椭圆的几何性质课件

由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)

的对称轴，坐标原点是对称中心. 椭圆的对称中
（3）顶点
在方程①中，令
= 0，得
轴有两个交点，可以记作
=−
作
或
1 (0,
− )，
交点，即
的顶点.
= ，可知椭圆
2 (0,
1， 2
和
=−
1(
或
− ,0)，
与
). 因此，椭圆
= ，可知椭圆
2(
,0)；令
与
= 0 ，得
轴也有两个交点，可以记
与它的对称轴共有 4 个
=− ， = ， =− ， =
x
a 且 b
y
b ，这说明，椭圆
所围成的矩形内，如图所示.
（2）对称性
如果 ( , ) 是方程①的一组解，则不难看出，( − , )，( , − )，( − , − )
都是方程的解，这说明椭圆
因此，
轴、
心也称为椭圆的中心.
关于
轴是椭圆
轴、
轴、坐标原点对称，如图所示.
1 ， 2 ，如图所示，这四个点都称为椭圆
注意到
1 2
椭圆的长轴，线段
=2 ，
1
而且椭圆的长轴长为 2
2
1 2
=2
，而且
>
> 0 ，所以线段
1 2
称为
称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，
，短轴长为 2 .
于是， ，
距为 2 ，则
分别是椭圆的半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦
是椭圆的半焦距，由
轴上的椭圆是一致的，如图所示.
例 1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：

x2 a2
y2 b2
1，
（4）
由此可知，点M的轨迹是椭圆，方程（1）是椭圆
的参数方程，在椭圆的参数方程（1）中，常数a、
b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
6、椭圆的参数方程
椭圆 x2 a2
y2 b2
1 （a
b
0），的参数方程是
x
y
a cos b sin
（为参数）
7、椭圆的焦半径公式
P（x0，y0）是椭圆
c2
b2，就可化
成：x a
2 2
y2 b2
（1 a
b 0）.
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、 短轴长分别为2a、2b的椭圆.
5、椭圆的第二定义
平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的
距离的比是常数：e c （0＜e＜1）时，这个 a
点M的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线 叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．
长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法
画出它的图形．
解：把已知方程化成标准方程： x 2 52
y2 42
1，
这里，a 5，b 4，所以：c 25 16 3，
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是：2a 10
和 2b 8，离心率 e c 3，两个焦点分别是 a5
F1 （ 3，0）和F2 （3，0），椭圆的四个顶点是 A（1 5，0）、A（2 5，0），B（1 0， 4）和B（2 0，4）.
练习
一、选择题
1、椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆
的中心到其准线的距离是（D ）
A、8 5 5
B、 4 5 5
C、8 3 3
D、 4 3 3
2、椭圆 9x2 25 y 2 225 上有一点P，它到右准

由几何性质求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆过(3,0)，离心率 e＝ 36； (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互 相垂直，且焦距为 8. 【思路探究】 (1)椭圆的焦点位置确定吗？(2)基 本量 a、b、c 分别为多少？怎样求出？
【自主解答】 (1)若焦点在 x 轴上，则 a＝3，
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质 【问题导思】 1．观察椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的形状，
图 2－2－2 你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称 性？椭圆上哪些点比较特殊？
【提示】 椭圆上的点都在如题图中的矩形框内 部，椭圆关于坐标轴对称．椭圆与坐标轴的四个交点比 较特殊．
求 e 的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等 式，具体如下：
(1)若已知 a，c 可直接代入 e＝ac求得； (2)若已知 a，b，则使用 e＝ 1－ba22求解； (3)若已知 b，c，则求 a，再利用(1)或(2)求解； (4)若已知 a，b，c 的关系，可转化为关于离心率 e 的方程(不等式)求值(范围)．
【自主解答】 (1)由题意得：b＝c，∴e2＝ac22＝
b2＋c2 c2＝2cc22＝12，∴e＝
2 2.
(2)由题意得：2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2
又∵a2＝b2＋c2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2
即 3a2－2ac－5c2＝0，∴3－2·ac－5·(ac)2＝0 即 5·(ac)2＋2·ac－3＝0，∴e＝ac＝35.
2．若用ac来描述椭圆的扁平情况会是怎样的？ 【提示】 ac越小椭圆形状越圆；ac越大椭圆形状越 扁．1(注．定意义：：0＜椭ac圆＜的1)焦距与长轴长的比__e_＝__ac__，叫做