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圆1．圆的定义 。
（1）在一个平面内，线段OA 绕它的一个端点O 旋转一周， 另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆。
固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，如右图所示。
（2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集 合，定点为圆心，定长为圆的半径。
说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半 径相等的两个圆为等圆。
2．圆的有关概念（1）弦：连结圆上任意两点的线段。
（如右图中 的CD ）。
&（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB ）。
直径等于半径的2倍。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。
（如 右图中的CD 、CAD ）其中大于半圆的弧叫做优弧，如CAD ，小 于半圆的弧叫做劣弧。
&（4）圆心角：如右图中∠COD 就是圆心角。
3．与圆相关的角（1）与圆相关的角的定义①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。
（2）与圆相关的角的性质①圆心角的度数等于它所对的弦的度数； (②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； ③同弧或等弧所对的圆周角相等； ④半圆（或直径）所对的圆周角相等； ⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
圆的认识AOBCDOAr4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
:（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等【例1】下面四个命题中正确的一个是（）A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧—【答案】C与圆有关的位置1．点与圆的位置关系如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么：（1）点在圆外d r（2）点在圆上d r（3）点在圆内d r2．直线和圆的位置关系设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离'（1）直线和圆相离d r，直线与圆没有交点；（2）直线和圆相切d r，直线与圆有唯一交点；（3）直线和圆相交d r，直线与圆有两个交点。
初中圆重要知识点总结一、圆的基本概念和性质1. 圆的定义：圆是平面上到一个确定点的距离等于一个常数的点的集合。
这个确定点叫做圆心，距离叫做半径。
2. 圆的元素：在一个圆中，包括圆心、直径、半径、圆周和弧等元素。
其中，直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，而半径则是连接圆心和圆上一点的线段。
3. 圆的性质：（1）所有的圆都是共有的性质，包括一个圆的直径始终等于两个半径之和，以及圆周率π等于圆的周长与直径之比。
（2）圆内任意两点之间的最短距离是半径，而圆内的任意两点之间的最长距离是直径。
二、圆的相关定理和推论1. 圆的周长和面积：（1）圆的周长：圆的周长可以表示为C=2πr，其中r为半径。
（2）圆的面积：圆的面积可以表示为S=πr²，其中r为半径。
2. 弧长和扇形面积：（1）弧长定理：圆的弧长可以表示为l=rθ，其中l为弧长，r为半径，θ为圆心角的度数。
（2）扇形面积的计算：扇形的面积可以表示为A=1/2r²θ，其中A为扇形面积，r为半径，θ为圆心角的度数。
3. 圆的相交与切线：（1）相交弦定理：如果两条弦相交于圆上一点，那么它们包围的弧长乘积相等。
（2）切线定理：切线与圆的交点与切点处的切线垂直。
三、圆的常见问题解题方法1. 圆的周长和面积问题：当题目给出了圆的直径或者半径时，可以利用圆的周长和面积公式进行计算。
2. 弧长和扇形面积问题：当题目给出了圆心角的度数时，可以利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算。
3. 相交与切线问题：当题目涉及到相交弦定理和切线定理时，可以利用这些定理进行解题。
四、圆的常见应用1. 圆的运动学应用：在圆周运动和圆周角速度等方面，圆的知识经常被应用到物理学中。
2. 圆的工程应用：在建筑、设计、制图等方面，利用圆的性质可以进行工程设计和计算。
3. 圆的生活应用：在日常生活中，很多物体或者装饰物都具有圆的形状，因此圆的知识也经常被应用到生活中。
以上就是关于圆的重要知识点的总结，希望对初中生对圆的认识有所帮助。
圆九年级知识点与题型圆是中学数学中一个非常重要的几何概念，也是九年级数学课程中的一个重点内容。
掌握圆的知识点和解题方法，对于学生提高数学成绩以及应对考试非常有帮助。
一、圆的定义和性质圆是平面上的一个几何图形，由与一点距离相等的所有点组成。
这个点叫作圆心，到圆心的距离叫做半径，用字母r或者R表示。
圆上的任意一点到圆心的距离都等于半径。
圆的周长叫做圆周长，用C表示。
圆的面积叫做圆面积，用S表示。
圆有许多重要性质。
首先，圆上任意两点的距离都等于半径。
其次，圆的周长公式是C=2πr，其中π是一个数，约等于3.14159。
最后，圆的面积公式是S=πr²。
掌握这些公式，可以帮助我们计算圆的周长和面积。
二、圆的判断和证明问题在九年级数学中，还会遇到一些与圆相关的判断和证明问题。
比如，给出一些线段，让我们判断是否能构成一个圆，以及在何种条件下可以构成。
一种常用的方法是判断给出线段之间的关系。
如果给出的三条线段互相相等，并且两两之间的夹角都是直角，那么我们可以判断这三条线段构成一个圆。
此外，对于已知的圆，我们也可以进行一些证明问题。
比如，给出一个圆和一个半径长线段，让我们证明这条线段是圆的一条半径。
这时，我们可以使用数学定理和性质来辅助证明。
例如，根据圆的定义和性质，我们可以得知半径垂直于圆上的切线，从而帮助我们证明给出的线段是圆的半径。
三、圆的应用问题圆不仅在数学中有重要的地位，而且在现实生活中也有广泛的应用。
比如，圆形的轮胎、圆形的饼干、圆形的碗等等，这些都是我们生活中常见的圆形物体。
在实际问题中，我们也会遇到一些与圆有关的测量、计算等应用问题。
例如，给出一个轮胎的直径，让我们计算这个轮胎的周长。
我们可以使用圆周长公式C=2πr来完成这个计算。
此外，还可以通过应用圆的面积公式，计算一些与圆相关的问题。
比如，给出一个半径为5cm的圆形蛋糕，问这个蛋糕的面积是多少。
我们可以通过公式S=πr²，帮助我们计算出这个蛋糕的面积。
九年级数学圆知识点及例题圆是初中数学中非常重要的一个几何概念，它与我们日常生活息息相关。
本文将带领大家系统地了解九年级数学中与圆相关的知识点，并提供一些例题进行辅助学习。
一、圆的基本概念1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点（圆心）距离相等的所有点的集合。
2. 圆的要素：圆心、半径、直径、弧、弦、切线等。
二、圆的基本性质1. 圆的半径与直径的关系：直径是半径的两倍。
2. 圆的周长：圆的周长是其直径的倍数，即周长等于直径乘以π（π≈3.14）。
3. 圆的面积：圆的面积等于半径的平方乘以π。
三、圆的判定1. 距离判定定理：给定一定距离，平面上到该距离相等的点构成的图形是圆。
2. 切线定理：过圆外一点有且仅有一条切线，该切线与半径垂直。
四、圆的位置关系1. 同圆：拥有相同半径的两个圆。
2. 内切和外切：一个圆与另一个圆内部的一个点或外部的一个点相切。
3. 相交与相离：两个圆相交的情况包括相切和交叉，而相离则是两个圆不相交。
五、圆的综合应用1. 圆和三角形的关系：圆内切于一个三角形的关系、圆外接于一个三角形的关系等。
2. 圆和正多边形的关系：正n边形的内切和外切圆等。
3. 圆和椭圆、抛物线、双曲线的关系。
下面我们来看一些九年级数学中与圆相关的例题。
例题1：已知一个圆的半径是5cm，求其周长和面积。
解：根据圆的周长公式，周长等于直径乘以π。
我们已知半径是5cm，则直径是半径的两倍，即10cm。
所以，圆的周长为10cm × π ≈ 10 × 3.14 ≈ 31.4cm。
另外，根据圆的面积公式，面积等于半径的平方乘以π。
所以，圆的面积为5cm × 5cm × π ≈ 25 × 3.14 ≈ 78.5cm²。
例题2：已知圆A的半径是8cm，圆B的直径是12cm，判断这两个圆的位置关系。
解：首先，我们通过直径的关系得知，圆B的直径是圆A的直径的1.5倍，即12cm = 8cm × 1.5。
1．半圆或直径所对的圆周角是直角.2．任意一个三角形一定有一个外接圆.. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.6．同圆或等圆的半径相等.7．过三个点一定可以作一个圆.8．长度相等的两条弧是等弧.9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。
直线与圆的位置关系1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.5．垂直于半径的直线必为圆的切线.6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.7．垂直于半径的直线是圆的切线.8．圆的切线垂直于过切点的半径.圆与圆的位置关系1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切.2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦.3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交.4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条.5．相切两圆的连心线必过切点.正多边形基本性质1．正六边形的中心角为60°.2．矩形是正多边形.3．正多边形都是轴对称图形.4．正多边形都是中心对称图形.1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 .A. 50°B. 80°C. 90°D. 100°2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 .A.100° B.130° C.80° D.50°3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 .A.100°B.130°C.80°D.50°4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是.A.∠A+∠C=180°B.∠A+∠C=90°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠B=905．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离为 . A.3cm B.4cm C.5cmD.6cm 6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.507．已知：如图，⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 .A.100° B.130° C.200° D.508. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是.A.100°B.130°C.80°D.50°9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm.A.3B.4C.5D. 10点、直线和圆的位置关系1．已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 .A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离2．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交3．已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定4．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定5．一个圆的周长为a cm,面积为a cm 2，如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切 B.相离 C.相交 D. 不能确定6．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切B.相离C.相交D.不能确定7. 已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交8. 已知⊙O 的半径为7cm,PO=14cm,则PO 的中点和这个圆的位置关系是 .A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定•BADO C•CBAO•BOCAD•BOCAD•BOCAD•DBAO •D BAO •DBCAO圆与圆的位置关系1．⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若O1O2=10cm，则这两圆的位置关系是 .A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切2．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的位置关系是.A.内切B. 外切C. 相交D. 外离3．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm,若O1O2=1cm,则这两个圆的位置关系是.A.外切B.相交C. 内切D. 内含4．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2==7cm,则这两个圆的位置关系是.A.外离B. 外切C.相交D.内切35．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm，两圆的一条外公切线长4，则两圆的位置关系是.A.外切B. 内切C.内含D. 相交6．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和6cm,若O1O2=6cm,则这两个圆的位置关系是.A.外切B.相交C. 内切D. 内含公切线问题1．如果两圆外离，则公切线的条数为.A. 1条B.2条C.3条D.4条2．如果两圆外切，它们的公切线的条数为.A. 1条B. 2条C.3条D.4条3．如果两圆相交，那么它们的公切线的条数为.A. 1条B. 2条C.3条D.4条4．如果两圆内切，它们的公切线的条数为.A. 1条B. 2条C.3条D.4条5. 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的公切线有条.A.1条B. 2条C. 3条D. 4条6．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=7cm,则这两个圆的公切线有条.A.1条B. 2条C. 3条D. 4条正多边形和圆1．如果⊙O的周长为10πcm，那么它的半径为 .A. 5cmB.cmC.10cmD.5πcm102．正三角形外接圆的半径为2,那么它内切圆的半径为.32A. 2B.C.1D.3．已知,正方形的边长为2,那么这个正方形内切圆的半径为.23A. 2B. 1C.D.24．扇形的面积为,半径为2,那么这个扇形的圆心角为= .3A.30°B.60°C.90°D. 120°5．已知,正六边形的外接圆半径为R,那么这个正六边形的边长为 .A.R B.RC.RD.212R 36．圆的周长为C,那么这个圆的面积S= .A.B.C. D.2C ππ2C π22C π42C 7．正三角形内切圆与外接圆的半径之比为 .A.1:2B.1:C.:2D.1:3328. 圆的周长为C,那么这个圆的半径R= .A.2B.C.D.C πC ππ2CπC9.已知,正方形的边长为2,那么这个正方形外接圆的直径为 .A.2B.4C.2D.22310．已知,正三角形的外接圆半径为3,那么这个正三角形的边长为 .A. 3B.C.3D.3323。
圆初中知识点总结1. 圆的定义圆是平面上到一个点的距离等于定值（半径）的全部点的集合，这个定值就叫做圆的半径，用r表示。
2. 圆的相关概念（1）圆心：圆周上的任一点到圆心的距离都等于半径。
（2）直径：通过圆心，且两端点在圆周上的线段叫做圆的直径，且直径等于半径的两倍。
用d表示。
（3）圆周：圆的边界。
（4）圆内部：圆周内部的所有点组成的集合。
（5）圆外部：圆周外部的所有点组成的集合。
（6）弧：在圆周上取两点A、B，以这两点为端点的圆周部分叫做圆的弧。
（7）扇形：以圆心为顶点，以圆弧为边界的部分叫做扇形。
3. 圆的性质（1）圆的直径是圆周长的两倍。
（2）圆内接四边形的对角线相等。
（3）相交弦定理：相交弦的两条弦的乘积等于它们各自所包围的弧的乘积。
（4）同弧对应的圆心角相等。
（5）同弦对应的圆心角相等。
（6）同弧对应的弧长相等。
（7）同弦对应的弧长相等。
（8）举行的两个对角互补，每个角是举行的对角的一半。
（9）在圆的外部，离圆心最近的一条线段是切线，这条切线垂直于半径。
4. 圆的相关公式（1）圆的周长C=2πr（2）圆的面积S=πr²（3）弧长公式：若θ是圆的中心角度数，r是半径，则弧长为l=rθ（4）扇形的面积公式：扇形的面积=（θ/360°）πr²（5）圆环的面积=π（R²-r²）其中R是外圆半径，r是内圆半径。
5. 圆相关定理（1）圆的直径等于圆周长的两倍。
（2）若两条弦相等，则它们对应的圆心角相等。
（3）圆内接四边形的对角线相等。
6. 圆的应用（1）圆的运动学问题在机械制造和机械运动中，常用圆的性质解决一些问题。
比如，摆线轮、凸轮、齿轮等的设计和制造。
（2）圆的地理问题利用地理中的纬度和经度等问题，常常用到圆的相关知识。
（3）圆的建筑问题在建筑设计中，常常用到圆的性质，比如拱形结构。
（4）圆的电子学问题在电子学中，相关的电路设计中也常常用到圆的性质。
九年级圆的知识点详细总结归纳一、圆的定义和关键概念圆是一个平面上的简单闭曲线，由与一个固定点的所有点到该点的距离相等的点组成。
下面是一些重要的圆的关键概念：1. 圆心 (Center)：圆心是圆的中心点，标记为O。
2. 圆周 (Circumference)：圆的周长，也称为圆周，用C表示。
3. 直径 (Diameter)：直径是通过圆心的、连接圆上两点的线段。
直径的长度是圆直径的两倍。
直径用d表示。
4. 半径 (Radius)：半径是从圆心到圆上任意一点的线段。
半径的长度是直径的一半。
半径用r表示。
5. 弧 (Arc)：圆上两点之间的一段路径叫做弧。
6. 弦 (Chord)：圆上两点之间的线段叫做弦。
7. 切线 (Tangent)：切线是切于圆的一条直线，且与圆仅有一个交点。
二、圆的性质和定理圆的性质和定理是研究圆的重要基础，下面是一些常见的圆的性质和定理：1. 直径定理：直径是最长的弦，且它把一个圆分成两个半圆。
2. 弧长定理：一个圆的弧长是根据圆的半径和弧度来计算的。
弧长等于半径乘以弧的弧度。
3. 弧心角定理：圆心角是以圆心为顶点的角，它的弧度等于弧长与半径的比值。
4. 切线定理：切线与半径的关系是垂直。
5. 切线和半径的性质：当一条直线与圆相切时，与切点相连的半径垂直于切线。
6. 切割定理：如果一个弦垂直于一个半径，那么它将被切分成两个互为正方向的弧。
7. 切割角度定理：互不相交的弧它们对应的圆心角相等，相交的弧，它们对应切线切割的角相等。
8. 重合弧定理：在同一个圆上，两个重合的弧对应的圆心角相等。
三、圆的应用圆在日常生活和实际问题中有很多应用，下面是一些常见的圆的应用：1. 圆的测量：通过测量圆的直径或半径可以计算圆的周长和面积。
2. 圆的构造：通过给定圆的半径或直径可以构造圆。
3. 圆的几何关系：圆与直线、圆与圆之间有各种几何关系，如相离、相切、相交等。
4. 圆的运动学：在物理学中，圆的运动学广泛应用于描述物体的圆周运动和周期性运动。
中考圆专题知识点总结一、圆的概念圆是平面上一个集合，该集合中任意两点的距离都相等，并且距离都等于圆的半径。
圆的周长叫做圆的周长，圆的面积叫做圆的面积。
圆的半径为r，圆的直径为d。
二、圆的性质1. 圆的周长和面积：圆的周长C = 2πr圆的面积S = πr²2. 弧和圆心角：- 弧：两点间的曲线部分，圆的一部分。
- 弧长：弧的长度，记作L。
- 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的弧度数。
3. 弧长公式：L = rθ（θ用弧度表示）4. 圆周角：圆周角是一条弧所对的圆心角。
圆周角的度数等于它所对的圆心角的两倍。
5. 切线和切点：切线是与圆只有一个交点的直线。
切线与圆相切的点叫做切点。
6. 相交弧、对应弧和交角：- 相交弧：两个圆相交的弧。
- 对应弧：两个圆相交的弧的对应部分。
- 交角：两个相交弧的交角。
7. 圆内接四边形：如果一个四边形的四个顶点都在圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。
8. 圆的切线和割线：切线是与圆只有一个交点的直线，割线是与圆相交而不相切的直线。
切线和割线的切点到圆心的连线和圆的半径相垂直。
三、圆周角、圆心角和弧对应的关系1. 圆周角的度数等于所对的圆心角的两倍。
2. 圆周角的度数等于所对的弧的度数。
3. 圆心角的度数等于所对的弧的度数。
四、圆的性质定理证明1. 同弧或同角：弧对应的圆心角和圆周角以及弧的长度都相等。
2. 切线定理：若直线与圆相交，且交点在圆外，则直线与圆的切点连线垂直于直线。
3. 切线与弦定理：如果一条切线和一条弦相交于圆上的同一点，则切线上这个点的两个切线段相等。
五、常见的圆相关问题1. 圆与圆之间的位置关系：相离、外切、相交、内切、相切。
2. 圆的面积和周长问题：求圆的面积和周长。
3. 圆心角、圆周角和弧的问题：根据给定的信息计算圆心角、圆周角和弧的长度。
4. 切线和切点的问题：计算切线和切点的位置以及相关长度。
5. 圆的切线和割线问题：计算切线和割线的位置以及相关长度。
九年级数学圆知识点及习题(含答案)1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。
2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形, 圆心是它的对称中心。
3.垂直于弦的直径平分这条弦 ,并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。
4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量相等 ,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
5.同弧或等弧所对的圆周角相等 ,都等于它所对的圆心角的一半。
6.直径所对的圆周角是 90° ,90°所对的弦是直径。
7.三角形的三个顶点确定 1 个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆心叫外心,是三角形三边垂直平分线的交点。
8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 ,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点的交点,叫做三角形的内心。
9.圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形．10.圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角2、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系共有三种：①点在圆外 ,②点在圆上 ,③点在圆内；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：①d > r,②d = r,③d < r.2.直线与圆的位置关系共有三种：①相交 ,②相切 ,③相离；对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：①d < r,②d = r,③d > r.3.圆与圆的位置关系共有五种：①内含 ,②相内切 ,③相交 ,④相外切 ,⑤外离；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d < R-r,②d = R-r,③ R-r < d < R+ r,④d = R+r,⑤d > R+r.4.圆的切线垂直于过切点的半径；经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线, 切线长相等,这点与圆心之间的连线平分这两条切线的夹角。
圆1．圆的定义（1）在一个平面内，线段OA 绕它的一个端点O 旋转一周， 另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆。
固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，如右图所示。
（2 合，定点为圆心，定长为圆的半径。
说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半 径相等的两个圆为等圆。
2．圆的有关概念（1）弦：连结圆上任意两点的线段。
（如右图中 的CD ）。
（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB ）。
直径等于半径的2倍。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。
（如 右图中的CD 、CAD ）其中大于半圆的弧叫做优弧，如CAD ，小于半圆的弧叫做劣弧。
（4）圆心角：如右图中∠COD 就是圆心角。
3．与圆相关的角（1）与圆相关的角的定义①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。
（2）与圆相关的角的性质①圆心角的度数等于它所对的弦的度数；②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； ③同弧或等弧所对的圆周角相等； ④半圆（或直径）所对的圆周角相等； ⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等圆的认识AOBCDOAr【例1】 下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧【答案】C1．点与圆的位置关系如果圆的半径为r ，某一点到圆心的距离为d ，那么： （1）点在圆外d r （2）点在圆上d r （3）点在圆内d r 2．直线和圆的位置关系设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离（1）直线和圆相离d r ，直线与圆没有交点； （2）直线和圆相切d r ，直线与圆有唯一交点； （3）直线和圆相交d r ，直线与圆有两个交点。
3．两圆的位置关系设R 、r 为两圆的半径，d 为圆心距 （1）两圆外离d R r ； （2）两圆外切d R r ； （3）两圆相交R r d R r R r ；（4）两圆内切d R r R r ；（5）两圆内含dR r Rr 。
（注意：如果为0d ，则两圆为同心圆。
） 4. 切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA 且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
5. 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
与圆有关的位置NMOBO即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠【例2】 已知⊙O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为d ，若关于x 的方程x 2－2x ＋d =0有实根，则点P ( )． A ．在⊙O 的内部 B ．在⊙O 的外部 C ．在⊙O 上 D ．在⊙O 上或⊙O 的内部【答案】D【例3】 已知：如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点．求证：OP 垂直平分线段AB ． 【答案】略【例4】 已知：如图，PA 切⊙O 于A 点，PO ∥AC ，BC 是⊙O 的直径．请问：直线PB 是否与⊙O 相切?说明你的理由．【答案】直线PB 与⊙O 相切．提示：连结OA ，证ΔPAO ≌ΔPBO【例5】已知：如图，⊙O 1与⊙O 2外切于A 点，直线l 与⊙O 1、⊙O 2分别切于B ，C 点，若⊙O 1的半径r 1=2cm ，⊙O 2的半径r 2=3cm ．求BC 的长． 【答案】cm 62．提示：分别连结O 1B ，O 1O 2，O 2C ．【例6】如图，点A ，B 在直线MN 上，AB =11cm ，⊙A ，⊙B 的半径均为1cm ．⊙A 以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r (cm)与时间t (s )之间的关系式为r =1＋t (t ≥0)．(1)试写出点A ，B 之间的距离d (cm)与时间t (s )之间的函数表达式； (2)问点A 出发多少秒时两圆相切?【答案】(1)当0≤t ≤5.5时，d ＝11－2t ；当t >5.5时，d ＝2t －11．(2) ①第一次外切，t ＝3；②第一次内切，;311=t ③第二次内切，t ＝11；④第二次外切，t ＝13．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD【例7】在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.垂径定理及推论OCDAB【答案】4159【例8】如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.【答案】提示：连接OF ，证明,,ADO FOE BOE 是全等三角形。
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒【例9】已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∠ACD =30°，AE =2cm ．求DB 【答案】cm.34【例10】已知：如图，⊙O 的直径AE =10cm ，∠B =∠EAC ．求AC 的长． 【答案】提示：连结CE ．不难得出cm .25=AC与圆有关的计算圆周角定理OAEF CBAOCBAOCAO1． 圆周长：2c R 2． 弧长：180n Rl ； 3． 圆面积：2SR ；4． 扇形面积：212360n R S lR扇形＝；【例11】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为( )．A ．2πcm 100B ．2πcm 3400C ．2πcm 800D ．2πcm 3800【答案】D【例12】已知：如图，以线段AB 为直径作半圆O 1，以线段AO 1为直径作半圆O 2，半径O 1C交半圆O 2于D 点．试比较与的长．【答案】的长等于的长．提示：连结O 2D ．1.相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅ 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比 例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥，∴2CE AE BE =⋅2. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅3. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每圆幂定理O EDCADCBPAO条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线∴PC PB PD PE ⋅=⋅【例13】如图，P 是⊙O 外一点，PC 切⊙O 于点C ，PAB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，如果PA ：PB ＝1：4，PC ＝12cm ，⊙O 的半径为10cm ，则圆心O 到AB 的距离是___________ 【答案】91.正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =； 2.正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =： 3.正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA =.【例13】已知正多边形的边长为a 与外接圆半径R 之间满足12<<aR，则这个多边形是（ ） A. 正三边形 B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形【答案】C提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有R a R <<2 因为a R 6=，a R 42=，所以a a a 64<< 则a a a 654<<，是正五边形，应选C 。
【例1】若P 为半径长是6cm 的⊙O 内一点，OP ＝2cm ，则过P 点的最短的弦长为( )．A ．12cmB ．cm 22C ．cm 24D ．cm 28【答案】D【例2】若⊙O 的半径长是4cm ，圆外一点A 与⊙O 上各点的最远距离是12cm ，则自A 点所引⊙O 的切线长为( )．A ．16cmB ．cm 34C ．cm 24D ．cm 64课后练习题正多边形与圆【答案】B【例3】⊙O 中，∠AOB ＝100°，若C 是上一点，则∠ACB 等于( )．A ．80°B ．100°C ．120°D ．130° 【答案】A【例4】三角形的外心是( )．A ．三条中线的交点B ．三个内角的角平分线的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条高的交点 【答案】C【例5】如图，A 是半径为2的⊙O 外的一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，点B 是切点，弦BC ∥OA ，则的长为( )．7题图A ．π32B ．π38C ．πD ．3π32+【答案】A【例6】如图，图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B 点，甲虫沿，，，路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是( )．8题图A ．甲先到B 点 B ．乙先到B 点C ．甲、乙同时到B 点D ．无法确定 【答案】C【例7】如图，同心圆半径分别为2和1，∠AOB ＝120°，则阴影部分的面积为( )．9题图A ．πB ．π34C ．2πD ．4π【答案】C【例8】如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC ＝60°，则∠B ＝______． 【答案】30【例9】如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为________． 【答案】cm.32【例10】已知：如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于C 点，AB ＝12cm ．求两个圆之间的圆环面积．【答案】36?cm 2．提示：连接OC,OA.【例11】如图，在桌面上有半径为2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？【答案】设三个圆的圆心为O 1、O 2、O 3，连结O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm 的正△O 1O 2O 3，则正△O 1O 2O 3外接圆的半径为334 cm ，所以大圆的半径为334+2=3634+【例12】如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．（1）求证：BA·BM=BC·BN；（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．【答案】（1）证明：连接MN则∠BMN=90°=∠ACB，∴△ACB∽△NMB，∴BC ABBM BN，∴AB·BM=BC·BN（2）解：连接OM，则∠OMC=90°，∵N为OC中点，∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，∵OM=OB，∴∠B=12∠MON=30°．∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6。
