全国2010高中数学联赛模拟试题三

2010 年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试
一、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 8 分，共 64 分。 2010B1、函数 f ( x ) ◆答案： [ 3, 3 ] ★解析： 易知 f ( x ) 的定义域是 5,8 ， 且 f ( x ) 在 5,8 上是增函数， 从而可知 f ( x ) 的值域为 [ 3, 3 ] .
容易知道当 1 z 1 时， 0 h( z ) 2,0 h( z ) 2 . 从而当 1 z 1 时，
h( z ) h( z ) 3a 2 3a 2 ， 即0 z b c 1 2， 2 4 4 3a 3a 8 b c 1 0 , z 2 2 ，由 0 z 2 1 知 a . 从而 4 4 3 8 3 8 2 又易知当 f ( x ) x 4 x x m （ m 为常数）满足题设条件，所以 a 最大值为 . 3 3 0
3a 5 b3 ，且存在常数 , 使得对每一个正整数 n 都有 a n log bn ，则
◆答案：
3
3 3
2
★解析：设 {a n } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ，则 3 d q, （1） ， 3(3 4d ) q （2） （1）代入（2）得 9 12d d 6d 9 ，求得 d 6, q 9 . 从而有 3 6( n 1) log 9
解法二： f ( x ) 3ax 2bx c .
2
设 g ( x ) f ( x ) 1 ，则当 0 x 1 时， 0 g ( x ) 2 .
设 z 2 x 1 ，则 x
z 1 , 1 z 1 . 2 z 1 3a 2 3a 2b 3a h( z ) g ( ) z z b c 1. 2 4 2 4

2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1．方程9135x x +-=的实数解为 ．提示与答案：x ＜0无解; 当0x ≥时，原方程变形为32x +3x －6=0，解得3x =2，x =log 32．2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .提示与答案：与f (x )=y 2=1+|sin2x |的单调减区间相同， [,],2422k k k ππππ++∈Z ． 3．在△ABC 中，已知4AB AC ⋅= ，12AB BC ⋅=- ，则AB ＝ .提示与答案：216AB AC AB BC AB ⋅-⋅== ，得4AB = ．4．函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 ．提示与答案：极小值－4，端点函数值f (2)=0，f (0)=－2，最小值－4，最大值0．5．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =，则R 的取值范围为 ．提示与答案：画图观察，R 最小时圆与直线段AC 相切，R 最大时圆过点B ．[855，10]． 6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数 ()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.提示与答案：f (2k -1)=0，k ∈Z . 又可作一个函数()f x 满足问题中的条件，且()f x 的 一个零点恰为21x k =-，k ∈Z . 所以至少有50个零点.7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为 ．提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是 ．（第7题）提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 13． 9．在三棱锥A BCD -中，已知ACB CBD ∠=∠，ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠θ=，且cos θ=．已知棱AB的长为 ． 提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ．10．设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11n n n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=， 则a 的值是 ． 提示与答案：由11n n n a x x x +=+，2321n n n a x x x +++==+()21111n n a x a x ++=++()3211n n n a x x a a x =+++ 恒成立，即()()2110n n a a x x a +++-=. 因为1n x a ≠-或0，故210a a ++=，所以122a i =-±．二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆22:14x C y +=上的三点．若 3455OM OA OB =+ ，证明：线段AB 的中点在椭圆22212x y +=上． 解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 124＋y 12＝1，x 224＋y 22＝1． 由3455OM OA OB =+ ，得 M (35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2)． 因为M 是椭圆C 上一点，所以(35x 1＋45x 2)24＋(35y 1＋45y 2)2＝1， …………………6分 即 (x 124＋y 12)(35)2＋(x 224＋y 22)(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)=1， 得 (35)2＋(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)＝1，故 x 1x 24＋y 1y 2＝0． …………………14分又线段AB 的中点的坐标为 (x 1＋x 22，y 1＋y 22)， 所以 (x 1＋x 22)22＋2(y 1＋y 22)2＝12(x 124＋y 12)+12(x 224＋y 22)+x 1x 24＋y 1y 2＝1， 从而线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)在椭圆x 22＋2y 2＝1上． ………………20分 12．已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．解：(1) 设数列前6项的公差为d ，则a 5=－1+2d ，a 6=－1+3d ，d 为整数.又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以(3d －1)2=4(2d －1)，即 9d 2－14d +5=0，得d =1. …………………6分 当n ≤6时，a n =n －4，由此a 5=1，a 6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，所以，当n ≥5时，a n =2n -5.故 a n =⎩⎪⎨⎪⎧n －4，n ≤4，2n -5， n ≥5． …………………10分(2) 由（1）知，数列{}n a 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…当m =1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；当m =3时等式成立，即 －1+0+1=0；当m =2、4时等式不成立； …………………15分当m ≥5时，a m a m +1a m +2 =23m -12， a m +a m +1+a m +2=2m -5(23－1)=7×2m -5， 7×2m -5≠23m -12，所以 a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2 . 故所求 m = 1，或m =3． …………………20分13．如图，圆内接五边形ABCDE 中，AD 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H .过点H 作平行于CE 的直线，与直线AC 、DC 分别交于点F 、G ．证明： (1) 点A 、B 、F 、H 共圆；(2) 四边形BFCG 是矩形．证明：(1) 由HG ∥CE ，得∠BHF =∠BEC ，又同弧的圆周角 ∠BAF =∠BEC ，∴ ∠BAF =∠BHF ，∴ 点 A 、B 、F 、H 共圆；…………………8分(2) 由(1)的结论，得 ∠BHA =∠BF A ，∵ BE ⊥AD ， ∴ BF ⊥AC ，又AD 是圆的直径，∴ CG ⊥AC ， …………………14分由A 、B 、C 、D 共圆及A 、B 、F 、H 共圆，∴∠BFG =∠DAB =∠BCG ， ∴ B 、G 、C 、F 共圆.∴ ∠BGC =∠AFB=900, ∴ BG ⊥GC ，∴ 所以四边形BFCG 是矩形． …………………20分14．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．解：若x =y ，则x 2+3x 是完全平方数.∵ x 2＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2，∴ x 2+3x = (x +1)2，∴ x =y =1. ………………5分若x ＞y ，则x 2＜x 2+3y ＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2.∵ x 2+3y 是完全平方数，∴ x 2+3y = (x +1)2，得3y = 2x +1，由此可知y 是奇数，设y = 2k +1，则x =3k +1，k 是正整数. 又 y 2+3x = 4k 2+4k +1+9k +3=4k 2+13k +4是完全平方数，且(2k +2)2=4k 2+8k +4＜4k 2+13k +4＜4k 2+16k +16= (2k +4)2，∴ y 2+3x =4k 2+13k +4=(2k +3)2，得 k =5，从而求得x =16，y =11. …………………15分若x ＜y ，同x ＞y 情形可求得 x =11，y =16.综上所述，(x ，y )= (1，1), (11，16), (16，11)． …………………20分 A B C D EF H G。

2010年高三适应性训练(A)数 学(理工农医类) 5.18本试卷共4页，分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共1 50分． 考试时间1 20分钟．第I 卷(选择题共60分)注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每题选出答案后，用2 B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．一、选择题：本大题共l 2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={y | y =ln x ，0 <x <e }，B={y |12y x =}，则A ∩B 等于（ ） A ．(-∞，1) B ．(0，1) C ．[0，1) D ．(0，+∞) 2．已知平面,αβ，直线l β⊂，则l β⊥是αβ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x 2+4y 2=4与双曲线x 2-2y 2=a (a >0)的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．2 B ．2 C D ．324．运行如图所示的程序框图输出的结果是(其中i 是虚数单位)（ ）A ．iB ．i -1C ．-1D ．05．下列类比推理命题(R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a -b =0⇒a =b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a -b =0⇒a =b ”；②“若a ，b ∈R ，则a -b>0⇒ a>b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a-b>0⇒a>b ”；③“若a ，b ∈R ，则(a +b )(a -b )= a 2-b 2”类比推出“若a ，b ∈C ，则(a +b )(a -b )= a 2-b 2”；④“若a ，b ∈R ，则| a | =| b | ⇒ a=±b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则| a | =| b | ⇒ a=±b ”．其中类比结论正确的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 6．7y (万元)得下表：由表中数据计算出线性回归方程ˆybx a =+，其中b=1.23．据此预测使用10年的维修费用(单位：万元)为A ．1 2．04B ．1 2．3 1C ．1 2．88D ．1 2．388．上海世博会期间，甲、乙等六名志愿者被分配到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分配方法共有 A ．360种 B ．1 92种 C ．1 68种 D ．144种 9．若将函数()tan()(01)4f x x πωω=+<<的图象向右平移6π个单位长度后与函数 ()t a n ()6g x x πω=+的图象重合，则函数()y f x =的一个对称中心为A ．(4π，0) B ．(2π，0) C ．(34π，0) D ．(π，0)10．已知圆心在x 轴正半轴上的圆C 过双曲线x 2-y 2=l 的右顶点，且被双曲线的一条渐近线截得的弦长为C 的方程为（ ） A ．(x -2)2+y 2=9 B ．(x -2)2+y 2=1C ．(x -6)2+y 2=25D ．(x -6)2+y 2=4911．在[0，2]上任取两数a ，b ，则函数2()f x x ax b =++无零点的概率为（ ） A ．16 B ．13 c ．23 D ．561 2．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0 时，2()f x x =．若对任意的x ∈[t ，t +1]，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[2，+∞) B ．，+∞) C ．(0，2] D ．(—∞，—2]u[2，+∞)第Ⅱ卷 (非选择题共90分)注意事项：1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题．2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共1 6分． 1 3．不等式| x -l | +| x +l |≥3的解集为 .14．已知(2)2(1)()log (1)a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是R 上的减函数，则a 的取值范围是 .l 5．若02παβπ<<<<，且11cos ,cos()33βαβ=-+=，则cos α= . 16．如图是一几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知向量a =(cos ,sin x x ωω)，b =(cos x ω,cos x ω)，其中(02ω<<).函数1()2f x a b =-，其图象的一条对称轴为6x π=。

全国高中数学联赛模拟试题(三)第一试一、选择题(共36分)1. 化简cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7的值为 ( )A.－1B.1C.－12D.122. S n 和T n 分别是等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，且对任意的自然数n 都满足S n T n ＝7n ＋44n ＋27，那么a 11b 11＝ ( )A.43B.74C.32D.7871 3. 直线xcos θ＋y ＋m ＝0(式中θ是△ABC 的最大角)，则此直线的倾斜角变化范围是( )A.(－arctan 12，π4)B.[0，π4)∪(2π3，π)C.[0，π4]D.[0，π4]∪[π－arctan 12，π]4. 设实数m ，n ，x ，y 满足m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b ，其中a ，b 为正常数且a ≠b ，那么mx＋ny 的最大值为 ( )A.a ＋b 2B.abC.2ab a ＋bD.a 2＋b 225. 如图，平面α中有△ABC 和△A 1B 1C 1分别在直线m 的两侧，它们与m 无公共点，并且关于m 成轴对称，现将α沿m 折成一个直二面角，则A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1六个点可以确定的平面个数为 ( ) A.14 B.11 C.17 D.凸n边形的各边为直径作圆，使这个凸n 边形必能被这n个圆面所覆盖，则n 的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题(共54分)6. 已知0＜x ＜π2，log sinx cosx 与log cosx tanx 的首数均为零，尾数和为1，则x ＝_________.7. 设＝n 21a a a 222+++ ，其中a 1，a 2，……，a n 是两两不等的非负整数，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝___________.8. 已知不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤6的解集为{x|a ≤x ≤b}，其中0＜a ＜b，则b ＝___________.9.已知f(x)＝x2＋(lga＋2)x＋lgb，且f(－1)＝－2，f(x)≥2x对一切x∈R都成立，则a＋b＝_____________.10.正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高为25，AB＝8，A1B1＝4，则异面直线A1B与B1C的距离为____.11.方程(x2－x－1)x＋2＝1的解集为_________________.三、解答题(共计60分)12.(设f(x)＝(1＋x＋x2)n＝c0＋c1x＋c2x2＋……＋c2n x2n，则c0＋c3＋c6＋……＝c1＋c4＋c7＋……＝c2＋c5＋c8＋……＝3n－1.13.(已知满足不等式lg(x2)＞lg(a－x)＋1的整数x只有一个，试求常数a的取值范围.14.(设y＝f(x)是定义在R上的实函数，而且满足条件：对任意的a，b∈R，有f[af(b)]＝ab，试求|f()|.第二试一、(50分)如图，D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且∠FDE ＝∠A ，∠DEF ＝∠B ，又设△AFE ，△BDF 和△DEF 均为锐角三角形，他们的垂心分别为H 1，H 2，H 3.求证：(1)∠H 2DH 3＝∠FH 1E ；(2)△H 1H 2H 3≌△DEF.二、(50分)设C 0，C 1，C 2，……是坐标平面上的一族圆(周)，其定义如下：(1)C 0是单位圆x 2＋y 2＝1；(2)任取n ∈Z 且n ≥0，圆C n ＋1位于上半平面y ≥0内及C n 的上方，与C n 外切并且与双曲线x 2－y 2＝1相切于两点，C n 的半径记为r n (n ∈Z 且n ≥0) (1)证明：r n ∈Z ； (2)求r n .三、(50分)称自然数为“完全数”，如果它等于自己的所有(不包括自己)的正约数的和，例如，6＝1＋2＋3，如果大于6的“完全数”可以被3整除，证明，它一定可以被9整除.C全国高中数学联赛模拟试题(三)参考答案 第一试一、选择题 1. Ccos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7＝∑∑==π+π=π61k e 61k )]7k 2sin i 7k 2(cos [R 217k 2cos 21令z ＝cos 2π7＋isin 2π7，于是z 7＝1则上式＝12(z ＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5＋z 6)＝……＝－122. Aa 11b 11＝21a 1121b 11＝S 21T 21＝7×21＋44×21＋27＝43 3. Dθ∈[π3，π)，cos θ∈(－1，12]，则斜率k ∈[－12，1)4. B由柯西不等式ab ＝(m 2＋n 2)(x 2＋y 2)≥(mx ＋ny)2，当mx ＝ny 时取等号，所以mx ＋ny ≤ab5. B三点确定一个平面，但需除去三组四点共面重复的个数，共确定平面个数为3436C 3C -＋3＝11个6. B注意到：当且仅当∠C ≥90°时，△ABC 能被以AB 为直径的圆覆盖.从而易证n ≤4，当n ＝4时，正方形满足条件. 二、填空题 7.arcsin5－12； log sinx cosx ＋log cosx tanx ＝1 ⇒ log sinx cosx ＝12∴ sinx ＝cos 2x ∴ sin 2＋sinx －1＝0 ∴ sinx ＝5－12(负值舍去) 8.44；＝210＋29＋28＋27＋26＋249.4；分情况讨论得：a ＝43，b ＝410.110；f(－1)＝1＋lgb －(2＋lga)＝－2∴ lga ＝lgb ＋1，而(lga)2－4lgb ≤0∴ (lgb －1)2≤0 ∴ lgb ＝1 ∴ b ＝10，a ＝100 11.4105；过B 1作A 1B 的平行线交AB 于E ，转化为求B 点到平面B 1CE 的距离. 12.{－2，－1，0，2}若x 2－x －1＝1，则x ＝2，－1若x 2－x －1＝－1且x ＋2为偶数，得x ＝0若x ＋2＝0且x 2－x －1≠0得x ＝－2 三、13．令ω＝－12＋32i ，则有f ⑴＝c 0＋c 1＋c 2＋c 4＋c 5＋……＋c 2n ＝3n…………………①f(ω)＝c 0＋ωc 1＋ω2c 2＋c 3＋ωc 4＋ω2c 5＋……＋ω2nc 2n ＝0…………………②f(ω2)＝c 0＋ω2c 1＋ωc 2＋c 3＋ω2c 4＋ωc 5＋……＋ω4nc 2n ＝0…………………③①＋②＋③得3(c 0＋c 3＋c 6＋……)＝3n，∴ c 0＋c 3＋c 6＋……＝3n －1.②－①得c 1＋c 4＋c 7＋……＝c 2＋c 5＋c 8＋……于是c 1＋c 4＋c 7＋......＝c 2＋c 5＋c 8＋......＝c 0＋c 3＋c 6＋ (3)，14．∵ x 2＞0，∴ |x|≤1，∴ x ＝－1或0或1x ＝－1时，lg15＞lg(a ＋1)＋1，∴ －1＜a ＜12x ＝0时，lgga ＋1 ∴ 0＜a ＜2x ＝1时，lg15＞lg(a －1)＋l ∴ 0＜a ＜52又因为满足条件的整数x 只有一个，∴ a 的取值范围是(－1，0]∪[12，1]∪[2，52)15．令a ＝1，则f(f(b))＝b ，∴ f(f(x))＝x∴ f(f(f 2(x)))＝f 2(x)∴ f(f(f 2(a)))＝f 2(a)再令a ＝f(b)，则f(f 2(b)＝bf(b)∴ f(f(f 2(b)))＝f(bf(b))＝b 2.∴ f(f(f 2(a)))＝a 2.∴ f 2(a)＝a 2， ∴ |f(a)|＝|a| ∴ f()＝第二试一、⑴∵ H 1为△AEF 的垂心，∴ ∠EH 1F ＝180°－∠A ＝∠B ＋∠C∠H 2DH 3＝180°－∠H 2DB －∠H 3DC ＝180°－(90°－∠B)－(90°－∠C)＝∠B ＋∠C ∴ ∠EH 1F ＝∠H 2DH 3⑵连结FH 2，EH 3，则FH 2⊥BD ，EH 3⊥BC∴ FH 2∥EH 3 由⑴中所证∠EH 1F ＋∠EOF ＝180° ⇒ E ，D ，F ，H 1四点共圆.同理，E ，D ，H 1，H 2四点共圆，H 1，D ，F ，H 3四点共圆，E ，D ，F ，H 1，H 2，H 3六点共圆. 二圆内接四边形EH 2H 3F 中，EH 2∥FH 3， ∴ EF ＝H 2H 3，同理，DE ＝H 1H 3，DF ＝H 1H 2， ∴ △H 1H 2H 3≌△DEF.二、⑴由对称性可知r n 的圆心在y 轴上，设r n 的方程为x 2＋(y －s n )2＝r n 2，其中s n ＝r 0＋2(r 1＋r 2＋……＋r n －1)＋r n .将x 2＝y 2＋1代入其中得 y 2＋1＋y 2＋s n 2－2ys n －r n 2＝0△＝4s n 28S n 2＋8r n 2－8＝0 ⇒ 2r n 2＝S n 2＋2 从而易得r n ＝6r n －1－r n －2，∵ r 0＝1，r 1＝3，∴ 对任意n ∈N ，有r n ∈N (2)由特征根方程可得r n ＝A(3＋22)n＋B(3－22)n，将r 0＝1，r 1＝3代入其中，得r n ＝12[(3＋22)n ＋(3－22)n]三、设“完全数”等于3n ，其中n 不是3的倍数，于是3n 的所有正约数(包括它自己)可以分为若干个形如d 和3d 的“数对”，其中d 不可被3整除，从而3n 的所有正约数的和(它等于6n)是4的倍数，因此是2的倍数.我们注意到，此时32n ，n ，12n 和1是3n的互不相同的正约数，但它们的和等于3n ＋1＞3n ，从而3n 不可能是“完全数”，得到矛盾.。