关于圆的切线的重要知识点。

以下是关于这个主题的详细解释。

一、切线的定义切线与圆的定义是几何学中的基本概念，对于每一个圆来说，其切线是指与圆只有一个公共点的直线。

这个公共点被称为切点，切线与圆的切点是唯一的。

在二维平面上，如果一条直线与圆有且仅有一个交点，则这条直线被称为圆的切线。

切线的性质：切线与圆只有一个交点，即切点。

切线与经过切点的半径垂直。

切线的斜率等于经过切点的半径的斜率。

二、切线的判定定理判定定理一：定义判定法，如果直线上的每一个点都位于圆外，则直线为切线。

这是最直接的判定方法，也是最常用的。

判定定理二：半径垂直法，如果直线经过半径的外端并且垂直于该半径，则直线为切线。

这个判定方法通常用于证明过程中，尤其是在解题时，可以根据已知条件证明某直线满足这个判定定理。

判定定理三：角平分线法，如果直线平分圆的任意一条弦（非直径），并且垂直于该弦，则直线为切线。

这个判定方法在一些特殊情况下非常有用，可以通过证明某直线满足这个判定定理来证明某直线为切线。

在具体的应用中，可以根据题目的条件和要求选择合适的判定方法来确定切线的位置和性质。

同时，也要注意切线与半径、弦之间的关系，以及切线与其他几何元素之间的联系，以便更好地理解和掌握切线的性质和判定定理。

在实际应用中，了解和掌握切线的性质和判定定理是非常重要的。

在解析几何、平面几何、圆和圆锥曲线等学科中，都需要用到这些知识点来解决相关问题。

通过深入理解切线的定义和判定定理，我们可以更好地理解和应用几何学的其他概念和定理，从而更好地解决各种数学问题。

此外，切线的性质和判定定理也在其他领域有着广泛的应用。

例如，在物理学中，切线性质可以用于研究物体运动轨迹的变化；在工程学中，判定定理可以用于确定机械零件的尺寸和位置；在经济学中，可以用于研究供需关系和市场均衡等等。

因此，深入理解切线的定义和判定定理不仅可以提高数学素养，也可以为其他学科的学习和研究提供有益的帮助。

切线的判定‎和性质定理‎的应用学习目标：1. 会利用切线‎的判定定理‎和性质定理‎进行证明和‎计算。

2. 通过对问题‎的探究和解‎决，丰富学生对‎图形的认识‎，培养分析、归纳、总结知识的‎能力。

学习重点：切线的判定‎定理和性质‎定理的综合‎运用。

学习难点：切线的判定‎定理和性质‎定理的灵活‎运用。

学习过程:一、复习回顾1、若⊙O 的半径r ‎=5,圆心O 到直‎线L 的距离‎d =3,则直线L 与‎⊙O 的位置关‎系是 ,直线L 与⊙O 只有1个‎公共点，则直线L 与‎⊙O 的位置关‎系是___‎__2、如图，已知AB 是‎⊙O 的直径，AC 切⊙O 于A ，AC=AB=2,则BC=_____‎___3、如图A 、B 是⊙O 上的两点‎，A C 是⊙O 的切线，∠B=70°，则∠BAC=_____‎4、如图PA 切‎⊙O 于A ，PA=4,OP=5,则⊙O 的半径是‎_____‎____5、切线的判定‎定理：_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎___切线的性质‎定理：_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎____二、合作探究1、如图，直线AB 经‎过⊙O 上的点C ‎，并且OA=OB,CA=CB,求证：直线AB 是‎⊙O 的切线。

2、已知：△ABC 中A ‎B =AC ，O 为BC 的‎中点，以相切于点E ‎，求证：AB 与⊙O 相切。

归纳小结运用切线的‎判定：通常辅助线‎的作法是：运用切线的‎性质：通常辅助线‎的作法是：三、例题讲解B A CD CE C B 例1、如图，以等腰中的‎ABC ∆腰为直径作‎AB ⊙O ，交底边于点‎BC D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．求证：DE 为⊙O 的切线；课堂练习1、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交的中点‎BC 于D ，DE AC ⊥，E 是垂足. 求证：DE 是⊙O 的切线；2、四边形AB ‎CD 内接于‎O ，BD 是的直‎O 径，AE CD ⊥于E ，DA 平分∠BDE .（1）求证：AE 是的切‎O 线；（2）若30,1,DBC DE cm ∠=︒=求BD的长.四、巩固提高1、如图，⊙O 的直径A ‎B ＝4，∠ABC ＝30°，BC＝，D 是线段B ‎C 的中点。

直线与圆的切线与切点的应用知识点总结直线与圆是几何学中的常见概念，在解决与其相关的问题时，可以利用切线与切点的应用知识。

本文将对直线与圆的切线与切点的应用进行总结，以帮助读者更好地理解和运用这一知识点。

一、切线的定义与性质在切线的运用中，我们首先需要了解切线的定义与性质。

对于一个圆，切线可以被定义为与圆相切于一点的直线。

根据这一定义，我们可以得出以下几个性质：1. 切线与半径垂直：切线与圆相切于一点，与该点处的半径垂直。

2. 切线的唯一性：通过圆外一点可以作一条且只能作一条切线。

3. 切线与圆心连线的角度：切线与圆心连线的夹角为90度。

这些性质为我们分析和解决与直线与圆相关的问题提供了基础。

二、直线与圆的切线方程当我们需要确定直线与圆的切点时，可以通过求解直线与圆的方程来得到。

以下是几种常见的情况：1. 直线与圆相交于两点：当直线与圆相交于两个点时，这条直线不是切线。

求解该问题需要将直线方程代入圆的方程，并通过解方程组得到切点的坐标。

2. 直线与圆相切于一点：当直线与圆相切于一点时，这条直线为切线。

求解该问题可以通过将直线方程代入圆的方程，然后令两方程的根相等，解方程得到切点的坐标。

3. 直线与圆相离：当直线与圆不相交、不相切时，直线无切点。

求解该问题需要通过圆心到直线的距离判断直线与圆是否相离。

通过求解切线方程，我们可以获得与直线与圆相交或相切的切点，从而解决与直线与圆相关的问题。

三、切线定理在应用切线定理时，我们可以利用圆内的两条切线和它们的切点形成的四边形，从而推导得出如下定理：当两条切线相交时，切点与圆心连线所夹的角相等。

利用切线定理，我们可以求解与切线和切点有关的角度问题，推导切线与切点之间的关系。

四、应用示例下面通过几个实际问题的案例，来应用切线与切点的知识。

1. 已知一个圆心为O，半径为r的圆，一条直线与圆相交于A、B 两点，求证：AO=BO。

解析：由于A、B分别为圆的切点，根据切线与半径垂直的性质可知OA与OB分别为两条切线与圆心连线，因此OA与OB相等。

切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线几何语言：∵l ⊥OA，点A在⊙O上∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A∴l ⊥OA（切线性质定理）推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角几何语言：∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点∴PA=PB，∠APO=∠BPO（切线长定理）证明：连结OA、OB∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点∴OA⊥AP、OB⊥PB∴∠OAP=∠OBP=90°在△OPA和△OPB中：∠OAP=∠OBPOP=OPOA=OB=r∴△OPA≌△OPB（HL）∴PA=PB，∠APO=∠BPO弦切角概念顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。

它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．弦切角定理弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)对的圆周角等于所夹的弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角 [注，由于网上找得的图不是很完整，图中没有连结OC]几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理）推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言：∵∠1所夹的是弧MN ，∠2所夹的是PQ ，弧MN =弧PQ∴∠1=∠2证明：作AD⊥EC∵∠ADC=90°∴∠ACD+∠CAD=90°∵ED与⊙O切于点C∴OC⊥ED∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°∴∠OCA=∠CAD∵OC=OA=r∴∠OCA=∠OAC∴∠COA=180°-∠OCA-∠OAC=180°-2∠CAD又∵∠ACD=90°-∠CAD∴∠ACDC=1/2∠COA∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。

圆的切线垂直于经过切点的半径。

圆的切线，切线的性质定理，圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。

切线的性质定理的推论（1）经过切点垂直于切线的线段必是此圆的直径或半径。

（2）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

线段DA垂直于直线AB BA为圆o的切线切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．关于圆的定理1、切线定理垂直于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、切线长定理从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

3、切割线定理圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A B两点，则有pC^2=pA·pB 设ABP 是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT ²=PA·PB 4、割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这
一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

一条直线与一条弧线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线。

圆的三大切线定理
圆的三大切线定理：
第一个定理，就是切线的性质定理，这个定理是很简单的，而且理解不困难，只要记住：”过圆心“，”过切点“和”互相垂直“这三条谁知二推一就够了。

第二个定理，是切线的判定定理，切线的判定是中考中常经常考的内容，切线判定主要有三种方式：定义法、距离法及定理法。

其中最常用的是定理法，其次是距离法，定义法就很少用到了。

这里面，在进行切线判定时，其实只需要记住："有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，正半径"就可以了。

也就是说，切线的判定主要就这两种题型，即题目中告诉直线与圆有交点和直线与圆无交点。

第三个定理，是切线长定理。

在这个定理中，同一交点所形成的两条切线长时相等的，并且此交点与圆心的连线是两条切线长的夹角的角平分线，所以说是有一对相等的角的。

在做相应的练习时，同学们要条件反射式的看到切线长，就要知道有两组相等，即线相等及角相等。