向量加法的三角形法则

三角形向量的公式大全一、向量加法与三角形法则。

1. 三角形法则（向量加法）- 已知向量→AB和→BC，则→AC=→AB+→BC。

- 几何意义：将向量→AB的终点作为向量→BC的起点，连接→AB的起点与→BC的终点所得到的向量→AC就是→AB与→BC的和向量。

2. 向量加法的交换律在三角形中的体现。

- →AB+→BC=→BC+→AB（虽然三角形法则中顺序有意义，但从向量加法的结果看满足交换律，这里可以通过平行四边形法则辅助理解，以→AB和→BC为邻边的平行四边形，对角线所表示的向量→AC不管是先加→AB还是先加→BC结果相同）3. 向量加法的结合律在三角形中的体现。

- (→AB+→BC)+→CD=→AB+(→BC+→CD)，例如在三角形ABC和三角形BCD中，(→AB+→BC)得到→AC，→AC+→CD=→AD；而→BC+→CD=→BD，→AB+→BD=→AD二、向量减法与三角形法则。

1. 三角形法则（向量减法）- 若→AC=→AB+→BC，则→AB=→AC-→BC。

- 几何意义：向量减法是加法的逆运算，在三角形中，→AB可以看作是从→AC的终点指向→BC的终点的向量。

2. →AB与→BA的关系。

- →AB=-→BA，在三角形中，如果→AB表示从A到B的向量，那么→BA 就是从B到A的向量，它们大小相等，方向相反。

三、三角形中的向量数量积公式。

1. 向量数量积的定义在三角形中的应用。

- 对于三角形ABC中的向量→AB和→AC，它们的数量积→AB·→AC=|→AB||→AC|cos∠ BAC。

- 这个公式可以用来求三角形中的角，例如cos∠BAC=frac{→AB·→AC}{|→AB||→AC|}。

2. 向量数量积的分配律在三角形中的体现。

- →AB·(→AC+→AD)=→AB·→AC+→AB·→AD。

在三角形ABC和ABD共顶点A的情况下，如果把→AC+→AD看作一个新的向量→AE（→AE=→AC+→AD），那么→AB·→AE就等于→AB分别与→AC和→AD数量积的和。

即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫
做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3．求作差向量：
已知向量a、b，求作向量a-b ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
向量的减法
1“相反向量”的定义：
与a长度相同、方向相反的向量。记作 a
2规定：零向量的相反向量仍是零向量。
(a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向
量。a + (a) = 0 如果a、b互为相反向量， 则a = b, b = a, a + b = 0
3向量减法的定义：向量a加上b的相反向量， 叫做a与b的差。
这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大 学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
b
a
b
a
三角 边形法则 A
特殊情况
a
a
b
b
a b
A
B
C
(2)
a b
CA
B
(3)
对于零向量与任一向量a，有 a+0=0+a=a

A N M C L
B
向量的夹角 两个非零向量 则AOB
(0 180 )
B
a 和 b ，作 OA a, OB b，
叫做向量a 和
b 的夹角
b
O
b

a
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B
a
O
a
O A B b 180 A
b

b B
O
a

0
90
A
a 与 b 同向
a 与 b 反向
a 与 b 垂直，
记作
ab
向量的正交分解
一个平面向量用一组基底e1 , e2 表示成 ａ 1 e1 2 e2 的形式，我们称它为向量的分解。当e1 , e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作 为基底时，会为我们研究问题带来方便
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底，将其它向 量用这组基底表示出来.
学以致用
M D 解、如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M、N分 别是DC、AB的中点. 2
C
e
参考答案：
1 DC e1 ; 2
A
N
解：取 AB e1, AD e2 为基底 ,则有
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 e1 e2 2 2
1 1 MN MD DA AN e1 e2 e1 4 2
1 e1 e2 4
练习
2、下列说法中，正确的有： （ 2、3 ）

平面向量的三角形法则平面向量是解决几何和物理问题中常用的数学工具之一。

通过平面向量的运算和性质，我们可以方便地描述物理系统的位移、力和速度等概念。

其中，平面向量的三角形法则是非常重要的基础知识。

本文将详细介绍平面向量的三角形法则以及其应用。

一、平面向量的定义在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有方向的线段。

根据平面向量的定义，我们可以用其起点和终点的坐标表示一个平面向量。

例如，对于平面向量AB，其起点为A坐标(x1, y1)，终点为B坐标(x2, y2)，我们可以表示为向量AB = (x2 - x1, y2 - y1)。

二、平面向量的三角形法则平面向量的三角形法则是指当三个平面向量相互作用时，可以将它们的起点放在同一个点，然后将它们的终点连接起来形成一个三角形。

这个三角形的对角线是第三个平面向量的和向量。

具体来说，对于平面向量AB和AC，它们的和向量是平面向量AD，即AB + AC = AD。

三、平面向量的运算规则1. 平面向量的加法平面向量的加法满足交换律和结合律。

换言之，对于任意平面向量AB，AC和AD，满足AB + AC = AC + AB，以及(AB + AC) + AD =AB + (AC + AD)。

2. 平面向量的乘法平面向量的乘法有数量积和向量积两种形式。

（1）数量积数量积也称为点积，表示为AB · AC。

数量积的计算方法是将AB的横坐标与AC的横坐标相乘，再将AB的纵坐标与AC的纵坐标相乘，然后将两个结果相加。

即AB · AC = ABx * ACx + ABy * ACy。

其中，ABx为AB的横坐标，ACx为AC的横坐标，ABy为AB的纵坐标，ACy为AC的纵坐标。

（2）向量积向量积也称为叉积，表示为AB × AC。

向量积的计算方法是将AB的横坐标与AC的纵坐标相乘，再将AB的纵坐标与AC的横坐标相乘，然后根据坐标轴的正负关系确定结果的方向。