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数学名题欣赏第9讲1 . 古希腊三大几何作图难题的非尺规解法公元前四世纪，古希腊的智人学派(也称巧辩学派)提出并研究了三大几何作图问题：立方倍积问题、三等分角问题和化圆为方问题.立方倍积问题: 已知一个立方体. 仅用圆规和直尺, 作一个立方体, 使其体积等于已知立方体的体积的两倍.三等分角问题: 任意给定一个角. 仅用圆规和直尺, 把该角三等份.化圆为方问题: 已知一个圆. 仅用圆规和直尺, 作一个正方形, 使其面积等于已知圆的面积.直到十九世纪, 人们才证明了, 用圆规和直尺不可能解决上述三个几何作图问题. 1837年，旺策尔(P．Wantzel)证明了立方倍积和三等分角的不可能性. 1882年，林德曼(C. Lindemann)证明了 的超越性，从而推断，只用圆规和直尺不能化圆为方.虽然著名数学家克莱茵于1895年已经对三大作图问题作了总结，严格证明了, 仅用尺规绝不可解这些问题，彻底解决了两千多年的悬案，但用其他几何方法还是可以准确地(非测量地)解决这三个问题的.一立方倍积问题的丝线解法历史传说关于立方倍积问题的提出，传说很多. 埃拉托塞尼(Eratosthenes，公元前226年——公元前195年)在名著《柏拉图》一书中写道：太阳神阿波罗向提洛岛的人们宣布, 瘟疫即将流行. 为了摆脱灾难，必须把德里安祭坛的体积扩大，使之变为现在这个立方体祭坛的体积的两倍，而且要求仍然是一个立方体. 工匠们百般努力，百思不得其解，于是去请教柏拉图. 柏拉图提醒大家，神发布这个谕示，并不是想得到一个体积加倍的祭坛，而是以此难题来责难希腊人对数学的忽视和对几何学的冷淡.埃拉托塞尼是国王托勒密(Ptolemy)之子的家庭教师，他把自己关于立方倍积的工作上报给托勒密国王，引起了国王的重视，并在全国悬赏征解.又有一个传说, 说的是古代一位希腊悲剧诗人, 他描述过一位名叫弥诺斯的匠人为皇族格劳科斯修坟的故事. 弥诺斯说，原来设计的每边都是百尺的立方体坟墓，对于殉葬者众多的皇家而言还嫌太小，皇家要求他把其体积加倍.当时古希腊关于立方倍积的传说满天飞，可见人们对这一问题的重视和兴趣. 设k 是已知立方体的棱长，x 是所求立方体的棱长，于是, 332x k =.解法一 希腊数学家梅纳奇马斯(Menaechmus ，前375——前325)考虑了两条抛物线2x ky =和22y kx =的交点. 由于42232x k y k x ==，所以332x k =. 于是, 这两个抛物线的交点(非原点)的横坐标即为所求的立方体之棱长.解法二 笛卡儿(Descartes ，1596—1650)只用上面两条抛物线中的一条就求得了x . 事实上，上述两条抛物线的交点(), x y 满足222x y ky kx +=+, 此为中心在, 2k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭、的圆. 此圆过两抛物线的交点，所以为求两抛物线的交点的横坐标x ，只需求上述圆与两条抛物线之一的交点即可(圆比抛物线容易作出).解法三 在上述方法中要作抛物线，这件事用尺规不能完成. 下面介绍一种巧妙的“丝线作图法”.1. 作边长为k 的正三角形ABC ，延长CA 到D ，使得AD k =;2. 作直线DB 和AB ;3. 取丝线一条, 在其上标出两点E 和F ，使EF k =;4. 拉直丝线，使其通过C 点，且点E 和F 分别落在DB 和AB 上. 于是可证:x =，即x 为体积加倍的立方体的棱长.注 x 的求法如下. 由上图, ||GC BE ,故2x k ky=. 在BCF ∆中使用余弦定理, 得()2222222cos3x k k y ky k y ky π+=+-=++, 即222x kx y ky +=+. 于是得332x k =. 故x =.二 用木工尺三等分任意角木工尺就是图中所示的直角尺. 设尺的拐角内点为B , 在和BD 垂直的尺边上取一点C , 使BC 等于尺宽AB . 任意给定一角EOF ∠. 用木工尺作一条与OE 相距为尺宽AB 的平行线l . 令尺边上的点A 落在l 上, C 落在OF 上, 尺边DB 过点O , 则沿DB 画出的直线l '与OF 的夹角等于13EOF ∠.事实上, Rt CBO Rt ABO Rt AGO ∆≅∆≅∆, 于是αβγ==.三 用割圆曲线化圆为方割圆曲线是古希腊数学家希庇亚斯为解决化圆为方问题而发明的. 设点A 是已知圆的圆心,AB 为一条半径.把线段AB 绕点A 顺时针匀速旋转90 到AD 的位置,同时, 与AD 平行的直线BC 匀速平移到AD 位置, 且AB 和BC 同时到达AD . 可以证明, 在运动过程中, 线段AB 和直线BC 始终相交. 它们的交点的轨迹称为割圆曲线(图中的粗实线).由于此曲线把以A 为圆心、以AB 为半径的14圆切割成两块, 所以该曲线称为割圆曲线. 如图建立坐标系, 设AB a =, 则割圆曲线的方程为tan2yx yaπ=.于是002lim limtan2y y y aAG x yaππ→→===. 由于我们利用割圆曲线, 所以AG 是已知线段. 于是,我们可用尺规作出线段2222AB a al a AG ππ===和线段b , 使得222b al a π==. 于是, 以b 为一边的正方形的面积等于已知圆的面积2a π.注1 证明: 在运动过程中, 线段AB 和直线BC 始终相交.设AB 旋转的角速度为ω,BC 平移的速度为v ,则因AB 和BC 同时到达AD , 所以2a vπω=. 于是2v a ωπ=.在t 时刻, B ''的纵坐标cos a t ω=.B C ''的纵坐标221. ()y a vt a at a t ωωππ⎛⎫=-=-=-* ⎪⎝⎭今证2cos 1t t ωωπ>-. 令t ωα=, 则要证2cos 10. ()2παααπ⎛⎫>-<<** ⎪⎝⎭22cos 1sin ααααππ'⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭.当20arcsin απ<<时, 2cos 10αααπ'⎛⎫+-> ⎪⎝⎭; 当2arcsin 2παπ<<时, 2cos 10αααπ'⎛⎫+-< ⎪⎝⎭. 又在0α=或2π时, 2cos 10ααπ+-=, 所以2cos 1002παααπ⎛⎫+-><< ⎪⎝⎭. 即 ()**成立. 所以线段AB和直线BC 始终相交.注 2 由 ()*, 得22y t aππω=-, 所以22y t aππϕω=-=, 于是割圆曲线的方程为tan2yx yaπ=.2 . 捆绑立方体若把橡皮筋套在一个立方体的顶点A 的近旁， 使此橡皮筋成一个三角形，那么只要一松手，则橡皮筋会向A 的方向滑过去而脱落. 再看与此立方体的一个面平行的平面, 它截得的正方形MNPQ 若是橡皮筋，我们将它弄成不与立方体的面平行，它仍然会凭它的“收缩成面积最小的特性”而恢复成一个与该立方体的面平行的正方形. 可见, 与立方体的面平行的正方形MNPQ 是稳定的捆绑.上述这种与立方体的面平行的正方形橡皮筋共三族，每个面上有两族橡皮筋垂直地分布于该面上. 在立方体表面上的每个点处, 都通过两条稳定(最牢靠)捆绑的橡皮筋. 除此之外，是否还可能有牢靠捆绑的橡皮筋呢? 有!-的棱长为1. 考虑其表面上的六边形ABCDEF, 并设其六边分别在立方体的六个面上. 若ABCDEF是一条橡皮筋且是稳定的捆绑，则其长度将在弹力作用下变为最短. 考虑立方体的侧面展开图. 由于ABCDEF达到了最短, 故A、B、C、D、E、F、A共线. 于是, 直线ABCDEFA与AQ夹45 角, 六边形ABCDEF 的各边与所在面上的一条对角线平行. 这些对角线组成了展开图中的两条平行虚线, 它们是ABCDEFA的两个极端位置. 对应在正方体上，这两个极端位置是PRX∆和QWU∆.显然, 六边形ABCDEF的周长为32正方体的一个面的对角线长度23倍).另外, AB CD EF ==, BC DE FA ==, ||AB DE , ||BC EF , ||CD FA , 且ABCDEF 是每个角都是120 的平面六边形, 它所在的平面平行于平面QWU 和平面PRX .稳定的捆绑ABCDEF 的位置是可变的, 它所在的平面可以平行于平面QWU 而在平面QWU 和平面PRX 之间平移(但ABCDEF 的周长始终保持为常数而各边也在自身所在的面内平移且保持平行于同一条对角线. 在平面展开图上, 两条虚线之间的带状区域被缠绕在立方体上(三棱锥S PRX -以外的各面上).若把稳定捆绑的六边形ABCDEF 的各边延长，则可形成两个中心重合且对应边平行的正三角形, 它们所围成的区域的公共部分的边界即六边形ABCDEF .一共有四族捆绑六边形，每族所在的平面互相平行，且平行于立方体的三个面上的三条对角线. 这四族捆绑线和开头讲的三族捆绑线（平行于立方体的面）合起来, 共有七族捆绑线.在立方体的表面上的每一点处, 恰有四条捆绑线通过. 于是, 在立方体的表面上，共编织了四层捆绑线.若要把棉纱绕在一个立方体上且不致使棉纱松脱，则应垂直于立方体的棱缠绕或缠在三棱锥S PRX∆所在的平面平行. 共有七种缠-以外的表面上，每圈线与PRX绕方式. 用垂直于棱的方式(三种)缠了两层之后改用平行于PRX∆等三角形的方式(四种)再缠两层，以后周期性地重复进行，则可缠绕成一个十分别致而结实的线团.3 . 糕点售货员的打包技术顾客买了一盒点心，要求售货员把长方体的点心盒用尼龙绳捆紧，便于携带. 售货员至少有两种捆绑方式.一是正交十字法. 如图. 这是一种牢固的包扎方法.二是上下压角法(这与前面讲的捆绑立方体很类似). 如图. 捆扎的尼龙绳形成了一个空间八边形ABCDEFGH. 要使捆扎最紧, 必须使该空间八边形的周长最短. 我们从纸盒的平面展开图上来分析.在展开图上, 仅当A、B、C、D、E、F、G、H共线时, 封闭折线ABCDEFGHA(尼龙绳)才最短. 设上述八点共线. 则直线AB可在一定的范围内平移. 图中的两条虚线是AB 的极限位置, AB 可在这两条虚线所夹的范围内平移. 设纸盒的长、宽、高分别为a 、b 、c , 则不论AB 在上述范围内的哪个位置, 八边形ABCDEFGH 的周长都是同一值L =周长的最小值), 相应的捆扎都是牢固的.这种别致、最优的捆扎方式, 样式新颖, 使得绳子不仅可以沿着自身的走向移动, 而且可在盒子的表面平移, 平移时, 绳子的总长还保持不变, 恒为L =另外, 该方法所用的绳子的长度L =字法所用的绳子的长度224a b c ++.绳子的第一个极端位置 绳子的一般位置绳子的第二个极端位置 以上三个位置画在同一图上在绳子的一般位置的图示中, 注意||AB FE 且AB FE =, ||DC GH 且DC GH =,AH ED =且68AHP EDP ∠=∠, BC FG =且68BCP FGP ∠=∠.如用多条绳子捆紧盒子, 并使各条绳子的位置不同（彼此平行），则图示如上. 把上述平面展开图中的两条虚线所夹的区域视为一条宽带子, 则可用该带子牢固地捆紧纸盒, 这就好像用多条绳子捆扎一样.4 . 怎样判断一个自然数能否被2，3，5，7，9，11和13整除？设n 是自然数, 则(1)n 可以被2(或5)整除⇔n 的个位数可以被2(或5)整除.换言之, n 可以被2(或5)整除⇔n 的个位数是偶数(或0和5之一).例如, 9034可以被2整除, 但21537不能被2整除. 24910和7729215可以被5整除,但28849不能被5整除.该方法的意义(实用价值)在于: 不需要实际做除法即可判断一个数n 能否被2或5整除, 这比计算2n ÷和5n ÷简便.(2)n 可以被3(或9)整除⇔n 的各位数字之和可以被3(或9)整除.例如, 80274可被3整除, 但不能被9整除, 因为8027421++++=可被3整除, 但不能被9整除. 直接验证：80274326758÷=，8027498919÷=余3.35441不能被3整除, 因为3544117++++=不能被3整除. 直接验证: 35441311813÷=余2.2041857可被9整除, 因为204185727++++++=可以被9整除. 直接验证:20418579226873÷=.该方法的意义(实用价值)在于: 用较小的计算量即可判断一个数n 能否被3或9整除, 这比计算3n ÷和9n ÷简便. 以下各方法的用处类此.(3)n 可以被11整除⇔n 的偶位数字之和与奇位数字之和的差可以被11整除.例如，6283706可以被11整除，因为()()687623022+++-++=可以被11整除.52416不能被11整除, 因为()()5462112++-+=不能被11整除.(4)判断n 能否被7(或11, 13)整除的方法 方法一 n 可以被7(或11, 13)整除⇔n 的最后三位数字组成的数和其余各位数字组成的数的差可以被7(或11, 13)整除.例如, 30445828可以被7整除, 因为3044582829617-=可被7整除.208832不能被7整除, 因为832208624-=不能被7整除.575344可以被11整除,因为575344231-=可被11整除. 39901不能被11整除, 因为90139862-=不能被11整除.58513可以被13整除, 因为51358455-=可以被13整除.78310不能被13整除,因为31078232-=不能被13整除. 注意 上述方法可以反复使用, 能达到简化计算的效果. 如判断30445828可否被7整除时, 先求出3044582829617-=, 然后, 对29617, 再计算61729588-=, 它可以被7整除, 从而29617也可以被7整除, 于是,30445828可以被7整除. 方法二 从n 的个位起, 每3位分为一段, (例如,28702448n =可以写成28,702,448n =), 则n 能被7(或11, 13)整除⇔奇数段数字之和与偶数段数字之和的差可以被7(或11, 13)整除.例如, 3,998,460,228可以被7整除, 因为()()9982283460763+-+=可以被7整除.4,879,201,421不能被7整除,因为()()87942142011095+-+=不能被7整除. 9,880,409,341可以被11整除, 因为()()8803419409803+-+=可以被11整除.125,789,641,237不能被11整除, 因为()()789237125641260+-+=不能被11整除.801,139,985,200,009可以被13整除,因为()()80198591392001456++-+=可以被13整除. 5,784,269,131,458不能被13整除, 因为()()7841315269458183+-++=不能被13整除. 注意 上述方法也可以反复使用, 以达到简化计算的目的. 如上面判断801,139,985,200,009可以被13整除时, 先计算出()()80198591392001456++-+=, 然后, 可以对1,456, 计算4561455-=, 它可以被13整除, 所以1,456也可以被13整除, 从而801,139,985,200,009可以被13整除.5 . 消九验算法例1 56385215⨯=对不对？ 利用下面讲的消九验算法可以简便地加以验证.对乘数56，有5696÷=余2. 对乘数385, 有385942÷=余7.两个余数的乘积为14，1491÷=余5. 对乘积21560，有2156092395÷=余5.最后两个余数相同，我们可以基本．．断定5638521560⨯=是正确的(事实上, 此计算确实正确).说基本．．断定5638521560⨯=是正确的, 而不说肯定正确, 是因为可能有这种情况出现, 就是计算虽然有错, 但用上述方法仍然得到最后两个余数相同的结果.比如, 2417318⨯=显然是错的, 但2492÷=余6, 1791÷=余8, 6848⨯=, 4895÷=余3, 318935÷=余3. 最后两个余数相同.由此可见, 上述方法不是绝对可靠的!例2 38227103⨯=对不对?382942÷=余4, 2793÷=余0, 400⨯=, 090÷=余0, 1031291145÷=余7. 因07≠, 所以断定3822710312⨯=是错的.这就是说, 如果最后的两个余数不同, 则一定可以断定计算出错.例3 把消九验算法灵活变通一下, 可以简化验算时的计算.检验例1中的5638521560⨯=是否正确.对56: 5611+=;+=,112对385: 38516+=;++=,167+=;⨯=, 1452714对21560: 2156014+=.++++=,145最后的两个计算结果相同, 可基本断定5638521560⨯=正确.道理: 56被9除所得的余数=“5611+=”被9除所得的余+=”被9除所得的余数=“112数. 对385，14和21560有类似结果.我们看到, 本例中的方法比前两个例子中的方法在计算上简便多了!例4检验例2中的3822710312⨯=是否正确.对382: 38213+=;++=, 134对27: 279+=, 削去9, 得0;⨯=;400对10312: 103127++++=.最后的两个计算结果不同: 07≠, 于是可以断定3822710312⨯=是错的.6 . 素数的故事(1)名不符实的冠名素数并不素(朴素). 它的定义和名称似乎给人一种印象，认为素数是质朴简单的一种最基本的数. 其实, 算术中的麻烦事大都是由它惹起的. 例如，我们知道的哥德巴赫猜想和孪生素数的黎曼猜想就是典型的例子. 1989年，Amdabl Six小组在美国加利福尼亚圣克拉大学用Amdabl 1200超级计算机捕捉到一对孪生素数: 11235⨯±. 可见素数名不符实.170659521还有一个在数学史上贻笑大方的、名不符实的故事，它是关于威尔逊定理的. 有一个关于素数的定理，用英国法官威尔逊(J．Wilson，1741——1793)的名字冠名.威尔逊定理 若2p ≥为自然数，则p 是素数p ⇔整除()1!1p -+.事实上，这条定理是莱布尼茨首先发现，后经拉格朗日证明的. 但威尔逊的一位擅长拍马屁的朋友沃润(E ．Waring)在1770年出版的一本书中, 却吹嘘说是威尔逊发现的这一定理，而且还宣称这个定理永远不会被证明，因为人类没有好的符号来处理素数. 这种话传到高斯的耳朵里. 当时, 高斯也不知道拉格朗日证明了这一定理，他在黑板前站着想了五分钟，就向告诉他这一消息的人证明了这一定理! 高斯批评威尔逊说：“他缺乏的不是符号而是概念.”两百多年来，全世界的数论教科书上都照样把这一定理称为威尔逊定理. 看来还历史以本来面貌，更换本定理的冠名已无必要，也不易纠正这么多年来文献与教材上的称呼了.威尔逊定理应用很广. 例如, 对较大的素数p ，我们虽然无力算出()1!p -的值，但却知道()1!p -被p 除的余数是1p -.由于威尔逊定理的戏剧性的冠名以及它的内容的重要性，有人戏称：“如果一个人不知道威尔逊定理，那他就白学了算术.”(2)不能实施的素数判别法从字面上看，威尔逊定理已经明白无误地给出了一个简洁的四则运算算法，可以判断任何一个正整数是不是素数. 可惜()1!p -太无情了，它使得我们没有那么的多时间和抄写空间(纸张或计算机内存)来弄清()1!p -是几! 例如，1876年，法国数学家卢卡斯(A ．Lucas)用手和笔发现了一个39位的素数12721170141183460469231731687303715884105727p =-=.若用威尔逊定理来判断p 是否是素数, 就需要计算()()1271!211!p ⎡⎤-=--⎣⎦，以每页书可排2000个阿拉伯数字计算，()127211!⎡⎤--⎣⎦可以印成500页的书至少33210⨯本，这比全世界的总藏书量还多得多! 因此, 用威尔逊定理去判断一个大数是否是素数, 这是行不通的! 可见，威尔逊定理只有理论价值，它是一个无实施价值的判别法，或者说，它是一个无效的坏算法.我们渴望设计出一个有效算法, 来判别任给的正整数是否是素数. 这种迫切性从费马数和哥德巴赫猜想等问题上可以感觉到.所谓费马数，是指形如221n n F =+的数，其中0, 1, 2, n = . 03F =, 15F =, 217F =, 3257F =, 465537F =, 54294967297F =.从0F 到4F , 容易判定它们都是素数，5F 是42亿多的大数，费马当年无力判断5F 是否是素数，他只是大胆地猜想, 一切n F 都是素数. 1732年，欧拉算出56416700417F =⨯，从而否定了费马关于费马数素性的猜想.1880年，法国数学家卢卡斯算出627417767280421310721F =⨯.1971年，有人对7F 得出素因子分解.1981年，有人得出8F 的素因子分解.1980年，有人得出9448F 的一个因子是94501921⨯+.1984年，有人得出23471F 的一个因子是23473521⨯+.1986年，有人用超级计算机连续运算十天, 得知20F 是合数.人们至今知道的素费马数还只是03F =, 15F =, 217F =, 3257F =, 465537F =.这个问题不能彻底解决的要害, 是人们至今没有搞出判别素数的有效算法.也有一种潜在的厄运，那就是判定一个数是否是素数和移动河内塔上的盘子一样，本质上就不存在有效算法!(3)素数病毒越来越多把π的小数点删去，π就改写成了一个阿拉伯数字的无穷序列. 问：长几的前缀是素数? 例如，3与31是素数；314159是第三个素前缀；1979年美国数学家贝利(R ．Baillie)等人发现π上的第四个素前缀31415926535897932384626433832795028841. 敢问：π还有第五个素前缀吗? 第六个，第七个,……呢?把π换成 2.71828e =…,…, lg 2, lg 3,…, 再问同类问题，又该怎么解答呢? 即使是温和一些的问题，例如下面的问题, 其解答仍然是悬案!()121111110101011019n n n n --=++++=- 个. 问: 当n 为素数时，1111n 个是否是素数? 真是心血来潮! 随便一问就会难倒人! 这样提出问题会使人对素数产生一种反感. 在形形色色应接不暇的问题当中，似应首选那些具有重要应用背景或理论背景，又有能力解决的问题去研究.(4)重要的问题是落实算术基本定理算术基本定理告诉我们，任一大于1的整数n 都可以唯一地表成某些素数的乘积，即12m n p p p = , 其中1p , 2p , …, m p 是被n 唯一确定的素数.问题是，如何由n 具体地求出1p ,2p , …, m p ? 这是一个有重要实用背景和计算机计算的时间复杂度理论背景的大问题. 是数论的中心课题之一，也是计算机科学的主攻方向之一. 假设某年某人设计出了一个有效算法，能在多项式时间内求得12m n p p p = 中的1p , 2p , …, m p 的值，那么当n 是素数时，n 就是1p ，即此算法可以有效地判定素数，从而可以在多项式时间内解决前面提出的诸多问题. 例如, 费马数n F 是否为素数(n是任意给定的自然数)，无理数(例如π)的前缀是否是素数等问题. 这里说的“多项式时间”是指对一个问题，存在一个多项式()p n ，n 是要判定的整数的输入长，即它的位数的一个倍数.在实用上，例如在保密通讯与密码破译当中，需要对大合数进行素因子分解. 一般地, 这种大合数有百位之大，所以, 目前各军事大国都集中大量人力物力，研究这种合数的素分解问题，但至今并未听说有明显进展.如果真搞出素分解算法，则对任给定的大偶数，可以在多项式时间内把它表成两个素数之和或发现哥德巴赫猜想的反例.我们期望的这种素分解的有效算法能解决这么多非常之难的问题，可见设计出它的难度是诸多数论难题难度之集大成! 即使这种算法存在，也是很难设计出来. 我们甚至还应想到它根本就不存在，以免望梅止渴，水中捞月!7 . 蚂蚁在砖上爬行的最佳行迹一只蚂蚁从一块砖的一个顶点爬向对角顶点，它应沿着怎样的路线爬行，才能使其行迹(所用时间)最短？''''-. 蚂蚁欲从点A爬向对角顶点C'.它可以有种种不同的爬行方式. 如图所示. 不失一般性, 我们设蚂蚁沿路径A F C'→→爬行, 最后到达C'. 设AB a=, AD b=, AA c'=. 在长方体的侧面展开图上, 显然当点F使A、F、C'共线时，路径A F C'→→最短. 此时, 该路径的长度同理，AEC'=,AGC'在图示的从A 到C '的所有六条路径中, 最短者即为所求的最短路径. 另一方面, 由平面展开图可知,AHC AFC ''=且AFC H '是平行四边形, AJC AEC ''=且AEC J '是平行四边形, AIC AGC ''=且AGC I '是平行四边形. 因此, 我们只需考虑路径AFC '、AEC '和AGC ', 并从中挑选最短者. 设a b c >>, 则易知AFC '(也就是AHC ')是最短路径且AFC AHC ''=.一般地, 在展开图是平面图形的立体表面上，蚂蚁从一点爬向另一点时，其最省时的行迹皆为展开图上连接此两点的各直线段中的最短者对应的立体上的那条曲线段.例如, 在圆柱上，蚂蚁要从A点爬向B点. 把此圆柱的侧面展开, 则图中的两个线段AB中的较短者对应的圆柱面上的曲线(圆柱螺线)即为从A到B的最短路径.蚂蚁在圆锥上爬行的最佳路线也可用前面的展开图方法加以解决. 有趣的是，如果它是从圆锥底面圆周上一点A爬向此圆周上的另一点B，则最短路径不是沿圆周爬行，而是先向上爬，到达一个最高点后再向下爬行. 其最佳爬行路线在展开图上是直线段AB.对于不可展开成平面的曲面，寻求蚂蚁从其上一点爬向另一点的最佳路线就不像上面的解法那么方便了. 一般而言，不能用初等数学的方法来讨论. 例如在球面上，蚂蚁从一点A爬向另一点B，则应沿A、B所在的大圆上的劣弧AB爬行. 沿大圆爬行时，路径弯曲的程度最小，最接近直线段，但证明这一点并非易事.设在某曲面上存在一条蚂蚁的最佳行迹l ，使它从A 点爬到B 点, 所走路径最短. 现在l 上穿一个洞(点洞), 蚂蚁爬行时不能从该洞上走过, 则这时可能已不存在最佳行迹了. 事实上，设无洞时最佳行迹是唯一的. 因蚂蚁爬到洞附近时必须绕行，因此有无穷条行迹，都与无洞时的最佳行迹相差无几，且越来越接近于原最佳行迹，但哪一条也不是最佳的，都可以再缩短，可见这时已找不到最短行迹了.。
古典难题的挑战——几何三大难题及其解决位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。
这里的古人提出的三大几何难题，在科学史上留下了浓浓的一笔。
这延续了两千多年才得到解决的世界性难题，也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的。
三大难题的提出传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。
人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。
这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。
另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。
用数学语言表达就是：三等分角问题：将任一个给定的角三等分。
倍立方体问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。
然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。
比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。
这三大难题在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。
貌似简单其实难从表面看来，这三个问题都很简单，它们的作图似乎该是可能的，因此，2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。
也提出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。
可是，所有这些方法，不是不符合尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解决。
其间，数学家还把问题作种种转化，发现了许多与三大难题密切相关的一些问题，比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。
可是谁也想不出解决问题的办法。
三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁，无数人做了无数次的尝试，均无一人成功。
后来有人悟及正面的结果既然无望，便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出?数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的，哪些不能？标准是什么？界限在哪里？可这依然是十分困难的问题。
古希腊三大作图难题北京化工大学 殷光中概述：尺规作图，即只用直尺和圆规作几何图形，其来源于《几何原本》，以后在一个时期内成为数学中的重要研究课题[1]。
古希腊三大作图难题：1.作一立方体，其体积为所知立方体体积的两倍；2.画圆为方，即作一正方形使其面积为已知圆的面积；3.尺规三等分任意角）之一。
众所周知，二等分任意给定角用尺规很容易就能解决。
而充满探索与挑战精神的人们又会想到用尺规如何三等分任意给定角，此后，许多数学家纷投入这一问题的解决。
直到十九世纪，人们才严格证明了三等分任意角仅凭尺规不可能实现。
到此，这一问题才告一段落。
期间，有许多超越了尺规限制的作图方法：比如：希皮阿斯发明的割圆曲线，阿基米德螺线和尼科梅德斯蚌线等[2]。
人们万万也不会想到但他们在潜心研究一些未解决的问题的时候，许多新的发现也会应运而生……1、三等分任意角科学需要大胆的想象,或许引入数学公式可以实现超越尺规而三等分角,于是我想到了倍角的相关公式,引发了以下一系列的思考: 1.1.1 n 倍角的正切值展开通式tan1α=t tan2α=212t t- tan3α=23313t t t --tan4α=4236144tt t t +-- tan5α=42535101105t t t t t +-+-tan6α=64253151516206t t t t t t -+-+- tan7α=64275373521121357t t t t t t t -+--+-tan8α=86427532870281856568t t t t t t t t +-+--+-…… 有如下特征：① 分子分母各项均是“+，-”交替出现，且分子上为t 的奇次幂，分母上为t 的偶次幂。
② 我们将分子分母上相同序项对齐，则分子上的次数比分母上依次高一，且其系数有如下关系： 若tann α=...1......8463422194735231++-+-++-+-t m t m t m t m t n t n t n t n nt ; 则有，tan(n+1) α=...)()(1...)()()1(42121522311-+++--+++-+t m n t m n t m n t m n t n .即：对正相加分别作为下式相应项的分子系数；由下往上左偏相减作为下式相应项的分母系数 。
古希腊的成绩：欧氏几何最初的几何概念，来源于生活。
自从人类有了意识，人类所接触的物体，都为咱们提供了这些概念的来源。
尤其是古代的经活动，包括土地的丈量（用来决定税收，古代是按照土地的大小来纳税的），各类衡宇的建造，各类物品工具的制造，使得人们有了几何概念的大体雏形。
目前较为一致的观点是，一个较为系统的几何学的产生是从古代埃及进展起来的（由于尼罗河水的按期泛滥冲垮农田，人们为了从头丈量土地，产生了“测地术”，英文中的,geometry一词中的“geo-”有大地的意思，而“-metry”又有测量的意思，而中文中的“几何”则是“geo-”的译音。
）虽然几何学的产生起源于古代的埃及而从科学进展的历程来看，数学的进展，真正从一门比较完善学科学科的形成来讲，几何学的进展较为迅速，而且也较早形成一个完整的学科体系。
对于几何概念的科学，能够追溯到古希腊文明。
泰勒斯，比达格拉斯的老师，被誉为世界上第一个科学家和数学家，对那时从经验得来的事实进行了理论解释，朝几何学的系统化迈出了第一步。
他研究了图形全等、图形相似的概念，将实际的经验归纳为抽象的原理，使得原来的经验，能够有更广漠的应用。
他还提出了一个逻辑推理系统。
而物理空间的提出，成为以后几何研究的一个重要内容。
研究了平方数、三角形数。
更重要的一个发现是比达格拉斯定理，也就是中国古代的勾股定理：直角三角形的两个直边长度的平方和，等于斜边长度的平方。
在研究正方形对角线长度时，比达格拉斯已经发现这个数无法精确表示。
这已经很接近无理数的概念，可惜他放弃了，只好由两千多年后的德国数学家康托来完成无理数理论的基础。
几何学的一个里程碑是欧几里德的《几何原本》的出版。
《几何原本》集当时几何学研究的大成，对希腊人所了解的几何学知识进行了条理化和系统化。
《几何原本》首先定义了几何学中的概念和符号，使得几何学便于交流。
同时，《几何原本》开创现代科学研究的公理化系统：基于有限的公理，一门学科中其他的定理都可以被推导出来。
旺策尔（Wantzel）给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明——古希腊三大几何难题古希腊三大几何难题提出者：智者学派展开雅典有一个智者学派，代表人物有希比阿斯、安提丰、普罗泰格拉等。
智者学派以诡辩著称，当时流行几何，哲学家、数学家常常看口闭口都是几何。
于是三大几何难题就诞生了。
（1）化圆为方：作一个正方形，使其面积与已知圆面积相等。
（2）倍立方：作一个正方体，使其体积是已知正方体的2倍（3）三等分角：三等分任意角于是呢，有一堆数学家就开始做。
题目规则是尺规作图。
可他们没做出来，于是就做，做呀做呀，他们殚精竭虑、千方百计，就是没做出来，一个都没有，但是一直有人做，于是阿基米德螺线诞生了，于是圆锥曲线诞生了……但是这么多几何线诞生，也没把题目做出来，于是两千年过去了。
19世纪有一个人叫旺策尔，证明了这个题目光用尺规是作不出来的。
证明这个几何题目的方法，竟然是代数。
推理方法很值得借鉴。
简单说一下---------------------------------------------------------------------------------推理第一步：尺规作图可以怎么折腾归纳只有5点：①做连接两点的直线段，或延长此线段；②作两直线的交点；③以已知点为圆心；④作圆与直线交点；⑤作两圆交点；第二步：只用尺规可以作出什么样的线段设a1、a2、a3、a4、…… an是已知线段，同时用ai表示它们的长度，并设a1=1. 则光用尺规只能将之进行＋、一、×、÷、√（根号），即进行加、减、乘、除、开偶次方根。
ai＋aj没问题，ai －aj没问题，若x=ai× aj，则有1/ai=aj/x ，作一个相似三角形即可。
同样，若x=ai÷aj则1/x=ai/aj，若x=√（ai），则x^2=ai/×a1，x 是ai/与a1的比例中项，仿照射影定理的模型可以作出。
古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规，这种作图工具的限制使得三大几何作图问题成为数学史上的难解之题．三等分角问题即将任意一个角进行三等分．1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分角问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．但如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的．阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题．三等分角问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明．倍立方体问题即求作一个立方体，使其体积是已知一立方体的两倍，该问题起源于两千年希腊神话传说：一个说鼠疫袭击提洛岛（爱琴海上的小岛），一个预言者宣称己得到神的谕示，须将立方体的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息；另一个说克里特旺米诺斯为儿子修坟，要体积加倍，但仍保持立方体的形状．这两个传说都表明倍立方体的问题起源于建筑的需要．1837年，洁国数学家旺策尔证明了倍立方体问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．倍立方体问题的研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展．化圆为方问题即求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积．这是历史上最能引起人们强烈兴趣的问题之一，早在公元前5世纪就有许许多多的人研究它．希腊语中甚至有一个专门名词表示“献身于化圆为方问题”．1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题，从而解决了2000多年的悬案．如果放宽作图工具的限制，则开始有多种方法解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达·芬奇设计的：用一个底与己知圆相等，高为己知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形即化圆为方问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响．。
古希腊三大几何问题简介几何学作为数学的一个重要分支，在古希腊时期就已经引起了学者们的广泛兴趣。
在这个时期，有三个问题尤为著名，它们分别是“三平方和问题”、“倍立方问题”和“黄金分割问题”。
本文将对这三个问题进行简要介绍。
首先，我们来谈谈“三平方和问题”。
这个问题最早由古希腊数学家毕达哥拉斯开始研究。
问题的核心是，是否存在三个整数a、b、c，使得a^2+b^2=c^2成立？换句话说，是否存在一个直角三角形，其三条边的长度都是整数？这个问题被证明是可行的，即存在无数个满足条件的三个整数。
接下来，我们将讨论“倍立方问题”。
这个问题的起源可以追溯到古希腊的柏拉图学派。
问题的关键在于，是否存在一个正整数n和正整数m，使得n^3=2m^3成立？换句话说，是否存在一个立方数的两倍是另一个立方数？然而，通过数学推理和证明，这个问题被证明是不可行的，即不存在满足条件的整数解。
这一结果被称为“倍立方问题的无解性”。
最后，我们将探讨“黄金分割问题”。
这个问题源自于古希腊建筑中的黄金分割比例的运用。
黄金分割比例是指将一条线段分割为两部分，使得整条线段与较短部分的比值等于较短部分与较长部分的比值。
古希腊学者希波克拉底认为这是一种美学比例，因此引起了广泛的研究和讨论。
然而，黄金分割问题是否存在唯一解仍然是一个待解决的问题，至今仍有数学家在进行深入研究和探索。
通过本文的简要介绍，我们对古希腊三大几何问题有了一定的了解。
其中，“三平方和问题”存在无数个满足条件的三个整数解，“倍立方问题”被证明是不可行的，而“黄金分割问题”仍然是一个待解决的问题。
这些问题不仅仅是古希腊数学的瑰宝，也是后世数学研究的重要课题。
它们的探索与研究推动着数学领域的发展与进步。
文物中的数学知识数学是一门古老而又神奇的学科，它贯穿于人类文明的各个方面。
在世界各地的文物中，也能找到许多展现数学知识的痕迹。
本文将从古代文物中挖掘出一些有关数学的知识，并进行简要介绍。
一、埃及金字塔与三角形的奥秘埃及金字塔是古代埃及人的杰作，它们不仅令人叹为观止的外观，还蕴含着许多数学的奥秘。
其中，三角形的应用尤为突出。
埃及人通过精确的测量和计算，建造了各种形状的金字塔。
这些金字塔的底面都是正方形，而侧面则是由四个等腰三角形组成的。
埃及人借助这些三角形的性质，成功地建造了稳定而耐久的金字塔。
二、古希腊的几何学之谜古希腊是数学几何学的发源地，文物中也能找到许多关于几何学的证据。
最著名的就是古希腊的柏拉图立体。
柏拉图立体是由正多边形组成的凸多面体，其中最有名的有五个：四面体、八面体、十二面体、二十面体和六十面体。
这些立体在古希腊文物中被广泛应用，展示了古希腊人对几何学的深刻理解和造诣。
三、中国古代的算盘与计算术中国古代的算盘是一种用来进行计算的工具，它是中国古代数学的重要产物。
算盘的出现极大地推动了中国古代数学的发展。
算盘上的珠子代表着数字，通过移动珠子的位置来进行计算。
算盘上的珠子分为两类，一类是地珠，代表个位数；另一类是天珠，代表进位数。
通过算盘的运算，中国古代人民能够进行复杂的加减乘除运算。
算盘的发明和使用，使得中国古代的商业和科学活动得以迅速发展。
四、阿拉伯数学的传承阿拉伯数学在文物中也有着重要的地位。
阿拉伯数学家通过对古希腊、印度等数学知识的吸收和整理，创造出了阿拉伯数字和十进制计数法。
阿拉伯数字是目前世界上广泛使用的数字系统，它的特点是简单易懂、易于计算。
阿拉伯数学的传承使得数学成为一门更加普及和实用的学科，并对现代科学和技术的发展产生了深远影响。
五、数学与艺术的交融在一些文物中，我们还能看到数学与艺术的结合。
例如，菱形花纹在古代建筑和艺术品中经常出现，它们是由一系列平行线和相交线组成的。
勾股定理的来源故事关于勾股定理的历史源于古代，它是由古希腊哲学家几何学家皮拉斐特发现的。
皮拉斐特是古希腊的学者，也是著名的哲学家。
他尝试描述和探索有关几何图形的所有未解之谜，以及为什么它们有如此奇怪的形状。
他探索了矩形、三角形和圆形，他有时先通过数学原理来证明某些几何图形非常特殊。
然而，他最重要的发现是勾股定理（也称为勾股定理），这也是他对几何的发现的一个特殊的例子。
勾股定理的发源于古代。
当时，皮拉斐特试图解决一个特殊的几何图形。
他详细调查了一个三角形，几何图形的属性很容易被困扰。
然而，皮拉斐特决定通过一种新的方法，发现几何中的一些普遍性和连接性。
他想弄清楚每条边都有多长，以及它们是如何相互作用的，并以一种简单的形式表达出来。
于是，他发明了勾股定理，并将其写入他的“几何”中。
他发现，一个正方形边长的平方等于它们之间两个直角边边长的平方之和，即：a2 + b2 = c2。
他在描述三角形时，也发现了这一事实。
因此，皮拉斐特的发明通过它能够让三角形的几何图形得以被解释，而且这个规律也能被用来描述更复杂的几何图形。
他证明了这一发现的实质，也就是勾股定理，它在现代几何学的教科书中也被被引用。
从此开始，勾股定理就成为古希腊几何图谱的一个非常关键的部分。
此外，它也影响了现代几何，线性代数和几何学。
它对几何定理也有着重要的意义，尤其是有关角的定义。
自从古希腊几何家特瑞斯发现勾股定理之后，科学家们就在不断努力将它的应用范围扩大到无限大，它的发现也影响了我们生活的方方面面。
勾股定理利用简单的数学运算，证明了自然界中这些普遍适用的物理法则。
