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数值分析期末考试和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 插值法B. 迭代法C. 直接法D. 拟合法答案：C2. 以下哪个数值方法是用于求解非线性方程的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 拉格朗日插值法答案：B3. 在数值积分中，梯形法则的误差与下列哪个因素无关？A. 被积函数的二阶导数B. 积分区间的长度C. 积分区间的划分数量D. 被积函数的一阶导数答案：D4. 以下哪个数值方法是用于求解常微分方程的？A. 欧拉方法B. 牛顿迭代法C. 拉格朗日插值法D. 高斯消元法答案：A5. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解特征值问题？A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形法则答案：B6. 以下哪个数值方法是用于求解线性最小二乘问题的？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 正交分解法D. 牛顿迭代法答案：C7. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程组？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 欧拉方法答案：B8. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解偏微分方程？A. 有限差分法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 梯形法则答案：A9. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解优化问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 单纯形法答案：D10. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解插值问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 拉格朗日插值法答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，求解线性方程组的直接法包括______消元法和______消元法。
答案：高斯；LU2. 牛顿迭代法的收敛速度是______阶的。
答案：二3. 梯形法则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二4. 欧拉方法是一种求解______阶常微分方程的数值方法。
答案：一5. 幂迭代法是求解______特征值问题的数值方法。
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数 点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分 由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分 而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分 而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分 则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分 所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分 所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。
2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B(总分：28.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设｜x｜>>1______（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：3.求积分∫ a b f（x）dx的两点Gauss公式为______（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：4.设∞ =______，‖A‖ 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：5.给定f(x)=x 4，以0为三重节点，2为二重节点的f(x)的Hermite插值多项式为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x 4)解析：6.己知差分格式r≤______时，该差分格式在L ∞范数下是稳定的．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)7.给定方程lnx-x 2+4=0，分析该方程存在几个根，并用迭代法求此方程的最大根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令f(x)=lnx-x 2 +4，则f"(x)= -2x,当x= 时，f"(x)=0. 注意到f(0．01)=-0．6053＜0,f(1)=3＞0,f(3)=-3．9014＜0,而当时，f"(x)＞0，当时，f"(x)＜0，所以方程f(x)=0有两个实根，分别在(0．01，1)和(1，3)内．方程的最大根必在(1，3)内，用Newton迭代格式取x 0 =2，计算得x 1 =2．1980，x 2 =2．1)解析：8.用列主元Gauss（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =3，x 2 =1，x 3 =5．)解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)9.设α，β表示求解方程组．Ax=b的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法收敛的充分必要条件．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Jacobi迭代格式的迭代矩阵特征方程为展开得500λ3—15αβλ=0或者λ(500λ2—15αβ)=0，解得λ=0或λ2 = 则Jacobi格式收敛的充要条件为｜αβ｜＜Gauss-Seidel格式迭代矩阵的特征方程为展开得500λ3—15αβλ2 =0或者λ2(500λ-15αβ)=0，解得λ=0或λ则Gauss-Seidel格式收敛的充)解析：10.设x 0，x 1，x 2为互异节点，a，b，m为已知实数．试确定x 0，x 1，x 2的关系，使满足如下三个条件p(x 0 )=a， p"(x 1 )=m，p(x 2 )=b的二次多项式p(x)存在且唯一，并求出这个插值多项式p(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由条件p(x 0 )=a，p(x 2 )=b确定一次多项式p 1 (x)，有所以p(x)-P 1(x)=A(x—x 0 )(x—x 2 )，p"(x)=p" 1 (x)+A(x—x 0 +x—x 2 )，p"(x 1+A(2x 1 -x 0 -x 2) 解析：11.求y=｜x｜在[-1，1]上形如c 0 +c 1 x 2的最佳平方逼近多项式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：取φ0 (x)=1，φ1 (x)=x 2，则(φ0，φ0)=∫ -11 =2，(φ0，φ1)=∫ -11 x 2)1 x 2，(φ1，φ1)=∫ -1解析：12.已知函数f(x)∈C 3 [0，3]，试确定参数A，B，C，使下面的求积公式数精度尽可能高，并给出此时求积公式的截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：当f(x)=1时左=∫ 03 1dx=3，右=A+B+C，当f(x)=x时左=∫ 03 xdx= ，右=B+2C 当f(x)=x 2时左=∫ 03 x 2 dx=9,右=B+4C．要使公式具有尽可能高的代数精度，则而当f(x)=x 3时，左=∫ 03 x 3)解析：13.给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=a／n，x i =a+ih，0≤i≤n．证明：用梯形公式求解该初值问题所得的数值解为且当h→0时，y n收敛于y(a)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：梯形公式应用于方程有y i+1=y i+ (-y i—y i+1)，即有所以i=1，2，…．当h→0时，n→∞我们有而由方程知解析解y=e -x则y(a)=e -a，所以)解析：14.Ω={0＜x＜3，0＜y＜3)．试用五点差分格式求u(1，1)，u(1，2)，u(2，1)，u(2，2)的近似值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：五点差分格式为根据要求，可取h= ，将(1，1)，(2，1)，(1，2)，(2，2)处的差分格式列成方程组有或者解得u 11=15．8750，u 21=22．6250，u 12=15．8750，u 22 =22．6250．)解析：。
1、的近似值的相对误差限小于0.1％,要取几位有效数字？ （ ）(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 52、若*12.30x =是经过四舍五入得到的近似数，则它有几位有效数字？ （ ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 53、已知n ＋1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,…,n )，且ω(x )=(x －x 0) (x －x 1)… (x －x n )．则n 阶差商f (x 0,x 1,…, x n )= ( )(a) ∑=n k k k y x l 0)( (b) ∑='n k k k k x l y 0)( (c) ∑=n k k k x y 0)(ω (d) ∑='nk k k x y 0)(ω 4、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3），（2，2）构造出的三次插值多项式33()6 P x x y 的 的系数是，则 等于 （ ） (a) -1.5 (b) 1 (c) 5.5 (d) 4.255、设(0,1,2,3,4)i x i =为互异结点，()i l x 为拉格朗日插值基函数,则420()()ii i x x l x =-∑等于 （ ）(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 46、4()[,],()()(),()(),()(), ' () ' (),22()()_________________________f x C a b H x a b a b H a f a H b f b H f H a f a f x H x ∈++====-=设是满足下列插值条件的三次多项式：则插值余项 7、是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=______,c=_____8、已知(1)0,(1)3,(2)4,f f f =-=-=写出()f x 的牛顿插值多项式2()P x =_____,其余项表达式R(x)=__ _______________________9、 确定求积公式10121()(1)(0)'(1)f x dx A f A f A f -≈-++⎰中的待定参数，使其代数精度尽量高,则A 0=___________, A 1=__________, A 2=________,代数精度=___________。
数值分析期末复习题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明第一章 误差与有效数字一、 有效数字1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。
2、 两点理解：（1） 四舍五入的一定是有效数字（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1（P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差限为4、 考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）二、 避免误差危害原则 1、 原则：（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a ）（2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或（3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14三、 数值运算的误差估计 1、 公式：（1） 一元函数：|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f (x *)） eg.P19习题1、2、5（2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4第二章 插值法一、 插值条件1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a ≤x 0＜x 1＜…＜x n ≤b 的函数值yi=f(xi)，求次数不超过n 的多项式P(x)，使 2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一二、 拉格朗日插值及其余项1、 n 次插值基函数表达式（P26（2.8））2、 插值多项式表达式（P26（2.9））3、 插值余项（P26（2.12））：用于误差估计*(1)11102n r a ε--≤⨯;x εx εx εx ++=-+();1ln ln ln ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =n i y x P ii n ,,2,1,0)(Λ==4、 插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1三、 差商（均差）及牛顿插值多项式 1、 差商性质（P30）：（1） 可表示为函数值的线性组合（2） 差商的对称性：差商与节点的排列次序无关 （3） 均差与导数的关系（P31（3.5）） 2、 均差表计算及牛顿插值多项式四、埃尔米特插值（不用背公式） 两种解法：（1） 用定义做：设P 3(x)=ax 3+bx 2+cx+d ，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数值相等各2个）（2） 牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14 五、三次样条插值定义（1） 分段函数，每段都是三次多项式（2） 在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续） （3）考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题第三章 函数逼近与曲线拟合一、 曲线拟合的最小二乘法解题思路：确定ϕi ，解法方程组，列方程组求系数（注意ϕi 应与系数一一对应）eg.P95习题17nj y x S j j ,,1,0,)(Λ==形如y=ae bx 解题步骤： （1） 线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）回代第四章 数值积分与数值微分一、 代数精度 1、 概念：如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度 2、 计算方法：将f(x)=1,x,x 2, …x n 代入式子求解 eg.P100例1二、 插值型的求积公式求积系数定理：求积公式至少具有n 次代数精度的充要条件是：它是插值型的。
数值分析考试题和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值法的主要目的是（）。
A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 构造一个多项式来近似一个函数D. 求解微分方程答案：C2. 线性方程组的高斯消元法中，主元为零时，应采取的措施是（）。
A. 停止计算B. 回代求解C. 转置矩阵D. 行交换答案：D3. 以下哪种方法不是数值积分方法（）。
A. 梯形规则B. 辛普森规则C. 牛顿法D. 复合梯形规则答案：C4. 以下哪种方法用于求解非线性方程的根（）。
A. 欧几里得算法B. 牛顿迭代法C. 高斯消元法D. 线性插值法答案：B5. 在数值分析中，最小二乘法主要用于（）。
A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 曲线拟合D. 微分方程数值解答案：C6. 以下哪种方法不是数值微分方法（）。
A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 欧拉方法答案：D7. 以下哪种方法用于求解常微分方程的初值问题（）。
A. 欧拉方法B. 龙格-库塔方法C. 牛顿迭代法D. 高斯消元法答案：B8. 在数值分析中，矩阵的特征值问题可以通过（）方法求解。
A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形规则答案：B9. 以下哪种方法不是数值稳定性分析中的方法（）。
A. 绝对稳定性B. 相对稳定性C. 条件数D. 牛顿法答案：D10. 在数值分析中，条件数用于衡量（）。
A. 算法的效率B. 算法的稳定性C. 算法的准确性D. 算法的复杂度答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值多项式的次数最高为______，其中n是插值点的个数。
答案：n-12. 线性方程组的高斯消元法中，如果某行的主元为零，则需要进行______。
答案：行交换3. 梯形规则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二4. 牛顿迭代法中，每次迭代需要计算______。
答案：函数值和导数值5. 最小二乘法中，残差平方和最小化时，对应的系数向量是______。
第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。
（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。
（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。
（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。
试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
