第13节 欧拉方法

《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：，3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；（答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。

通用算术欧拉
好的，让我来回答这个问题。

通用算术欧拉是指一种基于算术基本定理的欧拉公式，用于描述整数加法和乘法的关系。

具体来说，欧拉公式表明对于任何整数n，都有n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1，其中n!表示n的阶乘。

让我们来详细解释一下这个公式：
首先，n!表示n的阶乘，它等于n乘以(n-1)，再乘以(n-2)，以此类推，最后乘以1。

这个公式是基于算术基本定理的，即任何整数都可以表示为相乘的因子之和。

因此，n!可以表示为n乘以(n-1)乘以(n-2)乘以...乘以2乘以1。

其次，这个公式还可以通过以下方式进行证明：
1. 将n!表示为n乘以(n-1)乘以(n-2)乘以...乘以2乘以1。

2. 依次减去这些数，即从上一步中得到的结果中减去(n-1)乘以(n-2)乘以...乘以2乘以1，然后再除以2除以3除以...除以n-1。

3. 结果是一个等于1的数。

这个过程可以证明欧拉公式对于任何整数n 都成立。

通过上述过程，我们可以得出通用算术欧拉的定义和证明方法。

欧拉公式在数学和计算机科学中有着广泛的应用，例如在算法分析和密码学等领域。

希望这个回答能让你满意！。

师：被除数怎么求呢？生：用除数加上被除数比除数多的数就可以求出除数为多少了。

师：想一想被除数还可以用别的方法解决吗？生：（可以用除数×商=被除数，也可以求出被除数。

）252÷（7-1）=4242+252=294答：被除数是294，除数是42。

师：感谢同学们帮助阿派完成这个问题，但老师不知道你们掌握没掌握这个知识，调皮的阿派也给大家准备了这样的一个问题，大家自己去尝试一下吧。

【课件出示练习四，请两位中上的学生上台板书，并请他们讲解自己的思路，台下学生解答时，教师应多走动走动，指导不会的学生领会、理解。

】练习四：（7分）被除数比除数大168，商是9。

被除数和除数各是多少？分析：根据“商是9”可知，被除数是除数的9倍，把除数看作1倍数，被除数就有这样的9份。

被除数比除数大的168正好相当于除数的（9-1）倍，用168÷（9-1）=21就可得到除数，21+168=189就可得到被除数。

168÷（9-1）=2121+168=189答：被除数是189，除数是21。

（三）例题五（选讲）：仓库存有面粉和大米,已知面粉比大米多4500千克,面粉的重量比大米的3倍多700千克,大米和面粉各多少千克？师：我们每天都要吃的东西是什么？师：没错是大米对不对,我们离不开这个食物，但这些主食需要储存，现在我们就来解决一下关于面粉和大米的问题。

请看例题五。

并找出有用的已知信息。

生1：面粉比大米多4500千克。

师：很好，请坐。

还有其他信息吗？生：面粉的重量比大米的3倍多700千克。

师：你感觉这道题与前面的题有什么不同的地方？生：面粉的重量比大米的3倍多700千克。

主要是多了700千克。

师：说一说你觉得该怎么解决？生：把多的700千克减去就变成了和前面一样的差倍问题了。

师：怎么解决呢？生：用多的4500千克减去多余的700千克，剩下面粉就是大米的3倍了。

师：真棒，同学们想法不错，然后呢？。

高等数学考研指定教材：同济大学数学系主编高等数学上下册第六版第一章函数与极限7天考小题学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：映射与函数一般章节函数的概念,常见的函数有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式.集合、映射不用看；双曲正弦,双曲余弦,双曲正切不用看习题1－1：4,5,6,7,8,9,13,15,16重点1．理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立应用问题中的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.5．理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极第二节：数列的极限一般章节数列定义,数列极限的性质唯一性、有界性、保号性本节用极限定义证明极限的题目考纲不作要求,可不看,如P26例1,例2,例3,定理1,2,3的证明都不作要求,但要理解；定理4不用看习题1－2：1第三节：函数的极限一般章节函数极限的基本性质不等式性质、极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等 P33例4,例5例7不用做,定理2,3的证明不用看,定理4不用看习题1－3：1,2,3,4第四节：无穷大与无穷小重要无穷小与无穷大的定义,它们之间的关系,以及与极限的关系无穷小重要,无穷大了解例2不用看,定理2不用证明习题1－4：1,6第五节：极限的运算法则掌握极限的运算法则6个定理以及一些推论注意运算法则的前提条件是否各自极限存在定理1,2的证明理解,推论1,2,3,定理6的证明不用看P46例3,例4,P47例6习题1－5：1,2,3,4,5重点第六节：极限存在准则理解两个重要极限重要两个重要极限要牢记在心,要注意极限成立的条件,不要混淆,应熟悉等价表达式,要会证明两个重要极限,函数极限的存在问题夹逼定理、单调有界数列必有极限,利用函数极限求数列极限,利用夹逼法则求极限,求递归数列的极限准则1的证明理解,第一个重要极限的证明一定要会,另一个重要极限的证明不用看,柯西存在准则不用看P51例1习题1－6：1,2,4第七节：无穷小的比较重要无穷小阶的概念同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、k阶无穷小,重要的等价无穷小尤其重要,一定要烂熟于心以及它们的重要性质和确定方法定理1,2的证明理解P57例1P58例5习题1－7：全做限．9．理解函数连续性的概念含左连续与右连续,会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质有界性、最大值和最小值定理、介值定理,并会应用这些性质．第八节：函数的连续性与间断点重要,基本必考小题函数的连续性,间断点的定义与分类第一类间断点与第二类间断点,判断函数的连续性连续性的四则运算法则,复合函数的连续性,反函数的连续性和间断点的类型;例1－例5习题1－8：1,2,3,4,5重点第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性了解连续函数的运算与初等函数的连续性包括和,差,积,商的连续性,反函数与复合函数的连续性,初等函数的连续性定理3,4的证明不用看例4－例8 习题1－9：1,2,3,4,5,6重点第十节：闭区间上连续函数的性质重要,不单独考大题,但考大题特别是证明题会用到理解闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理,零点定理与介值定理零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法.一致连续性不用看例1－例2习题1－10：1,2,3,5要会用5题的结论自我小结总复习题一：除了7,8,9以外均做,3,5,11,14重点本章测试题－检验自己是否对本章的复习合格合格成绩为80分以上,如果合格继续向前复习,如果不合格总结自己的薄弱点还要针对性的对本章的内容进行复习或者到总部答疑;第二章导数与微分6天小题的必考章节学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节: 导数的概念重要导数的定义、几何意义、物理意义数三不作要求,可不看,数三要知道导数的经济意义：边际与弹性,单侧与双侧可导的关系,可导与连续之间的关系非常重要,经常会出现在选择题中,函数的可导性,导函数,奇偶函数与周期函数的导数的性质,按照定义求导及其适用的情形,利用导数定义求极限. 会求平1. 理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些面曲线的切线方程和法线方程.导数定义年年必考例1－例6习题2－1：3,4,5,6,7,8,11,15,16,17,18,19,重点20物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系．第二节：函数的求导法则考小题复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复合函数的导数,由复合函数求导法则导出的微分法则,幂、指数函数求导法,反函数求导法,分段函数求导法基本求导法则与求导公式要非常熟定理1,3的证明不用看,例1,17不用做,定理2的证明理解,例6,7,8重点做习题2－2：除2,3,4,12不用做,其余全做,13,14重点做 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.第三节：高阶导数重要,考的可能性很大高阶导数和N阶导数的求法归纳法,分解法,用莱布尼兹法则用泰勒展开式求高阶导例1－例7 习题2－3：5,6,7,11不用做,其余全做,4,12重点做第四节：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数考小题由参数方程确定的函数的求导法数三不用看,变限积分的求导法,隐函数的求导法相关变化率不用看例1－例10习题2－4：9,10,11,12均不用做,数三5,6,7,8也可以不做,其余全做,4重点做第五节：函数的微分考小题函数微分的定义,微分运算法则,微分几何意义微分在近似计算中的应用不用看,考纲不作要求例1－例6 习题2－5：5,6,7,8,9,10,11,12均不用做,其余全做自我小结总复习题二：4,10,15,16,17,18均不用做,其余全做,2,3,6,7,14重点做,数三不用做12,13第二章测试题第三章微分中值定理与导数的应用8天考大题难题经典章节学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：微分中值定理最重要,与中值定理应用有关的证明题微分中值定理及其应用费马定理及其几何意义,罗尔定理及其几何意义,拉格朗日定理及其几何意义、柯西定理及其几何意义四个定理要会证明,及其重要例1,习题3－1：除了13,15不用做,其余全部重点做1．理解并会用罗尔Rolle定理、拉格朗日Lagrange中值定理和泰勒Taylor定理,了解并会用柯西Cauchy中值定第二节：洛必达法则重要,基本必考洛比达法则及其应用洛比达法则要会证明,重要例1－例10,习题3－2：全做,1,3,4重点做理．2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．3．理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用．4．会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形．5．了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径．第三节：泰勒公式掌握其应用泰勒中值定理,麦克劳林展开式可不看公式的证明例1－例3 习题3－3：8,9不用做,其余全做10123重点做第四节：函数的单调性与曲线的凹凸区间考小题求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、渐近线选择题及大题会用到例1－例12习题3－4：3125,512,812,9135,102不用做,其余全做,3,4,5,6,13,15重点做第五节：函数极值与最大值最小值考小题为主函数的极值一个必要条件,两个充分条件,最大最小值问题.函数性的最值和应用性的最值问题,与最值问题有关的综合题例5,6,7不用看习题3-5:123698,9,10,11,12,13,14,15,16均不用做,其余全做第六节：函数图形的描绘重要简单了解利用导数作函数图形一般出选择题及判断图形题,对其中的渐进线和间断点要熟练掌握,一元函数的最值问题三种情形;例1－例3 习题3－6：2－5第七节：曲率数三不作要求,仅数一、数二要求曲率、曲率的计算公式,与曲率相关的问题弧微分、曲率中心计算公式、渐屈线、渐伸线不用看例1－例3,习题3－7：1－6第八节：方程近似解不用看自我小结总复习题三：数一、数二全做,数三15不用做；其中22,3,7,8,9,10,34,113,12,17,18,20重点做第三章测试题总结第四章不定积分7天重要,本章数二考大题可能性更大学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：不定积分的概念与原函数与不定积分的概念与基本性质它们各自的定义,之间的关系,求不定积分与求微分1．理解原函数概念,理解不定积分性质重要或导数的关系,基本的积分公式,原函数的存在性,原函数的几何意义和力学意义数三不作要求例1－例16 习题4－1：1,2,3,4,6的概念．2．掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．第二节：换元积分法重要,第二类换元积分法更为重要不定积分的换元积分法,第二类换元法例1－例27习题4－2：1,212389101325均不用做,其余全做第三节：分部积分法考研必考不定积分的分部积分法例1－例10 习题4－3：1－24第四节：有理函数积分重要有理函数积分法,可化为有理函数的积分, 例1－例8 习题4－4：1－24不定积分计算总复习题四：1－40第五节:积分表的使用不用看自我小结总结本章第五章定积分6天重要,考研必考学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：定积分的概念与性质理解定积分的概念与性质可积存在定理定积分的7个性质理解及熟练应用,性质7积分中值定理要会证明定积分近似计算不用看习题5－1：1,2,3,6,8,9,10均不用做,其余全做,5,11,12重点做1．理解原函数概念,理解定积分的概念．2．掌握定积分的基本公式,掌握定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿－莱布尼茨公式．5．了解广义反常积分的概念,会计算广义反常积分．第二节：微积分基本公式重要微积分的基本公式积分上限函数及其导数极其重要,要会证明牛顿－莱布尼兹公式重要,要会证明例5不用做,例6极其重要,记住结论习题5－2：6124567,7,8均不用做,其余全做,2数三不做,92,10,11,12,13重点做第三节：定积分的换元积分法与分部积分法重要,分部积分法更为重要定积分的换元法与分部积分法例1－例10 例5,例6,例7,例12经典例题,记住结论习题5－3：1123612141516,71389不用做,其余全做,重点做147****2526,2,6,77101213第四节：反常积分考小题反常积分无界函数反常积分与无穷限反常积分例1－例5习题：5－4：全做,3题结论记住第五节：反常积分的审敛法不用看总复习题五：13,2345,15,16不用做,其余全做,重点做3,5,7,8,9,101238910,13,14,17自我小结总结本章第六章定积分的应用4天考小题为主学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：定积分的元素法理解定积分元素法 1. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心等及函数的平均值等．第二节：定积分在几何学上的应用面积最重要一元函数积分学的几何应用求平面曲线的弧长与曲率仅数一看,求平面图形的面积,求旋转体的体积,求平行截面为已知的立体体积数三不作要求,求旋转面的面积定积分的几何应用相关计算定积分应用的一些计算习题6－2：数一全做；数二、数三21-30不用做第三节：定积分在物理学上的应用数三不用看,数一数二了解定积分的物理应用用定积分求引力,用定积分求液体静压力,用定积分求功;综合题目的求解;数三不用看,数一数二了解例1－例5 习题6－3：数一、数二做总复习题六：数一全做；数二6不用做；数三只做3,4,5自我小结总结本章第七章常微分方程 9天本章对数二相对重要,必考章节学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：微分方程基本概念了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解,例1、2、3、4,例2数三不用看习题7-1：134,224,32,423,51．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法．3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量第二节：可分离变量的微分方程理解可分离变量的微分方程的概念及其解法例1、2、3、4,例2,3,4数三不作要求习题7-2：1,2第三节：齐一阶齐次微分方程的形式及其解法次方程理解例2不用看,可化为齐次的方程不用看习题7－3：1,2代换解某些微分方程．4．会用降阶法解下列微分方程：和.5．理解线性微分方程解的性质及解的结构．6．掌握二阶常系数线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．8．会解欧拉方程．9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．第四节：一阶线性微分方程重要,熟记公式一阶线性微分方程、伯努利方程仅数一考,记住公式即可,例1,3,4,习题7-4：1,2,3,8仅数一做第五节：可降解的高阶微分方程仅数一、数二考,理解全微分方程会求全微分方程会用降阶法解下列微分方程：和,例1—6习题：7-5：数三不用做、数一数二只做1,2第六节：高阶线性微分方程理解线性微分方程解的结构重要微分方程的特解、通解二阶线性微分方程举例不用看；常数变易法不用看定理1,2,3,4重点看习题7-6：1,3,4第七节：常系数齐次线性微分方程最重要,考大题特征方程,微分方程通解中对应项例1,2,3,6,7例4,5不用做习题7－7：1,2第八节：常系数非齐次线性微分方程最重要,考大题会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程例1－4,例5不用看习题7－8：1,2,6重点做第九节：欧拉方程仅数一考,了解欧拉方程的通解习题7－9：数一只做5,8 第十节不用看自我小结总复习题十二：1124,22,313578,434,5,7,8,10其中8,10仅数一做第八章空间解析几何和向量代数4天仅数一考,考小题,了解学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：向量及其向量概念,向量的线性运算,空间直角坐标系,利用坐标作向量的线性运算,向量1.理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示.线性运算的模、方向、投影例1－例2.掌握向量的运算线性运算、数量积、向量积、混合积,了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.4.掌握平面方程和直线方程及其求法.5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相互关系平行、垂直、相交等解决有关问题.6．会求点到直线以及点到平面的距离.7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.8.了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程. 9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求该投影曲线的方程.第二节：数量积,向量积,混合积向量的数量积,向量的向量积例1－例7习题7－2:3,4,6,9,10第三节：曲面及其方程曲面方程旋转曲面、柱面、二次曲面;旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程,常用的二次曲面方程及其图形,空间曲线的参数方程和一般方程,空间曲线在坐标面上的投影曲线方程例1－例5 习题7－3：,8,9,10第四节：空间曲线及其方程空间直线及其方程空间直线的对称式方程与参数方程,两直线的夹角,直线与平面的夹角例1－例4 习题7－4：2,3,5,6第五节：平面及其方程平面, 平面方程,两平面之间的夹角例1－例5习题7－5：1,2,3,5,6,9第六节：空间直线及方程直线与直线的夹角以及平行,垂直的条件,点到平面和点到直线的距离,球面,母线平行于坐标轴的柱面例1－例7 习题7－6：1－9,11,12自我小结总复习题七：1,9－21第九章多元函数微分法及其应用 10天考大题的经典章节,但难度一般不大学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：多元函数基本概念了解二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理例1—8,习题8—1：2,3,4,5,6,81．理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义.2．了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质．3．理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形第二节：偏导数理解偏导数的概念,高阶偏导数的求解重要例1—8,习题8—2：1,2,3,4,6,9第三节：全微分理解全微分的定义,可微分的必要条件和充分条件全微分在近似计算中应用不用看例1,2,3,习题8—3：1,2,3,4第四节：多元复合函数求导,全微分形式的不变性多元复合函数的求导法则理解,重要例1—6,习题8—4：1—12 式的不变性．4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法.5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法．6．会用隐函数的求导法则.7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程．8．了解二元函数的二阶泰勒公式．9．理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题．第五节：隐函数的求导公式理解,小题隐函数存在的3个定理方程组的情形不用看例1—4,习题8—5：1—9第六节：多元函数微分学的几何应用仅数一考,考小题了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程一元向量值函数及其导数不用看例2—7,习题8—6： 1—9第七节：方向导数与梯度仅数一考,考小题方向导数与梯度的概念与计算例1—5,习题8—7：1—8,10第八节：多元函数的极值及其求法重要,大题的常考题型多元函数极值与最值的概念,二元函数极值存在的必要条件和充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值例1－9,习题8—8：1—10第九节：二元函数的泰勒公式仅数一考,了解n阶泰勒公式,拉格朗日型余项极值充分条件的证明不用看第十节最小二乘法不用看例1,习题8—9：1,2,3自我小结总复习题八：1—3,5,6,8,11—19本章测试题——检验自己是否对本章的复习合格合格成绩为80分以上,如果合格继续向前复习,如果不合格总结自己的薄弱点还要针对性的对本章的内容进行复习或者到总部答疑;第十章重积分7天重要,数二、数三相对于数一,本章更加重要,数二、数三基本必考大题学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：二重积分的概念与性质了解二重积分的定义及6个性质习题9—1：1,4,51. 理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理．2．掌握二重积分的计算方法直角坐标、极坐标,会计算三重积分直角坐标、柱面坐标、球面坐标．3．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量曲面面积、质量、质心、形心、转动惯量、引力．第二节：二重积分的计算法重要,数二、数三极其重要会利用直角坐标、极坐标计算二重积分二重积分换元法不用看例1－6,习题9—2：1,2,4,6,7,8,12,14,15,16第三节：三重积分仅数一考,理解三重积分的概念,利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分的计算三重积分的计算重要例1－4,习题9—3：1,2,4—10第四节：重积分的应用仅数一考,了解曲面的面积、质心、转动惯量、引力第五节含参变量的积分不用看例1—7,习题9—4：2,5,6,8,10,11,14自我小结总复习题九：1,2,3,6,7,8,9,10总结第十一章曲线积分与曲面积分8天仅数一考,数二、数三均不考,数一考大题,考难题的经典章节学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：对弧长的曲线积分重要弧长的曲线积分的概念理解,性质了解及计算重要例1、2,习题10—1：1,3,4,51．理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系．2．掌握计算两类曲线积分的方法.3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求二元函数全微分的原函数．4．了解两类曲面积分的概第二节：对坐标的曲线积分重要对坐标的曲线积分概念理解、性质了解及计算重要,两类曲线积分的联系了解例1－5,习题10—2：3—8第三节：格林公式及掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求二元函数全微分的原函数,其应用重要曲线积分的基本定理不用看例1－7,习题10—3：1－6念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,会用高斯公式,斯托克斯公式计算曲面、曲线积分.5．了解散度与旋度的概念,并会计算．6．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、功及流量等．第四节：对面积的曲面积分重要对面积的曲面积分的概念理解、性质了解与计算重要例1、2,习题10—4：1,4,5,6,7,8第五节：对坐标的曲面积分重要对坐标的曲面积分的概念理解、性质了解及计算重要,两类曲面积分之间的联系了解例1－3,习题10—5：3,4第六节：高斯公式重要、通量不用看与散度了解会用高斯公式计算曲面、曲线积分,散度的概念及计算沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件不用看例1－5,习题10—6：1,3第七节：斯托克斯公式重要、环流量不用看与旋度了解会用斯托克斯公式计算曲面、曲线积分,旋度的概念及计算空间曲面积分与路径无关的条件不用看例1－4,习题10—7： 1, 2自我小结总复习题十：1－4,6, 7总结第十二章无穷级数6天数二不考,数一、数三考大题,考难题经典章节学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：常数项级数的概念和性质一般考点级数收敛、发散的定义,收敛级数的基本性质考选择题柯西审敛原理不用看例1－3,习题11—1：1—41．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件．2．掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件．3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,会用根值判别法．4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法．5．了解任意项级数绝对收敛与条第二节：常数项级数的审敛法理解正项级数及其审敛法；交错级数及其审敛法、绝对收敛与条件收敛绝对收敛级数的性质不用看例1－10,习题11—2：1—5第三节：幂级数重要函数项级数的概念了解；幂级数及其收敛性最重要；幂级数的运算乘、除不用看。

-179-第十五章 常微分方程的解法建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。

如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如22x y dxdy+=，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。

§1 常微分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=0)(),(y a y bx a y x f dx dy(1)在下面的讨论中，我们总假定函数),(y x f 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L ，使得|||),(),(|y y L y x f y x f −≤−这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

所谓数值解法，就是求问题（1）的解)(x y 在若干点b x x x x a N =<<<<=L 210处的近似值),,2,1(N n y n L =的方法，),,2,1(N n y n L =称为问题（1）的数值解，n n n x x h −=+1称为由n x 到1+n x 的步长。

今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。

建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：（i ）用差商近似导数若用向前差商hx y x y n n )()(1−+代替)('n x y 代入（1）中的微分方程，则得),1,0())(,()()(1L =≈−+n x y x f hx y x y n n n n 化简得))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+如果用)(n x y 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为)(1+n x y 的近似值，记为1+n y ，则有),1,0(),(1L =+=+n y x hf y y n n n n （2）这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题⎩⎨⎧==+=+)(),1,0(),(01a y y n y x hf y y n n n n L （3） 得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出L ,,21y y 。

数值分析第五版_李庆扬一、课程基本信息课程中文名称：数值分析课程英文名称：Numerical Analysis课程类别：专业基础课开课学期：秋适用专业：信息与计算科学；应用数学总学时：86学时（其中理论课56学时，上机实习30学时）总学分：5（理论课3学分；上机实习2学分）预修课程（编号）：数学分析，高等代数，常微分方程课程简介：本课程是大学本科信息与计算科学和应用数学专业的一门基础课，也是工科研究生的必修课。

本课程的主要内容是研究各种数学问题的数值计算方法的设计、计算误差分析以及有关理论和具体实现的一门数学课程。

是应用数学的重要分支之一。

建议教材：《计算方法》（二版）（邓建中、刘之行），西安，西安交通大学出版社，2001 参考书：[1]数值分析学习指导，关治编，出版社：清华大学出版社，出版时间：2008年；[2]数值分析，何汉林，梅家斌，科学出版社，2007年；[3]《数值计算引论》白峰杉高等教育出版社 2005年[4]《数值分析》（第五版）李庆扬易大义等清华大学出版社 2008年[5]Numerical Analysis，R.Kress，世界图书出版公司20036、数值分析学习辅导习题解析，李宏、徐长发编，华中科技大学出版社，2001年。

二、理论课程教育目标通过本课程的教学使学生能了解现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本理论，系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为运用数值分析的理论知识并为掌握更复杂的现代计算方法打好。

三、理论教学内容与要求（含学时）第一章：计算方法的一般概念（4学时）本章教学内容：理解计算方法的意义、研究内容与方法，理解并掌握误差的概念（包括误差的来源、绝对误差、相对误差），掌握有效数字及舍入误差对计算的影响。

第二章：解线性方程组的直接法（8学时）本章教学内容：1、高斯消去法；选主元的高斯消去法；2、矩阵的LR分解；解三对角方程组的追赶法；解方程组的平方根法；矩阵的求逆；3、方程组的数；病态方程组的判断。

1.3截一个几何体新知概览：知识要点课标要求中考考点节内对应例题节内对应习题用平面去截几何体所得截面的形状探索并理解几何体的截面形状。

截面的定义（掌握）试练例1；易错典例1；题型典例1，2，3；新题精炼1,6,7，10,12,13,15几种常见几何体的截面掌握几种常见几何体的截面。

判断一个几何体的截面(应用)试练例2；易错典例2；题型典例1,2,3，4,5，6,7，8；中考典例,1新题精炼3，4,5,8，9,10,11,13,14，本节重、难点1.重点：截面的定义和形状．2.难点：利用截面解决实际问题．知识全解知识点1截面（1）截面的概念：用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面．（2）正方体的截面：根据面与面相交可以得到线可知用一个平面去截正方体的三个面，得到的截面是三角形.如果用一个平面去截正方体的四个面，就能得到四边形，除能得到正方形、长方形这样的四边形外，还能得到其他的四边形，如梯形、平行四边形等.知识警示：（1）正方体总共有六个面，用一个平面去截最多只能得到六条交线，从而截面的边数最多只能是六，还可以得到五，但不可能截得七边形.（2）一般地，截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形.因此，若一个几何体有n个面，则截面最多的边数是n．知识拓展正方体的截面主要有三角形、四边形、五边形和六边形，如图1-3-1所示.【试练例题1 】如图1-3-2所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是（）思路导引：首先根据两组对边平行，可确定为平行四边形；又有一角为直角，故截面图形是长方形．答案：B.长方体的截面，经过长方体四个侧面，长方体中，对边平行，故可确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为长方形．知识方法：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．知识点2几种常见几何体的截面图1-3-1A图1-3-2B C D（1）如图1-3-3所示，用平面截圆柱体，可能出现以下的几种情况．（2）如图1-3-4所示，用平面去截一个圆锥，能截出圆和三角形两种截面．（3）如图1-3-5所示,用平面去截球体，只能出现一种形状的截面---圆.知识警示：(1) 用一个平面去截一个圆柱所得到的截面有圆、长方形、椭圆、拱形形状和梯形. (2) 用一个平面去截圆锥，可得到圆、三角形、拱形形状和椭圆. 【试练例题2】如图1-3-6中几何体的斜截面形状是（ ）图1-3-4图1-3-5 图1-3-6思路导引：几何体是一个圆柱体，用一个平面斜截它，得到的截面应该是类似拱形的图形．答案C 用一个平面去截一个圆柱体，过平行于上下底面的面去截可得到圆；圆柱体的轴截面是矩形；过侧面且不平行于上下底面的面去截可得到椭圆；过一底面不平行于另一底面的面去截可得到类似拱形的截面．方法：平面与平面相交得直线，平面与曲面相交可能得到直线，也可能得到曲线．易错易混辨析易错点1：在切截的过程中，不注意切截方向，导致截面形状判断错误【易错典例1】如图1-3-7，用一个垂直于长方体底面的平面去截长方体，截面应为（ ）解：因为垂直于长方体底面的截面，经过长方体四个侧面，长方体中，对边平行，故可确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为长方形．故选B ．易错总结：判断被截物体截面的形状，要特别注意切截的方向，不同的切截方向所产生的截面的形状有可能是不同的．易错点2：立体观念不强，用平面截一个几何体时，分类讨论不全面【易错典例2】用一个平面去截一个正方体，截得的多边形从边数来看，可能有哪些结果？请画出这些结果．解：如图1-3-8（注意：看不见的线要画成虚线）．图1-3-7B ADC图1-3-8易错总结：(1)用一个平面去截一个正方体，所得的多边形有多种情况，需分类讨论，且不可遗漏.(2)当平面截过同一顶点的三个面时，截得三角形，且这样的三角形肯定是锐角三角形.平面截正方体所得的四边形可能是平行四边形，也可能是梯形，但不可能是没有一对对边平行的四边形.平面截正方体所得的多边形至多为六边形，且每条边正好是平面与正方体的六个面相交所得.基础经典全析题型1截正方体问题【题型典例1】如图1-3-9，用一个平面去截一个正方体，截面相同的是（）①②③④图1-3-9A.①与②B.③与④C.①与③④D.①与②，③与④思路导引：据图形可知①②都是截面与正方体的面平行，而③④的截面都是长为正方体的一个面的对角线的长，宽为正方体的棱长的长方形．答案：由图形可知截面相同的是①与②，③与④．故选D．方法：正方体截面的形状与截面的角度和方向有关，要认真观察和思考，这里最好是动手切截．题型2截圆柱问题【题型典例2】如图1-3-10，圆柱体被一个平面所截，其截面的形状不可能的是（）思路导引：根据从不同角度截得几何体的形状判断出正确选项．答案：当截面与轴截面平行时，得到的形状为长方形；当截面与轴截面斜交时，得到的截面的形状是椭圆；当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；所以截面的形状不可能是A ．故选A ．方法：可从截面与轴截面的不同位置关系得到截面的不同形状． 题型3截圆锥问题【题型典例3】如图1-3-11，一平面经过圆锥的顶点截圆锥所得到的截面形状是（ ）思路导引：经过圆锥顶点的平面与圆锥的侧面和底面截得的都是一条线，由图可知经过圆锥顶点的平面截圆锥所得的截面应该是个等腰三角形．答案：经过圆锥顶点的平面与圆锥的侧面和底面截得的都是一条线，由图可知经过圆锥顶点的平面截圆锥所得的截面应该是个等腰三角形，故选B ．方法：判断几何体的截面，关键要理解面与面相交得到线． 题型4由截面判断几何体的形状【题型典例4】用一个平面截一个几何体，所截出的面出现了如图1-3-12所示的四种形式，试猜想，该几何体可能是 .①② ③ ④图1-3-12AB DC 图1-3-10ABCD图1-3-11思路导引：根据当截面的角度和方向不同时，截面不相同可判断几何体的形状． 答案：圆柱．平面倾斜竖截圆柱侧面和底面截圆柱截得到图①；平面倾斜圆柱底面截圆柱截得到椭圆；平面竖截圆柱得到长方形；平面平行圆柱底面截圆柱可以得到一个圆．故该几何体可能是圆柱．方法：由截面①②④可以推断几何体不是多面体，可能是圆柱、圆锥或圆台，由截面③可以推断该几何体可能是圆柱．综合创新探究题型5判断截后剩余图形的顶点数、棱数、面数【题型典例5】如图1-3-13，一正方体截去一角后，剩下的几何体有____个面，____条棱（ ）A ．6，14 B.7，14 C.7，15 D.6，15思路导引：由图可知：截取一角后，剩下的几何体多了一个面，多了3条棱，即可求得． 答案：截取一角后，剩下的几何体多了一个面，多了3条棱，即剩下的几何体由7个面，15条棱，故选C ．方法：本题结合截面来判断多面体的顶点数、棱数、面数，这里一般可利用欧拉公式． 题型６复杂的正方体的切截问题【题型典例６】如图1-3-14，是正方体被分割后的一部分，它的另一部分是（ ）思路导引：解答此类问题要从正方体分割后的一部分入手来观察分析，我们会发现截口图1-3-13图1-3-14AB DC呈“F ”形，因此只要在四个选项中寻找相应的“F ”即可． 答案：B方法：解决正方体的切截问题，应利用认知的角度来感知三维世界的“空间”，最好是动手制作切截模型来验证.题型7截面知识在生产、生活中的应用【题型典例7】某车间要切割一些外形是长方体的物体，但该种物体的内部构造不详．于是工人师傅决定用一组水平的平面切截这个物体，得到了一组（自下而上）的截面，截面形状如图所示1-3-15，这个长方体的内部构造可能是什么？思路导引：通过观察可以发现：在正方体内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆和点． 答案：这个长方体的内部构造为：长方体中间有一圆锥状空洞．方法：由截面形状去想象几何体与给一个几何体想象它的截面是一个互逆的思维过程，要根据所给截面形状仔细分析，展开想象．．备战中考用一个平面去截一个几何体后判断截面的形状是本节的考点，但中考中考查的量不大，主要目的是考查同学们的空间想象能力，题型一般以填空题、选择题为主，分值为3~6分，难度较小.考法1几何体的切截问题中考典例1用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是（ ） A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.正方形(2010．宁夏中考．第4题．3分)思路导引：看所给选项的截面能否得到三角形即可．答案：A 选项中圆柱的截面可能是圆，长方形，符合题意；B 选项中圆锥的截面可① ②④图1-3-15能是圆，三角形，不符合题意；C选项中三棱柱的截面可能是三角形，长方形，不符合题意；D选项中正方体的截面可能是三角形，或四边形，或五边形，或六边形，不符合题意.故选A．点拨：本题考查常见几何体的截面的形状，注意正方体的截面经过几个面就可得到几边形．变式练习1用平面去截下列几何体，截面的形状不可能是圆的几何体是（）A．球 B.圆锥 C.圆柱 D.正方体思路导引：根据圆锥、圆柱、球、正方体的形状特点判断即可．答案:正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．故选D．(2008．广东茂名中考．第4题．3分)新题精炼基础巩固1．如图1-3-16是一个正方体，用一个平面去截这个正方体截面形状不可能为图中的（）2．用一平面截下面的几何体，无法得到长方形截面的是（）A.正方体B.长方体C.圆锥D.圆柱３．一个四棱柱被一刀切去一部分，剩下的部分可能是（）A.四棱柱B.三棱柱C.五棱柱D.以上都有可能４．如图1-3-17所示，用一个平面沿与棱平行的方向去截一个棱柱，则截面的形状应为（）A．梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.长方形5．如图1-3-18所示，用平面去截下列几何体，能截得长方形、三角形、等腰梯形三种形状的截面，这个几何体是（）6.用一个平面截一个正方体，截面最多是____________边形．7.下列图形：①等腰三角形；②矩形；③正五边形；④正六边形中，只有三个是可以通过切正方体（如图1-3-19）面得到的切口平面图形，这三个图形的序号是_________．（请填序号）知识点1题型1知识点2题型4图1-3-19 图1-3-17图1-3-16A B C DA B C D图1-3-18知识点2题型4知识点1题型5知识点2题型4知识点1题型6知识点1题型18.如图1-3-20，下列正方体被一刀切入一部分，写出剩下部分几何体的名称．能力提升9. 如图1-3-21，一刀将藕切断，所得的截面开头像（）10. 把一个正方形的一个角切去，得到的图形可能是①一个三角形（1）（2）图1-3-20A B图1-3-21②一个四边形③一个五边形④一个六边形．其中正确的是（）A．①② B.③④ C.②③ D.①②③11.如图1-3-22，一个物体的外形是圆柱，但不清楚它的内部结构，为探明其内部结构，给其“做CT”，用一组水平的平面去截这个物体，从上至下的五个截面依次如图所示，则这个物体可能是下列选项中的哪一个？（）知识点2题型1、2知识点2题型2知识点1题型1知识点2题型712.如图1-3-23，，将正方A B C D图1-3-22体沿面AB′C剪下，则截下的几何体为．13.如图1-3-24，从边长为10的正方体的一顶点处挖去一个边长为1的小正方体，则剩下图形的表面积为．14.如图1-3-25，有一个外观为圆柱形的物体，它的内部构造面看不到，当分别用一组平面沿水平方向（自上而下）和竖直方向（自左而右）截这个物体时，得到了如图所示的（1）（2）两组形状不同的截面，请你试着说出这个物体的内部构造．15.如图1-3-26（1）的正方体，它的平面展开图为图1-3-26（2），四边形APQC是切正方体的一个截面.问截面的四条线段AC、CQ、QP、PA分别在展开图的什么位置上？知识点2知识点1题型6知识点1题型7知识点2题型7图1-3-24图1-3-25图1-3-23(1) (2)图1-3-26知识点1题型6、7新题精炼参考答案基础巩固：1.D思路导引：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．无论如何去截，截面也不可能有弧度，因此截面不可能是圆．故选D．点拨：本题考查正方体的截面．正方体有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形，不可能是七边形或多于七边的图形或其他的弧形．2．C思路导引：根据正方体、长方体、圆锥、圆柱的特点判断即可．圆锥的截面可以是椭圆，圆（截面与底面平行），三角形（截面经过圆锥的顶点）但是无法得到长方形的截面．故选C．3．D思路导引：三棱柱、四棱柱、五棱柱都有可能，关键是看切的位置．三棱柱、四棱柱、五棱柱都有可能．故选D．4．D思路导引：由图中棱柱的形状和截面的角度可知，两组对边平行，可先确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为长方形．竖截棱柱，截面垂直于两底，那么截面就应该是个矩形．故选D．5．D思路导引：圆台的截面不能得到长方形；圆锥的截面不能得到长方形；圆柱的截面不能得到等腰梯形；当截面经过正方体的3个面时，得到三角形，当截面与正方体的一个面平行时得到长方形，当截面经过正方体的一个正方形的对角的顶点，经过4个面，又与对面斜交时，可得到等腰梯形，故选D．6．六思路导引：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此最多可以截出六边形．∵用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，∴最多可以截出六边形．7. ①②③思路导引：根据正方体的特性即截面图的定义即可解．解答：解：正方体利用斜截面可以截得等腰三角形和正六边形，当截面与经过相对棱的面成45°时就可得到．当截面与棱平行时，得到的切口就是矩形．故答案为①②③．8．（1）三棱柱（2）圆柱（3）五棱柱．思路导引：先得到立体图形被一刀切入一部分的剩下部分几何体，再针对立体图形的特征，直接填写它们的名称即可．根据图示可知，剩下部分几何体的名称依次为：（1）三棱柱（2）圆柱（3）五棱柱．点拨：本题考查了截图和立体图形的认识，熟记常见立体图形的特征是解决此类问题的关键．9．B思路导引：根据藕的特点，考虑截面从不同角度和方向截取的情况作答．解答：解：一刀将藕切断，由藕的特点可知，横切就是椭圆和中间的小孔．故选D．10．D思路导引：根据截线经过的不同的位置可得剩余图形的相应的形状．当截线为经过正方形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；当截线为经过正方形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；当截线为只经过正方形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；所以正确的是①②③，故选D．11．B思路导引：通过观察可以发现：在圆柱内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆、再由小圆逐渐变成大圆．所以这个圆柱的内部构造为：圆柱中间有一双侧圆台状空洞．故选B．12．三棱锥思路导引：由图可以很明显的看出沿面AB′C剪下后，截面是三角形，截下的几何体为三棱锥．13．600思路导引：由图可知，挖去小正方体后，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积是相等的．因此，剩下图形的表面积=10×10×6=600．故应填600．14.这个圆柱的内部构造为：圆柱中间有一球状空洞，即空心球．思路导引：通过观察可以发现：在圆柱内部的圆由上至下由点逐渐变成小圆、大圆，又逐渐变成小圆、点；从左往右由点逐渐变成小圆、大圆，又逐渐变成小圆、点．故其内部构造为空心球．15.截面的四条线段AC、CQ、QP、PA分别在展开图中的位置如图1-3-27.思路导引：将图1-3-26（2）中未标的顶点标上，分别在对应面上确定对应线段即可.点拨：解决本题关键是设法找准两图中的对应面.图1-3-27。

数值分析教材第五版习题答案(李庆扬等)本文档是《数值分析》（第五版）的题答案，由李庆扬等人编写。

共分为13章，每章包括了若干题和题答案。

第一章介绍了数值分析的基本概念和一些数学基础知识。

其中的题主要涉及数值计算的舍入误差和截断误差的计算。

第二章讨论了插值与拟合问题，题主要集中在各种插值方法和曲线拟合问题的应用。

第三、四章分别介绍了数值积分和数值微分的计算。

这些章节提供了多种数值积分、数值微分算法的细节，以及贯穿其中的误差分析。

第五章是线性方程组的数值解法，主要介绍了直接法、迭代法以及常见的一些稀疏矩阵的解法。

第六章涉及到了非线性方程的求解，重点探讨了二分法、牛顿法、割线法等解法的理论和应用。

第七、八章介绍了特征值与特征向量、矩阵的奇异值与奇异向量的计算。

这两章的题主要考察了特征值的计算方法和矩阵奇异值分解的原理和实现。

第九章讲解了最小二乘问题，包括线性最小二乘问题的求解、非线性最小二乘问题的求解、以及曲线拟合的一些应用。

第十章介绍了常微分方程数值解的一些方法，包括欧拉法、龙格-库塔法等。

第十一章是偏微分方程数值解的方法。

该章节中的题除了基于差分格式的显式解法外，还包括了一些基于有限元方法、谱方法的数值求解思路。

第十二章讨论了随机数与随机过程的数值模拟方法。

这一章节的题较为简单，主要考察了生成随机数的方法和统计性质。

第十三章介绍了复数及其函数的数值计算方法。

题主要涵盖了复数函数的解析和逼近，以及量子力学中常用的算符的数值求解。

本文档共收录了近1000道习题及其答案，对于求解数值分析问题的读者来说有很好的参考作用。

需要注意的是，本文档中的答案仅供参考，读者应该结合自身的情况进行判断和验证。