当前位置：文档之家 › 三角形复习

三角形复习

  • 格式：doc
  • 大小：226.00 KB
  • 文档页数：8

3
பைடு நூலகம்
图 11 【解题点要】 例 1. 如图 13，已知∠A=27°，∠CBE=90°，∠C=30°，求∠ADE 的度数.
图 13 分析： 求一个角的度数， 可以先看一下它是否在某个三角形中， 如果是三角形的一个内角， 可考虑三角形内角和定理， 或利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和来求. 解：∵∠CBE=90°，∠C=30° ∴∠DEC=180°-(∠CBE+∠C)=180°-(90°+30°)=60° （三角形内角和定理） 又∵∠DEC=∠A+∠ADE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴60°=27°+∠ADE ∴∠ADE=60°-27°=33° 例 2. 已知：等腰三角形的周长是 24cm，(1)腰长是底边长的 2 倍，求腰长；(2)已知其中一边长为 6cm，求其他两边 长. 分析：第(1)题，用设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题用代数方法解和方程思想，第(2)题，要注 意分两种情况考虑，注意检查是否符合两边之和都大于第三边，体现了数学中的分类讨论思想. 解：(1)设底边长 x cm，则腰长为 2 x cm x +2 x +2 x =24 x =4.8 ∴腰长=2 x =2×4.8=9.6 (cm) 因为长为 6 cm 的边可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况计算 则 2 x +6=24 x =12 ∵6+6=12 两边之和等于第三边，6 cm 长为腰不能组成三角形 ∴舍去 ∴三角形其他两边长为 9 cm. 例 3. 已知∆ABC 中，AB=AC，D 是 BA 的延长线上的一点，E 是 AC 上的一点，AD=AE，DE 的延长线交 BC 于 F，如图 14，
教学内容
三角形复习
【教学结构】 ⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. ⒉ 三角形的分类： (1)按边分类： 图2
(2)按角分类：
等腰三角形 三角形 不等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形
⒊ 三角形的主要线段的定义： (1)三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三象形 的角平分线. (2)三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线. (3)三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高. ⒋ 三角形的主要线段的表示法： 三角形的角平分线的表示法： 如图 1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示： ①AD 是∆ABC 的角平分线；②AD 平分∠BAC，交 BC 于 D； A ③如果 AD 是∆ABC 的角平分线，那么∠BAD=∠DAC=
EF= CG= (AG-AC)= (AB-AC)
证明：延长 AC 交 BF 的延长线于 G ∵AD 是∆ABC 的角平分线 ∴∠1=∠2 图 17 ∵BF⊥AD ∴∠AFB=∠AFG=90° ∴∠ABF=180°-(∠1+∠AFB) ∠G=180°-(∠2+∠AFG)（三角形内角和等于 180°） ∴∠ABF=∠G ∴AB=AG（等角对等边） ∵∠1=∠2 AF=AF ∠AFB=∠AFG=90° ∴∆AFB≌∆AFG ∴BF=FG 又∵E 是 BC 中点 ∴EF 是∆BGC 的中位线 ∴EF= ∴EF=
图3
图4 如图 5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三 角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.
图5 图6 图7
⒍ 三角形的边与边之间的关系：
2
图8 (1)三角形两边的和大于第三边； (2)三角形两边的差小于第三边； ⒎ 三角形的角与角之间的关系： (1)三角形三个内角的和等于 180°; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 适当添加辅助线，寻找基本图形 (1)基本图形一，如图 8，在∆ABC 中，AB=AC，B,A,D 成一条直线，则∠DAC=2∠B=2∠C 或∠B=∠C=
例 5. 已知，如图 16，AD 是∆ABC 的角平分线，BF⊥AD 交 AD 的延长线于 F，E 是 BC 的中点，求证：EF=
1 (AB-AC) 2
分析：本题的条件有两类，即角平分线和垂线，所以它的基本图形是等腰三角形，由于基本图形不完整，故将等
5
腰 三 角 形 补 全， 即 延长 AC 交 BF 的 延 长 线于 G ， 可 证 明 AB=AG，BF=GF 可 证 明 EF 是 ∆BGC 的中 位 线 ， ∴
7
⒊ 已知：如图 22，在∆ABC 中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，CE⊥BE 于 E，求证：BD=2CE.
图 24 ⒋ 已知：如图 23，在∆ABC 中，∠A=2∠B，CD 是∠C 的平分线，求证：BC=AC+BD. ⒌ 已知：如图 24，∆ABC 中，AB>AC，AD 平分∠BAC，EF⊥AD 于 G，交 AB 于 E，AC 于 F，交 BC 的延长线于 M，求证： ∠ M=
图（18）
【同步练习】 一、填空题 ⒈ 一个三角形的三个内角的度数的比为 1:2:3，则这个三角形是______三角形. ⒉ 一个等腰三角形的两边长分别是 3 cm 和 6 cm，则它的周长是_____cm.
6
⒊ 在∆ABC 中，∠A=30°，∠B=2∠C，则∠C=______度，∠B=______度. ⒋ 已知如图 18，AB∥CD，则∠α=______度. ⒌ 如果一个等腰三角形的顶角是底角的 4 倍，那么顶角的度数是_____度. 二、选择题 图 23 ⒈ 一个三角形的三边长分别是 3,4, x ，则 x 的取值范围是（ ） A. x >3 B. x图 21 >4 C.3< x <4 D.1< x <7 图 22 ⒉ 已知：∆ABC 中，∠C=80°，∠A-∠B=40°，则∠B 的度数是（ ） 图 20 A.20° B.30° C.40° D.60° ⒊ 在等腰∆ABC 中，AB=AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，∠CDB=150°，则∠A=（ A.130° B.140° C.150° D.160° ⒋ 下面四个结论中，正确的是（ ） A. 三角形的三个内角中最多有一个锐角
∴∠DFB=180°-(∠B+∠D)=90° ∴DF⊥BC
图 15 例 4. 已知：如图 15，A 是直线 MN 上的一点，AD,AC 分别是∠BAN 和∠BAM 的角平分线，KL∥MN，并分别与 AC,AB,AD 相交于 K,P,L，求证：KP=PL 分析：本题的条件只有两类，角平分线和平行线，因此容易找出它的基本图形是等腰三角形，从而证明，AP=PL，同 理可证：AP=KP ∴KP=PL 证明：∵AD 是∠BAN 的平分线 ∴∠1=∠2 ∴KL∥MN ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠3 ∴AP=PL 同理可证；AP=KP ∴KP=PL
4
求证：DF⊥BC
图 16 图 14 分析：利用基本图形一，可得∠B= 和定理得∠DFB=90°，即 DF⊥BC. 证明：∆ABC 中，∵AB=AC ∴∠DAE=2∠B 即∠B= ∆ABC 中，∵AD=AE ∴∠BAC=2∠D 即∠D= ∵∠DAE+∠BAC=180° ∴∠B+∠D=
1 (∠DAE+∠BAC)=90° 2 1 ∠DAE 2 1 ∠BAC 2 1 1 ∠DAE，∠D= ∠BAC，而∠DAE+∠BAC=180°，可证明∠B+∠D=90°，利用三角形内角 2 2
1 ∠DAC. 2
图9 (2)基本图形二，如图 9，如果 CO 是∠AOB 的角平分线，DE∥OB 交 OA,OC 于 D,E，那么∆DOE 是等腰三角形，DO=DE.当 几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这 个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.
1 CM=3 2
⒊ 延长 BA 交 CE 的延长线于 F，由 AB=AC，∠BAC=∠FAC=90°，∠EDC=∠F=∠ADB；可证∆ABD≌∆ACF ∴BD=CF 又∵BE 是 ∠ABC 的平分线 ∠BEC=∠BEF=90°，BE=BE，可证∆BEC≌∆BEF ∴EF=EC ∴CF=2CE ∴BD=2CE ⒋ 延长 CA 到 E，使 CE=CB，连结 ED，可证∆CBD≌∆CED ∴∠B=∠E ∵∠BAC=2∠B∴∠BAC=2∠E=∠EDA+∠E ∴ ∠EDA=∠E ∴AD=AE ∴BC=CE=CA+AE=AC+AD ⒌ 可证∆AEG≌∆AFG，∆AEF 是等腰三角形 ∴∠AEG=∠AFG ∵∠AFG=∠CFM ∴∠AEG=∠CFM ∵∠ACB 是∆CFM 的 外角 ∴ ∠M=∠ACB-∠CFM 同 理 可 证 ∠M=∠AEG-∠B ∴ 2∠M=∠ACB-∠CFM+∠AEG-∠B=∠ACB-∠B ∴ ∠ M=
1 CG 2
1 2
1 2
1 2
∵CG=AG-AC=AB-AC
1 (AB-AC) 2
例 6. 已知：如图 17，∆ABC 中，D 是 AB 边上任意一点，连结 CD，求证：AB+AC>DB+DC
分析：证明三角形中边与边的关系要利用： “三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”定理和推论.此题 的∆ADC 中，可推出 AD+AC>DC，再根据不等式的基本性质，在不等式 AD+AC>DC 的两边都加上 BD，不等号方向不变， 得 AD+AC+BD>DC+BD，而 AD+DB=AB，故 AB+AC>DB+DC 证明：∆ADC 中，AD+AC>DC（三角形的两边之和大于第三边） ∵AD+AC+DB=DC+DB ∴AB+AC>DB+DC 例 3：已知如图（18） 是 CE 的中点，AD=BC，AB=DC．DE 交 AB 于 F 点 ，B 求证： （1）AD∥BC （2）AF=BF．

合集下载

完整版-全等三角形总复习PPT教学课件

完整版-全等三角形总复习PPT教学课件


AC=BC
∠BCE=∠DCA
DC=EC
∴ △ACD≌△BCE (SAS)
∴ BE=AD
2024/3/9
29
6. 如图A、B、C在一直线上，△ABD，△BCE都是等边 三角形，AE交BD于F，DC交BE于G，求证：BF＝BG。
AB
＝
DB
∠ABE ＝ ∠ DBC
BE＝BC ∴△ABE≌△DBC(SAS)
D
C
2
1
A
B
思路3： 已知一边一角（边与角相邻）：
找夹这个角的另一边
AD=CB （SAS）
找夹这条边的另一角
∠ACD=∠CAB（ASA）
找边的对角
∠D=∠（B AAS）
15
如图，已知∠B= ∠E，要识别△ABC≌ △AED，需 要添加的一个条件是--------------
A
D
C
E
思路4：
找夹边
AB=AE (ASA)
∴ △ADC ≌ △EDB
D
C
∴ AC = EB
在△ABE中，AE < AB+BE＝AB+AC
E
即 2AD < AB+AC
∴ AD 1 (AB AC) 2
2024/3/9
35
12.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
C A
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE（已知）． ∴点Q在∠AOB的平分线上．（到角的两边的距
离相等的点在角的平分线上）
2024/3/9
10
2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
三角形知识点复习总结

三角形知识点复习总结

三角形复习1.三角形的定义：由不在同一亶线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点•组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内 角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC 用符号表示为△ ABC,三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的 角C 的小写字母C 表示，AC 叮用b 表示，BC 町用a 表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接：（2） 三角形是一个封闭的图形：（3） A ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义•2.三角形的分类:（1）按边分类： （2）按角分类:I 等边三角形不等边三勿形直角三欽形锐角三角形钝角三角形3. 三角形的主要线段的定义:（1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段. 表示法J 是厶ABC 的BC 匕的中线.-DC 巧 BC.注意：①三角形的中线是线段：② 三角形三条中线全在三角形的内部： ③ 三角形三条中线交于三角形内部一点： ④ 中线把三角形分成两个而积相等的三角形.<2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线匂它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法J 是AABC 的ZBAC 的平分线.等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形三角形AD C注意：①三角形的角平分线是线段:② 三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③ 三角形三条角平分线交于三角形内部一点: ④ 用角器画三角形的角平分线.(3) 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的宜线作垂线，顶点和垂足之间的线段.表示法J 是A ABC 的BC 上的高线. 丄BC 于D.3. Z ADB=Z ADC=90\注意：①三角形的高是线段：② 锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外; ③ 三角形三条高所在直线交于一点•4. 三角形的主要线段的表示法: 三角形的角平分线的表示法：如图1.根据具体情况使用以下任意一种方式表示：① AD 是ABC 的角平分线： ② AD 平分BAC,交BC 于D ：③ 如果人D 是ABC 的角平分线，那么DAU 丄BAC.2⑵三角形的中线表示法：根据具体情况使用以下任意一种方式表示: 人BC 的中线：人BC 中BC 边上的中线:(3) 三角线的高的表不法J如图2,根据具体情况，使用以下任意一种方式表示： ① AM 是A8C 的高：② AM 是A8C 中BC 边上的高：③ -◎ 如果AM 是 ABC 中BC 边上高，那么AM fiC,垂足是E; ⑤如果AM 是 人BC 中BC 边上的高，那么 &M8=人MU90 .5. 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1) 如图3,三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2) 如图4.三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.如图567,三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部， 钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部•直角三角形的三条高的交点在直角三角如图1， ①Af 是③如果处是赵的中纯那么严 AD C CB图156•三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：(1)三边关系的依据是：两点之间线段是短；(2)用成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.7.三角形的角与角之间的关系： (:L)三角形三个内角的和等于180 ;(2) 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和: (3) 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和；4^理宦理：三角形的内角和等于180。

【解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)

【解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)

《解直角三角形》专题复习一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=21AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

几何表示：【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21AB=BD=AD 】4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。

即：【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2AB AD AC •=2 AB BD BC •=2】6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。

（a b c h •=•）由上图可得：AB •CD=AC •BC二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90°c asin =∠=斜边的对边A Ac bcos =∠=斜边的邻边A Ab atan =∠∠=的邻边的对边A A Aab cot =∠∠=的对边的邻边A A A锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0.三、锐角三角函数之间的关系（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A（2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA •tan(90°—A)=1； cotA •cot(90°—A)=1； （3）弦切关系tanA=A Acos sin cotA=AA sin cos（4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)AC BDsin A sin c A ，cos b c A 12S ab =）结论：直角三角形斜边上的高）测底部不可到达物体的高度BP=xcot α 东 西 2八、基本图形（组合型）翻折平移九、解直角三角形的知识的应用问题：(1)测量物体高度．(2)有关航行问题．(3)计算坝体或边路的坡度等问题十、解题思路与数学思想方法图形、条件单个直角三角形直接求解实际问题数学问题辅助线构造抽象转化不是直角三角形直角三角形方程求解常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用【聚焦中考考点】1、锐角三角函数的定义2、特殊角三角函数值3、解直角三角形的应用【解直角三角形】经典测试题（1——10题每题5分，11——12每题10分，13——16每题20分，共150分） 1、在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 2、sin65°与cos26°之间的关系为（ ）A. sin65°< cos26°B. sin65°> cos26°C. sin65°= cos26°D. sin65°+ cos26°=1 3、如图1所示，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）A. 7米B. 9米C. 12米D. 15米4、如图2，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）A. αsin 1B. αcos 1C. αsinD. 1图15、把直角三角形中缩小5倍，那么锐角∠A 的正弦值 ( ) A. 扩大5倍 B. 缩小5倍 C. 没有变化 D. 不能确定6、如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为BC 上的一点，AD=BD=2，AB=23，则： AC 的长为（ ）．A ．3B ．22C ．3D ．3227、如果∠A 是锐角，且3sin 4B =，那么（ ）． A ．030A ︒<∠<︒ B ．3045A ︒<∠<︒C ．4560A ︒<∠<︒D ．6090A ︒<∠<︒8、已知1cos 3α=，则3sin tan 4sin 2tan αααα-+的值等于（ ）A.47B.12C ．13D ．09、 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm 和6cm ，则底边上的高为__________cm ，底角的余弦值为______。

初中三角形总复习+中考几何题证明思路总结

初中三角形总复习+中考几何题证明思路总结

初中三角形总复习【知识精读】1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2. 三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）3. 三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）三角形的内角之和等于180°（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；（5）三角形具有稳定性。

4.⋅S SABE∆基础。

5. 三角形边角关系、性质的应用【分类解析】例1. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020︒<<︒∠B B. 2030︒<<︒∠B C. 3045︒<<︒∠B D. 4560︒<<︒∠B分析：因为∆ABC 为锐角三角形，所以090︒<<︒∠B 又∠C ＝2∠B ，∴︒<<︒0290∠B ∴︒<<︒045∠B又∵∠A 为锐角，()∴=︒-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>︒∠∠B C 90∴>︒390∠B ，即∠B >︒30 ∴︒<<︒3045∠B ，故选择C 。

例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。

解：∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x ，3x ∴+=23200x x 解得：x =40 2803120x x ==， 与80°相邻的内角为100° ∴这个三角形为钝角三角形 应选C例3. 如图，已知：在∆ABC 中，AB AC ≤12，求证：∠∠C B <12。