专题一 第一讲 集合与简易逻辑

第一章集合与简易逻辑在数学的广袤世界里，集合与简易逻辑就像是构建知识大厦的基石，看似简单，却蕴含着深刻的思想和广泛的应用。

让我们一同踏上探索这一领域的旅程，揭开它们神秘的面纱。

首先，我们来聊聊集合。

集合是什么呢？简单来说，集合就是把一些具有特定性质的对象放在一起组成的整体。

比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合，操场上所有的篮球也能构成一个集合。

集合通常用大写字母来表示，比如A、B、C 等等。

集合中的元素，也就是组成集合的那些对象，用小写字母表示。

如果一个元素 x 属于某个集合 A，我们就记作 x ∈ A；要是不属于，那就是 x ∉ A。

集合的表示方法有好几种。

列举法大家应该很好理解，就是把集合中的元素一个一个地列出来，像｛1，2，3，4，5｝这样。

描述法呢，就是通过描述元素所具有的特征来表示集合，比如｛x ｜ x 是小于 10的正整数｝。

集合之间还有各种各样的关系。

两个集合相等，意味着它们包含的元素完全相同。

子集呢，就是一个集合中的所有元素都在另一个集合里。

比如说集合 A ＝｛1，2，3｝，集合 B ＝｛1，2，3，4，5｝，那 A 就是 B 的子集。

真子集就是除了自身以外的子集。

集合的运算也很重要。

并集，就是把两个集合中的所有元素合在一起组成的新集合。

比如 A ＝｛1，2，3｝，B ＝｛3，4，5｝，A 并 B就是｛1，2，3，4，5｝。

交集呢，是两个集合中共同拥有的元素组成的集合，A 交 B 就是｛3｝。

补集则是在一个给定的全集 U 中，某个集合 A 的补集就是 U 中不属于 A 的元素组成的集合。

说完了集合，咱们再来说说简易逻辑。

逻辑在我们的日常生活和数学推理中都扮演着重要的角色。

命题是简易逻辑的核心概念之一。

命题就是能够判断真假的陈述句。

比如“今天是晴天”，这能判断真假，就是个命题；但像“这个苹果真好吃”，这就不是命题，因为好不好吃因人而异，没法明确判断真假。

命题又分为真命题和假命题。

原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互否互第一讲 集合与简易逻辑【考情分析】 由于集合与简易逻辑是高中必修一和选修二中比较基础的知识，所以考试的难度不会太大。

一般情况，集合与简易逻辑这一块都是各考一个选择题或者填空题，因而只需考生做题时细心即可。

【知识清单】 一、集合的概念1.定义：某些指定的研究对象集在一起就成为一个集合，其中这些指定的研究对象称为元素。

2.性质：确定性、无序性、互异性。

3.空集φ：集合里不含有任何元素的集合。

4.分类（按元素的个数）：有限集和无限集。

二、关系1.元素与集合的关系：属于“∈”和不属于“∉” ；2.集合与集合的关系：包含“⊆”（子集关系），相等“=”，真子集“⊂”与不包含“⊄” ；3.集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 4.德摩根公式：()()()U U U A B A B ⋃=⋂痧 ，()()()U U U A B A B ⋂=⋃痧 .三、简易逻辑1.命题：能够判断真假的语句，如32>。

2.命题分类⎧⎨⎩简单命题：不含逻辑连接词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑连接词构成的命题。

3. “非”，“且”，“或”（1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真． 4. 四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ； 逆否命题：若┑q 则┑p 。

5. 如果已知p ⇒q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

若p ⇒q 且q ⇒p,则称p是q 的充要条件，记为p ⇔q.三、例题讲解一、选择题1.（2010浙江理）（1）设P=｛x ︱x <4｝,Q=｛x ︱2x <4｝，则 （A ）p Q ⊆ （B ）Q P ⊆ （C ）R p Q C ⊆ （D ）R Q P C ⊆答案 B 【解析】{}22＜＜x x Q -=，可知B 正确，本题主要考察了集合的基本运算，属容易题2.（2010陕西文）1.集合A ={x －1≤x ≤2}，B ＝｛x x ＜1｝,则A ∩B =（ ）(A){x x ＜1} （B ）{x－1≤x ≤2}(C) {x－1≤x ≤1}(D) {x－1≤x ＜1}答案 D 【解析】本题考查集合的基本运算由交集定义得{x －1≤x ≤2}∩｛xx ＜1｝={x －1≤x ＜1}3.（2010辽宁理）1.已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3},u ðB ∩A={9},则A= （A ）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}答案 D 【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn 图解决集合问题的能力。

集合与简易逻辑1.1集合(一)集合与简易逻辑1.1集合(一)集合与简易逻辑1.1集合(一) 第一章集合与简易逻辑2 1.1集合(一)课题§1.1集合(一) 教学目标1、理解集合的概念和性质。

2、了解元素与集合的表示方法。

3、熟记有关数集。

4、培养学生认识事物的能力。

教学重点集合概念、性质教学难点集合概念的理解教学设备投影仪、多媒体一、新课引入在初中数学学习过程中，我们就已经开始接触“集合”。

例如：1、在初中代数里，①、由所有自然数组成的自然数集；所有整数组成的整数集等等；②、对于一元一次不等式2x-1 3来说，所有大于2的实数都是它的解，因此我们称该不等式的解集为x 2，表明这个不等式的解是由所有大于2的数组成的集合；③、大于1小于10的所有偶数。

2．在初中几何里，①、把垂直平分线看作是到线段两端点距离相等的点的集合；②、将角平分线看作是到角的两边距离相等的点的集合；③、把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。

在生活中，我们也在不知不觉中与“集合”打交道。

例如：①、高一（3）班全体男同学；②、某位同学的所有文具；③、中国的四大发明。

二、进行新课通过以上实例，我们可以归纳出：1、集合的定义（1）集合（集）：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）。

进一步指出：集合的表示：一般用大括号表示集合，{元素，元素，…元素}，那么上几例可表示为……集合还可用一个大写的拉丁字母表示，如：a={1，3，5，7，9} 常见数集的专用符号：非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。

记作n 正整数集：非负整数集内排除0的集。

记作n*或n+ 整数集：全体整数的集合。

记作z 有理数集：全体有理数的集合。

记作q 实数集：全体实数的集合。

记作r 注：①、自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。

②、非负整数集内排除0的集。

记作n*或n+ 。

q、z、r等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成z* 请同学们熟记上述符号及其意义。

专题一-集合-与简易逻辑专题一集合与简易逻辑一、考点回顾1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

二、经典例题剖析考点1、集合的概念1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：例1、下面四个命题正确的是（A）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}（C）0与{0}表示同一个集合（D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}例2、已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，2m}．若B⊆A，则实数m＝．考点2、集合的运算1、交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且x∉A｝，集合U表示全集；2、运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU （A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU （A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。

3、学会画Venn图，并会用Venn图来解决问题。

例3、设集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A⋂B等于（）(A){x|－3＜x＜1} (B) {x|1＜x＜2} (C)｛x|x>－3｝(D) ｛x|x<1｝图例4、经统计知，某村有电话的家庭有35家,有农用三轮车的家庭有65家,既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为图( )A. 60B. 70C. 80D. 90例5、（2008广东卷）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。

《人教A版必修一知识点汇总》第1章《集合与常用逻辑用语》知识点汇总1.1 《集合的概念》1.集合的概念一般地，由某些确定的对象组成的整体就称为集合，简称为集.组成这个集合的对象称为这个集合的元素。

注:集合通常用大写字母表示，如A,B,C…元素通常用小写字母表示，如a,b,c…2.集合与元素之间的关系（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a ∈ A,读作“a属于A”;（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A,读作“a不属于A”;3.集合中元素的三种特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了（即x∈A与x∉A必居其一.）（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同.（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置.4.集合的分类根据集合所含有元素的个数，将集合分为：（1）有限集：含有有限个元素的集合；（2）无限集：含有无限个元素的集合；（3）空集：特别的，把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅.5.常用的数集例如1∈N，−5∈Z,π∉ Q6. 用列举法表示集合当集合中元素的个数为有限个（或无限个但呈现出某种规律）时，可以把集合中所有的元素一一列举出来，中间用逗号隔开，并用大括号“｛｝”把它们括起来，这种表示集合的方法就称为列举法。

例1小于6的所有正整数组成的集合A用列举法可以表示为A=｛1,2,3,4,5｝.7.用描述法表示集合当集合的元素是无穷多个时，我们可以利用元素的特征性质来表示集合，这种表示集合的方法就叫做描述法.注：用描述法表示集合时，在大括号｛｝中画一条竖线（分隔符），竖线的左侧表示的是组成集合的元素，竖线的右侧是元素所具有的特征性质（或元素满足的条件）.解：小于1的所有整数组成的集合A用描述法表示为A=｛x ∣ x＜1,且 x∈Z ｝1.2集合间的基本关系1.子集与包含关系（1）定义像上面这样，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，并称集合A为B的子集．记作：A⊆B(或者B⊇A)，读作：A包含于B（或B包含A）.规定：空集是任何集合的子集，即 ∅⊆A.（2）用Venn图表示集合与集合之间的关系例如集合A=｛1,2,3｝与B=｛1,2,3,4,5｝的关系为A⊆B，用Venn图表示为（3）非子集与不包含关系如果集合A不是集合B的子集，记作A⊈B或B⊉A,读作“A不包含于B“（或B不包含A）.例如：集合C=｛2,3｝，集合D=｛2,4,5｝，则集合C不是集合D的子集，即C⊈D.2.集合与集合相等若集合A和集合B的元素完全相同：即A的每个元素都是B的元素，而B的每个元素也都是A的元素，那么就说A和B相等，记作“A=B”例如A={1，2，3} 与B={3 , 1 , 2}，则A=B.3.真子集与真包含于一般的，若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，则A叫做B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A)，读作A真包含于B（或B真包含A）注：空集是任何非空集合的真子集例如A={1，3}与B={1, 3，5}，则A⫋B（即A是B的真子集）.1.3《集合的基本运算》1.交集的概念及其运算（1）定义一般地,对于给定的集合A与集合B,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,记作A∩B.读作“A交B”.即 A∩B={ x | x∈A 且 x∈B }.（2）实例运用例1设集合A={2,4,6}, 集合B={0,1,2},则A∩B={2}．例2 设集合A={x | −2<x≤1}，集合B ={x|−1≤x < 3}，则Ａ∩B={x |−1≤x ≤1}．2.并集的概念及其运算（1）定义一般地,对于给定的集合A与集合B,由集合A与集合B的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的并集,记作A∪B.读作“A并B”.即A∪B={x|x∈A或x∈B}.（2）实例运用例1 设集合A={1,3,5,7}, 集合B={0,2,3,4,6},则A∪B={0,1,2,3,4,5,6,7}．例2 设集合A={x |−1<x≤2}, 集合B={x |0<x≤3}，则 A∪B={x |−1<x≤3}.3.补集的概念及其运算（1）定义一般地，如果集合A是全集U的一个子集，则由集合U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作C U A，即C U A={ x | x∈U且x∉A }（2）实例运用例1设全集U={x∈N|x＜7}，集合A={1,2,4,6},则C U A={0,3,5}．例2设全集U= R，集合A={x|−2≤x＜1}，则CA={ x | x＜−2或 x≥1 }．U1.4充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件（1）定义一般地，“若p, 则q”为真命题，即由“条件p 可以推出条件 q ”，记作：p⇒ q那么就称：“p 是 q 的充分条件， q 是p的必要条件”注：如果“若p, 则 q ”为假命题，即由“条件p不能推出条件 q ”，记作： p⇏ q那么就称：“p不是 q 的充分条件， q 不是p的必要条件”（2）实例运用例1若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；解析：设题设“四边形的两组对角分别相等”为p，结论“这个四边形是平行四边形”为 q∵ p ⇒ q∴p是 q的充分条件, q是p的必要条件例2若x2=1，则x = 1；解：设题设“x2=1”为 p ，结论“x = 1”为 q∵由x2=1可得x=1或x=−1∴p ⇏ q故p不是q的充分条件,q不是p的必要条件2.充要条件（1）定义一般地，如果 p ⇔ q （即情况1：原真逆真）我们就称 p 是 q 的充分必要条件，简称为“ 充要条件”.注1（情况2：原真逆假）如果 p ⇒ q ，且 q ⇏p , 我们就称 p是 q 的充分而不必要条件；注2（情况3：原假逆真）如果 p ⇏ q ，且 q ⇒p , 我们就称 p是 q 的必要而不充分条件；注3（情况4：原假逆假）如果 p ⇏ q ，且 q ⇏p , 我们就称 p是 q 的既不充分也不必要条件；（2）实例运用例1 p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；解：①原命题：“若p，则q”∵ 已知两个三角形相似∴ 两个三角形三边成比例即 p ⇒ q （相似三角形的性质）∴ p是q的充分条件②逆命题：“若 q ，则 p ”∵ 已知两个三角形三边成比例∴ 两个三角形相似即 q ⇒ p （三边定理）∴ p 是 q 的必要条件.综上所述，∵ p ⇔ q，即原真逆真，∴ p 是 q 的充要条件例2 p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；解：①原命题：“若 p ，则 q ”∵ 已知四边形是正方形∴ 四边形的对角线互相垂直且平分即 p ⇒ q∴ p 是 q 的充分条件②逆命题：“若 q ，则 p ”∵ 已知四边形的对角线互相垂直且平分∴ 四边形是菱形,即 q ⇏ p∴ p 不是 q 的必要条件综上所述，∵ 原真逆假，∴ p 是 q 的充分而不必要条件1.5 全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题一变：∀ （任意）变 ∃（存在） 二变：结论 p(x) 变 它的反面 ¬p(x) 像上面这样，短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示；含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.例如，命题“对任意的n ∈Z,2n +1 是奇数”；“所有的正方形都是矩形” 等都是全称量词命题注：通常，将含有变量 x 的语句用 p(x)，g(x)，r(x)，… 表示，变量x 的取值范围用 M 表示 那么，全称量词命题“对 M 中任意一个 x ， p(x)成立”可用符号简记为：∀x ∈M ,p(x)2.存在量词与存在量词命题像上面这样，短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ∃ ”表示；含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.例如，命题“有的平行四边形是菱形”；“有一个素数不是奇数” 等都是存在量词命题注：通常，将含有变量 x 的语句用 p(x)，g(x)，r(x)，… 表示，变量x 的取值范围用 M 表示 那么，存在量词命题“存在M 中的元素 x ， p(x)成立”可用符号简记为：∃ x ∈M ,p(x)3. 全称量词的否定（1）概念一般地，对于全称量词命题：∀x ∈M , p(x)它的否定为：∃x ∈M , ¬p(x)注1：符号 “ ¬p(x) ” 表示 “ p(x) 的反面 ”注2：全称量词命题的否定是存在量词命题（2）实例运用例1所有能被3整除的整数都是奇数；解：原全称量词命题的否定为：“存在一个能被 3 整除的整数不是奇数”一变：∃ （存在）变 ∀（任意） 例2对 ∀ x ∈R , x 2≥0 ;解：原全称量词命题的否定为:“ ∃ x ∈R ,x 2<0 ”4.存在量词命题的否定（1）概念一般地，对于存在量词命题：∃ x ∈M , p(x)它的否定为：∀x ∈M , ¬p(x)注1：符号 “ ¬p(x) ” 表示 “ p(x) 的反面 ” 注2：存在量词命题的否定是全称量词命题（2）实例运用例1 ∃x ∈R,x +2 ≤ 0 ;解：原存在量词命题的否定为“ ∀x ∈R,x +2 > 0” 例2 有的三角形是等边三角形；解：原存在量词命题的否定为“ 所有的三角形都不是等边三角形 ”二变：结论 p(x) 变它的反面 ¬p(x)。

高三一轮复习讲座一 ---- 集合与简易逻辑第一讲 集 合（第一课时）一、教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．二、教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．三、基础再现1．集合①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。

②表示列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c}描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x ∣P(x)}. 如：}1),({},1{},1{-=-=-=x y y x x y y x y x图示法：用文氏图表示题中不同的集合。

③分类：有限集、无限集、空集。

④性质确定性：A a A a ∉∈或必居其一，互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同，无序性：{1，2，3}={3，2，1}2．常用数集复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集 （或N+） 有理数集Q3．元素与集合的关系：A a A a ∈∉或4．集合与集合的关系：①子集：若对任意A x ∈都有B x ∈[或对任意B x ∉都有A x ∉] 则A 是B 的子集。

记作：A B B A ⊇⊆或 C A C B B A ⊆⇒⊆⊆,②真子集：若B A ⊆，且存在A x B x ∉∈00,但，则A 是B 的真子集。

记作：A B[或“B A B A ≠⊆且”] A B ，B C A C ③B A A B B A =⇔⊆⊆且④B A ⊄B x A x ∉∈∃⇔使得一个至少,⑤空集：不含任何元素的集合，用φ表示对任何集合A 有A ⊆φ，若φ≠A 则φA注：}{}0{}{φφφ≠≠≠a a5．子集的个数若},,{21n a a a A Λ= ，则A 的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n 个，2n -1个和2n -2个。

四、考点剖析考点1元素的三要素1. 集合{}0,,1,,2b a a a b a +=⎭⎬⎫⎩⎨⎧，则=+20062005b a 2. 由332,,,x x x x --所组成的集合中，最多含有 个元素。

第一节集合[备考方向要明了]考什么怎么考~1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．。

(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.1.对集合的含义与表示的考查主要涉及集合中元素的互异性以及元素与集合之间的关系，考查利用所学的知识对集合的性质进行初步探究的基本逻辑能力．如(理)2012年全国T1，江西T1等．(文)2012年天津T9等．2.对于两个集合之间关系的考查主要涉及以下两个方面：(1)判断给定两个集合之间的关系，主要是子集关系的判断．如(文)2012年全国T1，福建T1，湖北T1等．(理)2011北京T1.(2)以不等式的求解为背景，利用两个集合之间的子集关系求解参数的取值范围问题．3.集合的基本运算在高考命题中主要与简单不等式的求解、函数的定义域或值域的求法相结合考查集合的交、并、补运算，以补集与交集的基本运算为主，考查借助数轴或Venn图进行集合运算的数形结合思想和基本运算能力．如(理)2012北京T1、陕西T1、山东T1等．(文)2012陕西T1、上海T2等.[归纳·知识整合]1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于A，记作a∈A；若b不属于A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集及其符号表示~数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z…Q R[探究] 1.集合A＝{x|x2＝0}，B＝{x|y＝x2}，C＝{y|y＝x2}，D＝{(x，y)|y＝x2}相同吗它们的元素分别是什么提示：这4个集合互不相同，A是以方程x2＝0的解为元素的集合，即A＝{0}；B是函数y＝x2的定义域，即B＝R；C是函数y＝x2的值域，即C＝{y|y≥0}；D是抛物线y＝x2上的点组成的集合．2．0与集合{0}是什么关系∅与集合{∅}呢提示：0∈{0}，∅∈{∅}或∅⊆{∅}．2．集合间的基本关系表示关系…文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同A⊆B且B⊆A⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个:元素不是A中的元素A B或B A 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)[探究] 3.对于集合A，B，若A∩B＝A∪B，则A，B有什么关系提示：A＝B.假设A≠B，则A∩B A∪B，与A∩B＝A∪B矛盾，故A＝B.3．集合的基本运算集合的并集：集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A 的补集为∁U A图形表示(意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}[探究] 4.同一个集合在不同全集中的补集相同吗提示：一般情况下不相同，如A＝{0,1}在全集B＝{0,1,2}中的补集为∁B A＝{2}，在全集D ＝{0,1,3}中的补集为∁D A＝{3}．[自测·牛刀小试]1．(2012·山东高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为() A．{1,2,4}B．{2,3,4}】C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}解析：选C由题意知∁U A＝{0,4}，又B＝{2,4}，所以(∁U A)∪B＝{0,2,4}．2．(教材改编题)已知集合A＝{x|2x－3<3x}，B＝{x|x≥2}，则()A．A⊆B B．B⊆AC．A⊆∁R B D．B⊇∁R A解析：选B∵A＝{x|2x－3<3x}＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，∴B⊆A.3．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为()A．1或－1 B．1或3—C．－1或3 D．1，－1或3解析：选B∵5∈{1，m＋2，m2＋4}，∴m＋2＝5或m2＋4＝5，即m ＝3或m ＝±1.当m ＝3时，M ＝{1,5,13}；当m ＝1时，M ＝{1,3,5}； 当m ＝－1时M ＝{1,1,5}不满足互异性． ∴m 的值为3或1.4．(教材改编题)已知集合A ＝{1,2}，若A ∪B ＝{1,2}，则集合B 有________个． 解析：∵A ＝{1,2}，A ∪B ＝{1,2}， ∴B ⊆A ，∴B ＝∅，{1}，{2}，{1,2}．·答案：45．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋1}，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析：∵B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}＝{x |x ≥4，或x ≤1}， 且A ∩B ＝∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1>1，a ＋1<4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a <3.即2<a <3.答案：(2,3)集合的基本概念、[例1] (1)(理)(2012·新课标全国卷)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10(文)(2013·济南模拟)若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2(2)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，若9∈(A ∩B )，则实数a 的值为________．[自主解答] (1)(理) 法一：由x －y ∈A ，及A ＝{1,2,3,4,5}得x >y ，当y ＝1时，x 可取2,3,4,5，有4个；y ＝2时，x 可取3,4,5，有3个；y ＝3时，x 可取4,5，有2个；y ＝4时，x 可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．法二：因为A 中元素均为正整数，所以从A 中任取两个元素作为x ，y ，满足x >y 的(x ，y)即为集合B中的元素，故共有C25＝10个．((文)集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}．故所求集合中元素的个数为3.(2)∵9∈(A∩B)，∴9∈A且9∈B，∴2a－1＝9或a2＝9.∴a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4，9}，符合题意；当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B不满足集合中元素的互异性，故a≠3；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，符合题意．∴a＝5或a＝－3.[答案](1)(理)D(文)C(2)5或－3本例(2)中，将“9∈(A∩B)”改为“A∩B＝{9}”，其他条件不变，则实数a为何值解：∵A∩B＝{9}，∴9∈A且9∈B，）∴2a－1＝9或a2＝9，即a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，∴A∩B＝{－4,9}，不满足题意，∴a≠5.当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{－2，－2,9}，不满足集合中元素的互异性，∴a≠3.当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，∴A∩B＝{9}，符合题意，综上a＝－3.{———————————————————解决集合问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．1．(1)已知非空集合A＝{x∈R|x2＝a－1}，则实数a的取值范围是________．(2)已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．解析：(1)∵集合A＝{x∈R|x2＝a－1}为非空集合，∴a－1≥0，即a≥1.(2)∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，?∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}， 即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.答案：(1)[1，＋∞) (2)(－∞，1]集合间的基本关系[例2] 已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤2，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．[自主解答] A 中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a ＝0，则A ＝R ；%②若a <0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |4a ≤x <－1a ；③若a >0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a <x ≤4a . 当a ＝0时，若A ⊆B ，此种情况不存在． 当a <0时，若A ⊆B ，如图，则⎩⎨⎧4a >－12，－1a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0或a <－8，a >0或a ≤－12. 又∵a <0，∴a <－8.当a >0时，若A ⊆B ，如图，则⎩⎨⎧－1a ≥－12，4a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a <0，a ≥2或a <0.;又∵a >0，∴a ≥2.综上知，当A ⊆B 时，a <－8或a ≥2. [答案] (－∞，－8)∪[2，＋∞)保持例题条件不变，当a 满足什么条件时，B ⊆A 解：当a ＝0时，显然B ⊆A ； 当a <0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧4a ≤－12，－1a >2，即⎩⎪⎨⎪⎧－8≤a <0，－12<a <0.又∵a <0，∴－12<a <0.$当a >0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧－1a ≤－12，4a ≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，0<a ≤2.又∵a >0，∴0<a ≤2.,综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.) ——————————————————— 根据两集合的关系求参数的方法已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．2．(文)已知集合A ＝{2,3}，B ＝{x |mx －6＝0}，若B ⊆A ，则实数m 等于( ) A ．3B ．2 .C ．2或3D ．0或2或3解析：选D 当B ＝∅时，m ＝0，显然成立； 当B ＝{2}时，6m ＝2，即m ＝3； 当B ＝{3}时，6m ＝3，即m ＝2. 故m ＝0或2或3.2．(理)若集合A ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0，x ∈R }，集合B ＝{1,2}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)若A ＝∅，则Δ＝a 2－4<0，解得－2<a <2；(2)若1∈A ，则12＋a ＋1＝0，解得a＝－2，此时A ＝{1}，符合题意；(3)若2∈A ，则22＋2a ＋1＝0，解得a ＝－52，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)集合的基本运算【[例3] (1)(理)(2012·北京高考)已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2＞0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)＞0}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，－1)D ．(3，＋∞)(文)(2012·陕西高考)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2]D ．[1,2](2)(2013·威海模拟)已知集合A ＝{1,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，则A ∪B ＝( )。

第一章集合与简易逻辑在数学的广袤天地中，集合与简易逻辑就像是两座基石，支撑着众多数学知识的大厦。

让我们一同踏上探索这两个重要概念的旅程。

首先，什么是集合呢？集合，简单来说，就是把一些具有特定属性的对象放在一起所组成的整体。

比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合，书架上的所有书籍也能组成一个集合。

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性这三个重要特点。

确定性指的是对于一个元素，它要么属于这个集合，要么不属于，不存在模棱两可的情况。

互异性呢，就是说集合中的元素不能重复。

而无序性则意味着集合中元素的排列顺序并不重要，｛1, 2, 3}和{3, 2, 1}表示的是同一个集合。

表示集合的方法有列举法、描述法和图示法。

列举法就是把集合中的元素一个一个地列出来，像{1, 2, 3}。

描述法则是通过描述元素的共同特征来表示集合，比如{x ｜ x 是大于 0 小于 5 的整数}。

图示法常见的有韦恩图，能让我们更直观地理解集合之间的关系。

接着来聊聊集合之间的关系。

如果一个集合中的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合就叫做另一个集合的子集。

如果两个集合互相包含，那它们就是相等的集合。

还有一种特殊的关系叫真子集，就是一个集合是另一个集合的子集，但两个集合不相等。

集合的运算也是很重要的一部分。

交集就是两个集合中共同的元素组成的集合；并集则是把两个集合中的所有元素合在一起组成的新集合；而补集呢，是在一个给定的全集里，某个集合之外的部分。

说完了集合，咱们再来说说简易逻辑。

简易逻辑在数学推理和日常生活中的判断中都有着广泛的应用。

逻辑连接词像是“且”“或”“非”，它们能帮助我们组合和改变命题的真假性。

“且”连接的两个命题都为真时，整个命题才为真；“或”连接的两个命题只要有一个为真，整个命题就为真；“非”则是对原命题的否定。

命题有真有假。

能够判断真假的陈述句就是命题。

原命题、逆命题、否命题和逆否命题之间有着有趣的关系。

原命题和逆否命题的真假性是相同的，逆命题和否命题的真假性也是相同的。