高等数学(上册)第一章

高等数学上册第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。

间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→Ax f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换）4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- （a x a xln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （a xx a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

高等数学上册知识点第一章函数与极限(一) 函数1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性) ；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数f (x) 在x0连续x lim x f (x) f (x0)x x0第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

(二) 极限1、定义1) 数列极限lim x n a 0, N , n N, x n an2) 函数极限lim f (x) A 0, 0, x, 当0 x x0 时， f (x) A x x0左极限： f(x 0 ) lim f (x)右极限： f (x 0 ) lim f (x)x x 0x x 0lim f (x) A 存在f (x 0 ) f (x 0 )x x 02 、 极限存在准则 1 ) 夹逼准则： 1) y n x n z n ( n n 0 )2)lim y n lim z n ann2 ) 单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3 、 无穷小(大)量1) 定义：若lim则称为无穷小量；若 lim则称为无穷大量2 ) 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 k 阶无穷小 Th1 ~ o( );Th2 ~ , ~ ,lim 存在，则 lim lim (无穷小代换)5) 无穷小代换：( x 0)lim x n a1) 单调有界准则； 2) 夹逼准则；3) 极限运算准则及函数连续性；4) 两个重要极限：sinxlim x01b) l x im 0(1 x)xlim (1 1)xe xx4 、 求极限的方法 a1a) x ~sinx~ tanx~ arcsinx ~ arctanx第二章 导数与微分 一) 导数函数 f (x)在 x 0点可导 f (x 0) f (x 0)几何意义： f (x 0)为曲线 y f (x)在点 x 0, f (x 0) 处的切线的斜率。

高等数学上册教材第一章：导数与微分在高等数学上册教材的第一章中，我们将学习导数与微分的概念及其应用。

导数是微积分的重要概念之一，它用于描述函数在某一点的变化率。

通过导数的定义和求导法则，我们可以求得各种函数的导数，并研究函数的性质。

第一节：导数的定义与几何意义导数的定义是通过极限的概念来描述的。

如果函数f(x)在点x处的导数存在，我们称f(x)在该点可导。

导数表示了函数在这一点的瞬时变化率，也可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。

导数的几何意义在于反映曲线在某点的切线方向和斜率。

第二节：导数的运算法则导数的运算法则包括常数因子法则、和差法则、乘法法则和除法法则等。

通过这些运算法则，我们可以快速求得各种函数的导数。

此外，我们还会介绍复合函数的求导法则和反函数的求导法则。

第三节：高阶导数与隐函数求导高阶导数表示的是函数的高阶变化率，它是导数的导数。

我们将学习如何计算高阶导数，并研究函数的凹凸性与拐点。

此外，我们还会探讨隐函数的求导方法，用于求解由隐含方程定义的函数的导数。

第四节：微分与近似计算微分是导数的另一种表达形式，它用于描述函数值的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。

通过微分，我们可以进行近似计算，求得函数值的近似值。

在此节中，我们还将学习泰勒公式及其应用。

第二章：积分与定积分在高等数学上册教材的第二章中，我们将学习积分与定积分的概念和运算法则。

积分和导数是微积分的两个基本概念，它们相互关联，共同构成了微积分的重要内容。

第一节：不定积分与原函数不定积分是积分的一种形式，它表示了函数的一个无穷多个原函数。

在这一节中，我们将学习如何计算不定积分，并研究一阶线性微分方程的解法。

第二节：定积分的概念与几何意义定积分表示了函数在一个区间上的累积变化量，它的几何意义是曲线与坐标轴所围成的图形的面积。

我们将学习定积分的定义、性质以及计算方法，并探讨定积分与变限积分的关系。

第三节：定积分的运算法则定积分具有线性性质、积分区间的可加性和乘法可乘性等运算法则。

高等数学上册知识点第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。

间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2） 函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

第一章：函数、极限与连续教学目的与要求1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6.掌握极限的性质及四则运算法则。

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题）第一节：集合与函数一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。