Lllx13动静法(Hong)---华南理工大学理论力学课件

FIin = mi ain = mi riω 2 F = m i a = m i riα ,
t Ii t i
M Ix = ∑ M x ( FIi ) = ∑ M x ( FIit ) + ∑ M x ( FIin )
= ∑ mi riα cos θ i ⋅ zi − ∑ mi riω 2 sin θ i ⋅ zi
l 0
r FBy
x
dx
r m2 g
r dFI 2
代入弹性力和惯性力
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r E FE
A
( b)
r m1g
r FI 1
FE = k ( l1 sinθ − l0 ) ,
FI1 = m1ω l sinθ ,
2
m2 dFI 2 = ω ( x sinθ ) ⋅ dx l
2
l − ( 2m1 + m2 ) g sin θ − kl1 ( l1 sin θ − l0 ) cos θ 2 m2ω 2 sin 2θ l 2 2 + m1ω l sin θ ⋅ l cos θ + ∫0 x dx = 0 2l
M IO α
F IO = me
M
IO
α +ω
2
4
1 = J O α = ( mr 2
rn FIO
+ me 2 )α
O
FIO
e
rt r t aC
rn aC
2
方向分别如图所示。
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• 动静法方程的本质
-形式上的“平衡方程”，实质上的动力学方程。
r r r r r d dp ∑ FIi =∑ − mi ai = − MaC = − dt (∑ mi vi ) = − dt r r (e) r (e) r dp = ∑ Fi ∑ Fi + ∑ FIi = 0 dt
-当刚体有质量对称平面且该平面与转 轴垂直，取对称平面与转轴的交点O 为简化中心。Jxz=Jyz=0
M IO = M Iz = − J zα
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• 刚体惯性力系的简化（续）
刚体作平面运动（平行于质量对称面） -当刚体有质量对称平面，且平行于此对称面运动时， 刚体惯性力系一般向质心简化，简化结果如下。 •惯性力系向质心C简化 主矢：
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质点系的达朗贝尔原理
r r r r ( e) r (i ) r Fi + FNi + FIi = 0 或 Fi + Fi + FIi = 0 ( i = 1,2,......, n )
r (e) r (i ) r ∑ Fi + ∑ Fi + ∑ FIi = 0 ( i = 1,2,......, n ) r (e) r (i ) r ∑ M O ( Fi ) + ∑ M O ( Fi ) + ∑ M O ( FIi ) = 0 ( i = 1,2,......, n ) r (i ) r r (i ) ∑Fi = 0 , ∑mO (Fi ) = 0
l − ( 2m1 + m2 ) g sin θ − kl1 ( l1 sin θ − l0 ) cos θ 2 1 m2ω 2 sin 2θ 1 3 2 2 + m1ω l sin 2θ + ⋅ l =0 2 2l 3
B
θ
D
l1
l
E
ω
C
( a)
A
ω=
3 ( 2m1 + m2 ) lg sin θ + 6kl1 ( l1 sin θ − l0 ) cos θ ( 3m1 + m2 ) l 2 sin 2θ
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•第13章 达朗贝尔原理
§13-1 惯性力 · 质点的达朗贝尔原理 §13-2 质点系的达朗贝尔原理 §13-3 刚体惯性力系的简化 §13-4 定轴转动刚体的轴承动约束力
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刚体惯性力系的简化
•质点系达朗贝尔原理
∑ ∑
r (e) r Fi + ∑ F Ii = 0 r r (e) r r M O ( Fi ) + ∑ M O ( F Ii ) = 0
引 言
达朗贝尔原理和惯性力的概念为求解 非自由质点和非自由质点系动力学问题提供 了一个普遍而有效的方法。 动静法化动为静，方便直观，广泛应用 于工程实际。 拉格朗日从达朗贝尔原理和最小作用 量原理出发，在变分原理基础上建立了分析 力学。
拉格朗日
1
达朗贝尔
•第13章 达朗贝尔原理
§13-1 惯性力 · 质点的达朗贝尔原理 §13-2 质点系的达朗贝尔原理 §13-3 刚体惯性力系的简化 §13-4 定轴转动刚体的轴承动约束力
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本章基本要求
深刻理解惯性力的概念及其计算； 熟练掌握惯性力的简化方法，特别是平移、定轴 转动和平面运动的刚体惯性力系的简化。 较熟练地根据达朗贝尔原理应用动静法求解动力 学问题； 会判定定轴转动刚体的转轴是否是中心惯性主 轴，并会求其轴承的附加动反力。
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本章重点与难点
本章重点
惯性力的概念； 刚体平移、定轴转动和平面运动时惯性力系 的简化； 达朗贝尔原理及其应用
例14-3 图示机构为一转速计的简化图。小球的质量为m1， 固连在杆AB的一端；而杆AB长为l，质量为m2，可绕轴 BC转动，在此杆上与B点相距为l1的一点E处连接弹簧 ED，其自然长度为l0，弹簧刚度系数为k；杆对BC的偏角 为θ，弹簧在水平面内。求在图示位置时，机构稳态运 动的角速度。
B
θ
D
l1
v2 FIn = man = m l sin θ
质点的达朗贝尔原理 r r r F + FN + FI = 0
∑ F = 0, F cosθ − mg = 0; ∑ F = 0, F sin θ − F = 0;
b T
n n T I
an
T
FIn
FT = 1.96 N , v = 2.1m / s
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•练习1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车
F
n IO
n C
M
IO
1 = J O α = ml 2 α 3
方向分别如图所示。
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•练习 质量为m半径为r的均质圆盘，可绕O轴转动，其偏心 距OC=e 。图示瞬时其角速度为ω ，角加速度为α。求：惯 性力系向O点的简化结果。
t t F IO = ma C = me α •解：
n n F IO = ma C = me ω 2
•质点系达朗贝尔原理 -作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性 力在形式上组成平衡力系。
r (e) r ∑ Fi + ∑ FIi = 0 r r r (e) r ∑ m O ( Fi ) + ∑ m O ( FIi ) = 0
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•例13-2 已知：定滑轮的半径r，质量为m均匀分布在轮缘 上，绕水平轴O转动。m1和m2（m１>m2)，绳与轮间不打滑， 轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。 •解： FI1 = m1a, FI 2 = m2a
cos θ i = xi y , sin θ i = i ri ri
M Ix = α ∑ mi xi zi − ω 2 ∑ mi yi zi
Df 对z 轴的惯性积
J xz = ∑ mi xi zi , J yz = ∑ mi yi zi
M Ix = J xzα − J yzω 2
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J xz = ∑ mi xi zi , J yz = ∑ mi yi zi ,
l
E
ω
C
( a)
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A
解：以小球和杆AB组成的质点系为对象。 弹簧弹性力及虚加惯性力
FE = k ( l1 sinθ − l0 ) , FI1 = m1ω2l sinθ , dFI 2 = ω2 ( x sinθ ) ⋅
r FBx
B
m2 dx l
根据质点系的达朗贝尔原理，
r ∑ M B ( F ) = 0, l m1 gl sin θ − m 2 g sin θ − FE l1 cos θ 2 + FI 1 l cos θ + ∫ dFE ⋅ ( x cos θ ) = 0
M Ix = J xzα − J yzω 2
同理，
M Iy = J yzα + J xzω 2
M Iz = ∑ M x ( FIi ) = ∑ M x ( FIit ) + ∑ M x ( FIin )
= −∑ mi riα ⋅ ri = − J zα r r r r M IO = M Ix i + M Iy j + M Iz k
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惯性力
• 惯性力的实质
惯性力
r r FI = −ma
FI
r r r FI = − F = −ma
光滑接触面
• 质点惯性力实质 -加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯 性反抗的总和。并非作用在质点上的真实力。
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• 惯性力投影式
直角坐标形式 自然坐标形式
d 2x FIx = − ma x = − m 2 dt d2y FIy = − ma y = − m 2 dt d 2z FIz = − ma z = − m 2 dt
rn FIi
F = mi rα = mi a,
t Ii
v2 FIin = mi r
∑M
O
= 0,
(m1 g − m1a − m2 g − m2 a )r − ∑ mi ar = 0
∑m ar = (∑m )ar = mar
i i
a=
m1 − m2 g m1 + m2 + m
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r a
rt FIi r •解除约束 mi FOy O r FOx r r mg a r FI 1 m2 r m2 g m1 r r m1 g FI 2