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高等数学中的多元函数的基础概念详解在高等数学中，多元函数是一种非常重要的概念。
它是研究多变量之间关系的数学工具，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
本文将从多元函数的定义、连续性、导数、微分、偏导数和泰勒展开等方面进行详细的讲解。
一、多元函数的定义多元函数是指在数学上，将多个自变量与一个或多个因变量联系起来的一种函数。
通常表示为$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=y$，表示存在一种从输入向输出的映射关系。
例如，$f(x,y)=x^2+y^2$就是一个简单的多元函数，它将平面上的点$(x,y)$映射到一个实数值$z=x^2+y^2$上。
多元函数的定义域和值域分别是自变量的取值范围和因变量的取值范围。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指当自变量发生微小变化时，函数值的变化也应该非常微小。
具体来说，如果在多元函数$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$的某一点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$附近，对于任意的$\epsilon>0$，都存在一个$\delta>0$，使得当$(x_1,x_2,\dots,x_n)$满足$|x_i-a_i|<\delta$时，有$|f(x_1,x_2,\dots,x_n)-f(a_1,a_2,\dots,a_n)|<\epsilon$，那么就称$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$在点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$处连续。
这与一元函数的连续性概念是类似的。
三、多元函数的导数多元函数的导数在概念上和一元函数的导数是类似的，它描述的是函数在某一点上的变化率。
但是多元函数的导数有一些特殊的性质，如方向导数、梯度等。
在二元函数的情况下，如果函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可导，则有：$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}$$这两个导数称为函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数。
多元函数及其极限多元函数在数学中起到重要的作用，与一元函数相比，多元函数是以多个自变量为输入并产生一个或多个因变量输出的函数。
本文将介绍多元函数的定义、性质以及多元函数的极限。
一、多元函数的定义和性质多元函数是指含有多个自变量的函数，通常用f(x₁, x₂, …, xn)表示。
其中x₁, x₂, …, xn是自变量，f(x₁, x₂, …, xn)是因变量。
多元函数可以是实函数或复函数。
多元函数的性质主要包括：1. 定义域：与一元函数类似，多元函数也有定义域，即自变量的取值范围，使得函数有意义；2. 值域：多元函数的值域是函数的输出范围，可以是实数集或复数集；3. 奇偶性：多元函数也可以具有奇偶性，即函数在自变量取相反值时的表现是否相同；4. 有界性：多元函数是否存在上下界；5. 连续性：多元函数的连续性代表着函数在自变量连续变化时，函数值是否连续变化。
二、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋近于某一点或无穷大时，函数值的变化趋势。
与一元函数类似，多元函数的极限也可以分为以下几种情况。
1. 极限存在与不存在多元函数f(x₁, x₂, …, xn)在自变量(x₁₀, x₂₀, …, xn₀)处的极限存在，如果无论自变量如何接近(x₁₀, x₂₀, …, xn₀)，函数值f(x₁, x₂, …, xn)都趋近于某一确定值L。
数学上表示为：lim (x₁, x₂, …, xn)→(x₁₀, x₂₀, …, xn₀) f(x₁, x₂, …, xn) = L2. 极限的计算方法多元函数的极限计算方法与一元函数类似，可以通过直接代入、夹逼定理、极坐标转换等方法进行计算。
3. 偏导数多元函数的偏导数是指在函数中固定某些自变量，对剩余自变量求导数的过程。
一元函数的导数可以看作是对函数在某一点的率变化速度的测量，多元函数的偏导数可以看作是对函数在某一点沿着某一方向的变化速度的测量。
三、应用领域多元函数广泛应用于数学和其他学科中，例如：1. 物理学：多元函数用于描述物体的运动、力学等问题；2. 经济学：多元函数用于描述供求关系、成本函数等；3. 金融学：多元函数用于建立风险评估模型、资产定价模型等；4. 工程学：多元函数用于建立工程模型、优化设计等。
多元函数的连续性与可微性多元函数的连续性与可微性是微积分的重要概念。
在解析几何中，我们经常需要研究多元函数的性质，而连续性与可微性是我们理解和分析多元函数的基础。
在本文中，我将讨论多元函数的连续性与可微性的概念、定义以及它们在实际问题中的应用。
首先，我们来定义多元函数的连续性。
假设有一个定义在某个区域D上的多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量。
我们称函数f在某点(a1, a2, ..., an)处连续，如果当自变量x1, x2, ..., xn逐渐接近(a1, a2, ..., an)时，函数值f(x1, x2, ..., xn)也逐渐接近f(a1, a2, ..., an)。
用数学语言表达，即：lim┬(x→a) f(x) = f(a)其中，lim表示极限的概念。
如果函数f在集合D的每个点都连续，我们称函数f在D上连续。
那么，多元函数的可微性又是什么意思呢？我们称多元函数f(x1,x2, ..., xn)在某点(a1, a2, ..., an)处可微，如果该函数在该点附近的某个区域内有一个线性逼近函数。
这个线性逼近函数被称为多元函数的导数。
用数学语言表达，即：f(x1, x2, ..., xn) ≈ f(a1, a2, ..., an) + ∑┬(i=1)ⁿ ∂f/∂xi (a1, a2, ..., an)(xi - ai)其中，∂f/∂xi表示函数f对自变量xi的偏导数，xi - ai表示自变量与其对应的变化量。
连续性与可微性是密切相关的，一般来说，可微性是连续性的强化形式。
根据数学定义，若一个函数在某点可微，那么它在该点也是连续的。
而连续函数并不一定可微。
多元函数的连续性与可微性在数学中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们经常需要利用多元函数来描述物体的运动轨迹、能量分布等。
通过研究函数的连续性，我们可以了解物体在不同时刻的位置、速度以及加速度等信息。
多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。
本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。
一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。
在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。
我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。
即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。
二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。
具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。
三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。
其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。
四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。
但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。
根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。
五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。
具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。
41多元函数的极限与连续性一、函数的极限1.1极限的定义对于函数y=f(x)，当自变量x无限接近其中一个确定值x0时，若因变量y有一个确定的极限值A，则称函数y=f(x)的极限为A，记作lim(x→x0)f(x)=A。
1.2函数极限的性质（1）唯一性：若函数y=f(x)极限存在，那么极限值是唯一的。
（2）局部有界性：若函数y=f(x)以x0为极限，则存在一个正数δ，当0<，x-x0，<δ时，f(x)，有一个有界区间。
（3）局部保号性：若函数y=f(x)以x0为极限，且f(x0)>0，那么存在一个正数δ，当0<，x-x0，<δ时，f(x)>0；或者f(x0)<0，那么存在一个正数δ，当0<，x-x0，<δ时，f(x)<0。
（4）保不等式性：若函数y=f(x）以x0为极限，且存在一个正数δ，当0<，x-x0，<δ时，有f(x)≤g(x)≤h(x)，其中g(x)和h(x)也以x0为极限，则lim(x→x0)f(x)≤lim(x→x0)g(x)≤lim(x→x0)h(x)。
1.3函数极限的运算法则（1）定理1.函数的极限的四则运算法则若函数y=f(x)以x0为极限，且g(x)、h(x)以x0为极限，那么有以下四则运算法则：①lim(x→x0)(g(x)±h(x))=lim(x→x0)g(x)±lim(x→x0)h(x)②lim(x→x0)(g(x)h(x))=lim(x→x0)g(x)·lim(x→x0)h(x)③若lim(x→x0)h(x)≠0，那么lim(x→x0)(g(x)/h(x))=lim(x→x0)g(x)/lim(x→x0)h(x)（2）定理2.复合函数的极限性质若函数y=f(g(x))以x0为极限，且lim(x→x0)g(x)=A，lim(y→A)f(y)=B，则lim(x→x0)f(g(x))=B。
多元函数的连续性,偏导数,方向导数及可微性之间的关
系
多元函数这些性质之间的关系是：可微分是最强的性质，即可微必然
可以推出偏导数存在，必然可以推出连续。
反之偏导数存在与连续之间是
不能相互推出的（没有直接关系），即连续多元函数偏导数可以不存在；
偏导数都存在多元函数也可以不连续。
偏导数连续强于函数可微分，是可
微分的充分不必要条件，相关例子可以在数学分析书籍中找到。
其中可微分的定义是：
以二元函数为例（n元类似）
扩展：可微分可以直观地理解为用线性函数逼近函数时的情况（一元
函数用一次函数即切线替代函数增量，二元函数可以看做是用平面来代替，更多元可以看做是超平面来的代替函数增量，当点P距离定点P0的距离
p趋于零时，函数增量与线性函数增量的差是自变量与定点差的高阶无穷
小（函数增量差距缩小的速度快与自变量P靠近P0的速度））。
多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。
一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。
2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。
(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。
二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。
多元函数的连续性与可微性分析多元函数是一个与多个自变量相关的函数，其在数学和应用领域中具有重要的意义。
在研究多元函数的性质时，连续性和可微性是两个基本概念。
本文将对多元函数的连续性和可微性进行分析，并介绍这两个概念的重要性和应用。
1. 多元函数的连续性：连续性是指函数在某个区间上的连续性质。
对于多元函数而言，连续性的概念与一元函数类似，即函数在某一点上的极限存在且与该点的函数值相等。
形式化地说，设函数f(x, y)定义在某个区域D上，对于D内的任意一点P0(x0, y0)，如果满足以下条件，则称函数f(x, y)在P0处连续：1) f(x0, y0)存在；2) 当(x, y)趋向于P0时，函数值f(x, y)趋向于f(x0, y0)。
连续性保证了函数的稳定性和可计算性。
连续函数在数学分析、物理学、经济学等领域具有广泛的应用。
通过研究函数的连续性，可以得到函数在某个区域内的性质和行为。
2. 多元函数的可微性：可微性是指函数在某个点上存在全部偏导数，且这些偏导数在该点上连续。
对于二元函数而言，函数的可微性可以通过一阶偏导数来判断。
形式化地说，设函数f(x, y)定义在某个区域D上，对于D内的任意一点P0(x0, y0)，如果满足以下条件，则称函数f(x, y)在P0处可微：1) f(x, y)在P0处存在偏导数；2) 偏导数在P0处连续。
可微性是连续性的更严格要求，可微函数不仅在某个点上连续，而且具备了切线和法平面的概念。
可微函数在微积分、优化等领域有重要的应用。
通过研究函数的可微性，可以得到函数的局部性质和最优解等信息。
多元函数的连续性和可微性是函数分析的基础，它们在数学和应用中发挥着重要的作用。
通过这两个概念，我们可以了解函数的局部变化、极值点和极值等信息。
在数学分析中，我们可以使用极限的性质和一阶导数测试一个函数的连续性和可微性。
对于多元函数的连续性，我们可以通过极限的定义和极限的性质判断函数在某点的连续性。
毕业论文题目：多元连续函数的性质学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学毕业年限：2012.6学生姓名：马骥学号：200871010428指导教师：张春霞多元连续函数的性质马骥（西北师范大学 数学与信息科学学院,甘肃 兰州 730070）内容摘要:本文通过将一元连续函数在闭区间上的性质和二元连续函数在有界闭区域上的性质推广到多元连续函数的性质. 我们一般可把区域分为有界区域和无界区域．本文分别探讨了多元连续函数在有界区域和无界区域上的性质，并得出一系列的结论．对于有界区域D ，对任意0P D ∈，任意{}n P D ⊂，0n P P →时，lim ()n n f P →∞存在，则函数f 在D 上有界，取得最大、最小值，一致连续．对于无界区域D ，如果存在0r >,对任意P D ∈，P r >时，有()f P M ≤，则f 在D 上有界；若lim ()P f P →∞=+∞，则取得最小值；若lim ()P f P →∞=-∞，则取得最大值．本文分别运用了区域的道路连通性和有界闭区域完全覆盖原理两种方法证明了零点存在性定理，然后用零点存在性定理证明多元连续函数的介值性． 关键词:有界区域；无界区域；有界性；最值性；介值性；一致连续性Properties of the Multivariate Continuous FunctionAbstract ：This paper popularize the properties of the continuous function of one variable or two variables onclosed interval with bound to the multivariate continuous function. Generally, the domain can be divided into two kinds: the bounded domain and the unbounded domain. This paper discusses the properties of the multivariate continuous function on the bounded domain or the unbounded domain and draws a series of conclusions. On bounded domain D , for any 0P D∈, any{}n P D ⊂,if lim ()n n f P →∞existswhile 0n P P →,then function f is bounded and uniformly continuous , and exist maximum and minimum value . On unbounded domain D , there is 0r > and for any P D ∈, P r > ,if ()f P M ≤,then the function f is bounded; if lim ()P f P →∞=+∞, then the function f can get the minimum value; iflim ()P f P →∞=-∞, the function f will get the maximum value. This paper applies road connectivity andcomplete coverage theorem on closed domain with bound respectively to proof of zero point theorem, then applies zero point theorem to proof of intermediate value theorem of the multivariate continuous function.Keywords ：Bounded domain ；unbounded domain ；boundedness ；maximum and minimum value ；intermediate-value property ；uniformly continuous一 引言连续函数的性质在函数的研究中具有很重要的意义和广泛的应用价值.在文献[1]中，利用闭区间上一元连续函数的性质推广到有界闭区域2D R ⊂上二元连续函数的性质，在文献[2]中研究了在有界闭区域n D R ⊂上连续函数:mf D R →的性质.在文献[3] [4] [5]中，也探讨了从闭区间到一般区间附加一定条件下连续函数的有界性、取得最大值和最小值性、介值性以及一致连续性问题.但在实际运用过程中，我们经常接触到的不仅仅是区间，还有区域，因此，本文研究了在区域n D R ⊂上连续函数:f D R →的性质，并得出一系列的结论，为连续函数的性质在实际中更广泛地应用提供了一定的理论依据.一般地，我们可以把9种形式的区间分为三类：①闭区间[],a b ；②开区间(),a b ，(),a +∞，(),b -∞，(),-∞+∞；③半开半闭区间[),a b ，(],a b ，[),a +∞，(],b -∞.同样地，我们也可以把区域分为：①有界闭区域；②有界开区域；③无界区域.例如，{}(,)|,S x y a x b c y d =≤≤≤≤为有界闭区域，{}222(,)|5C x y x y =+<为有界开区域，{}(,)|,D x y x y =-∞<<-∞+∞<<+∞为无界区域.由于在有界闭区域上连续函数的性质，在诸多数学分析教材中已有研究，因此，本文主要研究在有界区域和无界区域上多元连续函数的性质.二 预备知识文中用D 表示D 的闭包，0D 表示D 的内部，D ∂表示D 的边界，dD D （）表示的直径，P 表示点P 到原点的距离, 1D D -表示集合1D 在集合D 中的余集.定义1[1] 设D 是开集，如果对于D 内任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于D ，则称D 是连通的.连通的开集称为区域或开区域.开区域连同它的边界一起，称为闭区域.定义2[2] 设n D R ⊂，若对任意x y D ∈，，存在()[]()0,1,n t C R α∈，使得对任意[]0,1t ∈有()t D α∈且()0x α=，()1y α=，则称D 是道路连通的，其中()t α叫做D 中的一条道路，()0α和()1α分别称为该道路的起点和终点.定义3 设D 是一个区域.如果对于任何两点x ，y ，存在着D 中的一条从x 到y 的道路，我们则称D 是一个道路连通区域.引理1[1]（完全覆盖） 有界闭区域D 的任意一个完全覆盖都包含D 的一个分割，即存在D 的闭子区域12n D D D ，，，，使得{}|1i D i n C ≤≤⊂，i D D ni=1=且任意1i ≤，j n ≤，当i j ≠时，i j d D D （）=0，其中i j d D D （）表示i j D D 的直径.引理2[2] 设n D R ⊂为一有界闭集，若:m f D R →为D 上的连续函数，则()m f D R ⊂必定也是一个有界闭集.引理3[2] 设n D R ⊂为一有界闭集，若:m f D R →为D 上的连续函数，则f 在D 上必定一致连续.即对于任给的0ε>，存在只依赖于ε的0δ>，只要''',x x D ∈，且满足'"x x δ-<，就有'"()()f x f x ε-<.引理4[6](Bolzano-Weierstrass 引理) 设{}n P 是n R 中的有界序列，则它必有收敛的子序列.在引理2，引理3中，当1m =时我们可以很容易得到以下推论.推论1 设在有界闭区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，则函数f 在D 上有界.推论2 设在有界闭区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，则函数f 在D 上能取得最大值与最小值.推论3 设在有界闭区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，则函数f 在D 上一致连续.三 多元连续函数的性质定理1 设在有界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，且对任意0P D ∈，任意{}n P D ⊂，0n P P →时，lim ()n n f P →∞存在，则函数f 在D 上有界. 证明 定义:F D R →如下：当P D ∈时，定义()()F P f P =．当P D ∈∂时,定义()()lim n n F P f P →∞=,其中n P P →，n P D ∈．事实上，对D 中任意两个趋于0P 的点列{}n P ，{}n Q ，则0lim lim n n n n PQ P →∞→∞==．设{}{}1122,,,,,,,n n n R Q P Q P Q P =，则{}n R D ⊂，0n R P →，lim ()n n f R →∞存在．由于lim ()n n f R →∞存在，故lim ()lim ()lim ()n n n n n n f P f Q f R →∞→∞→∞==．所以，F 的定义有意义.下面证明函数:F D R →连续.即对任意一点0P D ∈,任意{}0,n n PD P P ⊂→时,有 0lim ()()n n F P F P →∞=.1．当0P D ∈时，取0n P P →.当n 充分大时，n P D ∈，则n n F P f P （）=（）.所以00lim ()lim ()()()n n n n F P f P f P F P →∞→∞===.2．当0P D ∈∂时, 对任意{}n P D ⊂，0n PP →，构造一点列{}'n P D ⊂，使得'1n n P P n-<，'1()()n n F P F P n-<.找{}'n P 的方法如下： ① 当n P D ∈时,取'n n P P =.② 当n P D ∈∂时,存在一点列{}m Q D ⊂,m n Q P →,且lim ()()m n m f Q F P →∞=.即存在0M >,m M >,1m n Q P n -<，1()()m n f Q F P n-<.此时取'1n M P Q +=,因为'n P D ∈,故''()()n n F P f P =.所以，'0lim lim n n n n P P P →∞→∞==，由于'n P D ∈，由定理条件知，'lim ()n n f P →∞存在．故有''lim ()lim ()lim ()n n n n n n F P f P F P →∞→∞→∞==．由F 的定义知：'0()lim ()lim ()n n n n F P f P F P →∞→∞==．从而:F D R →连续.由于有界闭区域D 是紧致空间，而连续函数在紧致空间上有界，故F 在有界闭区域D 上有界，从而F 在D 上有界，而在D 上F f =，故f 在D 上有界.定理2 设在无界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，如果存在0r >,对任意P D ∈，P r>时，有()f P M ≤，则函数f 在D 上有界.证明 设()1,D D B O r =，则1D 为有界闭集．已知f 在D 上连续，则f 在1D 上连续，而1D 为有界闭区域,由推论1可知f 在1D 上有界.即对任意0N >，对任意1P D ∈，有()f P N <.由定理条件知，对任意1P D D ∈-,有()f P M ≤. 于是 ,存在{}0max ,M N M=，对任意P D ∈，有0()f P M ≤.所以，函数f 在区域D 上有界.定理 3 设在有界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，对任意0P D ∈，对任意{}n P D ⊂，0n P P →时，lim ()n n f P →∞存在；且存在Q D ∈，对任意P D ∈∂，有()l i m n n P Pf Q f P →≥（），则函数f 在D 内能取得最大值.证明 将函数f 在闭区域D 上作连续延拓，令lim ()n n F P f P →∞（）=，其中{}n P D ⊂，n P P →，P D ∈.由定理1的证明过程可知，函数()F P 在D D D =∂上连续，由()F P 在有界闭区域D 上连续可知，F 在有界闭区域D 上有最大值，从而()F P 在D 上取得最大值.设F 在D 上的最大值为0()F P ，0P D ∈，则对任意P D ∈，有0()()()F P f P F P =≤.若0P D ∈,则00()()F P f P =,显然()0f P 为f 在D 内的最大值. 若0P D ∈∂,则存在{}0,n n P D P P ⊂→，则有()0lim ()n n F P f P f Q →∞≤（）=.故对任意P D ∈,都有()()()0F P F P f Q ≤≤，所以()f Q 为f 在D 内的最大值.定理4 设在有界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，对任意0P D ∈，任意{}n P D ⊂，0n P P →时，lim ()n n f P →∞存在；且存在Q D ∈，对任意,lim n n P PP D f Q f P →∈∂≤有（）（），则函数f 在D 内能取得最小值.证明方法同理与定理3.定理5 设在有界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，对任意0P D ∈∂，任意{}n P D ⊂，0n P P →时，有lim ()n n f P →∞=+∞，则函数f 在D 内能取得最小值.证明 先证f 有下界.若f 无下界，则存在{}n P D ⊂，使lim ()n n f P →∞=-∞.因为{}n P 有界，故存在收敛子序列{}k n P ，满足0k n P P →，且lim ()k n n f P →∞=-∞.若0P D ∈，则()0lim ()k n n f P f P →∞=，这与lim ()k n n f P →∞=-∞矛盾.若0P D ∈∂，则lim ()k n n f P →∞=+∞，这与lim ()k n n f P →∞=-∞矛盾.故f 有下界.现设()inf m f D =，可证存在点Q D ∈，使()f Q m =.如果不然，对任意点P D ∈，都有()0f P m ->.可设()()1F P f P m=-.定义:G D R →如下：()()0.F P P DG P P D ∈⎧⎪=⎨∈∂⎪⎩，，， 则:G D R →连续（证明方法同定理1证明过程中:F D R →连续的证明）.又因f 在D 上不能达到下确界m ，所以存在点列{}'n P D ⊂，使'lim ()n n f P m →∞=.因为{}'n P 有界，故存在收敛子序列{}'k n P ，满足'k n P P →，P D ∈，由于G 在D 上连续，得()()'lim k n k G P G P →∞=.因为'k n P D ∈，由G 的定义，得()()()'''1lim lim limk k kn n k k n n G P F P f Pm→∞→∞→∞===+∞-.这与前面()()'lim k n k G P G P →∞=相矛盾.从而证得函数f 在D 内能取得最小值.定理6 设在有界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，对任意0P D ∈∂，任意{}n P D ⊂，0n P P →时，有lim ()n n f P →∞=-∞，则函数f 在D 内能取得最大值.证明 令()()g P f P =-，则lim ()lim ()n n n n g P f P →∞→∞=-=+∞，根据定理5可知，g 在D 内能取得最小值，则f 在D 内能取得最大值.定理7 设在无界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，如果lim ()P f P →∞=+∞，则函数f 在D 上取得最小值.证明 因为lim ()P f P →∞=+∞,所以任取1P D ∈,对常数1()f P ,存在0r >，当P r >时，有1()()f P f P >.设()1,D DB O r =，则1D 为有界闭集．由于f 在D 上连续,则f 在1D 上连续,而1D 为有界闭区域,所以f 在1D 上必取得最小值,设为2()f P ，对任意1P D ∈,有2()()f P f P ≥.综上所述,取{}012()min (),()f P f P f P =,对任意P D ∈,有0()()f P f P ≥,其中当12()()f P f P ≥时,02P P D =∈；当12()()f P f P ≤时,01P P D =∈.定理8 设在无界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，如果lim ()P f P →∞=-∞，则函数f 在D 上取得最大值.证明 令()()g P f P =-，则lim ()lim ()P P g P f P →∞→∞=-=+∞，根据定理7可知，g 在D 内能取得最小值，则f 在D 内能取得最大值.定理9（零点存在性定理）[2] 设函数f 在道路连通区域D 上连续，且在D 的两点1P 和2P 上的值异号，即12()()0f P f P <，则在D 内连接1P和2P 的一条道路上，一定存在点00,()0P D f P ∈=使得.证明（方法一） 由于区域D 具有道路连通性，故D 中存在一条从1P 2到P 的道路，设[]12:0,1,(0),(1),n g D R g P g P →⊂==且有由于f 在区域D 上连续，由复合映射的连续性可知，[]:0,1f g R →也是连续的，记[]()(),0,1h t f g t t =∈，则有12(0)(1)((0))((1))((0))((1))()()0h h f g f g f g f g f P f P ===<.由一元函数的零点存在性定理知，存在[]000,1,()0t h t ∈=使得.即 ()000()(())0h t fg t f g t === .令00000(),,()0,g t P P D f P P D =∈=∈则有.从而定理得证.方法二（反证法） 假设在D 上不存在点0P ，使得0()0f P =，则对任意00,()0P D f P ∈≠.由连续函数的保号性，存在000()0,(;())P P U P P δδ>∈使得时，0()()f P f P 与同号.设'D 为D 的连通闭子集，且'12P P D ∈,，令C =﹛'E D ⊂|E 是'D 的闭子区域且是某个00(;())U P P δ的子集﹜，则C 是'D 的一个完全覆盖.由完全覆盖引理，C 包含'D 的一个分割12n D D D ，，，，而i D 与1i D +12,1i n =-（,,）有公共界点.由于在i D 12,1i n =-（,,）上()f P 不变号，故若在1D 上()0f P >，便可由1D 与2D 有公共界点推出在2D 上有()0f P >，由此依次可推出在所有的i D 12,1i n =-（,,）上都有()0f P >.从而1()0f P >，2()0f P >，则12()()0f P f P >.这与定理条件的12()()0f P f P <矛盾.从而定理得证.定理10（介值性定理）[2] 设函数f 在道路连通区域D 上连续，若12P P ,为D 内任意两点，且12()()f P f P <，则对任何满足不等式12()()f P u f P <<的实数u ，必存在点00,()P D f P u ∈=使得.证明 令()()F P f P u =-，则()F P 在区域D 上连续，且1122()()0,()()0F P f P u F P f P u =-<=->，根据定理9，在区域D 必存在点0P ，使得00()()0F P f P u =-=，即,有0()f P u = .定理得证.定理11[1] 设在区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，则f D （)必定是一个区间. 证明 在区域D 上任取两点12P P ,，且12()()f P f P <，根据定理10知，存在0P D ∈，使得0()f P u =，满足12()()f P u f P <<.于是,[]12()(),()f D f P f P ⊃.所以，f D （)是一个区间. 定理12 设在有界区域n D R ⊂上函数:f D R →连续，对任意0P D ∈，任意{}n P D ⊂，0n P P →时，lim ()n n f P →∞存在，则函数f 在D 上一致连续.证明（方法一） 将函数f 在闭区域D 上作连续延拓，令lim ()n n F P f P →∞（）=，其中{},n n P D P P ⊂→，P D ∈.由定理1的证明过程可知，函数()F P 在D D D =∂上连续，则由推论3可知，F 在有界闭区域D 上一致连续，从而F 在D 上一致连续，由于P D ∈时，()()F P f P =，因此函数f 在区域D 上一致连续.（方法二） 假设f 在D 上不一致连续，则存在00ε>，对于任意小的1n，总有相应的n P ，n Q D ∈，虽然()1,n n P Q nρ<，但仍有()()0n n f P f Q ε-≥. 由于D 为有界区域,因此存在收敛子列{}{}k n n P P ⊂,并设0lim k n k P P D →∞=∈.同样地,我们可以在{}n Q 中取得收敛子列{}kn Q ,则因()10,0,k k n n kP Q k n ρ≤<→→∞, 所以有0lim lim k k n n k k Q P P →∞→∞==.设{}{}112233,,,,,,kn n n n n n n R P QP Q P Q =,则0lim lim lim k k k n n n k k k R Q P P →∞→∞→∞===.又因为{}k n R ,{}k n P ,{}k n Q D ⊂,且0lim lim lim k k k n n n k k k R Q P P →∞→∞→∞===,()lim k n k f R →∞,()lim k n k f Q →∞,()lim k n k f P →∞都存在,所以有()()()lim lim lim k k k n n n k k k f R f Q f P →∞→∞→∞==,则有()()()()lim lim lim 0k k k k n n n n k k k f P f Q f P f Q →∞→∞→∞-=-=.这与()()00k k n n f P f Q ε-≥>相矛盾.所以f 在D 上一致连续.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].第三版，北京：人民教育出版社，2001.6.[2]毛羽辉.数学分析选论[M].第一版，北京：科学出版社，2003.9.[3]龚国勇.开区间与无穷区间内连续函数的性质[J].玉林师范高等专科学校学报(自然科学).2000，21（3）：1—3.[4]邹慧超.一般区间上连续函数的性质[J].烟台师范学院报(自然科学).2002，18（4）：241—246.[5]夏丹,夏军.闭区间上连续函数的性质推广[J].广西右江民族师专学报.2005，18（6）：13—14.[6]黄玉民，李成章.数学分析（下册）[M].第一版，北京：科学出版社，1999.5.[7]张国才.闭区域上连续函数的性质的证明[J].锦州师范学院报.2000，21（3）：61—62.[8]吴国民.连续函数性质的推广一例[J].孝感教院学报.1999，7（1）：47—49.说明：1.成绩评定均采用五级分制,即优、良、中、及格、不及格.2. 评语内容包括：学术价值、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误等.。
