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学而思奥数——重叠问题例1.把两根长为20寸的短尺用绳子捆成一根长尺，中间捆在一起的重叠部分是3寸，捆成的长尺有多少寸？例2.将两张同样长的纸粘成一张长80寸的长纸条，其中粘在一起的部分长10寸，这两张纸条各长多少寸？例3.私塾的学生人人参加比赛，有20人参加蹴鞠队，有26人参加毽子队，其中4人两种比赛都参加。
请问私塾共有学生多少人？例4.20个学生参加琵琶表演和古筝表演，其中有16人参加了琵琶表演，12人参加了古筝表演。
问两种表演都参加的学生有多少人？例5.有蓝色和红色两种珠花，每人至少选一种，共有48人，有30人选择了蓝色珠花，有13人两种都选了，那么选红色珠花的有多少人？例6.官署筛选制镜工人，总共有60人报名参加，经过一段时间的训练后，有33人学会制作了星云镜，有25人学会了制作幻境，其中机会制作星云镜又会制作幻境的有10人，那么即不会制作星云镜又不会制作幻境的有多少人？例7.学校乐队按照计划招收了42名新学员，会拉小提琴的有27人，会弹电子琴又会拉小提琴的有16人，两项都不会的有1人。
问会弹电子琴的有多少人？例8.小朋友们去喝冷饮，可以选择可乐和雪碧两种饮料，允许选择一种或两种，也可以都不选。
选可乐的有18名，不选雪碧的有15名，两种都选的有10名，两种都没有选的有多少名？练习1. 有两块木板，一块长72厘米，另一块长56厘米，如果把两块木板重叠后钉成一块木板，重叠部分是10厘米，求钉成后的木板有多长？练习2.明明用胶水将两张同样长的纸粘成了一张长为195厘米的长纸条，其中粘在一起的部分长5厘米，请问这两张纸原来各长多少厘米？练习3. 三年级同学参加科技和美术两个课外兴趣小组，参加科技兴趣小组的有36人，参加美术兴趣小组的有28人，两个兴趣小组都参加的有8人。
问：三年级一共有多少人参加兴趣小组？练习4.二年级有40名同学参加跳绳和拍球两项比赛，有12人没有获奖，其中拍球获奖的有18人，拍球和跳绳两项比赛都获奖的有10人，请问跳绳比赛获奖的有多少人？练习5. 三年级（3）班有46名学生，做对第一道思考题的有29人，两道思考题都做对的有5人，两道题都做错的有5人。
重叠问题解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数应从它们的总和中去掉（排除）重复部分。
这类问题的解答，必须从条件入手进行认真分析，有时还要画出图示，借助图形进行分析思考，找出重复部分，看一看重复几次，明确求的哪一部分，从而找出解决问题的方法。
例1一个玩具店的货架上摆了一排小熊玩具，有一只黄色的小狗摆在其中。
从前往后数，小狗是第7个，从后往前数小狗是第9个。
问：这个货架上共摆了多少只玩具？练习1某饭店门口摆了一排花篮，其中有一篮鲜花，从前往后数，这篮鲜花排在第4个，从后往前数，这篮鲜花排在第7个。
这一排共有多少篮花？练习2在一个体育用品店的货架上摆了许多个球，其中有一个篮球，从前往后数排第5个，从后往前数排在第9个，其余的为足球。
问：这个货架上共摆了多少个足球？例2同学门排队做操，一行站14个人，从前往后数，小丽排在第6个，小敏排在队后面，但不是最后，小丽与小敏中间隔了3个人。
小敏后面有几个人？练习116名同学在操场上站成一排做“传球”游戏，从左往右数，小生是第8个，小明在小生右边，两人之间相隔4人。
小明右边有几人？练习2红领巾小队的12名同学，星期天排成一队上街搞宣传，从后往前，小玲排在第3个，小云在小玲前面，两人中间相隔5人。
小云前面有几人？例3同学们进行队列比赛，每行人数同样多，小军的位置从左起是第2个，从右起是第4个，从前往后数是第7个，从后往前数是第6个。
问：参加队列比赛共有多少个同学？练习1小岚在学校合唱队里唱歌，合唱队每排人数相等。
她站的位置从前往后数在第3个，从后往前数在第6个，从左往右数在第8个，从右往左数在第7个。
学校合唱队共有多少人？练习 2 小菲在学校运动会的腰鼓队里，腰鼓队的每行人数都相等，小菲所在的位置，无论从前往后或是从后往前，还是从左往右或是从右往左都是第7位。
问这个腰鼓队共有多少名同学？例4 两块一样长的木版钉在一起共长200厘米，中间重叠部分是10厘米。
2022-2023学年小学三年级思维拓展举一反三精编讲义专题09 重叠问题知识精讲专题简析：三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。
数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
典例分析【典例分析01】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。
小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。
这行彩旗共多少面？【思路引导】根据题意，画出下图：8面10面面从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。
【典例分析02】同学们排队做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。
做操的同学共有多少个？【思路引导】根据题意，画出下图：由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。
【典例分析03】 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。
如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？【思路引导】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。
重叠问题是指在概率统计中，多个事件之间存在共同发生的可能性。
解决重叠问题的关键是正确计算相互影响的事件发生的概率。
主要知识点包括：
1. 重叠事件的概率计算：重叠事件A和B同时发生的概率P(A∩B)可以通过公式P(A∩B)=P(A)P(B|A)计算，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
2. 独立事件：如果两个事件A和B相互独立，那么事件A发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)=P(B)。
独立事件的重叠概率P(A∩B)=P(A)P(B)。
3. 互斥事件：如果两个事件A和B互斥，那么它们不可能同时发生，即P(A∩B)=0。
4. 一般重叠问题的求解方法：对于一般重叠问题，可以采用先分类后分步的方法，将问题拆分为多个互斥事件的和，然后分别计算每个互斥事件的概率，最后将这些概率相加得到结果。
5. 重叠问题的实际应用：重叠问题在实际生活中有很多应用，如保险、排队理论、可靠性工程等领域。
掌握重叠问题的解决方法对于解决实际问题具有重要意义。
重叠问题四年级练习题[题目一]小明有一串积木，其中有5个红色的积木、3个蓝色的积木和4个黄色的积木。
他将这些积木随机地叠放在一起。
如果小明将其中一个红色的积木取出来，那么剩下的积木中，红色积木的比例会发生变化吗？为什么？[解答]如果小明将其中一个红色的积木取出来，剩下的积木中，红色积木的比例会发生变化。
原本红色积木的比例为5/12，取出一个红色积木后，剩下的积木总数减少了1，而红色积木数量也减少了1。
假设取出的积木为红色积木，则剩下的积木为4个红色的、3个蓝色的和4个黄色的，即红色积木的比例变为4/11。
如果取出的积木为蓝色或黄色积木，则剩下的积木中，红色积木的比例仍为5/12。
因此，取出一个红色积木后，红色积木的比例会发生变化。
[题目二]小华有一堆彩色纸片，其中有6张红色纸片、4张蓝色纸片和5张黄色纸片。
她随机地从中取出一张纸片。
如果小华再次随机地从剩下的纸片中取出一张纸片，那么取到两张不同颜色的纸片的概率是多少？[解答]小华第一次取出纸片后，纸片的颜色会减少。
第一次取出纸片后，剩下的纸片中红色纸片的数量为5张，蓝色纸片的数量为4张，黄色纸片的数量为5张。
因此，第二次取到两张不同颜色的纸片的概率为：(红色纸片数/总数) × (非红色纸片数/总数)= (6/15) × [(4+5)/(15-1)]= (6/15) × (9/14)= 54/210= 9/35所以，取到两张不同颜色的纸片的概率为9/35。
[题目三]小李手里有一堆卡片，其中有9张红色卡片、6张蓝色卡片、4张黄色卡片和5张绿色卡片。
他每次从中随机取出一张卡片，记录所取卡片的颜色，然后将所取的卡片放回。
小李重复这个过程3次，每一次的所取的卡片颜色都与其他次取卡片的颜色不同。
那么小李这3次取卡片的颜色都不相同的概率是多少？[解答]小李每次取卡片的颜色都与其他次取卡片的颜色不同，即每次取卡片的颜色都是独立的。
第一次取卡片的颜色有24种可能（红色、蓝色、黄色、绿色中的任意一种），第二次取卡片的颜色有23种可能（剩下的三种颜色中的任意一种），第三次取卡片的颜色有22种可能（剩下的两种颜色中的任意一种）。
1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第6个。
这队小朋友共有多少人？2、学校组织看文艺演出，冬冬从左数起是第3个，从右数起是第7个。
这一行有多少个？3、同学们排队跳舞，每行人数同样多。
小红的位置无论从左数还是从右数起都是第4个，这行跳舞的共有多少人？4、小朋友们排队练舞蹈，小红的左边有6个人，右边有2个人，这一排有几个人?5、9个小朋友排队去春游，小云的前面有5个同学，小云的后面有几个同学?6、两篮鸡蛋，第一篮比第二篮多16个，从第一篮拿出（）个到第二篮，两篮鸡蛋一样多。
7、爸爸买来两箱梨，第二箱比第一箱少8个梨，爸爸要从第( ) 箱里拿出( ) 个放到第( ) 箱，两箱就一样多。
8、哥哥给弟弟4支铅笔后，哥哥与弟弟的铅笔一样多了，原来哥哥比弟弟多（）支铅笔。
9、小华有10张画片，小红有4 张画片。
小华给小红（）张画片后，她俩的画片张数相等？10、哥哥和弟弟各有一些巧克力，哥哥比弟弟多8块，要使两人的巧克力一样多，哥哥应给弟弟（）块？1、有7辆车，从左到右排成一排，从左边数警车排第四，从右边数警车排第几？2、鸭妈妈领着小鸭子在池塘里学游泳，它前面有5只鸭子，后面有4只鸭子。
一共有几只鸭子。
3、小朋友排队唱歌，我左边有3人，右边有5人，一共有多少小朋友？4、小朋友排队唱歌，我左边数排第3，右边数排第5，一共有多少小朋友？5、一群小朋友在玩游戏，小红的前面有4人，后面有5人，一共有多少人？6、两棵树上各有一些小鸟，如果从第一棵树上飞出4只小鸟到第二棵树上，那么两棵树上的小鸟就同样多。
第一棵树上的小鸟比第二棵树上的（）几只？7、小芳有15多花，她给小明3朵后，两人的花就同样多。
小明原来有（）朵花？8、甲、乙两筐都有一些西瓜，从甲筐中取出4个放入乙筐后，甲筐的西瓜还比乙筐多3个。
甲筐原来比乙筐多（）个西瓜？9、甲、乙两筐都有一些西瓜，从甲筐中取出6个放入乙筐后，甲筐的西瓜还比乙筐少2个。
第20讲重叠问题仁解题思路与参考答案）一、解题方法1 .解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当 两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。
2 .解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出 图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一 部分，从而找出解答方法。
3 .在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关 系，这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。
例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米， 如图，这两块木板各长多少厘米?解题思路: 把等长的两块木板的一端搭起来，搭 在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20 厘米，所以这两块木板的总长度是160+20 = 180 （厘米），每块木板的长度是180-2 =90 （厘米） 答：这两块木板各长90厘米。
巩固练习1.把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根 绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？4 .两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长 22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？5 . 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接 起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？ 解题过程:解：（160+20）-2= 180-2 =90 （厘米）例题2.三（2）班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5 个，巩固练习1.同学们排队表演节目，每行人数同样多，小林的位置从左数是 第6个，从右数是第1个，从前数是第3个，从后数狮第2个。
表演的同学共有 多少人？2 .小红在一张方格纸上练字，它每行、每列写的同样多，“国"字的位置从上是第4个，从下数第5个，从左数、右数都是第3个。
小红一共写了多少个 字？3 .同学们排队做操，每行、每列人数同样多，小兰的位置无论从前数，从 后数，从左数、从右数都是第5个，做操的共有多少人？例题3.三（4）班有学生48人，写完语文作业的有23人，写完数学作业的有 29巩固练习1.三(1)班有60人，每人都参加了航模或书法课外兴趣小组，参 加航模小组的有34人，参加书法小组的有40人。
重叠问题练习题有答案练习一1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。
这队小朋友共有多少人？○○○●○○○○○○如图：4＋7－1 = 102、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。
这一行座位有多少个？12＋21－1 =23、同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。
这一排共有多少个同学？8＋8－1 = 15练习二1、同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。
小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。
跳舞的共有多少人？每排有：4＋4－1 =共有：7×=492、为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。
鲜花队共多少人？从左到右人数：2＋4－1 =从前到后人数：3＋5－1 =5×=53、三班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。
三班共有学生多少人？6＋5－1 = 103＋3－1 =10×=0练习三1、把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？÷= 182、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。
中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？÷=33、两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。
另一根木棍长多少厘米？66－48＋1=0练习四1、三班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。
已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。
两项比赛都参加的有几人？36＋38－5= 192、两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？×=03、三班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不会的有10名。
小学数学重叠问题在小学数学的学习中，我们常常会遇到一种特殊的数学问题，那就是重叠问题。
这种问题通常涉及到两个或多个集合之间的重叠部分，以及这些部分与各个集合之间的关系。
解决重叠问题的关键是理解并应用集合论的基本概念和运算规则。
一、什么是重叠问题？重叠问题是指在一个集合中，另一个集合的元素与之有部分重合，或者两个集合的元素完全重合。
例如，在一群学生中，有的学生既参加数学小组也参加科学小组，这就是两个集合的重叠。
二、如何解决重叠问题？解决重叠问题的关键是正确理解和应用集合论的基本概念和运算规则。
以下是解决重叠问题的基本步骤：1、确定问题的集合：我们需要确定问题的集合，包括所有的元素和它们之间的关系。
例如，在一群学生中，我们需要确定哪些学生参加了数学小组，哪些学生参加了科学小组，以及哪些学生同时参加了两个小组。
2、识别重叠部分：接下来，我们需要识别出集合之间的重叠部分。
在上述例子中，我们需要找出哪些学生既参加了数学小组也参加了科学小组。
3、应用集合运算规则：我们需要应用集合运算规则来解决问题。
例如，如果我们想知道参加数学小组的学生总数，我们需要把只参加数学小组的学生和既参加数学小组又参加科学小组的学生都计算在内。
三、如何避免重叠问题的误解？解决重叠问题时，我们需要注意以下几点以避免误解：1、仔细阅读题目：理解题目中的每个集合和它们之间的关系是解决重叠问题的关键。
我们需要仔细阅读题目，理解每个集合的元素和它们之间的关系。
2、正确应用集合运算规则：在计算集合的元素个数时，我们需要正确应用集合运算规则，例如并集、交集等。
如果我们错误地应用了运算规则，可能会导致误解。
3、画出集合图：画出集合图可以帮助我们更好地理解集合之间的关系和重叠部分。
通过画出图形，我们可以更直观地看到哪些元素属于哪个集合，以及它们之间的重合部分。
四、例子：解决一个简单的重叠问题为了更好地理解重叠问题的解决方法，让我们看一个简单的例子。
假设在一个班级中，有30个学生，其中10个学生同时参加了数学小组和科学小组，5个学生只参加了数学小组，10个学生只参加了科学小组。
小学奥数专题-重叠问题(精华版) XXX奥数重叠问题专题日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。
重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。
学生研究奥数，一定要掌握容斥原理。
下面小编给大家分享解决重叠的方法。
1.解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
2.解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。
明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。
3.在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。
这种图称为XXX（也叫文氏图）。
4.解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。
这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。
5.容斥道理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。
容斥道理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。
一、重叠问题之长度：（1）拼接（对接）（2）搭接（3）打结题目1：（搭接正问题：求总长度）把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
中间堆叠的局部是6厘米，粘好的纸条长几何厘米？题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度）把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
(英特)加减重叠问题有的书中称为包含与排除问题，也有称为容斥原理的，英特数学教研组认为把这类问题称为加减重叠问题更好理解和记忆。
学习这个专题的捷径：可以结合圆的面积来思考、推理和记忆公式，把题目中的相关数量看着面积来理解，把应用题中的已知量对应代入到公式当中，再用加减运算方法推出公式中的未知量，问题就很快得到解决。
我们学习和考试的重叠问题不会超出两种情况，第一种情况是两个量重叠；第二种情况是三个量当中两两重叠和三个重叠。
第一讲：两个量重叠公式和理解记忆公式的图形如下：1.基础公式分析图：基础公式如下：圆A面积+圆B面积-A与B重叠部分= A和B所覆盖的面积基础公式使用方法：等式左右两边共有四个量，把题目中三个具体数量对号入座代入到公式中，再按加减的方法推算出第四个量。
基础公式表述：两圆面积和，减去重叠部分面积，等于两圆所覆盖的面积。
例1. 圆A的面积是50，圆B的面积是60，圆A、圆B重叠的面积是30。
求两圆所覆盖的总面积。
例2.英特外语学校参加英语竞赛的有50人，参加数学竞赛的有60人，既参加英语竞赛又参加数学竞赛的有30人，问参加两科竞赛的共有多少人？例3.英特外语学校参加英语和数学竞赛的共有80人，其中有50人参加英语竞赛，60人参加数学竞赛，问既参加英语竞赛又参加数学竞赛的有多少人？例4. 英特外语学校参加英语和数学两科竞赛的共有80人，其中有50人参加英语竞赛，有30人既参加英语竞赛又参加数学竞赛，问有多少人参加数学竞赛？家庭作业：自编题并求解。
方法：给出公式中已知数量，求另一数量。
1. A + B - A交B = A、B所覆盖的总面积2. 50 + 60 - 30 = ？3. 50 + 60 - ？ = 804. 50 + ？ - 30 = 805．？ + 60 - 30 = 802.通用公式分析图：通用公式如下：圆A面积+圆B面积-A与B重叠部分+两圆外的面积=长方形总面积通用公式使用方法：等式左右两边共有五个量，把题目中具体的四个数量对号入座代入到公式中，再按加减的方法推算出第五个量。
一年级重叠问题练习题及答案一年级的同学们，今天我们来做一些有趣的重叠问题练习题。
这些问题会帮助你们更好地理解数学中的重叠概念。
让我们开始吧！问题1：小明有5个苹果和3个橙子，他想把它们放在一个篮子里。
如果篮子只能放6个水果，那么小明能把所有的水果都放进去吗？答案：小明有5个苹果和3个橙子，总共8个水果。
篮子只能放6个水果，所以他不能把所有的水果都放进去。
问题2：小华有3个红色气球和2个蓝色气球，她想把它们放在一个盒子里。
如果盒子只能放4个气球，那么小华能把所有气球都放进去吗？答案：小华有3个红色气球和2个蓝色气球，总共5个气球。
盒子只能放4个气球，所以她不能把所有的气球都放进去。
问题3：小刚有4本故事书和3本图画书，他想把它们放在书架上。
如果书架只能放5本书，那么小刚能把所有书都放进去吗？答案：小刚有4本故事书和3本图画书，总共7本书。
书架只能放5本书，所以他不能把所有的书都放进去。
问题4：小丽有6块巧克力和2块糖果，她想把它们放在一个盒子里。
如果盒子只能放7块零食，那么小丽能把所有零食都放进去吗？答案：小丽有6块巧克力和2块糖果，总共8块零食。
盒子只能放7块零食，所以她不能把所有的零食都放进去。
问题5：小强有5辆玩具车和3辆玩具飞机，他想把它们放在一个盒子里。
如果盒子只能放6个玩具，那么小强能把所有玩具都放进去吗？答案：小强有5辆玩具车和3辆玩具飞机，总共8个玩具。
盒子只能放6个玩具，所以他不能把所有的玩具都放进去。
问题6：小芳有4个篮球和3个足球，她想把它们放在一个篮子里。
如果篮子只能放6个球，那么小芳能把所有球都放进去吗？答案：小芳有4个篮球和3个足球，总共7个球。
篮子只能放6个球，所以她不能把所有的球都放进去。
结束语：同学们，你们做得很棒！通过这些练习题，你们应该对重叠问题有了更深的理解。
记得，数学不仅仅是数字，它也能帮助我们解决生活中的实际问题。
继续加油，你们会越来越棒的！。
数学广角
——重叠问题
执教者：武汉市育才小学姜瑞欣
教学内容：数学课程标准实验教材人教版第六册第108页。
教学目标：使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。
使学生掌握解决重叠问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性。
将生活问题“数学化”，渗透丰富的数学文化知识，激发学生对数学学习的兴趣和热情。
教学重点：能正确运用集合思想解决问题。
教学难点：掌握解决重叠问题的一些基本策略。
教学过程：
一、复习排队、趣味导入：
1、趣味排队、导入新知：
（1）师：你们小的时候都学过排队。
那么，你们看，假设我们的陈同学就在一列队伍中。
从前数他排第5个，从后数他还排第5个。
这一列队伍一共有多少人？（2）师：你能用什么方法证明到底是9人，还是10人呢？（画图、列算式……）（3）学生用自己的方法独立练习。
（4）学生汇报：
预设：
①画图：○○○○●○○○○
②列式：5+5-1=9（人）
2、以旧引新、揭示课题：
师：同学们，排队是我们儿时的故事，现在我们都长大了，我们要换一个角度来看这个问题。
今天，我们一起走进数学广角，用儿时的经验来解决新问题。
（出示部分课题：数学广角）
二、主体探究、探索新知：
1、创设情境、出示例题：
（1）师：我知道，咱们9班的同学很喜欢学习，有5人参加了语文兴趣小组的学习，有7人参加了数学兴趣小组的学习。
表格里一下写出这么多同学的名字，很麻烦。
我想学习这位刚刚这位同学的，用符号数来代替你们的名字可以吗？
（4）设疑：一年级的我们都会解决这个问题，现在我们长大了，问题也就变得复杂了。
想一想，同学们在报名参加语文组和数学组的时候，可能会发生什么新情况吗？（有的同学既报名参加了语文组，又报名参加了数学组。
）
（5）师：你们看，这里面有两位同学4号和5号他们参加了语文组，还参加了数学组。
2、分组找号、画圈表示：
（1）学生上台演示，将语文组和数学组的同学号码找出来，分别贴在两个组的下面。
（2）预设：学生出现争抢4号和5号。
问：为什么两个人都去争4号和5号呀？那把他们贴在哪儿合适？（放中间） 问：有没有什么办法一眼看出语文组有5人？那数学子有9人怎么办呢？（学生画圈）
（3）问：红色的圈表示什么？黄色的圈表示什么？交叉的圈表示什么？
（4）揭题：像这样中间出现重复的问题，在数学中叫做重叠问题。
（板书课题：重叠问题）
3、列式计算、体验多样：
（1）独立思考、小组交流：列出算式求一共有多少人？
（2）学生汇报：
预设：
①5+9-2=12（人）
②5-2+9=12（人）
③9-2+5=12（人）
④3+2+7=12（人）
（3）小结：同学们列出了4个算式，一个是5加9减2，把重复的减去，那2、3这两个算式，再看看，感觉像吗？（这两个算式的思路差不多。
）那第4个算式将参加的同学分成了3类。
这么多种算法，你觉得哪一种是比较容易理解，就用哪种算法！
4、演示画圈、深化认识：
（1）师：现在语文组和数学组是几个人重复？还有可能出现几个人重复？（1人重复、2人重复、3人重复、4人重复、5人重复、6人重复、7人重复……）
（2）出示图片：
数学组：
（3）通过学生演示图片，使学生明确：最多只有
5人重复。
（4）画圈：
①一个大圈表示9，一个小圈表示5，没有重复。
②大圈和小圈有一部分重叠在一起。
③大圈把小圈完全包围。
三、应用生活、形成技能：
1、介绍韦恩图历史：
（1）师：今天，在研究重叠问题时，是什么让你们一眼看出这个算式表示什么意思？（圆圈）
（2）师：今天，谁最先画的？你们知道比你们早画圈圈的人是谁吗？
（3）播放课件。
2、动物本领知多少？第110页第1题：
（1）读题、理解题意。
（2）学生介绍各个动物的名称和本领。
（3）介绍“韦恩图”表示的意思。
（4）学生齐练，集体交流。
3、商店进货：第110页第2题：
（1）学生读题，独立解答。
（2）学生汇报。
4、拓展生活：
（1）师：你还能举出生活中的例子吗？
（2）师：你们说的这么多得事，我能用一个符号字母表示。
（用A、B）A和B 在哪儿找啊？课后，同学们就带着数学眼睛到生活里去找重叠问题中的A和B 吧！
板书设计：
数学广角
教学反思：
学导的课堂智慧的启迪
今年4月，我有幸前去杭州参加了“千课万人”第二届全国小学数学学导课堂教学研讨观摩活动。
整整四天，我徘徊在魅力无限的学导课堂里，不但欣赏着名师的教学风采，更是在接受着新课程、新理念的洗礼，品味着教育前沿的课堂文化大餐。
回校后，我选择依照吴正宪老师的《重叠》这节课设计思路，给全校教师上了一节汇报课，亲身体验了一把名师的学导课堂。
亲自演绎了充满智慧、朴实无痕的“导”，收获了学生们绽放智慧、激情碰撞的“学”。
一、精心导入、吸引学生：
开课通过学生已有的排队知识入手，“陈同学从左数是第5个，从右数还是第5个，这个队一共有多少个同学？”简简单单的一个教学情境却一下子激起了学生的兴趣，学生们纷纷行动起来，有的画图、有的列式计算……这个导入是后面学习重叠问题的很好切入点，与学生的生活经验紧密贴合，简约而有效。
二、精心设问、促动学生：
在“韦恩图”的创生过程中，基于“语文组5人，数学组9人”的数学信息，让两位学生上台贴语文组和数学组的学号，结果出现了两名学生争抢“4、5”号的场面，激起学生对重叠问题实质的初步理解，使他们感受到4、5号同学既属于语文组、又属于数学组。
再通过一系列的设问：“那把他们贴在哪儿合适？”、“有没有什么办法一眼看出语文组有5人、数学组有9人？”引导学生想到用“画圈”的方法表示两个组的人数，自热地引入了“集合”思想。
对4号、5号由“你争我夺”、到“中和共享”、再到“圈地为营”的渐进过程，“重叠”的要义被适时凸显。
整个过程是自然的、灵动的，教师的设计润物无声，学生的学习悄然无痕。
三、精心设计、动中深化：
探究了例题后，接着提出“还可能有几人重复？”，当学生顺次说出有1人、2人、3人、4人、5人、6人、7人……这时我并没有否定学生，而是让“说6”、“说7”的两名学生上台来用两张椭圆形的卡片，慢慢演示重叠的部分。
通过形象的演示，让学生在近距离观察中体验到重复6、7的情况是不存在的，最多只有5人重复。
随后再依次画出“小圈是小圈、大圈是大圈”，“有一部分重叠”，“小圈被大圈完全包围了”的直观图，并集、交集、母集这三种集合的思想悄悄的在学生的思维中扎下了根，使学生了解到“重叠问题”里的不同情况，把具体问题上升到抽象，整个过程不断有思维的碰撞，环环相扣，扎实有效。
四、精心评价、促进发展：
上课中，我不时的、自然的流露出很多激励学生的多维评价语言，让学生在和谐自由的气氛中驰骋想象，畅所欲言地抒发见解，无拘无束地开展积极思维活动和语言表达，获得更多的创造性见解。
如：“这个问题就问得很深刻！”，“这位同学的想法挺有创意的！”，“多么好的想法呀，你真会动脑筋！”、“我们同学也很聪明，一起创造了韦恩图！”……这些多维评价除了对数学知识本身的肯定外，更多在注重开发与唤醒每个学生的潜能，提高学生的学习兴趣和对自我的认识，沟通了师生之间的理解与情感。
这节课有个性，有思想，有深度，从学生的实际出发，培养学生的数学思想，学会思考，让学生在数学思考中获得成功的快乐。
下课铃声响了，而我还沉浸在和学生一起智力冲浪的享受之中，还留念着刚刚美好的课堂生活。
这节课带给我
的收获是难以用语言表达出来的，只有我自己知道自己的心智得到了怎样的锻炼。
这节汇报课，让我感受到了学导课堂带给学生的自信与探究、成功与感动，更感受到了学导课堂背后教师的诚真与睿智、大气与灵动。
在“学”中，见学生们思维最真实的流露和碰撞；在“导”中，现老师最智慧的点拨和引领。
教育就是点燃和唤醒，用智慧启迪智慧，用心灵唤醒心灵。
课上完了，然而这节课带给我的思考却很多很多……。
