下载文档原格式
第一章函数与极限初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量，所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法，本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的一些性质。
一、本章主要内容：1、数列极限的定义，函数极限的定义，函数的左右极限。
2. 极限的性质，函数的极限与其左右极限的关系，极限的唯一性，局部有界性，保号性。
3. 无穷小和无穷大的概念、性质极其运算、无穷小的比较。
4．极限的四则运算、复合运算、等价无穷小代换。
5．极限存在的两个准则与两个重要极限，（1）单调有限准则，重要极限（2）夹逼准则，重要极限6．函数的连续性概念和间断点的类型7．闭区间上连续函数的性质：最大（小）值定理、有界性定理、零点定理、介值定理。
二、内容提要框图三本章重点1. 正确理解函数与复合函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图象．2. 建立极限概念与理解ε－N方法, 函数极限的概念与ε－δ方法3. 无穷小的概念与性质4. 单调有界法则与两个重要极限及其应用5. 初等函数的连续性及其应用四本章难点1. 反函数概念，由实际问题建立函数关系式与求分段的复合函数的关系式．2. ε－N, ε－δ极限定义证明法3. 理解无穷小，无穷小与任意小、充分小、很小的数的区别4. 两个重要极限公式，分清各公式的特点及适用时机．5. 闭区间上连续函数的几条性质．第一节映射与函数学习指导1．教学目的读者应理解集合、映射的概念；理解函数概念，了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性，了解反函数概念。
2．基本练习会求函数的定义域，会求函数的反函数。
会判断函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性；熟练掌握基本初等函数的图形和性质。
会把复合函数分解成基本初等函数的组合。
3．应注意的事项本节内容大多数中学阶段已经学过，此处为了教学方便，将中学阶段的内容加以归纳，扩充，提高。
学生可根据自己的知识结构进行复习、有重点地学习，对教材上的练习题，先阅读题目，再适当选做部分练习题。
第一章：第1节： 1A 。
2D 。
3A 。
4x y =。
5．21)(nxx x f n +=。
6．当2/10<<a 时，定义域为]1,[a a -；当2/1>a 时，定义域为空集；当2/1=a 时，定义域2/1=x 。
7．)1ln()(x x -=ϕ，定义域为}0|{≤x x 。
第2节： 1D 。
2C 。
3B 。
4．证明：由定义知0>∀ε，N N ∈∃，使得当n N >时，有||n u a ε-<成立。
注意到a u a u n n -≤-。
因此当n N >时，有ε<-≤-a u a u n n 。
即||||lim a u n n =∞→。
反过来若1||lim =∞→n n u ，则n n u ∞→lim 不一定存在。
比如(1),n n u =-则n n u ∞→lim 不存在，但1||lim =∞→n n u 。
若0||lim =→∞n n u ，则由00-=-n n u u 知0lim =∞→n n u 。
第3节：1A 。
2B 。
3D 。
4C 。
5C 。
第4节： 1D 。
2D 。
3D 。
4C 。
5D 。
6．证：假设函数xx y 1sin 1=在区间]1,0(上有界，则0,M ∃>使得函数11sin y M x x =≤。
若取2/)1]([21ππ++=M x ，则有M M y >++=2/)1]([2ππ矛盾。
所以在区间]1,0(上无界，但也不是+→0x 时的无穷大。
因为若取πk x 21=（N k ∈），则当+∞→k 时，+→0x ，而此时0≡y 不是无穷大。
第5节： 1A 。
2C 。
3B 。
4B 。
5．1。
6．21。
7。
a 21-。
8．1。
9．2。
10．21。
11．6。
12．1,1-==b a 第6节： 1C 。
2D 。
3B 。
4．3。
5．3/5。
6．0 。
7．由于()nnn n11333213⋅<++<，所以由夹逼定理可得()3321lim 1=++∞→nn nn 。
