2010年高考立体几何专题复习-6
2010年高考立体几何专题复习 岱山中学 孙珊瑚 鲁纪伟 高考立体几何试题一般有选择、填空题, 解答题,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题,是在解决立体几何问题的过程中,大量的、反复遇到的,而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容,因此在主体几何的总复习中,首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手,通过较为基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分析与概括,掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想,以提高逻辑思维能力和空间想象能力. 2.判定两个平面平行的方法: (1)根据定义——证明两平面没有公共点; (2)判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面; (3)证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质: ⑴由定义知:“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得:“两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理:“如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”,但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。 4.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系,空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等.解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决. 空间的角,是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概 念,由它们的定义,可得其取值范围,如两异面直线所成的角θ∈(0,2π],直线与平面所成的角θ∈0,2π?? ???? , 二面角的大小,可用它们的平面角来度量,其平面角θ∈[0,π]. 对于空间角的计算,总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角,并把它置于一个平面图形,而且是一个三角形的内角来解决,而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的,因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用.通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力. 如求异面直线所成的角常用平移法(转化为相交直线)与向量法;求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角;而求二面角-l -的平面角(记作)通常有以下几种方法: (1) 根据定义; (2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面,设∩=OA ,∩=OB ,则∠AOB = ; (3) 利用三垂线定理或逆定理,过一个半平面内一点A ,分别作另一个平面的垂线AB (垂足为B ),或棱l 的垂线AC (垂足为C ),连结AC ,则∠ACB = 或∠ACB =-; (4) 设A 为平面外任一点,AB ⊥,垂足为B ,AC ⊥,垂足为C ,则∠BAC =或∠BAC =-; (5) 利用面积射影定理,设平面内的平面图形F 的面积为S ,F 在平面内的射影图形的面积为S ,则cos =S S ' . 5.空间的距离问题,主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间(限于给出公垂线
立体几何(高考真题)专题
立体几何(高考真题+模拟新题)专题训练 1、[2011·四川卷]l 1,l 2,l 3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A .l 1⊥l 2,l 2⊥l 3?l 1∥l 3 B .l 1⊥l 2,l 2∥l 3?l 1⊥l 3 C .l 1∥l 2∥l 3?l 1,l 2,l 3共面 D .l 1,l 2,l 3共点?l 1,l 2,l 3共面 2、[2011·南京质检]平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A .存在一条直线a ,a ∥α,a ∥β B .存在一条直线a ,a ?α,a ∥β C .存在两条平行直线a 、b ,a ?α,b ?β,a ∥β,b ∥α D .存在两条异面直线a 、b ,a ?α,b ?β,a ∥β,b ∥α 3、[2011·北京崇文一模] 已知m ,n 是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,则下列命题中正确的为 ( ) A .若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β B .若m ∥α,m ∥β,则α∥β C .若m ∥α,n ∥α,则m ∥n D .若m ⊥α,n ⊥α,则m ∥n 4、[2011·宁波二模]已知a ,β表示两个互相垂直的平面,a ,b 表示一对异面直线,则a ⊥b 的一个充分条件是( ) A .a ∥α,b ⊥β B .a ∥α,b ∥β C .a ⊥α,b ∥β D .a ⊥α,b ⊥β 5、[2011·泸州二诊] 如图K40-4,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =1.若二面角C -AB -C 1的大小为60°,则点C 到平面C 1AB 的距离为( ) A.34 B.12 C.3 2 D .1 6、[2011·大连一模]已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形,侧棱长均为2,则侧棱与底面所成角的余弦值为( ) A.32 B.12 C.33 D.36 7、 [2011·深圳调研] 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D 是侧面BB 1C 1C 的中心,则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( ) A .30° B .45° C .60° D .90° 8、 [2011·沈阳模拟] 设A ,B ,C ,D 是空间不共面的四个点,且满足AB →·AC →=0,AD →·AC → =0,AD →·AB →=0,则△BCD 的形状是( ) A .钝角三角形 B .直角三角形 C .锐角三角形 D .无法确定 9、大纲理数11.G8[2011·全国卷]已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4,圆M 的面积为4π,则圆N 的面积为( ) A .7π B .9π C .11π D .13π 10、大纲文数12.G8[2011·全国卷] 已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4,圆M 的面积为4π,则圆N 的面积为( ) A .7π B .9π C .11π D .13π 11、课标文数7.G8[2011·湖北卷] 设球的体积为V 1,它的内接正方体的体积为V 2,下列说法中最合适的是( ) A .V 1比V 2大约多一半 B .V 1比V 2大约多两倍半 C .V 1比V 2大约多一倍 D .V 1比V 2大约多一倍半 12、大纲理数6.G5、G11[2011·全国卷]已知直二面角α-l -β,点A ∈α,AC ⊥l ,C 为垂足.点B ∈β,BD ⊥l ,D 为垂足.若AB =2,AC =BD =1,则D 到平面ABC 的距离等于( ) A.23 B.33 C.6 3 D .1 12、[2011·全国卷] 已知直二面角α-l -β,点A ∈α,AC ⊥l ,C 为垂足,点B ∈β,BD ⊥l ,D 为垂足.若AB =2,AC =BD =1,则CD =( ) A .2 B. 3 C. 2 D .1 13、课标理数4.G5[2011·浙江卷] 下列命题中错误..的是( ) A .如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B .如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C .如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l ,那么l ⊥平面γ D .如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β 14、大纲理数6.G5、G11[2011·全国卷]已知直二面角α-l -β,点A ∈α,AC ⊥l ,C 为垂足.点B ∈β,BD ⊥l ,D 为垂足.若AB =2,AC =BD =1,则D 到平面ABC 的距离等于( ) A.23 B.33 C.6 3 D .1 15、大纲理数9.G11[2011·重庆卷] 高为2 4 的四棱锥S -ABCD 的底面是边长为1的正方形,点 S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( ) A.24 B.2 2C .1 D. 2 16、大纲理数16.G11[2011·全国卷]已知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1 上,且B 1E =2EB ,CF =2FC 1,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于________. 17、课标理数12.G8[2011·辽宁卷] 已知球的直径SC =4,A ,B 是该球球面上的两点,AB =3,∠ASC =∠BSC =30°,则棱锥S -ABC 的体积为( ) A .3 3 B .2 3 C. 3 D .1 18、课标理数15.G8[2011·课标全国卷] 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上,且AB =6,B C =23,则棱锥O -ABC D 的体积为________. 18、大纲文数15.G8[2011·四川卷] 如图1-3,半径为4的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________. 4 19、[2011·北京卷] 如图,在四面体P ABC 中,PC ⊥AB ,P A ⊥BC ,点D ,E ,F ,G 别是棱AP ,AC ,BC ,PB 的中点. (1)求证:DE ∥平面BCP ; (2)求证:四边形DEFG 为矩形; (3)是否存在点Q ,到四面体P ABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由. 20、[2011·北京卷] 如图1-6,在四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是菱形,AB =2,∠BAD =60°.
高考数学专题复习立体几何专题空间角
立体几何专题:空间角 第一节:异面直线所成的角 一、基础知识 1.定义: 直线a 、b 是异面直线,经过空间一交o ,分别a ?//a ,b ?//b ,相交直线a ?b ?所成的锐角(或直 角)叫做 。 2.范围: ?? ? ??∈2,0πθ 3.方法: 平移法、问量法、三线角公式 (1)平移法:在图中选一个恰当的点(通常是线段端点或中点)作a 、b 的平行线,构造一个三角形,并解三角形求角。 (2)向量法: 可适当选取异面直线上的方向向量,利用公式b a = ><=,cos cos θ 求出来 方法1:利用向量计算。选取一组基向量,分别算出 b a ? 代入上式 方法2:利用向量坐标计算,建系,确定直线上某两点坐标进而求出方向向量 ),,(111z y x a = ),,(222z y x b =2 2 22222 1 2 12 12 12121cos z y x z y x z z y y x x ++++++= ∴θ (3)三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即:θθθcos cos cos 2 1= 二、例题讲练 例1、(2007年全国高考)如图,正四棱柱 1111ABCD A B C D -中, 12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知AB=a ,BC=)(b a b >,AA 1= c ,求异面直线D 1B 和AC 所成 的角的余弦值。 方法一:过B 点作 AC 的平行线(补形平移法) A B 1 B 1 A 1D 1 C C D
立体几何空间角习题
立体几何空间角习题 【基础】空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是:0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。 一、选择填空题 1.(1)已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,A 1B ⊥CB 1,则 A 1 B 与A C 1所成的角为( ) (A )450 (B )600 (C )900 (D )1200 (2)已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE SD ,所成的角的余弦值为( ) A . 1 3 B C D . 23 (3)Rt ABC ?的斜边在平面α内,顶点A 在α外,BAC ∠在平面α内的射影是BA C '∠,则 BA C '∠的范围是________________。 (4)从平面α外一点P 向平面α引垂线和斜线,A 为垂足,B 为斜足,射线BC α?,这时 PBC ∠为钝角,设,PBC x ABC y ∠=∠=,则( ) A.x y > B.x y = C.x y < D.,x y 的大小关系不确定 (5)相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°,那么这两条直线在平面α内的 射影所成的角是( ) A .30° B .45° C .60° D .90° (6)一条与平面相交的线段,其长度为10cm ,两端点到平面的距离分别是2cm ,3cm ,这条线 段与平面α所成的角是 ;若一条线段与平面不相交,两端点到平面的距离分别是2cm ,3cm ,则线段所在直线与平面α所成的角是 。 (7)PA 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线,每两条夹角都是60°,那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是( ) A B A 1 1
立体几何复习专题(空间角)(学生卷)
专题一:空间角 一、基础梳理 1.两条异面直线所成的角 (1)异面直线所成的角的范围:(0, ]2 π 。 (2)异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直。两条异面直线,a b 垂直,记作a b ⊥。 (3)求异面直线所成的角的方法: (1)通过平移,在一条直线上(或空间)找一点,过该点作另一(或两条)直线的平行线; (2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有:平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 2.直线和平面所成的角(简称“线面角”) (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面,所成的角是直角;一直线平行于平面或在平面内,所成角为0?角。 直线和平面所成角范围:[0, 2 π]。 (2)最小角定理:斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 (3)公式:已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角, 且a 上的射影c 与b 相交成?2角, 则有θ??cos cos cos 21= 。 内的射影所成角,是这条斜线和这个平面内的任一条直 线所成角中最小的角。 3.二面角 (1)二面角的概念:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面。若棱为l ,两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--。 (2)二面角的平面角: 过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内...... 作棱的两条垂线,OA OB ,则AOB ∠叫做二面角 l αβ--的平面角。 说明:①二面角的平面角范围是[]0,π,因此二面 角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。 ②二面角的平面角为直角时,则称为直二面角, 组成直二面角的两个平面互相垂直。 (3)二面角的求法:(一)直接法:作二面角的平面角的作法:①定义法;②棱的垂面法;③三垂线定理或逆定理法;(注意一些常见模型的二面角的平面角的作法) (二)间接法:面积射影定理的方法。 (4)面积射影定理: 面积射影定理:已知ABC ?的边BC 在平面α内,顶点A α?。设ABC ?的面积为S ,它在平 ?2?1c b a θP αO A B l B' O' A' B O A βα
高考立体几何大题及答案理
1.如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面 ABCD ,2AD =,2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上, ∠ABM=60 。 (I )证明:M 是侧棱SC 的中点; ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点,DE ⊥平面BCC 1(Ⅰ)证明:AB =AC (Ⅱ)设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.如图,DC ⊥平面ABC ,//EB DC ,22AC BC EB DC ====,120ACB ∠=,,P Q 分别为,AE AB 的中点.(I )证明://PQ 平面ACD ; (II )求 AD 与平面ABE 所成角的正弦值. 4.如图,四棱锥P ABCD -的底面是正方形, PD ABCD ⊥底面,点E 在棱PB 上.(Ⅰ)求证:平面AEC PDB ⊥平面;(Ⅱ)当2PD AB =且E 为PB 的中 点 时,求AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形, PA ⊥平面ABCD ,4PA AD ==,2AB =.以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M . B C D E O A P B M
(1)求证:平面ABM ⊥平面PCD ; (2)求直线PC 与平面ABM 所成的角; (3)求点O 到平面ABM 的距离. 6.如图,正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角三角形,,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=(I )求证:EF BCE ⊥平面; (II )设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ,求证: PM ∥BCE 平面 (III )求二面角F BD A --的大小。 7.如图,四棱锥S -ABCD 的底面是正方形,SD ⊥平面ABCD ,SD =AD =a ,点E 是SD 上的点,且DE =λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证:对任意的λ∈(0、1), 都有AC ⊥BE : (Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ,求λ的值。 8.如图3,在正三棱柱111ABC A B C -中,AB =4, 17AA =,点D 是BC 的中点,点E 在AC 上,且DE ⊥1A E .(Ⅰ)证明:平面1A DE ⊥平面 11ACC A ;(Ⅱ)求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。 9.如图,正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角三角形,,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= (I )求证:EF BCE ⊥平面;
高中数学立体几何专题
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长,h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线 为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥:有一个面是多边形,其余各面是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
(完整版)非常好高考立体几何专题复习
立体几何综合习题 一、考点分析 1.棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①? ? ??????→?? ?????→? ? ?? L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 ★ 底面为矩形 底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 3 .球 球的性质: ①球心与截面圆心的连线垂直于截面; ★②r(其中,球心到截面的距离为 d、球的半径为R、截面的半径为r) ★球与多面体的组合体:球与正四面体,球与长 方体,球与正方体等的内接与外切. 注:球的有关问题转化为圆的问题解决. B
1.求异面直线所成的角(]0,90θ∈??: 解题步骤:一找(作):利用平移法找出异面直线所成的角;(1)可固定一条直线平移 另一条与其相交;(2)可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证:证明所找(作)的角就是异面直线所成的角(或其补角)。常需要证明线线平行; 三计算:通过解三角形,求出异面直线所成的角; 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??:关键找“两足”:垂足与斜足 解题步骤:一找:找(作)出斜线与其在平面内的射影的夹角(注意三垂线定理的应用); 二证:证明所找(作)的角就是直线与平面所成的角(或其补角)(常需证明线面垂直);三计算:常通过解直角三角形,求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤:一找:根据二面角的平面角的定义,找(作)出二面角的平面角; 二证: 证明所找(作)的平面角就是二面角的平面角(常用定义法,三垂线法,垂面法); 三计算:通过解三角形,求出二面角的平面角。