一、选择题1．如图所示，AB 是⊙O 的直径，VA 垂直于⊙O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，M ，N 分别为VA ，VC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．MN //AB B ．MN 与BC 所成的角为45° C ．OC ⊥平面VACD ．平面VAC ⊥平面VBC2．正三棱锥底面边长为a ，高为6a ，则此正三棱锥的侧面积为（ ） A ．234a B ．232a C ．2334a D ．2332a 3．已知四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，E 为AB 的中点，将ADE 沿DE 折起，连接1A B ，1A C ，得到四棱锥1A DEBC -，M 为1A C 的中点，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是（ ）①//BM 平面1A DE ；②三棱锥M DEC -22； ③5BM =④一定存在某个位置，使1DE A C ⊥； A ．①②B ．①②③C ．①③D ．①②③④4．菱形ABCD 的边长为3，60B ∠=，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ） A ．15π B ．12π C ．8π D ．6π5．已知三棱锥A BCD -的所有棱长都为2，且球O 为三棱锥A BCD -的外接球，点M 是线段BD 上靠近D 的四等分点，过点M 作平面α截球O 得到的截面面积为Ω，则Ω的取值范围为（ ） A ．π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB AD ==，12CC =，则二面角1C BD C --的大小是（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º7．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则他们的表面积之比为（ ） A ．1：1B ．2：1C ．1：2D ．3：18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）A ．17,5]B ．[4,5]C ．[3,5]D ．17]9．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心O ，则1AC 与底面ABC 所成角的余弦值等于（ ）A ．23B 7C 6D 5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案10．已知,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．a α⊥，b β//，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，b β//，αβ⊥11．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中:①AF 与CN 是异面直线； ②BM 与AN 平行； ③AF 与BM 成60角； ④BN 与DE 平行. 以上四个命题中，正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动．若1D O OP ⊥，则11D C P △面积的最大值为（ ）A 25B 45C 5D ．2513．已知三棱锥S ABC -的体积为4，且4AC =，2224SA BC +=，30ACB ∠=︒，则三棱锥S ABC -的表面积为（ ） A ．3B ．123C ．76123D ．610314．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则a β⊥； ②若//m α，//n β，m n ⊥，则//a β； ③若m α⊥，//n β，m n ⊥，则//αβ； ④若m α⊥，//n β，//αβ，则m n ⊥. 其中所有正确的命题是（ ） A ．①④B ．②④C ．①D ．④二、解答题15．如图，三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，113CC B π∠=，平面ABC ⊥平面11BCC B ，,E F 分别为棱11A B 、BC 的中点.（1）求证：//BE 平面11A FC ； （2）求二面角111F AC B --的大小.16．如图BC ⊥BD ，AB ＝BD ，∠ABD ＝60°，平面BCD ⊥平面ABD ，E 、F 、G 分别为棱AC 、CD 、AD 中点.（1）证明：EF ⊥平面BCG ；（2）若BC ＝4，且二面角A —BF —D 的正切值为6，求三棱锥G —BEF 体积.（注意：本题用向量法求解不得分）17．如图所示正四棱锥S ABCD -，2,2SA SB SC SD AB =====，P 为侧棱SD 上的点.（1）求证：AC SD ⊥； （2）若3SAPAPDSS=，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥ 平面PAC .若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由. 18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在边BC 上，1AD C D ⊥.（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ；（2）若点E 为11B C 的中点，求证：平面1//A EB 平面1ADC .19．如图在Rt ABC △中，点M ，N 分别在线段AB ，AC 上，且//MN BC ，AB BC =，2AM MB =.若将AMN 沿MN 折起到PMN 的位置，使得60PMB ∠=︒.（1）求证：平面PBN ⊥平面BCNM ；（2）在棱PC 上是否存在点G ，使得//GN 平面PBM ？说明理由.20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，D 为1BC 中点，1AC 与1A C 交于点O .（1）求证：//OD 平面111A B C ； （2）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC .21．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD 交于点O ，6AC =，8BD =，E 是棱PC 上的动点，连接DE ．（1）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（2）当BED 面积的最小值是6时，求此时点E 到底面ABCD 的距离．22．如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积； （2）求证：AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA =求证：MN //平面DEF . 23．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，60DAB ∠=︒．点G ，H 分别在边CD ，CB 上，点G 与点C ，D 不重合，GH AC ⊥，GH 与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH 翻折到EGH 的位置，使二面角E GH B --为90°，F 是AE 的中点．（1）请在下面两个条件：①AB AD =，②AB BD ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若________，则BD ⊥平面EOA 成立，并证明．（2）在（1）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值． 24．如图，在直三棱柱111ABC A B C －中，E ，F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：//EF 平面11AA B B ；（2）若13AA ＝，23AB =，求EF 与平面ABC 所成的角．25．如图四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是等腰梯形，//CD AB ，AC 平分BAD ∠且AC BC ⊥，PC ⊥平面ABCD ，平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°．（1）求证：PA BC ⊥．（2）求二面角D PA C --的余弦值． 26．如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm ，侧棱长都相等，E 为BC 的中点，高为PO ，且30OPE ∠=︒，求该四棱锥的侧面积和表面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】由中位线性质，平移异面直线即可判断MN 不与AB 平行，根据异面直线平面角知MN 与BC 所成的角为90°，应用反证知OC 不与平面VAC 垂直，由面面垂直的判定知面VAC ⊥面VBC ，即可知正确选项. 【详解】M ，N 分别为VA ，VC 的中点，在△VAC 中有//MN AC ， 在面ABC 中ABAC A =，MN 不与AB 平行；AC BC C =，知：MN 与BC 所成的角为90BCA ∠=︒；因为OC ⋂面VAC C =，OC 与平面内交线,AC VC 都不垂直，OC 不与平面VAC 垂直； 由VA ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC 即VA BC ⊥，而90BCA ∠=︒知AC BC ⊥，AC VA A ⋂=有BC ⊥面VAC ，又BC ⊂面VBC ，所以面VAC ⊥面VBC ； 故选：D 【点睛】本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于基础题.2．A解析：A 【分析】根据条件，可计算正三棱锥的斜高，利用侧面积公式计算即可求出. 【详解】因为底面正三角形中高为2a ，其重心到顶点距离为2233a ⨯=，且棱锥高6a 22632632a a a ，斜高2221222aa a ，所以侧面积为21133224S a a a .选A. 【点睛】本题主要考查了正三棱锥的性质，侧面积公式，属于中档题.3．B解析：B 【分析】①通过线面平行的判定定理判断正确性；②求得三棱锥M DEC -的体积最大值来判断正确性；③结合①判断正确性；④利用反证法判断正确性. 【详解】①，设F 是AD 的中点，折叠过程中1F 是1A D 的中点，连接11,F M EF ， 由于M 是1A C 的中点，所以1F M 是三角形1A CD 的中位线， 所以111//,2F M CD F M CD =.由于E 是AB 的中点，所以1//,2BE CD BE CD =. 所以11//,F M BE F M BE =，所以四边形1BEF M 是平行四边形， 所以1//BM EF ，由于BM ⊄平面1A DE ，1EF ⊂平面1A DE ， 所以//BM 平面1A DE ，所以①正确. ②，由于M 是1A C 的中点，所以112M DEC A DEC V V --=. 在折叠过程中，三角形DEC 的面积为定值14242⨯⨯=， 当平面1A DC ⊥平面ABCD 时，1A 距离平面ABCD 的距离最大.过A 作AO DE ⊥，交DE 于O ，连接1A O ，则1AO DE ⊥. 当平面1A DC ⊥平面ABCD 时，由于平面1A DC 平面ABCD DE =，所以1A O ⊥平面ABCD .DE ==则1122AE AD AE AD DE AO AO DE ⋅⋅=⋅⇒===则1AO .所以三棱锥1A DEC -体积的最大值为1433⨯=，所以三棱锥M DEC -体积的最大值为1233⨯=.所以②正确.③，由①知1BM EF EF =====③正确.④，由于2224,DE CE CD DE CE CD ===+=，所以DE CE ⊥.若1DE A C ⊥，1CE AC C ⋂=， 则DE ⊥平面1A CE ，则1DE A E ⊥，根据折叠前后图象的对应关系可知14DEA DEA π∠=∠=，与1DE A E ⊥矛盾，所以④错误. 综上所述，正确的为①②③. 故选：B【点睛】本小题主要考查线面平行、几何体体积、线线垂直等知识.4．A解析：A 【分析】首先根据已知条件找到四面体外接球的球心，再求出半径，即可得到球体的表面积. 【详解】如图所示，1O ，2O 分别为ABC 和DAC △的外接圆圆心，因为菱形ABCD ，60B ∠=，所以ABC 和DAC △为等边三角形. 设E 为AC 的中点，连接DE ，BE ，则DE AC ⊥，BE AC ⊥， 又因为平面ACD ⊥平面ABC AC =，所以DE ⊥平面ABC . 分别过1O ，2O 作垂直平面ABC 和平面ACD 的直线， 则交点O 为四面体ABCD 外接球的球心.因为22333322⎛⎫==-= ⎪⎝⎭EB DE ，四边形12OO EO 为矩形， 所以123==O B DO 1213===O E O E OO ()223153=22⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭，表面积为15π. 故选：A 【点睛】本题主要考查四面体外接球的表面积，根据题意确定外接球的球心为解题关键，属于中档题.5．B解析：B 【分析】求出三棱锥A BCD -的外接球半径R ，可知截面面积的最大值为2πR ，当球心O 到截面的距离最大时，截面面积最小，此时球心O 到截面的距离为OM ，截面圆的半径的最小值为22R OM -，进而可求出截面面积的最小值. 【详解】三棱锥A BCD -是正四面体，棱长为2，将三棱锥A BCD -放置于正方体中， 可得正方体的外接球就是三棱锥A BCD -的外接球. 因为三棱锥A BCD -的棱长为2，故正方体的棱长为2， 可得外接球直径22226R =++=，故6R =， 故截面面积的最大值为2263ππ2π2R ⎛⎫= ⎪ =⎪⎝⎭. 因为M 是BD 上的点，当球心O 到截面的距离最大时，截面面积最小， 此时球心O 到截面的距离为OM ，△OBD 为等腰三角形， 过点O 作BD 的垂线，垂足为H ，222662,122OD OH OD HD ⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 得222113244OM OH HM =+=+=， 则所得截面半径的最小值为22633444R OM -=-=， 所以截面面积的最小值为233ππ()44=. 故Ω的取值范围为3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B. 【点睛】外接球问题与截面问题是近年来的热点问题，平常学习中要多积累，本题考查学生的空间想象能力、推理能力及计算求解能力，属于中档题.6．A解析：A 【分析】取BD 中点为O ，1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影，易知CO BD ⊥，再利用线面垂直证明1BD C O ⊥，得到1COC ∠即二面角1C BD C --，再计算二面角大小即可. 【详解】由题意，作出长方体1111ABCD A B C D -的图象， 取BD 中点为O ，连接CE 、1C E ，因为1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影， 又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥，因为23AB AD ==，所以四边形ABCD 是正方形，O 为BD 中点，所以CO BD ⊥，又1CO CC C =，所以BD ⊥平面1COC ，又1C O ⊂平面1COC ，所以1BD C O ⊥，1COC ∠即二面角1C BD C --，又12CC =，()()2223236CO +==，所以123tan 36COC ∠==，130COC ∠=.故选：A 【点睛】本题主要考查二面角的求法和线面垂直的判定定理和性质，考查学生空间想象能力，属于中档题.7．B解析：B 【分析】分别计算圆柱和圆锥的表面积，相比得到答案.圆柱的表面积22 13222aS a a aπππ⎛⎫=⋅+⋅=⎪⎝⎭；圆锥的表面积22213224aS a a aπππ⎛⎫=⋅+=⎪⎝⎭，故1221SS=.故选：B.【点睛】本题考查了圆柱和圆锥的表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8．A解析：A【分析】取11A D中点E，取1DD中点F，连接EF、1C E、1C F，证明平面//CMN平面1C EF 后即可得P∈线段EF，找到取最值的情况求解即可得解.【详解】取11A D中点E，取1DD中点F，连接EF、1C E、1C F，由//EF MN，1//C E CM，1EF C E E=可得平面//CMN平面1C EF，P是侧面四边形11ADD A内一动点（含边界），1//C P平面CMN，∴P∈线段EF，∴当P与EF的中点O重合时，线段1C P长度取最小值1C O，当P与点E或点F重合时，线段1C P长度取最大值1C E或1C F，在长方体1111ABCD A B C D-中，18AA=，3AB=，8AD=，点M是棱AD的中点，点N是棱1AA的中点，∴221max11345C P C E C F===+=，42EF=，2221min1125(22)17C P C O C E EO==-=-=.∴线段1C P长度的取值范围是[17,5].故选：A.本题考查了长方体的特征及面面平行的性质与判定，考查了空间思维能力，属于中档题.9．B解析：B 【分析】连接1,,,OA OB OC AC ，设侧棱与底面边长都等于a ，计算3AO a OC ==，163A O a =，1AC a =，13AC a =，再根据点1C 到底面ABC 的距离等于点1A 到底面ABC 的距离，求解1AC 与底面ABC 所成角的正弦值，即可.【详解】如图所示，设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都等于a . 连接1,,,OA OB OC AC ，则33AO a OC ==. 在1Rt A OA ∆中，22211A A A O OA =+，得163A O a =. 在1Rt AOC ∆中，222211A C A O OC a =+=，即1AC a =， 则1A AC ∆为等边三角形，所以160A AC ∠=. 在菱形11ACC A 中，得111120,3AAC AC a ∠==.又因为点1C 到底面ABC 的距离等于点1A 到底面ABC 的距离163A O a =所以1AC 与底面ABC 62333aa=. 即1AC 与底面ABC 所成角的余弦值为7.故选：B 【点睛】本题考查直线与平面所成角的问题，属于中档题题.10．C【分析】在A 中，a 与b 可以成任意角；在B 中a 与b 是平行的；在C 中，可得b α⊥，从而得到a b ⊥；在D 中，可得a 与b 可以成任意角，从而得到正确结果.【详解】由a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，在A 中，a α⊥，b β//，αβ⊥，因为b 的方向不确定，则a 与b 可以成任意角，故A 错误；在B 中，a α⊥，b β⊥，//αβ，根据对应的性质可知，可知a 与b 是平行的，故B 错误；在C 中，由a α⊂，b β⊥，//αβ，可知b α⊥，由线面垂直的性质可知a b ⊥，故C 正确；在D 中，a α⊂，b β//，αβ⊥，可得a 与b 可以成任意角，故D 错误． 故选：C. 【点睛】该题考查线线垂直的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，在解题的过程中，注意结合图形去判断，属于中档题目．11．A解析：A 【分析】将正方体的展开图还原为正方体ABCD -EFMN ，对选项逐一判断，即得答案. 【详解】将正方体的展开图还原为正方体ABCD -EFMN ，如图所示可得：AF 与CN 是异面直线，故①正确； 连接AN ，则BM 与AN 平行，故②正确；//,BM AN NAF ∴∠是异面直线AF 与BM 所成的角，NAF 为等边三角形，60NAF ∴∠=，故③正确；BN 与DE 是异面直线，故④错误. 故选：A .本题考查空间两直线的位置关系，属于基础题.12．C解析：C 【分析】取1BB 的中点F ，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，由线面垂直的判定与性质可得1OD CF ⊥，进而可得点P 的轨迹为线段CF ，找到1C P 的最大值即可得解.【详解】取1BB 的中点F ，连接OF 、1D F 、CF 、1C F ，连接DO 、BO 、OC 、11D B 、1D C ，如图：因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 所以11B F BF ==,2DO BO OC ===11122D B DC ==1BB ⊥平面ABCD ，1BB ⊥平面1111D C B A ，11C D ⊥平面11BB C C ，所以22116OD OD DD =+=223OF OB BF =+=2211113D F D B B F =+=，所以22211OD OF D F +=，22211OD OC D C +=，所以1OD OC ⊥，1OD OF ⊥， 由OCOF O =可得1OD ⊥平面OCF ，所以1OD CF ⊥，所以点P 的轨迹为线段CF ， 又221111152C F B C B F C C =+=>=,所以11D C P △面积的最大值1111125522S C F D C =⋅=⨯=. 故选：C.本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点P 的轨迹，属于中档题.13．B解析：B 【分析】设h 为底面ABC 上的高，,SA m BC n ==，根据体积可得12nh =，结合222m n mn +≥及基本不等式等号成立条件，可得12m n h ===，进而可得SA ⊥面ABC ，再通过计算求出每个面的面积即可. 【详解】解：如图：h 为底面ABC 上的高，设,SA m BC n ==，则1114sin 304332S ABC ABCV S h n h -==⨯⨯⨯⨯︒⨯=， 得12nh =，,12m h mn ≥∴≥，又22242m n mn =+≥，得12mn ≤， 所以12mn =，故12m n h ===，SA ∴⊥面ABC ，在ABC 中22341224124AB =+-⨯=，则2AB =， 在Rt ABS 中22124SB =+=，在Rt ACS 中121628SC =+=所以在SBC 中，222SC SB BC =+，则SBC 为直角三角形， 三棱锥S ABC -的表面积11111=223+423+423+423=12322222S ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 故选：B. 【点睛】本题考查棱锥表面积的计算，关键是通过基本不等式的等号成立条件得到SA ⊥面ABC ，14．A解析：A 【分析】①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α再由面面垂直的判定定理得到结论．②根据面面平行的判定定理判断．③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，再由面面平行的判定定理判断．④若m α⊥，//αβ，由面面平行的性质定理可得m β⊥，再由//n β得到结论． 【详解】①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α，又∵n β⊥，∴a β⊥,故正确．②若//m α，//n β，由面面平行的判定定理可知，若m 与n 相交才平行，故不正确． ③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，又//n β，两平面不一定平行，故不正确． ④若m α⊥，//αβ，则m β⊥，又∵//n β，则m n ⊥．故正确． 故选：A 【点睛】本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系及垂直与平行的判定定理和性质定理，综合性强，方法灵活，属中档题．二、解答题15．（1）证明见解析；（2）4π. 【分析】（1）要证明线面平行，根据判断定理，需证明线线平行，取11A C 的中点G ，连接,EG FG ，通过构造平行四边形，证明//BE FG ；（2）根据二面角的定义，可证明1FGB ∠就是二面角11F A C B --的平面角，1FGB 中，根据边长求角.【详解】 证明：（1）取11A C 的中点G ，连接,EG FG ， 于是111//2EG B C ，又111//2BF B C ，所以//BF EG ，所以四边形BFGE 是平行四边形，所以//BE FG ，而BE ⊄面11A FC ，FG ⊆面11A FC ， 所以直线//BE 平面11A FC ；（2）连接11,FB B G ，∵ 四边形11BCC B 为菱形，01160CC B ∠=，F 为BC 的中点，∴111FB B C ⊥，∵平面ABC ⊥平面11BCC B ，且平面//ABC 平面111A B C ，∴平面111A B C ⊥平面11BCC B ， 且平面111A B C 平面1111BCC B B C =，∴1FB ⊥平面111A B C ，又111B G AC ⊥，∴11FG AC ⊥， ∴1FGB ∠就是二面角11F A C B --的平面角，设棱长为2，则11FB BG ==∴14FGB π∠=，∴二面角11F A C B --的大小为4π. 【点睛】方法点睛：本题考查了线面平行的判断定理，以及二面角的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.16．（1）证明见解析 （2 【分析】（1）由平面BCD ⊥平面ABD ，可得BC ⊥平面ABD ，从而可证AD ⊥平面BCG ，又//EF AD ，可证.（2）过A 作AM BD ⊥于点M ，M 为BD 的中点,过M 作MN BF ⊥于点N ，连接AN, 可得AM ⊥平面BCD ,则AM BF ⊥,从而BF ⊥平面AMN .从而ANM ∠为二面角A —BF —D 的平面角，再求三角形边长进行计算得出答案. 【详解】（1）由平面BCD ⊥平面ABD ，且平面BCD 平面ABD BD = 又BC ⊥BD ，BC ⊂平面BCD ，所以BC ⊥平面ABD 又AD ⊥平面ABD ，则BC AD ⊥ 又AB BD =, G 为AD 中点，则BG AD ⊥ 而BG BC B ⋂=,则AD ⊥平面BCG 又E 、F 分别为棱AC 、CD 中点，则//EF AD 所以EF ⊥平面BCG ；（2）由AB ＝BD ，∠ABD ＝60°，则ABD △为正三角形.过A 作AM BD ⊥于点M ，M 为BD 的中点,过M 作MN BF ⊥于点N ，连接AN 由平面BCD ⊥平面ABD ，且平面BCD 平面ABD BD =，可得AM ⊥平面BCD . 所以AM BF ⊥,从而BF ⊥平面AMN . 所以ANM ∠为二面角A —BF —D 的平面角. 设AB a ，在RT AMN 中，311,,sin 22AM a BM a MN a DBF ===∠所以32tan 61sin 2a AMANM MN a DBF∠===∠ 则2sin 2DBF ∠=，则4DBF π∠=所以RT BCD 为等腰直角RT ，4BD BC ==由//EF AD ，EF ⊄平面BEF ,AD ⊂平面BEF ,则//EF 平面BEF 则21111143423244323G BEF D BEF E BDF A BDF A BCD V V V V V -----=====⨯⨯⨯⨯=所以三棱锥G —BEF 体积为433.【点睛】关键点睛：本题考查线面垂直的证明和根据二面角的大小解决体积问题，解答本题的关键是利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，由平面BCD ⊥平面ABD ，过A 作AM BD ⊥于点M ，可得AM ⊥平面BCD ，从而得出ANM ∠为二面角A —BF —D 的平面角，属于中档题.17．(1)证明见解析.(2) 侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SEEC=时，//BE 平面PAC . 【分析】（1）连结,AC BD 相交于点O ，可得AC ⊥平面BSD ，从而可证.（2）取点F 为SD 的中点，可得//BF OP ，过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE ，可得平面//BEF 平面ACP ，可得//BE 平面PAC ，从而得出答案.【详解】连结,AC BD 相交于点O , 由棱锥S ABCD -为正四棱锥 则SO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ,所以SO AC ⊥又棱锥S ABCD -为正四棱锥，则四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥ 由BD SO O ⋂=,所以AC ⊥平面BSDSD ⊂平面BSD ，所以AC SD ⊥（2）侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SEEC=时，//BE 平面PAC . 由3SAPAPDSS=，可得3SP PD =取点F 为SD 的中点，则点P 为FD 的中点,又O 为BD 的中点 所以在BFD △中，//BF OP .BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，则//BF 平面ACP 过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE由EF ⊄平面ACP ，PC ⊂平面ACP ，则//EF 平面ACP 又EFBE E =，所以平面//BEF 平面ACP又BE ⊂平面BEF ,则//BE 平面PAC . 由//FE PC ，则SE SFEC FP=, 由3SP PD =，F 为SD 的中点，则2SF FP =，所以2SEEC = 所以侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SEEC=时，//BE 平面PAC .【点睛】关键点睛：本题考查线线垂直的证明和平行线性的探索性问题，解答的关键是过点B 构造一个平面使之与平面ACP 平行，则所构造的平面与SC 的交点即为所求，即取点F 为SD 的中点，可得//BF OP ，过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE ，可得平面//BEF 平面ACP ，构造出所需的平面，本题还可以建立空间坐标系利用向量方法求解，属于中档题.18．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由正三棱柱，CC 1⊥平面ABC ，得AD ⊥CC 1又已知AD ⊥C 1D ，利用线面垂直的判定定理得到结论．（2）连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，推导出OD //A 1B ，由点E 是B 1C 1的中点，可得BD //EC 1，且BD =EC 1，即BE //DC 1，由BE ∩A 1B ＝B ，DC 1∩OD ＝D ，即可证明平面A 1EB //平面ADC 1． 【详解】（1）在正三棱柱中，CC 1⊥平面ABC ，AD ⊆平面ABC ，∴AD ⊥CC 1．又AD ⊥C 1D ，CC 1交C 1D 于C 1，且CC 1和C 1D 都在面BCC 1B 1内，∴AD ⊥平面BCC 1B 1． （2）连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 在棱BC 上，AD ⊥C 1D ，且AD 平面C 1AD ，∴平面C 1AD ⊥平面B 1BCC 1，∴D 是BC 中点，O 是A 1C 中点，∴OD //A 1B ， ∵点E 是B 1C 1的中点，D 是BC 中点，∴BD //EC 1，且BD =EC 1， ∴四边形BDEC 1 为平行四边形，BE //DC 1，∵BE ∩A 1B ＝B ，DC 1∩OD ＝D ， 且A 1B ，BE ⊂平面A 1EB ，DC 1，OD ⊂平面ADC 1，∴平面A 1EB //平面ADC 1．【点睛】方法点睛：（1）证线面垂直的常用方法：判定定理，向量法，面面垂直的性质定理； （2）证面面平行的常用方法：判定定理，向量法，面面平行的性质定理. 19．（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析. 【分析】（1）证明PB BM ⊥，由线面垂直证明MN PB ⊥，然后由线面垂直的判定定理可得线面垂直，然后有面面垂直；（2）过点N 作//NH BM ，交BC 于点H ，再过点H 作GH //PB ，交PC 于点G ，可得两个线面平行，从而得面面平行，于是可得//GN 平面PMB ，同时得出13CG CP =． 【详解】解：（1）在Rt ABC △中，由AB BC =可知，BC AB ⊥. 因为//MN BC ，所以MN AB ⊥.翻折后垂直关系没变，仍有MN PM ⊥，MN BM ⊥. 又PM BMM ⋂=，所以MN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，则MN PB ⊥，又60PMB ∠=︒，可令2PM =，则1BM =，由余弦定理得3PB =.所以222PB BM PM +=，即PB BM ⊥.又因为BMMN M =，所以PB ⊥平面BCNM .又因为PB ⊂平面PBM ，所以平面PBM ⊥平面BCNM .（2）在PC 上是存在一点G ，当13CG CP =时，使得//GN 平面PMB . 证明如下：过点N 作//NH BM ，交BC 于点H ，则四边形BMNH 是平行四边形， 且2MN BH ==，1CH =.又由NH ⊄平面PBM ，BM ⊂平面PBM 知，//NH 平面PBM .再过点H 作GH //PB ，交PC 于点G ，则13CH CG CB CP ==. 又由GH ⊄平面GHN ，PB ⊂平面PBM 知，//GH 平面PBM .又NH ⊂面GHN ，GH ⊂面GHN ，GH HN H ⋂=， 所以平面//GHN 平面PBM .又GN ⊂平面PBM ，所以//GN 平面PBM .【点睛】关键点点睛：本题考查证明面面垂直，线面平行，解题方法根据面面垂直的判定定理证明垂直，根据面面平行的性质定理证明线面平行．要注意立体几何中证明平行与垂直的方法很多，解题时注意线线、线面、面面平行（垂直）间的相互转化． 20．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）连接1B C ，可知点D 为1B C 的中点，利用中位线的性质可得出11//OD A B ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出四边形11AAC C 为菱形，可得出11AC AC ⊥，证明出BC ⊥平面11AAC C ，可得出1AC BC ⊥，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）如下图所示，连接1B C ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC 且11BB CC =，则四边形11BB C C 为平行四边形，D 为1BC 的中点，则D 为1B C 的中点，同理可知，点O 为1A C 的中点，11//OD A B ∴，OD ⊄平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，因此，//OD 平面111A B C ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，11//AA CC 且11AA CC =， 所以四边形11AAC C 为平行四边形，1AC CC =，所以，平行四边形11AAC C 为菱形，则11AC AC ⊥，1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1BC CC ∴⊥，BC AC ⊥，1AC CC C =，BC ∴⊥平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，1AC BC ∴⊥， 1AC BC C =，1AC ∴⊥平面1A BC ，1AC ⊂平面1AC B ，因此，平面1AC B ⊥平面1A BC .【点睛】方法点睛：证明面面垂直的常用方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，可假设两个平面垂直成立，利用面面垂直的性质定理转化为线面垂直，即可找到所要证的线面垂直，然后组织论据证明即可. 21．（1）证明见解析；（2）334． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证得BD ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定定理可得证．（2）由（1）知BD ⊥平面PAC ，根据三角形的面积公式求得()min 32OE =，作//EH PA 交AC 于H ，可得EH ⊥平面ABCD ，从而求得点E 到底面ABCD 的距离． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥．PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥．又PA AC A =，∴BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PAC ．（2）解：如图（1），连接OE ，由（1）知BD ⊥平面PAC ，OE ⊂平面PAC ．BD OE ∴⊥．∵8BD =，由()min 162BDE S BD OE =⋅⋅=△，得()min 32OE =，∵当OE PC ⊥时，OE 取到最小值32，此时2222333322CE OC OE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭． 作//EH PA 交AC 于H ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴EH ⊥平面ABCD ， 如图（2），由334OE CE EH OC ⋅==，得点E 到底面ABCD 的距离33．【点睛】本题考查线面垂直的判定和面面垂直的判定定理，以及求点到面的距离，关键在于逐一满足判定定理所需的条件，在求点到面的距离时，可以采用几何法，由题目的条件直接过已知点作出面的垂线，运用求解三角形的知识，求点到面的距离，属于中档题. 22．（133a ；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）根据三棱锥的体积公式计算；（2）证明AC 与EF 和DF 垂直，然后可得线面垂直；（3）连接CM 交DE 于点H ，证明//MN FH 即可得线面平行． 【详解】（1）由题意234BCD S a =△，231133·33412D ABC A DBC DBCV V SAB a a a --===⨯⨯=； （2）由AB ⊥平面BCD ，得,AB BC AB BD ⊥⊥，AB BC a ==，则2AC AD a ==，如图，在ADC 中，取CD 中点G ，连接AG ，则AG DC ⊥， ∵3AF FC =，∴24CF a =，又12CG a =，∴CF CDCG CA =，C ∠公用，∴CDF ∽CAG ，∴90CFD CGA ∠=∠=︒，即AC DF ⊥，取AC 中点K ，连接BK ，则BK AC ⊥， 又由3AF FC =得12CF CK =，而12CE CB =，∴//EF BK ，∴EF AC ⊥，EF DF F =，∴AC ⊥平面DEF ；（3）连接CM 交DE 于点H ，∵,M E 分别是,BD BC 中点，∴H 是DBC △的重心，23CH CM =， 又38CN AC =，14CF AC =，∴23CF CN =，即CF CH CN CM =， ∴//HF MN ，HF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，∴//MN 平面DEF ．【点睛】关键点点睛：本题考查求棱锥的体积，考查证明线在垂直与线面平行，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键．证明时定理的条件缺一不可，一般都需一一证明列举出来，才能得出相应的结论．23．（1）答案见解析；（2）11. 【分析】（1）选择①，结合直二面角的定义，证明BD ⊥平面EOA 内的两条相交直线,EO AO ；（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则AC =CO x =，可得EB 关于x 的函数，求出EB 取得最小值时x 的值，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，求出sin QBF ∠的值，即可得答案； 【详解】解：（1）命题P ：若AB AD =，则BD ⊥平面EOA . ∵AC GH ⊥，∴AO GH ⊥，EO GH ⊥， 又二面角E GH B --的大小为90°， ∴90AOE ∠=︒，即EO AO ⊥， ∴EO ⊥平面ABCD ， ∴EO BD ⊥，又AB BC =，∴AO BD ⊥，AO EO O =，∴BD ⊥平面EOA .（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则AC =设CO x =，OM x =，222216OB OM MB x =+=-+，2222216EB EO OB x =+=-+，当x =min EB =连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ， 由（1）知BD ⊥平面EOA ， ∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ， ∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角，在Rt EMB 中，EB =2BM =，EM =AE =，由()2222(2)22QB AE AB BE QB +=+⇒=，2QF =∴sin QF QBF QB ∠==，即QB 与平面EBD .【点睛】求线面角首先要根据一作、二证、三求找出线面角，然后利用三角函数的知识，求出角的三角函数值即可.24．（1）证明见解析；（2）60°． 【分析】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，推导出四边形1DFEA 是平行四边形，从而1//A D EF ，由此能证明//EF 平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，则EFH ∠为EF 与面ABC 所成角，由此能求出EF 与平面ABC 所成的角． 【详解】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，在ABC ∆中，D 、F 为中点，1//2DF AC =∴， 又11//A C AC ，且11112A E AC =，1//DF A E =∴， ∴四边形1DFEA 是平行四边形，1//A D EF ∴，1A D ∴⊂平面11AA B B ，EF ⊂/平面11AA B B ，//EF ∴平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，1//EH AA ，1AA ⊥面ABC ，EH ∴⊥面ABC ，EFH ∴∠为EF 与面ABC 所成角，在Rt EHF ∆中，3FH =13EH AA ==， tan 3tan 603HFE ∴∠=︒，60HFE ∴∠=︒，EF ∴与平面ABC 所成的角为60︒．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数形结合思想，是中档题． 25．（1）证明见解析；（2）34. 【分析】（1）根据PC ⊥平面ABCD ，得PC BC ⊥,又BC AC ⊥，得BC ⊥平面PCA ，得证. （2）以C 为原点建立空间直角坐标系,求平面ABCD 法向量，设()0,0,P a ，设平面PAB 法向量,根据平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°得到a ,可得平面PAC 和平面PAD 的法向量，利用向量公式可得结果. 【详解】（1）证明：因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC BC ⊥． 又因为BC AC ⊥，PC AC C ⋂=，所以BC ⊥平面PCA ，PA ⊂平面PCA ，所以BC PA ⊥．（2）证明：等腰梯形ABCD 中，设1BC =．因为BC AC ⊥且AC 平分BAD ∠，12BAC DAC CBA ∠=∠=∠，13+=+==9022CBA BAC CBA CBA CBA ∠∠∠∠∠︒，则=60CBA ∠︒，30CAB ∠=︒，所以2AB =，3AC =30BAC DCA CAD ∠=∠=∠=︒，则DCA △中1CD AD ==．以C 为原点，以CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．()0,0,0C ，()1,0,0B ，()3,0A ，13,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P a ，平面ABCD 法向量()00,0,1n =，设平面PAB 法向量为()1,,n x y z =,()1,0,PB a =-，()1,3,0AB =-有1100n PB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即030x az x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，令3z =所以(1=33n a a ,，12231cos60cos ,243n n a ︒===+，所以32a =，平面PAC 法向量()21,0,0n =，133,,222PD ⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭,30,3,2PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,平面PAD 法向量()3111,,n x y z =， 3300n PD n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111113302223302x y z y z ⎧-+-=⎪⎪⎪-=⎪⎩，令12z =，所以()3-3,3,2n =． 233cos ,4934n n ==++，所以二面角D PA C --的余弦值为34．【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直,考查利用空间向量求二面角的夹角的余弦值,考查空间思维能力和转化能力,属于中档题. 26．()232cm ，()248cm【分析】根据直角三角形边角关系得出PE ，结合三角形面积公式得到侧面面积和表面积. 【详解】 如图，2,30OE cm OPE ︒=∠=，∴在Rt POE 中，4sin 30OEPE ︒==． PB PC =，E 为BC 的中点，()21,8cm 2PBC PE BC S BC PE ∴⊥=⋅⋅=侧棱长都相等，()2432cm PBCS S∴==侧，()2321648cm S =+=全【点睛】棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和，因此，我们可以利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积．。
