九年级二次函数培优竞赛试题及答案
1．在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(0，－4)，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．
(1)求点C的坐标；
(2)若抛物线y＝－1
4
x2＋ax＋4经过点C．
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c 经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；
（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．
1.【解析】
试题分析：（1）过点C作CD垂直于x轴，由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，根据旋转的旋转得到AB=AC，且∠BAC为直角，可得∠OAB与∠CAD 互余，由∠AOB为直角，可得∠OAB与∠ABO互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长，可得出OD及CD的长，根据C在第四象限得出C的坐标；
（2）①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式；
②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：
（i）A为直角顶点，过A作AP
1垂直于AB，且AP
1
=AB，过P
1
作P
1
M垂直于x轴，
如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP
1
，利用AAS可证明三角
形AP
1M与三角形ACD全等，得出AP
1
与P
1
M的长，再由P
1
为第二象限的点，得出
此时P
1
的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii）当B为直角顶点，过B作
BP
2垂直于BA，且BP
2
=BA，过P
2
作P
2
N垂直于y轴，如图所示，同理证明三角形
BP
2N与三角形AOB全等，得出P
2
N与BN的长，由P
2
为第三象限的点，写出P
2
的
坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii）当B为直角顶点，过B作BP
3
垂直
于BA，且BP
3=BA，如图所示，过P
3
作P
3
H垂直于y轴，同理可证明三角形P
3
BH
全等于三角形AOB，可得出P
3H与BH的长，由P
3
为第四象限的点，写出P
3
的坐
标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标．试题解析：（1）过C作CD⊥x轴，垂足为D，
∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，
∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，﹣2），
∴OA=CD=1，OB=AD=2，
∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点，
∴C的坐标为（3，﹣1）；
（2）①∵抛物线y=﹣1
2
x2+ax+2经过点C，且C（3，﹣1），
∴把C的坐标代入得：﹣1=﹣9
2
+3a+2，解得：a=
1
2
，
则抛物线的解析式为y=﹣1
2
x2+
1
2
x+2；
②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点，
则延长CA至点P
1使得P
1
A=CA，得到等腰直角三角形ABP
1
，过点P
1
作P
1
M⊥x轴，
如图所示，
∵AP
1=CA，∠MAP
1
=∠CAD，∠P
1
MA=∠CDA=90°，
∴△AMP
1
≌△ADC，
∴AM=AD=2，P
1
M=CD=1，
∴P
1（﹣1，1），经检验点P
1
在抛物线y=﹣
1
2
x2+
1
2
x+2上；
（ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP
2⊥BA，且使得BP
2
=AB，
得到等腰直角三角形ABP
2，过点P
2
作P
2
N⊥y轴，如图，
同理可证△BP
2
N≌△ABO，
∴NP
2
=OB=2，BN=OA=1，
∴P
2（﹣2，﹣1），经检验P
2
（﹣2，﹣1）也在抛物线y=﹣
1
2
x2+
1
2
x+2上；
（iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP
3⊥BA，且使得BP
3
=AB，
得到等腰直角三角形ABP
3，过点P
3
作P
3
H⊥y轴，如图，
同理可证△BP
3
H≌△BAO，
∴HP
3
=OB=2，BH=OA=1，
∴P
3（2，﹣3），经检验P
3
（2，﹣3）不在抛物线y=﹣
1
2
x2+
1
2
x+2上；
则符合条件的点有P
1（﹣1，1），P
2
（﹣2，﹣1）两点．
考点：1.二次函数综合题2.点的坐标3.等腰直角三角形．
