第十章 函数项级数

1第十章函数项级数§ 1 函数项级数的一致收敛性(1)一、本次课主要内容点态收敛，函数项级数收敛的一般问题。

二、教学目的与要求使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数，掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。

三、教学重点难点函数列一致收敛的概念、性质四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。

五、作业与习题布置P68 1（5）（7）2 一．函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念.1.逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“”定义.例1 对定义在内的等比函数列, 用“”定义验证其收敛域为, 且例2 .用“”定义验证在内.例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .（1）..（2）.（3）设为区间上的全体有理数所成数列. 令, .（4）. , .（5）有, ,. （注意.）二. 函数列的一致收敛性:3 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项的解析性质是否必遗传给极限函数能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但.的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.定义( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义.在数集D上一致收敛,Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列,.( 介绍另一种形式.)证 ( 利用式),……,有.易见逐点收敛. 设令，推论1 在D上, ，.D , 使推论2 设在数集D上, . 若存在数列在数集D上非一致收敛 .应用系2 判断函数列―在数集D上的最值点.. 证明函数列在R内一致收敛.例44. 证明在R内, 但不一致收敛.例5,在点处取得极大值证显然有,. 由系2 , 不一致收敛.例6 . 证明在内, .内成立.在由系1 , ……上的函数列例7 对定义在区间上不一致收敛. P38—39 例3, 参图13-4.证明: , 但在, 就有. 因此, 在上有证时, 只要. ,, , 因此 , 该函数列在上不一致收敛.. 考查函数列在下列区间上的一致收敛性:例8例9 考查级数从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 .该例的结果说明什么问题 ?5 教学后记：6第十章函数项级数§ 1 函数项级数的一致收敛性（2）一、本次课主要内容函数项级数一致收敛性。

二、教学目的与要求使学生理解函数项级数一致收敛性概念。

掌握函数项级数一致收敛性的判断。

三、教学重点难点函数序列一致收敛性的判别方法。

四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。

五、作业与习题布置P68 1（9）（11），P69 57一. 函数项级数及其一致收敛性:, 前项部分和函数列，收敛1．函数项级数及其和函数：点，收敛域, 和函数, 余项.内的函数项级数( 称为几何级数 )例1 定义在的部分和函数列为, 收敛域为.2.一致收敛性: 定义一致收敛性.在区间D上一致收敛, ,Th2 ( Cauchy准则 ) 级数对D成立.推论级数在区间D上一致收敛, , .Th3 级数在区间D上一致收敛,.例2 证明级数在R内一致收敛 .=, 则时证令8R成立. ……对在区间上一致收敛；但在内非例3 几何级数一致收敛.上 , 有证在区间, . 一致收敛 ;内 , 取, 有而在区间, .非一致收敛.( 亦可由通项在区间内非一致收敛于零,非一致收敛.)几何级数虽然在区间内非一致收敛 , 但在包含于内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数在区间内闭一致收敛 .二.函数项级数一致收敛判别法:1.M - 判别法:9Th 4 ( Weierstrass判别法 ) 设级数定义在区间D上, 是收充分大时, 对D有|, 则在D上一致敛的正项级数.若当收敛 .证然后用Cauchy准则.亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数是级数的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数在区间D上存在优级数 , 则级数在区间D上一致收敛 . 应用时, 常可试取.但应注意, 级数在区间D上不存在优级数 , 级数在区间D上非一致收敛.注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.例 3 判断函数项级数和在R内的一致收敛性 .是区间上的单调函数. 试证明 : 若级例 4 设都绝对收敛, 则级数在区间上绝对并一致数与收敛 .简证 ,留为作业. .……2. Abel判别法:10在区间上收敛; ⅱ> 对每个, 数列Th 5 设ⅰ> 级数单调 ; ⅲ> 函数列在区间上一致收敛 ., 有. 则级数( [1]P43 )3.Dirichlet判别法:的部分和函数列在区间上一致Th 6 设ⅰ> 级数有界;ⅱ> 对于每一个, 数列单调; ⅲ> 在区间上函数列在区间上一致收敛 .一致收敛于零. 则级数在区间上的一致收敛性.例5 判断函数项级数解记. 则有ⅰ> 级数收敛;, ↗；ⅲ> 对ⅱ> 对每个和单调收敛于零 . 试证明 : 级数在区间例6 设数列上一致收敛.证在.11的部分和函数列在区间上一致有界 . 取可见级数, . 就有级数的部分和函数列在区间上一致有界, 而函数列在区间上一致收敛.收敛于零.由Dirichlet判别法,级数单调收敛于零的条件下, 级数在不包含其实 , 在数列习题课设,, . 且,例1―|对成立, 则函数列{}若对每个自然数有|在例2证明函数列在区间上非一致收敛., . 讨论函数列{}的一致收敛性.例3― 0|. 可求得解 0, . |.函数列{设函数在区间上连续 . 定义. 试证例4}在区间上一致收敛于零.12有界 . 设在区间上||.证法一由||;|;||.|注意到对, .0, , .证法二.有界. 设在区间上||. 把函数在点展开成具Lagrange型余项的,就有,, , .所以 , 0, , .设. 且, . 令例513, ,. …….和, 有 , 则函数列试证明: 若对{取, 使时, 有. 于是对任何自然数证对和, 有.由Cauchy收敛准则 , 函数列{}在区间上一致收敛 .例6 设在数集在数集在数集上有界 ) 设在上有||.证( 先证函数对,有 |||,|< . 即函数在数集上有|界.( 次证函数列{}在数集上一致有界 ) 时, 对,有|取易见对即函数列{14 教学后记：15第十章函数项级数§ 2 一致收敛级数的判别与性质（1）一、本次课主要内容函数项级数的一致收敛的柯西收敛准则和一致收敛级数的性质。

二、教学目的与要求使学生掌握判别函数的一致收敛性。

深刻理解函数项级数一致收敛的判别方法。

三、教学重点难点函数项级数一致收敛的判别方法的选择与使用。

四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。

五、作业与习题布置P82 1（4）（6）（8）（10）16一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质:1.连续性:Th 1 设在上,且对,函数在上连续 ,在证( 要证 : 对当|时, . )在点估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数也可以任意小 . ……上. 若在上间断，则函数列{}在推论设在上一致收敛和所有}, 有註 Th1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{即极限次序可换 .2. 可积性:Th 2 若在区间上函数列{}一致收敛 , 且每个在上连续. 则有.证设在上, 由Th1, 函数在区间上连续,因此可积. 我们要证. 注意到在上成立., 可见只要17在上(R )可积”代替条件“Th2的条件可减弱为: 用条件“在关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是:Th 设{}是定义在区间上的函数列. 若{}在上收敛且一致可积 , 则其极限函数在上( R)可积 , 且有.3. 可微性：Th 3 设函数列{}定义在区间上, 在某个点收敛. 对上连续可导, 且由导函数构成的函数列{}在上一致收敛, 则函数列{.，. , .证设对, 注意到函数连续和+, 就有+ （对第二项交换极限与积分次序）+ +.估计 |+―――| + |,可证得.|18.即. 亦即求导运算与极限运算次序可换.教学后记：19第十章函数项级数§ 2 一致收敛级数的判别与性质（2）一、本次课主要内容函数项级数的一致收敛的连续性定理，逐项积分定理和DiNi定理二、教学目的与要求使学生理解函数项级数的性质。

三、教学重点难点函数像级数一致收敛的性质的使用。

四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。

五、作业与习题布置P83 820二. 一致收敛函数项级数和函数的解析性质:例1P40例3证明函数在区间内连续.例2在区间内闭一致收敛.)对，有证( 先证，；又，在一致收敛.( 次证对上一致收敛; 又函数连续, 在区间论 , 在区间上连续,在点连续. 由点的任意性, 在区间, . 计算积分.例3时, 级数的部分和有界 . 由Dirichlet判别法推得级可见数收敛 . 同理可得级数数收敛 .教学后记：21第十章函数项级数§ 3 幂级数一、本次课主要内容幂级数概念收敛半径以及性质。

二、教学目的与要求使学生理解掌握幂级数的收敛半径了解幂级数在收敛半径内的性质与使用。

三、教学重点难点幂级数的性质四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。

五、作业与习题布置P92 1（6）（7）（8）（9），P93 4（1）22幂级数的一般概念. 型如和的幂级数 . 幂级数由系数数列唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨论型如的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一.幂级数的收敛域:1.收敛半径、收敛区间和收敛域：Th 1 （ Abel ）若幂级数在点收敛，则对满足不等式的任何，幂级数收敛而且绝对收敛；若在点发散，则对满足不等式的任何，幂级数发散.}有界. 设||, 有证收敛, {|, 其中..2.收敛半径 R的求法., 若, 则Th 2 对于幂级数时; ⅲ>时.ⅰ>时,;ⅱ>的次数是一致证, ( 强调开方次数与的).……由于, 因此亦可用比值法求收敛半径.23幂级数的收敛区间: .幂级数的收敛域: 一般来说 , 收敛区间收敛域. 幂级数的收敛域是区间、、或之一.例1 求幂级数的收敛域 .例2 求幂级数的收敛域 .⑴; ⑵.: 令, 则化为幂级数.设该幂级数2. 复合幂级数，则级数的收敛区间由不等式确的收敛区间为定.可相应考虑收敛域.特称幂级数为正整数)为缺项幂级数 .其中. 应注意为第项的系数 . 并应注意缺项幂级数并不是复合幂级数 , 该级数中,为第项的系数 .例4 求幂级数的收敛域 .解是缺项幂级数 .24. 时,. 收敛区间为通项. 因此 , 该幂级数的收敛域为.例5 求级数的收敛域 .解令, 所论级数成为幂级数.由几何级数的敛散时级数收敛. 因此当且仅当,性结果, 当且仅当即时级数收敛. 所以所论级数的收敛域为.例6 求幂级数的收敛半径 .解.二．幂级数的一致收敛性：Th 3 若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内闭一致收敛 .证, 设, 则对, 有, 级数绝对收敛, 由优级数判别法, 幂级数在上一致收敛. 因此 , 幂级数在区间内闭一致收敛.25Th 4 设幂级数的收敛半径为,且在点( 或)在区间( 或)上一致收敛 .收敛,则幂级数在区间上证. 收敛 , 函数列递减且一致有界,由Abel判别法,幂级数在区间上一致收敛 .的收敛域为(时 , 该幂级数即在区易见 , 当幂级数间上一致收敛 .三. 幂级数的性质:1. 逐项求导和积分后的级数:设,*) 和 **)仍为幂级数. 我们有命题1 *) 和 **)与有相同的收敛半径 . ( 简证 )值得注意的是，*) 和 **)与虽有相同的收敛半径（因而有相同的收敛区间），但未必有相同的收敛域，例如级数.2. 幂级数的运算性质:26和在点的某邻域内相等是指：它们定义两个幂级数在该邻域内收敛且有相同的和函数.命题2 ,.(由以下命题4系2)和的收敛半径分别为和,命题3 设幂级数, — Const ，.ⅰ>ⅱ> +, .ⅲ> ()(), , .3. 和函数的性质:命题4 设在(内. 则ⅰ>或收敛, 则在点( 或ⅱ> 若级数, 在点可微且有;ⅲ> 对27ⅳ>对, 在区间上可积, 且.收敛时, 无论级数在点收敛与否,均有当级数. 这是因为: 由级数收敛, 得函数左连续, 因此有.在点推论1 和函数, …….任意次可导.由系1可见, 是幂级数的和函数的必要条件是, 则有推论2 若例7 验证函数满足微分方程.验证所给幂级数的收敛域为., 代入,.28 教学反思：29第十章函数项级数§ 4 函数的幂级数展开（1）一、本次课主要内容泰勒级数与余项公式。